祖暅原理及其分析(1)
祖暅原理及其分析
摘要:
刘徽在发现《九章算术》球体积公式错误的基础上,构造了"牟合方盖",正确指出了解决该问题的思路。祖氏父子间接求出了"牟合方盖"的体积,从而彻底解决了球体积计算公式的难题,并提出了祖暅原理。本文回顾了中国古代数学取得的巨大成就,激发大家的民族自豪感和学习数学史的热情,然后用高等数学的知识证明了祖暅原理,强调高等数学对中学数学教学的指导作用,增强大家学习高等数学的自觉性。
一、刘徽对球体积公式的探索
刘徽一生不仅成就卓越,而且品格高尚。在学术研究中,他既不迷信古人,也不自命不凡,而是坚持实事求是,以理服人。如少广章的“开立圆术”给出的球体积计算方法相当于公式V=9/16D3(这里的D为球的直径),刘徽对这一公式的正确性产生怀疑,他娴熟的使用界面法进行验证,发现内切圆的体积与正方形的体积之比为π/4,在《九章算术》取π=3的情况下,只有在内切球与圆柱的体积之比也是π/4时,上述近似公式才成立,而实际上后者是不成立的,为了说明这一点,刘徽又引入了一种新的立体:以正方体相邻的两个侧面为底分别做两次内切圆柱切割,剔除外部,剩下的内核部分刘徽称之为“牟合方盖”。他用截面法证明内切球与“牟合方盖”的体积之比为π/4,而明显可以看出,“牟合方盖”的体积比圆柱要小,故上述公式是错误的,显然,如果能求牟合方盖的体积,球的体积就自然可以求出了。但对于牟合方盖的体积如何求出,刘徽百思不得其解,故最后不得不“付之缺疑,以俟能言者”。刘徽没有成功,但他的思路正确,为后人解决这一问题打下基础。
二、祖暅原理
祖氏父子在研究《九章算术》及刘徽注时发现了刘徽遗留下来的关于如何计算“牟合方盖”的问题,并且开始沿着刘徽的道路继续探索,经父子俩不懈的努力,终于由祖暅解决了牟合方盖体积的计算,得到牟合方盖与其外切正方形的体积之比是2/3,祖暅还将其推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过得不可分割原理,总结提炼成一般的命题:“幂势相同,则积不容异”,即夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,若所的截面总相等,则此二几何体体积相等。它们被称为“祖暅原理”。祖氏父子所用的方法论证严谨,推倒完善,无懈可击,同时,这实际上就是西方数学界所谓的“卡瓦列里原理”。
三、卡瓦列里原理
在数学上，卡瓦列利以他的不可分量方法而闻名。这个方法的基本思想是：线是有无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构成的，立体是由无穷多个平面构成的。点、线、面分别就是线、面、体的不可分量。卡瓦列利通过比较两个平面或立体图形的不可分量之间的关系来获得这两个平面或立体图形的面积或体积之间的关系，这就是著名的卡瓦列利定理（又称卡瓦列利原理）。
四、祖暅球体积公式证明
如图,他把正方体(1)等分为8个小正方体,去除其中一个,以左下棱为轴、棱长(D/2)为半径做四分之一圆柱面:再以后下棱为轴作1/4圆柱面,二次分割得到四个曲面立体:其中一块称为内棋(图(2),即牟合方盖的1/8),还有三块称为外棋(图(3)(4)(5)),并将这四块几何体用水平面(立标记为z)去截分别得到截面:一个大正方形F1(边长记为y),小正方形F2和两个长方形F3,F4,由勾股定理得F1=y2=(D/2)2-z2,于是F1+F2+F3=z2.再考虑到以D/2为底面边长和高的倒立正四棱锥(图(5))在立标为z处的截面面积也是z2,由“祖暅原理”有图(2)+图(3)+图(4)=1/3(D/2)3,由图所示有V4=8图(2)=2/3D3,令r=D/2,则得V=4/3πr
五、分析
通过中国古代的祖暅原理和西方数学的卡瓦列利原理我们可以认识到，祖暅原理比卡瓦列利原理更追求实用：与古希腊数学追求纯粹的理念想成强烈的对比，中国传统数学具有浓厚的应用色彩。更注重算法：中国传统数学实用性的特点，决定了它以解决实际问题和提高计算技术为主要目标，因此，他的成果都表此案为算法的相识。中国传统数学寓理于算：中国传统数学注重算法，并不等于它就没有逻辑推理，没有建立其自身的理论体系。
(完整word)上海高考数学填选难题解析
* 上海 2012-2015 高考填选难题解析 2015 年 13.（理）已知函数 f (x ) = sin x ，若存在 x 1 、 x 2 、…、 x m 满足 0 ≤ x 1 < x 2 < ... < x m ≤ 6π ， 且 | f (x 1 ) - f (x 2 ) | + | f (x 2 ) - f (x 3 ) | +...+ | f (x m -1) - f (x m ) | = 12 (m ≥ 2, m ∈ N 的最小值为 ； 【解析】根据题意，| f ( x m -1 ) - f ( x m ) | ≤ 2 ，如图所示，最少需要 8 个数 ) ，则 m 13.