《圆心角和圆周角》PPT课件2
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九年级数学上册第28章圆：圆心角和圆周角第2课时ppt课件新版冀教版
∴ ∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗?
B
圆上一条弧O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆 心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
. O
B
C
1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的 一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
解:∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A.
A C
∵OA=OB，
●O
∴∠A=∠B.
B
∴∠AOC=2∠B.
即∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗?
圆周角的定义及性质
圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?
.A
A.
..A
O
.
.
O
O
B
C
B
C
B
C
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？ 角 的两边和圆是什么关系？
你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆上,两边都与
圆相交的角叫圆周角.
A
特征： ①角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆 心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD = ∠AOD,
AD C
●O
∠CBD = ∠COD,
B ∴∠ABC = ∠AOC.
B
圆上一条弧O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆 心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
. O
B
C
1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的 一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
解:∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A.
A C
∵OA=OB，
●O
∴∠A=∠B.
B
∴∠AOC=2∠B.
即∠ABC = ∠AOC. 你能写出这个命题吗?
圆周角的定义及性质
圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?
.A
A.
..A
O
.
.
O
O
B
C
B
C
B
C
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？ 角 的两边和圆是什么关系？
你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆上,两边都与
圆相交的角叫圆周角.
A
特征： ①角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆 心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD = ∠AOD,
AD C
●O
∠CBD = ∠COD,
B ∴∠ABC = ∠AOC.
北师大版九年级数学下册.2：圆周角和圆心角的关系2课件
解∵AB为直径 ∴∠BCA=90° 在Rt△ABC中， ∠ABC=30°，AB=10cm
∴
B O
C
A
议一议
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径， 请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
D
A
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径
∴∠ABC=90°,∠ABC=90°
O
∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°
视察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什
么？
A
解：弦BC是直径。
连接OC、OB
∵∠BAC=90° ∴∠BOC=2∠BAC=180°
B
O
C
（圆周角的度数等于它所对弧上的
圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。在书上画记，背读
3.4 圆周角和圆心角的关系 第二课时
课前复习
1.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 2.圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.圆周角定理推论: 同弧 (等弧)所对的圆周角相等.
4.在同圆或等圆中,
Dபைடு நூலகம்
B E
●O
相等的圆周角所对的弧相等. 5.在同圆或等圆中,
4.如图，⊙O1 与⊙O2 都经过 A，B 两点，且点 O2 在⊙O1 ︵
上，点 C 是 AO2 B 上的一点（点 C 不与 A，B 重合），AC 的延长线交⊙O2 于点 P，连接 AB，BC，BP。 （1）根据题意将图形补充完整；
︵ （2）当点 C 在 AO2 B 上运动时，图中大小不变的角有哪
2圆心角和圆周角第二课时-冀教版九年级数学上册课件
课堂小结
定义：顶点在圆上，两边均与 圆相交的角.
圆
周
角
同弧所对的圆周角是圆心角的一半
性质 直径所对的圆周角是直角
90°的圆周角所对的弦是直径
同学们再见
三个作为结论，写出所有正确的命题，并加
以证明.
A
D C
BE
典例精析
①AB是直径;②D是BC的中点;③AB=AC.
命题一：若AB是直径，
A
D是BC的中点，则
AB证=A明C.：连接AE
D
∵AB是直径
BE
C ∴∠AEB=90°
又知D是BC的中点
∴AE垂直平分BC
∴AB=AC
典例精析
①AB是直径;②D是BC的中点;③AB=AC.
上，∠OAB=46°.求∠ACB的度数.
C
分析：构造同弧所对的圆心角
证明：连接OB
O·
∵OA=OB ∴∠OBA=∠OAB=46°
∴∠AOB=180°-2∠OAB
A
B
=180°-2×46°=88°
∵∠ACB与∠AOB同对⌒AB
ACB 1 AOB 44 2
新课学习 探究三：
1.直径所对的圆周角是多少度？ 2.90°的圆周角所对的弦是直径吗？
C 如图，直径AB所对的圆周角
是∠ACB
A
O·
弧ADB所对的圆心角是∠AOB
B 所对的圆周角是∠ACB
ACB 1 AOB 1 180 90
D
2
2
即直径所对的圆周角是直角.
