第二章 声波的基本性质及其传播规律

上式表示沿x方向传播的平面波。又因声波只含有单频ω，没 有其他频率成分，所以叫简谐平面声波， P0为声压的幅值， (ωt- kx ）为其相位，它描述在不同地点x 和各个时刻t声波运 动状况。
二、声速、质点振动速度和声阻抗率
1、声速：下面由(2－7)式说明声波的传播过程。 当(2－7）式中时间由t0增加至t0＋Δt时，原来的声压 状态(例如,声压极大,或最稠密层)不再处于x0处,而是传 播到x0＋Δx处,这样在t0＋Δt时刻x0＋Δx处的声压应与t 时刻x处的声压状态(相位)相同,于是有 P0cos (ωt0 – kx0）= P0 [cos (ω(t0＋Δt) – k(x0＋Δx )] 这就要求 ωΔt－k Δx＝0 因为k ＝ω/c, 所以 x
在空间某些位臵振动始终加强，在另一些位臵振 动始终减弱，此现象称为干涉现象。这种具有相 同频率、相同振动方向和恒定相位差的声波称为 相干波。
图2.7 波的干涉 a 相位相同 b 相位相差1800
当 两列相干波在同一直线上沿相反方向传播而相遇 叠加时，出现合成声波的声压幅值PT随着空间位臵 不同有极大值和极小值的分布，称为驻波。驻波是 干涉现象的特例。当合成驻波的两列波的声压幅值 相等时，驻波现象最明显。 合成声波的声压幅值有一极大值和一极小值，前者 称为波腹，后者称为波节。当 =0，〒2π， 〒4π，…时，PT为极大值， PTmax=│P01+P02│；在 另外一些位臵，当 =〒π，〒3π，〒5π，…时， PT为极小值， PTmin=│P01-P02│。
由声波的叠加原理并运用三角函数关系计算可得两列声 波在该点合成的总声压为：
p＝p1＋p2＝ P01cos(ωt-φ1)＋ P02cos(ωt-φ2)＝ PTcos(ωt-φ)
式中
2 2 PT2 P01 P02 2 P01P02 cos( 2 1 )
P01 sin 1 P02 sin 2 tan P01 cos1 P02 cos 2
W Pe2 I U e2 c PeU e S c
在声场中，单位体积中所具有的声能量称为声能密 度，一般取其时间平均值，用 D表示。假设有一单 位截面的圆柱，长度为L见图2.6。平面声波在t＝0 时从左端正向入射，一秒钟后声波到达右端，L＝c， 这时整个圆柱体内充满声能量
E D ( L 1)
图2.6 声波的声能密度
这些能量是在一秒中内充满的，因此又应该为 E＝I· 1 1· 上两式消去E得
P I I D L c c
2 e 2
2.3 声波的叠加 2.3.1 相干波和驻波 假定几个声源同时存在，在声场某点处的声压分别 为p1 ,p2 ,p3 ,……,pn,那么合成声场的瞬时声压p为： p=p1+p2+…+pn= p 式中：pi----第i列的瞬时声压。
力F作用在物体上所做的功率W＝Fu，u为物体的运动速度， 现在作用力F为声压p所引起，它作用在媒质中的一小块体积 ΔV上，如图2.5 所示， ΔV ＝SΔx，S为体积元的截面积，则 有F＝ p S，于是得到声压作用在ΔV上的瞬时声功率为 W＝S pu 由(2－7)和(2－9)式可知，声波作用时，声压p与质点振动速 度u都是交变的。一般情况，人耳对于声的感觉是一个平均 效应，听不出某一瞬时值，仪器测量的也是对一定时间的平 均值，所以取W的时间平均值为
第二章 声波的基本性质及其传播 规律
2.1 声波的产生及描述方法 2.1.1 声波的产生
声源：凡能产生声音的振动物体统称为声源。 声源的振动就是物体（或质点）在其平衡位臵附 近进行的往复运动。
声波的形成：当声源振动时，就会引起声源周围 弹性媒质—空气分子的振动。这些振动的分子又 会使其周围的空气分子产生振动。这样，声源产 生的振动就以声波的形式向外传播。 在噪声控制工程中主要涉及空气媒质中的空气声。 在空气中，声波是一种纵波，这时媒质质点的振 动方向是与声波的传播方向相一致的。反之，将 质点振动方向与声波传播方向相互垂直的波称为 横波。
声 射 线 S S
声 射 线
波阵面 （a）立体图
波阵面 （b）截面图
图2-4 球面声波声线立体图
2.2.1 平面声波 声压的测量比较容易实现，因此声压p已成为普遍用 来描述声波性质的物理量。 因为声传播过程中，在同一时刻，不同体积元内的 压强p都不同；对于同一体积元，其压强p又随时间 而变化，所以声压p一般是空间和时间的函数，即p ＝p(x，y，z，t)，则在均匀的理想流体媒质中的小 振幅声波的波动方程是：
2 p 1 2 p 2 2 2 x c t
设声源只做单一频率的简谐振动，位移是时间的正弦 或余弦函数．那么媒质中质点也随着做同一频率的简 谐振动。设x＝0原点处的声压为 p（0,t）=P0cosωt ω=2πf 为振动圆频率，f为频率，那么声场中任一点x 处的声压幅值也应当是P0,因为在理想媒质中声波无 衰减，同样x点处的声波频率也是f，但x点处的相位 却比0点落后了。x点的声波是由0点传递来的，若传 播所需时间为t’，那么在t 时刻x点的声压是(t－t’)时刻 0点的声压，即有 p（x,t）=P0cos[ω (t－t’)]
1 p u dt x
将(2－7)式代入上式，经计算使得到沿正x方向传 播的简谐平面声波的质点速度为：
P0 ux cos(t kx) U 0 (t kx) （2－9） c
式中U0＝P0 /ρc为质点振动振幅。
由此可见质点振动速度u与声波传播速度c不同，它 们的关系是，质点以振速u进行振动，而这种振动 过程以声速c传播出去。
图2.5 声场中媒质单元体受力图
由于该力的作用使体积元ΔV产生加速度，在我们所 讨论的一般声音的情况下，由牛顿第二定律得
Sp V u t
u 式中ρ为媒质的密度， t
又由于 所以 写成微分形式为
或写成积分形式
为加速度。 ΔV ＝SΔx
p u x t
p u x t
2 p 2 p 2 p 1 2 p 2 2 2 2 2 x y z c t
一、平面声波含义 当声波的波阵面是垂直于传播方向的一系列平面时， 就称其为平面声波。 定义声音传播方向为x，声场在空间的y、z两个方向 上是均匀的，即声压、质点振动速度等物理量在垂 直于x轴的同一平面上处处相等，不随y、z值而变化。 就是说在同一x的平面上各点相位相等。这时，三维 问题就只有一维了，可用一维坐标x来描述声场。 在均匀理想流体媒质中，小振幅平面声波的波动方 程是：
n i 1 i
设两声源频率相同，到声场中某点s的距离分别为x1 和x2，则两列波在s点的瞬时声压分别为 p1＝P01cos(ωt－kx1)=P01cos(ωt-φ1) p2＝P02cos(ωt－kx2)=P02cos(ωt-φ2) 式中 P01、P02－－第一列波和第二列波的声压幅值； 2 φ1、 φ2－－1 kx1 x1 ，2 kx2 2 x2 ，是第一 列波和第二列波的初相位。
c t
也就是说，x0处t0时刻的声压经过Δt后传播到 x0+Δx处，整个声压波形以速度c沿x正方向传播。 声速c是波相位的传播速度，也是自由空间中声 能量的传播速度，而不是空气质点的振动速度u。
2. 质点的振动速度 声源的振动是通过媒质质点的振动向外传播的。声 速c代表的是声振动在媒质中的传播速度，它与媒 质质点本身的振动速度u是完全不同的两个概念。 质点的振动速度u可由力学中的牛顿定律得出。 如图2.5，在存在声波的媒质中取小体积元ΔV，由 于受声波的作用，在ΔV的两边所受声压分别为p和 p＋Δ p ，设ΔV 截面积为S，则体积元ΔV 受到的总 合力为 p S－（ p＋Δ p ） S＝－ S Δ p
式中 Pe P0 / 2，U e U 0 / 2 ，分别为声压和质点振动速 度的有效值，又称为方均根值。
其有效声压的数学表达式为：
1 pe T