（文）已知平面向量 a 、b 、c 满足 a ⊥ b ，且{| a |,| b |,| c |} = {1, 2, 3} ，则| a + b + c | 的 最大值是 ； 【解析】平方后可知 c 与 a + b 同向时，取最大， 情况不是很多，可以列举法，如图可得最大值为 3 + 5 14. 在锐角三角形 ABC 中， tan A = 1 ， D 为边 BC 上的点，△ ABD 与△ ACD 的面积分 2 别为 2 和 4，过 D 作 DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ AC 于 F ，则DE DF ?u u u r u u u r = ； 【解析】取特殊情况 AB = AC ，根据题意 DC = 2DB ， 设 DB = a ，则 DC = 2a ，∵ tan A = 1 ，∴ tan A = 5 - 2 2 2 3( 5 + 2)a 4 可表示高 h = ，∵△ ABC 面积为 6，∴ h = 2 a 即 4 = 3( 5 + 2)a ，解得 a 2 = 8 ( 5 - 2) ， DE = a sin B a 2 3 DF = 2a sin B ，∴ DE ? DF = 2a 2 sin 2 B ? cos ∠EDF = 2a 2 cos 2 A ? (- cos A ) = - 16 2 15 17.（理）记方程①：x 2 + a 1 x +1 = 0 ；方程②：x 2 + a 2x + 1 = 0 ；方程③：x 2 + a 3x +1 = 0 ； 其中 a 1 、 a 2 、 a 3 是正实数，当 a 1 、 a 2 、 a 3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无 实数根的是（ ） A. 方程①有实根，且②有实根 B. 方程①有实根，且②无实根 C. 方程①无实根，且②有实根 D. 方程①无实根，且②无实根
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)数学(理)试题
2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（一） 理科数学 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、考试范围：高考范围。 2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。 3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。 4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。 5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。 6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。 8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。 一?选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1.2{|6510}M x x x =-+=，{|1}P x ax ==，若P M ?，则a 的取值集合为( ) A. {}2 B. {}3 C. {}2,3 D. {}0,2,3 【答案】D 【解析】 【分析】 求出11,32M ??=????，由{|1}P x ax ==，P M ?，可得P ?=，13P ??=????或12P ??=???? ，由此能求出a 取 值集合． 【详解】2 11{|6510},32M x x x ??=-+==????， {|1}P x ax ==，P M ?，
祖暅原理及其分析
祖暅原理及其分析 摘要: 刘徽在发现《九章算术》球体积公式错误的基础上,构造了"牟合方盖",正确指出了解决该问题的思路。祖氏父子间接求出了"牟合方盖"的体积,从而彻底解决了球体积计算公式的难题,并提出了祖暅原理。本文回顾了中国古代数学取得的巨大成就,激发大家的民族自豪感和学习数学史的热情,然后用高等数学的知识证明了祖暅原理,强调高等数学对中学数学教学的指导作用,增强大家学习高等数学的自觉性。 一、刘徽对球体积公式的探索 刘徽一生不仅成就卓越,而且品格高尚。在学术研究中,他既不迷信古人,也不自命不凡,而是坚持实事求是,以理服人。如少广章的“开立圆术”给出的球体积计算方法相当于公式V=9/16D3(这里的D为球的直径),刘徽对这一公式的正确性产生怀疑,他娴熟的使用界面法进行验证,发现内切圆的体积与正方形的体积之比为π/4,在《九章算术》取π=3的情况下,只有在内切球与圆柱的体积之比也是π/4时,上述近似公式才成立,而实际上后者是不成立的,为了说明这一点,刘徽又引入了一种新的立体:以正方体相邻的两个侧面为底分别做两次内切圆柱切割,剔除外部,剩下的内核部分刘徽称之为“牟合方盖”。他用截面法证明内切球与“牟合方盖”的体积之比为π/4,而明显可以看出,“牟合方盖”的体积比圆柱要小,故上述公式是错误的,显然,如果能求牟合方盖的体积,球的体积就自然可以求出了。但对于牟合方盖的体积如何求出,刘徽百思不得其解,故最后不得不“付之缺疑,以俟能言者”。刘徽没有成功,但他的思路正确,为后人解决这一问题打下基础。