新课学习 探究三：
1.直径所对的圆周角是多少度？ 2.90°的圆周角所对的弦是直径吗？
如图，弦AB所对的圆周角是∠ACB
C 弧ADB所对的圆心角是∠AOB
28.3 圆心角和圆周角 - 第2课时课件(共22张PPT)
例题解析
思考
直径所对的圆周角是多少度？９０°的圆周角所对的弦是直径吗？
C1
A
O
B
C2
C3
知识点3 圆周角定理的性质
直径所对的圆周角是直角． 90°的圆周角所对的弦是直径.
显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.
性质
随堂练习
C
1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( )
课堂小结
圆周角
圆周角的概念
圆周角定理的性质
圆周角定理
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
（3）当圆心O在∠APB 的内部和外部时，（2）中的结论还成立吗？和同学进行交流.
证明：如图，连接 PO 并延长交⊙O 于点 D．∵PD过圆心O，
A
B
O
P
D
第三种情况请同学们自行证明
A
B
O
P
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理
例2
如图，点A，B，C均在⊙O上，∠OAB＝46°，求∠ACB的度数.
解：如图，连接OB.∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵∠OAB＝４６°，∴∠AOB=１８０°－２∠OAB＝１８０°－２×４６°＝８８°．∴∠ACB=½∠AOB＝４４°．
第 二十八章 圆
28.2.探究并掌握圆周角定理及其性质.3.利用圆周角定理解决简单的几何问题.
学习重难点
圆周角定理及性质.
运用圆周角定理及性质解决几何问题.
难点
重点
1. 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.顶点在圆心的角叫圆心角, 图中∠BOC 是圆心角.2.如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
思考
直径所对的圆周角是多少度？９０°的圆周角所对的弦是直径吗？
C1
A
O
B
C2
C3
知识点3 圆周角定理的性质
直径所对的圆周角是直角． 90°的圆周角所对的弦是直径.
显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.
性质
随堂练习
C
1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( )
课堂小结
圆周角
圆周角的概念
圆周角定理的性质
圆周角定理
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
（3）当圆心O在∠APB 的内部和外部时，（2）中的结论还成立吗？和同学进行交流.
证明：如图，连接 PO 并延长交⊙O 于点 D．∵PD过圆心O，
A
B
O
P
D
第三种情况请同学们自行证明
A
B
O
P
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理
例2
如图，点A，B，C均在⊙O上，∠OAB＝46°，求∠ACB的度数.
解：如图，连接OB.∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵∠OAB＝４６°，∴∠AOB=１８０°－２∠OAB＝１８０°－２×４６°＝８８°．∴∠ACB=½∠AOB＝４４°．
第 二十八章 圆
28.2.探究并掌握圆周角定理及其性质.3.利用圆周角定理解决简单的几何问题.
学习重难点
圆周角定理及性质.
运用圆周角定理及性质解决几何问题.
难点
重点
1. 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.顶点在圆心的角叫圆心角, 图中∠BOC 是圆心角.2.如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
圆周角和圆心角演示课件
A
A
=
1 2
∠AOC.
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
•16
练习： D
1.求圆中角X的度数
C 120°
O
.O
C
70° x
.O
X
A
B
B
A
BA
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=_1_3_0°。
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________
A A
O
O
B
C
B
C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
•10
想一想
类比圆心角探知圆周角
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
A
A
A
C
C
C
●O
●O
●O
B
B B
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间有的关系.
•11
图１ 不是
图２
不是
图４
2、指出图中的圆周角。
不是
是
图３
不是
图５
•7
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧所对的
•8
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC和 圆周角∠A是同对一条弧。
A
A
O B
A O
【课件二】3.4.2圆周角和圆心角的关上课课件
如图,四边形ABDC为⊙O的内接四边形, 已知∠BOC为100°,求∠BAC及∠=130°
如图,BC是直径，则∠DBC＋∠BAE等 于：( B ) (A)60° (B)90° (C)120° (D)180°
求证：圆内接平行四边形是矩形。
1．如果一个多边形的所有顶点都 在同一个圆上,这个多边形叫做圆 内接多边形。这个圆叫做这个多 边形的外接圆。 2．圆内接四边形性质定理：圆的内 接四边形的对角互补，并且任何一个 外角都等于它的内对角。这一结论在 探求角相等、线段相等或互补关系等 时尤为重要，常常要用到。
B
C A
(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm, C为⊙O上一点,∠BAC=30°, 则BC= 5 cm
●
O C
B
3.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
B
●
A
O
C
E
若一个多边形各顶点都在同一个圆 上，那么，这个多边形叫做圆内接 多边形，这个圆叫做这个多边形的 外接圆。
3.4.2圆周角和圆心角 的关系
知识回顾
圆周角 顶点在圆上,它的两边分
别与圆还有另一个交点,像这样的 角,叫做圆周角.