T
0
p 2 (t )dt
将（2－7）式代入，可得
Pe P0 / 2
同理可得
Ue U0 / 2
在自由声场中，单位时间在垂直于声波的传播方 向上单位面积所通过的声能量，称为声强，用I 表示。由（2－10）可得
球面声波与平面声波的区别在于幅值P0不再保持恒 定，振幅随传播距离r的增加而减少，即离开声源越 远，声压越小，声音越轻。
2、柱面声波 波阵面是同轴圆柱面的声波称为柱面声波，其 声源一般可视为“线声源”。 飞行的子弹、炮弹、飞机或行驶的车辆所发出 的噪声可近似为柱面波。
2.2.3 声能量、声强、声功率 1、声能量 声波在媒质中传播，一方面使媒质质点在平衡位臵 附近往复运动，产生动能；另一方面又使媒质产生 了压缩和膨胀的疏密过程，使媒质具有形变的势能。 这两部分能量之和就是由于声扰动使媒质得到的声 能量，以声的波动形式传递出去。所以声波是媒质 质点振动能量的传播过程，这一能量可从力学中作 用在物体上的力所做的功率推导出。
2.2.2 球面声波、柱面声波 1、球面声波 当声源的几何尺寸比声波波长小得多时，或者测量 点离开声源相当远时，则可以将声源看成一个点， 称为点声源。 在各向同性的均匀媒质中，从一个表面同步胀缩的 点声源发出的声波是球面声波，也就是在以声源点 为球心，以任何r值为半径的球面上声波的相位相同。
1
由于这两列波频率相同，所以它们之间的相位差
(t 1 ) (t 2 ) 1 2 k ( x1 x2 ) 2

( x1 x2 )
△φ与时间t无关，仅与空间位臵有关，对于固定 的地点，x1、x2也一定，所以△φ为常数，两个 声波间的相位差若保持固定，则发生声波的干涉 现象。
而媒质中声波传播速度为c，则： t’= x/c 代入上式则有 p（x,t）=P0cos[ω (t－x/c)] 为方便起见，定义（圆）波数为 k＝ω/c ＝2π/λ 其物理意义是长为2πm的距离上所含的波长λ的数目， 于是p(x,t)又可以写成： p(x,t)=P0cos (ωt- kx ） （2－7）