二、祖暅原理 祖氏父子在研究《九章算术》及刘徽注时发现了刘徽遗留下来的关于如何计算“牟合方盖”的问题,并且开始沿着刘徽的道路继续探索,经父子俩不懈的努力,终于由祖暅解决了牟合方盖体积的计算,得到牟合方盖与其外切正方形的体积之比是2/3,祖暅还将其推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过得不可分割原理,总结提炼成一般的命题:“幂势相同,则积不容异”,即夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,若所的截面总相等,则此二几何体体积相等。它们被称为“祖暅原理” 。祖氏父子所用的方法论证严谨,推倒完善,无懈可击,同时,这实际上就是西方数学界所谓的“卡瓦列里原理”。 三、卡瓦列里原理 在数学上，卡瓦列利以他的不可分量方法而闻名。这个方法的基本思想是：线是有无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构成的，立体是由无穷多个平面构成的。点、线、面分别就是线、面、体的不可分量。卡瓦列利通过比较两个平面或立体图形的不可分量之间的关系来获得这两个平面或立体图形的面积或体积之间的关系，这就是著名的卡瓦列利定理（又称卡瓦列利原理）。 四、祖暅球体积公式证明
2021届安徽省合肥市高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2021届安徽省合肥市高三第一次模拟考试 数学（理）试题 一、选择题 1．若集合，集合，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，解得，故；由，解得， 故，因此.故本题正确答案为 点晴:集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数、还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解对数不等式和一元二次不等式，在解对数不等式的过程中，要注意真数大于零.在求交集时注意区间端点的取舍. 并通过画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，故的共轭复数为. 故本题正确答案为 3．要想得到函数的图像，只需将函数的图像（） A. 向左平移个单位，再向上平移1个单位 B. 向右平移个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移个单位，再向下平移1个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移1个单位
【答案】B 【解析】因为，故只需将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，即可得到函数的图象. 故本题正确答案为 4．执行如图的程序框图，则输出的为（） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】由程序框图可知， ，由，解得，故输出的的值为. 故本题正确答案为 5．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于，两点．为坐标原点．若的面积为1，则的值为（） A. 1 B. C. D. 4 【答案】B
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，与抛物线的准线相交于 ,所以的面积为，解得. 故本题正确答案为 6．的内角的对边分别为,若，，则的外接圆面积为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，由正弦定理可得，（为外接圆半径）.利用两角和公式得，即,因为，所以,所以.故的外接圆面积为. 故本题正确答案为 7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设为两个同高的几何 体，的体积不相等，在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，是的 （） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】设命题：“若，则”.可知命题是祖暅原理的逆否命题，由命题的性质可知必然成立.故是的充分条件； 设命题：“若，则”，对此可以举出反例，若比在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积多一些，且多的总量与少的总量相抵，则它们的体积还是一样的.所以命题：“若，则”是假命题，即不是的必要条件.