B
●
A
O
C
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
A
C
●
A C
●
A C B
●
O B
O
O
B
⌒ 如图1,圆中一段弧(AC)对着许多个圆周 角,这些个角的大小有什么关系?为什么? ⌒ ⌒ 如图2,圆中AB=EF,那么∠C和∠G的大小 有什么关系?为什么? C
Z.x.x. K
D
B
圆周角和圆心角的关系PPT课件(北师大版)
3．如图，经过原点O的⊙P与x，y轴分别交于A，B两点，点C是劣弧OB 上一点，则∠ACB的度数是( C ) A．80° B．100° C．90° D．无法确定
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上， ∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于_______36°
5．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，CD是直径，∠B＝40°，则 ∠ACD的度数是_5_0_°_．
6．(202X·温州模拟)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至 点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵CD＝CB， ∴AD＝AB，∴∠B＝∠D (2)设 BC＝x，则 AC＝x－2.在 Rt△ABC 中， AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍 去)．∵∠B＝∠E，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE.∵CD＝CB，∴CE＝CB ＝1＋ 7
︵︵ 9．如图，已知∠EAD 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，并且BD＝DC. 求证：AD 平分∠EAC.
解：∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠EAD＝∠DCB.又∵B︵D＝D︵C， ∴∠DAC＝∠DCB.∴∠EAD＝∠DAC，∴AD 平分∠EAC
10．(202X·安徽模拟)如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的 点．在下列判断中，不正确的是( C ) A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
第三章 圆
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上， ∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于_______36°
5．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，CD是直径，∠B＝40°，则 ∠ACD的度数是_5_0_°_．
6．(202X·温州模拟)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至 点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵CD＝CB， ∴AD＝AB，∴∠B＝∠D (2)设 BC＝x，则 AC＝x－2.在 Rt△ABC 中， AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍 去)．∵∠B＝∠E，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE.∵CD＝CB，∴CE＝CB ＝1＋ 7
︵︵ 9．如图，已知∠EAD 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，并且BD＝DC. 求证：AD 平分∠EAC.
解：∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠EAD＝∠DCB.又∵B︵D＝D︵C， ∴∠DAC＝∠DCB.∴∠EAD＝∠DAC，∴AD 平分∠EAC
10．(202X·安徽模拟)如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的 点．在下列判断中，不正确的是( C ) A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
第三章 圆
圆周角和圆心角的关系ppt课件
50°，则∠EBC+∠ADC 的度数为 _______.
-18-
3.4 圆周角和圆心角的关系
解析：如解析图，连接 AB，DE，则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°，∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上 ，∴四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°． 答案：155° 题型解法：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
-10-
3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆
-11-
3.4 圆周角和圆心角的关系
A． 20° B． 40°
C． 50° D． 70°
-7-
3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图，已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上，且 AC=6，BC=8，AB=10， 则该圆的半径长是 ________.
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4. 如图，AB=BC，∠ABC =120°，AD 为 ⊙O 的直径 ，AD=6，那么 AB 的
值为 ______.
-8-
3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图，AB=AC，AB 是直径，求证：BC=2DE． （第 5 题图）
-18-
3.4 圆周角和圆心角的关系
解析：如解析图，连接 AB，DE，则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°，∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上 ，∴四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°． 答案：155° 题型解法：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
-10-
3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆
-11-
3.4 圆周角和圆心角的关系
A． 20° B． 40°
C． 50° D． 70°
-7-
3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图，已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上，且 AC=6，BC=8，AB=10， 则该圆的半径长是 ________.
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4. 如图，AB=BC，∠ABC =120°，AD 为 ⊙O 的直径 ，AD=6，那么 AB 的
值为 ______.
-8-
3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图，AB=AC，AB 是直径，求证：BC=2DE． （第 5 题图）
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16．(12分)如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC 交⊙O于点E，∠BAC＝45°. (1) 求∠EBC的度数； (2)求证：BD＝CD.
(1)连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴BE⊥AC，AD⊥BC，又∵AB＝AC， ∴∠BAD＝∠CAD，∴∠EBC＝∠CAD＝22.5° (2)∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝CD.
8．(4 分)如图，点 O 为优弧A︵CB所在圆的圆心， ∠AOC＝108°，点 D 在 AB 的延长线上，BD＝BC， 则∠D＝___2_7_°___．
9．(3 分)(2013·苏州)如图，AB 是半圆的直径，点 D 是A︵C的中点，
∠ABC＝50°，则∠DAB 等于( C )
A．55°
B．60°
5．(3分)如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD
＝( ) D A．20° B．40°
C．50°
D．80°
6．(3分)如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大
正方形，A，B，O是小正方形的顶点，⊙O的半径 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuwen/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 化学课件：/kejian/huaxue/
∠POF＝x°，则x的取值范围是( B )
A．60≤x≤120
B．30≤x≤60
C．30≤x≤90
D．30≤x≤120
13．如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN＝CO时，∠NMB的度 数是____3_0_°__．
14．(10分)在⊙O中，半径为5 cm，弦AB＝5 cm，求弦AB所对圆周角 的度数． 解：连接OA，OB.∵半径为5cm，AB＝5cm，∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°.∴弦AB所对的劣弧所对的圆周角的度数为30°，弦AB 所对的优弧所对的圆周角的度数为150°.
C．65°
D．70°
10．(4分)如图，已知AB是⊙O的直径，BC为 弦，∠ABC＝30°，过圆心O作OD⊥BC交弧 BC于点D，连接DC，则∠DCB＝________．
30°
11．(6分)如图所示，AB是直径，D是圆上任意一点，D不与A，B重 合，连接BD，并延长到点C，使DC＝DB，连接AC，求证：AC＝AB.
28.3 圆心角和圆周角(二)
1．顶点在圆上，两边都与圆____相__交__的角叫做_圆__周__角___． 2．圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_一__半_____． 3．半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角_____；90°的圆周角所对的弦 是直__径______．
1．(3分)如图，∠APB是圆周角的是( D ) 2．(4分)如图所示，圆周角有__∠_A__，__∠_B_，__∠__C_，__∠__D________．
17．(14分)如图①，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交 AB，AC于点D，E. (1)求证：△DOE是等边三角形； (2)如图②，若∠A＝60°，AB≠AC，则(1)的结果是否成立？如果成 立，请给出证明，如果不成立，请说明理由．
(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.又在△BOD与△COE 中 有 BO ＝ OD ， OC ＝ OE ， ∴ △ BOD ， △ OCE 均 为 等 边 三 角 形 ． ∴ ∠ BOD ＝ ∠ EOC ＝ 60° ， ∴ ∠ DOE ＝ 60°. 又 ∵ OD ＝ OE ， ∴△DOE为等边三角形 (2)成立，证明：连接BE，BE⊥AC，又∵∠A＝60°，∴∠ABE＝ 30°，∴∠DOE＝60°.又∵OD＝OE，∴△DOE为等边三角形
3．(3分)如图所示，在⊙O中，∠BOD＝30°，OD∥AB，AD，
OB相交于点C，那么∠CD的度数是( C )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
4．(3分)(2013·成都)如图，点A，B，C在⊙O上， ∠A＝50°，则∠BOC的度数为( ) D A．40° B．50° C．80° D．100°
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为1，P是⊙O上一点，且位于右上方的小正方形内，
则∠APB等于( ) B
A．30° B．45° C．60° D．90°
7 ． (4 分 ) 如 图 ， AB 是 ⊙ O 的 直 径 ， 点 D 在 ⊙ O 上 ， ∠ AOD ＝ 130° ， BC∥OD交⊙O于点C，则∠A＝__4_0_°____.
证明：连接AD，∵AB是直径，∴AD⊥BC，又∵CD＝BD，∴AC＝ AB
12．如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的
一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重
合 ． 将 三 角 板 ABC 沿 OE 方 向 平 移 ， 使 得 点 B 与 点 E 重 合 为 止 ． 设
15．(12分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O 上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD. (1)求证：BD平分∠ABC； (2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.
证明(1)∵AB 为直径，∴BC⊥AC，又 OD⊥AC，∴OD∥BC，∴∠CBD ＝∠ODB，又 OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∠CBD＝∠OBD，∴BD 平分∠ABC (2)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，∴∠AOE＝60°，∴∠A＝30°， 又∠BCA＝90°，∴BC＝12AB＝OD