2020-2021学年贵州省高考数学适应性试卷(理科)含解析
贵州省高考数学适应性试卷（理科） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩N=（） A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1} 2．已知x，y∈R，i是虚数单位，且（2x+i）（1﹣i）=y，则y的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 3．已知数列{a n}满足a n=a n+1，若a3+a4=2，则a4+a5=（） A．B．1 C．4 D．8 4．已知向量与不共线，且向量=+m，=n+，若A，B，C三点共线，则实数m，n（） A．mn=1 B．mn=﹣1 C．m+n=1 D．m+n=﹣1 5．执行如图所示的程序框图，如果输入的a，b分别为56，140，则输出的a=（） A．0 B．7 C．14 D．28
6．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长总相等，则图1的面积为（） A．4 B．C．5 D． 7．如图，在正方体ABC的﹣A1B1C1D1中，点P是线段A1C1上的动点，则三棱锥P﹣BCD的俯视图与正视图面积之比的最大值为（） A．1 B．C．D．2 8．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2，B=45°，若三角形有两解，则a的取值范围是（） A．a＞2B．0＜a＜2 C．2＜a＜2D．2＜a＜2
2019-2020学年杭州市数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
2019-2020学年杭州市数学高二第二学期期末学业质量监测试题 一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．定义函数()g x 为不大于x 的最大整数，对于函数()()f x x g x =-有以下四个命题： ①(2018.67)0.67f =；②在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数；③1155f f ???? -< ? ????? ； ④()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1).其中真命题的序号是（ ） A ．③④ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】 画出函数()()f x x g x =-的图象，根据图象可知函数的周期性、单调性、定义域与值域，从而可判断各命题的真假. 【详解】 画出()()f x x g x =-的图象，如图所示， 可知()f x 是最小正周期为1的函数，当[0,1)x ∈时，()f x x =， 可得(201867)(0.67)0.67f f ==. ，①正确； 由图可知，在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数，②正确； 由图可知，()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1)，④正确； 由图可知，141555f f f ?? ???? -=> ? ? ??????? ，③是错误的. 真命题的序号是①②④，故选D. 【点睛】 本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的周期性、函数的定义域与值域，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 2．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截
黑龙江省齐齐哈尔市2020学年高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
齐齐哈尔市2020学年度高二下学期期末考试 数学试卷(理科) 第I 卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{ } 2 20A x x x =--≤，{} ln(1)B x y x ==-，则A B =I （ ） A. (1,2) B. [1,1)- C. (1,2] D. (1,1)- 【答案】B 【解析】 【分析】 分别计算集合A 和B ，再计算A B I . 【详解】{ }{ } 2 2012A x x x x x =--≤=-≤≤ {}{}ln(1)1B x y x x x ==-=< [1,1)A B =-I 故答案选B 【点睛】本题考查了集合的交集，属于简单题. 2.若复数z 满足，24iz i =+（i 为虚数单位）则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A. (2,4) B. (2,4)- C. (4,2)- D. (4,2) 【答案】C 【解析】 【分析】 化简复数2442i z i i += =-得到答案. 【详解】242442i iz i z i i +=+?= =- 在复平面内z 对应的点的坐标是(4,2)- 故答案选C 【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
3.已知随机变量ξ服从正态分布2 (2,)N σ,(4)0.2P ξ>=,则(0)P ξ<= A. 0.8 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2 【答案】D 【解析】 略 4.《高中数学课程标准》(2020 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ） (注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析) A. 甲的数据分析素养高于乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体水平优于甲 【答案】D 【解析】 【分析】 根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案. 【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A 错误 根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B 错误
2020-2021学年最新高考总复习数学(理)高考调研检测试题及答案解析一
最新度第二学期高三年级学业质量调研 数学理 一、填空题 1.函数()f x = 的定义域为. 2.已知线性方程组的增广矩阵为11334a -?? ???，若该线性方程组的解为12-?? ??? ，则实数a =. 3.计算2123lim 1 n n n →∞+++++L =. 4.若向量a r 、b r 满足||1,||2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为π 3 ，则||a b +=r r . 5.若复数1234,12z i z i =+=-，其中i 是虚数单位，则复数12|| z z i +的虚部为. 6.61 (x 的展开式中，常数项为. 7.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对应边的长度分别为a 、b 、c ，若a c b a c a b b --= ，则角C 的 大小是. 8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：174a a =，则数列2{log }n a 的前7项之和为. 9.在极坐标系中曲线C ：2cos ρθ=上的点到(1,π)距离的最大值为. 10.袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是. 11.已知双曲线2 2 14 y x -=的右焦点为F ，过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P ，M 在直线PF 上，且满足0OM PF ?=u u u u r u u u r ，则|| || PM PF =u u u u r u u u r . 12.现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有.（用数字作答） 13.若关于x 的方程54 (4)|5|x x m x x +-- =在(0,)+∞内恰有三个相异实根，则实数m 的取值范围为. 14.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内
祖暅原理
课件5 祖暅原理 课件编号：AB Ⅱ－1－3－3． 课件名称：祖暅原理． 课件运行环境：几何画板4.0以上版本． 课件主要功能：配合教科书“探究与发现 祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”的教学，说明几何体等体积变换的依据． 课件制作过程： （1）新建画板窗口．如图1，按住Shift 键，用【画直线】画4条直线AB ，CD ，EF ，GH （分别是直线j ，k ，l ，m ）． 图 1 （2）在直线j 上画两点I ，J ． （3）在直线上画一点K ，在直线l 上画两点L ，M ，在直线m 上画两点N ，O ． （4）画线段KL ，LN ，NO ，OM ，MK ． （5）在直线k ，l 之间画一条直线PQ （直线r ）．在直线l ，m 之间画直线RS （直线s ）． （6）作出线段KL 与直线r 的交点T ．同样作出线段KM 与直线r 的交点U ，线段LN 与直线s 的交点V ，线段OM 与直线s 的交点W ． （7）在直线k ，r ，l ，s ，m 上分别画一点X ，Y ，Z ，A 1，B 1． （8）标记向量TU ．依向量TU 平移点Y 得到Y ．同样，标记向量LM ，依
向量LM 平移点Z 得到Z '；标记向量VW ，依向量VW 平移点1A 得到1A '；标记 向量NO ，依向量VW 平移点1B 得到1B '． （9）依次选择点K ，L ，N ，O ，M ，按Ctrl+P ，填充五边形KLNOM ，及时单击【Measure 】（度量）菜单中的【Area 】，度量出它的面积，如“面积21 3.93p cm =”． （10）类似于上一步，用【选择】工具顺次选择点X ，Y ，Z ，1A ，1B ，1B '，1A '，Z '，Y '，按Ctrl+L ，得到一个凹九边形． （11）用【选择】工具顺次选择点X ，Y ，Z ，1A ，1B ，1B '，1A '，Z '，Y '，并单击【Construct 】（作图）菜单中的【Polygon Interior 】（多边形内部）给这个凹九边形内部填充，及时单击【Measure 】菜单中的【Area 】，度量出凹九边形的面积，如“面积22 3.93p cm =”． （12）如图2，用【画点】工具在直线j 上画一点1C （位于点J 的左边）．过 点1C 作出直线j 的垂线（直线a ）．用【选择】工具作出直线a 与直线k 的交点1D ． 图2
2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科） 一、填空题 1．函数的定义域是______． 2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数 a=______． 3．计算=______． 4．若向量，满足且与的夹角为，则=______． 5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为______． 6．在的展开式中，常数项是______．（用数字作答） 7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则 角C的大小是______． 8．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为______． 9．在极坐标系中曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值为______． 10．袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是______． 11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与 双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=______． 12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有______．（用数字作答） 13．若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m 的取值范围为______． 14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公 式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋 转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．
祖暅原理及其分析
祖暅原理及其分析摘要: 刘徽在发现《九章算术》球体积公式错误的基础上,构造了"牟合方盖",正确指出了解决该问题的思路。祖氏父子间接求出了"牟合方盖"的体积,从而彻底解决了球体积计算公式的难题,并提出了祖暅原理。本文回顾了中国古代数学取得的巨大成就,激发大家的民族自豪感和学习数学史的热情,然后用高等数学的知识证明了祖暅原理,强调高等数学对中学数学教学的指导作用,增强大家学习高等数学的自觉性。 一、刘徽对球体积公式的探索 刘徽一生不仅成就卓越,而且品格高尚。在学术研究中,他既不迷信古人,也不自命不凡,而是坚持实事求是,以理服人。如少广章的“开立圆术”给出的球体积计算方法相当于公式V=9/16D3(这里的D为球的直径),刘徽对这一公式的正确性产生怀疑,他娴熟的使用界面法进行验证,发现内切圆的体积与正方形的体积之比为π/4,在《九章算术》取π=3的情况下,只有在内切球与圆柱的体积之比也是π/4时,上述近似公式才成立,而实际上后者是不成立的,为了说明这一点,刘徽又引入了一种新的立体:以正方体相邻的两个侧面为底分别做两次内切圆柱切割,剔除外部,剩下的内核部分刘徽称之为“牟合方盖”。他用截面法证明内切球与“牟合方盖”的体积之比为π/4,而明显可以看出,“牟合方盖”的体积比圆柱要小,故上述公式是错误的,显然,如果能求牟合方盖的体积,球的体积就自然可以求出了。但对于牟合方盖的体积如何求出,刘徽百思不得其解,故最后不得不“付之缺疑,以俟能言者”。刘徽没有成功,但他的思路正确,为后人解决这一问题打下基础。 二、祖暅原理 祖氏父子在研究《九章算术》及刘徽注时发现了刘徽遗留下来的关于如何计算“牟合方盖”的问题,并且开始沿着刘徽的道路继续探索,经父子俩不懈的努力,终于由祖暅解决了牟合方盖体积的计算,得到牟合方盖与其外切正方形的体积之比是2/3,祖暅还将其推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过得不可分割原理,总结提炼成一般的命题:“幂势相同,则积不容异”,即夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,若所的截面总相等,则此二几何体体积相等。它们被称为“祖暅原理” 。祖氏父子所用的方法论证严谨,推倒完善,无懈可击,同时,这实际上就是西方数学界所谓的“卡瓦列里原理”。 三、卡瓦列里原理 在数学上，卡瓦列利以他的不可分量方法而闻名。这个方法的基本思想是：线是有无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构成的，立体是由无穷多个平面构成的。点、线、面分别就是线、面、体的不可分量。卡瓦列利通过比较两个平面或立体图形的不可分量之间的关系来获得这两个平面或立体图形的面积或体积之间的关系，这就是著名的卡瓦列利定理（又称卡瓦列利原理）。
山东省日照市2020届高三数学三模试题 文(含解析)
2020年山东省日照市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=2﹣i，则z1?z2=（） A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i 2．已知集合A={（x，y）|y=x+1}，集合B={（x，y）|y=2x}，则集合A∩B等于（）A．（1，2）B．{1，2} C．{（1，2）} D．? 3．若sin（π﹣α）=，且≤α≤π，则cosα=（） A．B．﹣C．﹣D． 4．已知实数x，y满足不等式组，则2x﹣y的取值范围是（） A． B． C． D． 5．命题p：sin2x=1，命题q：tanx=1，则p是q的（） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知a=21.2，b=（）﹣0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（） A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 7．某一算法程序框图如图所示，则输出的S的值为（）
A．B．C．D．0 8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．60﹣12π B．60﹣6πC．72﹣12π D．72﹣6π 9．已知角x始边与x轴的非负半轴重合，与圆x2+y2=4相交于点A，终边与圆x2+y2=4相交于点B，点B在x轴上的射影为C，△ABC的面积为S（x），函数y=S（x）的图象大致是（） A．B．C． D． 10．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|=2，|AD|=1，|CD|=2x其中x∈（0，1），以A，B 为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈（0，1）不等式t＜e1+e2恒成立，则t的最大值为（） A．B．C．2 D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为．
2017年安徽省合肥市高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2017年安徽省合肥市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合P={x∈R|x＞0}，Q={x∈Z|（x+1）（x﹣4）＜0}，则P∩Q=（）A．（0，4） B．（4，+∞）C．{1，2，3}D．{1，2，3，4} 2．设i为虚数单位，复数的虚部是（） A．B．C．1 D．﹣1 3．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 4．若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，则平移后的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称 C．关于点对称D．关于直线对称 5．若实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最大值为（） A．﹣9 B．﹣3 C．﹣1 D．3 6．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于 A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为（） A．1 B．C． D．4 7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设
A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为（） A．4πB．8πC．9πD．36π 9．设圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的圆心为C，直线l过（0，3）与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为（） A．3x+4y﹣12=0或4x﹣3y+9=0 B．3x+4y﹣12=0或x=0 C．4x﹣3y+9=0或x=0 D．3x﹣4y+12=0或4x+3y+9=0 10．一个几何体的三视图如图所示（其中正视图的弧线为四分之一圆周），则该几何体的表面积为（） A．72+6πB．72+4πC．48+6πD．48+4π 11．从区间[﹣2，2]中随机选取一个实数a，则函数f（x）=4x﹣a?2x+1+1有零点的概率是（） A．B．C．D． 12．设函数f（x）=，（e是自然对数的底数），若f（2）是函 数f（x）的最小值，则a的取值范围是（） A．[﹣1，6]B．[1，4]C．[2，4]D．[2，6]
河北省石家庄市2020年高二(下)数学期末综合测试试题含解析
河北省石家庄市2020年高二(下)数学期末综合测试试题 一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A ，B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 分析：利用祖暅原理分析判断即可. 详解：设A ，B 为两个同高的几何体， :p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等． Q 如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等， ∴根据祖暅原理可知，p 是q 的充分不必要条件. 故选：A. 点睛：本题考查满足祖暅原理的几何体的判断，是基础题，解题时要认真审查，注意空间思维能力的培养. 2．若二次函数2f x ax bx c =++（）图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数f x '（）的图象可能是 A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 分析：先根据二次函数的判断出a b ，的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可． 详解：∵函数2 f x ax bx c （）=++的图象开口向上且顶点在第四象限，0002b a b a ＞，＞，＜，∴-∴ 2f x ax b Q （），'=+
祖暅原理的教学设计
祖暅原理的教学设计 一、祖暅原理及其对教学过程的启发 1.从平面图形到空间图形的类比推理师：（多媒体演示）观察并思考 问题：等底等高的图形面积有什么关系？学生讨论后小结：等底等高 的图形面积相等。师：我们发现，用平行于底边的任意直线去截这两 个图形，截得的两条线段始终相等。那这个条件是否是两个图形面积 相等的充要条件呢？学生探究，教师指导：点构成线，线构成面，用 平行于底边的任意直线去截图形，截得的两条线段始终相等，那么这 些相等线段组成的面积也相等。类比猜想：把平面图形拓展到几何体，这个结论还成立么？ 2.祖暅原理的引入情境导入：取一摞作业本置于桌面，用手轻推使之 发生形变。师：推动以后这摞作业本的体积改变了么？推动前后还有 什么共同点？生：体积、高度、本数都没有改变。师：回忆平面图形 等积定理，讨论并归纳立体几何体等积定理。学生归纳，教师指导， 引入祖暅原理。师：祖暅原理只能判断两个几何体体积是否相等，如 果求几何体的体积，还必须转化为常见几何体。 3.从特殊到一般，从已知到未知师：我们学过特殊棱柱———长方 体的体积公式，同学们回忆一下。生：设长方体的长、宽、高分别为、、，那它的的体积为。 4.利用祖暅原理，结合下图，推导棱柱体积公式图1学生小组合作： 做一个与棱柱等底等高的长方体，用一个平行于底面的平面去截这两 个几何体时，截面总是相等，则这个长方体与棱柱体积相等。棱柱体 积公式为：。教师补充：利用祖暅原理求棱柱体积时，需要构造与之 等底等高的几何体，且需要满足两个条件：一是已知其体积公式，二 是用一个平行于底面的平面去截这两个几何体，截面总是相等。 二、祖暅原理的教学建议
第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件习题和答案详解
1．(2019·人大附中段考)命题“若x 2<1，则－1
高中数学教材中的数学文化归纳分析
高中数学教材中的数学文化分析 ---以人教版A版为例 摘要：高中数学教材中所涉及到的数学文化有哪些，发挥了怎样的作用？展现出了数学中哪些有趣的引人入胜的故事及数学知识？教材中涉及到的数学文化是否还应该得到进一步的完善？本文通过对教材中涉及到的数学文化具体分析，解决上面提出的三个问题. 关键词：高中数学教材数学文化 文化一词虽被广泛提及，但始终没有一个准确的定义.《辞海》中对文化是这样定义的，从广义上来说指的是人类在社会历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富的总和；从狭义上来说指的是社会意识形态以及与之相适应的制度和组织结构.对数学文化的解释，从狭义上来说是数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成与发展；广义上指除以上所述外还含有数学史、数学美、数学教育、数学与人文的交叉，以及数学的各种文化间的关系. 高中数学内容庞大，涉及到众多的数学领域，包括代数、平面几何、立体几何、解析几何、序列、向量、排列组合、统计、三角函数等等.这些庞杂的数学知识里有着众多妙趣丛生的数学故事与数学人物.它们自身不断发展和自我完善的过程也是很值得老师和学生去学习和体会的. 高中数学教材人教版A版中插入了很多数学文化，其中不乏众多精彩的片段.在每一章后面都有阅读与思考，学生们可以在课上或闲暇之余细细品读，不但开阔自己的数学视野还能提高对本章多学内容的认识. 1 人教版A版中所提及的数学文化 1.1 人教版A版必修1主要涉及到的数学文化 第一章是集合与函数概念，在第二节末尾讲述了函数概念的发展历程.其中提到“function”一词最初由德国数学家莱布尼茨在1692年使用.1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数.”德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述.
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积 ［教学内容、地位］ 在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖暅原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解解决空间几何体问题的思想方法,逐步提高解决空间几何体问题的能力。 ［教学编排依据］ 主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力. 教学目标的确定 （1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法； （2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想； （3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式； （4）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.拓展爱国主义情感教育， 3、教学的重点、难点 （1）柱体、锥体、球体的体积公式的探究 （2）学生探究能力的培养 二、说教法和几何画板和PPT课件导入与学法，探索实际案例。 教法： 1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性教学. 2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持. 学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了探究性学习
高考理科数学专项模拟解析汇编集合与常用逻辑用语学生版
专题01 集合与常用逻辑用语 1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a = A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4 2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则 ()U A B = A ．{?2，3} B ．{?2，2，3} C ．{?2，?1，0，3} D ．{?2，?1，0，2，3} 3．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4．【2020年高考天津】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合 {1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =∩ A ．{3,3}- B ．{0,2} C ．{1,1}- D ．{3,2,1,1,3}--- 5．【2020年高考北京】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = A ．{1,0,1}- B ．{0,1} C ．{1,1,2}- D ．{1,2} 6．【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 湖南省长郡中学2019届高三12月（第四次）月考数学（理） 试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.在复平面上满足条件|z-2i|+|z+1|=的复数z所对应的点的轨迹是（） A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 圆 2.若集合A={x||x|＞1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R），则（?U A）∩B=（） A. B. C. D. 3.某同学用收集到的6组数据对（x i，y i）（i=1，2，3，4，5，6）制作成如图所示的 散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程： =x+，相关指数为r．现给出以下3个结论：①r＞0；②直线l恰好过点D；③ ＞1；其中正确的结论是（） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 4.数列2，，，，，，的前n项之和为：（） A. B. C. D. 5.曲线y=xe x+1在点（0，1）处的切线方程是（） A. B. C. D. 6.在△ABC中，D为AB的中点，点E满足=4，则=（） A. B. C. D. 7.将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（） A. B. C. D. 8.曲线+=1与曲线＞的（） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 9.设f n（x）=1+x+x2+…+x n（x＞0），其中n∈N，n≥2，则函数G n（x）=f n（x）-2在 （，1）内的零点个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 与n有关 10.如图，在正六边形ABCDEF内随机取一点，则此点取自 阴影部分的概率是（） A. B. C. D. 11.直线y=-与椭圆C：＞＞交于A、B两点，以线段AB为直径的 圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为（） A. B. C. D. 12.在空间直角坐标系O-xyz中，O为原点，平面xOz内有一平面图形a由曲线z= 与x轴围成，将该图形按空间向量=（x a，y a，z a）=（0，2，-2）进行平移，平移过程中平面图形a所划过的空间构成一个三维空间几何体，该几何体的体积为（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.若x，y满足约束条件，目标函数z=2x+3y的最小值为2，则a=______． 14.数列1，，，……（n∈N*）的前49项和为______． 15.把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人 至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为 ______．（用数字作答） 16.设函数f（x）=e x（sin x-cos x）（0≤x≤2015π），则函数f（x）的各极大值之和为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a sin B=b． （1）求角A的大小； （2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积． 18.如图，四棱锥P-ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面 ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点（不含端 点），点N在线段BD上，且PM=DN． （1）求证：直线MN∥平面PCD； （2）若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所湖南省长郡中学2019届高三12月(第四次)月考数学(理)试题(解析版)