量子力学作业

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x
(3) Qn = 1 波节在两端，两波节中间处 波节在两端，
点的几率最大。 即 x=a/2 点的几率最大。
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5. 在一维无限深势阱中运动的粒子，其德布罗 在一维无限深势阱中运动的粒子， 意波可类比于一个两端固定的弦上的驻波， 意波可类比于一个两端固定的弦上的驻波，试用 驻波条件来求一维无限深势阱中粒子的能级。 驻波条件来求一维无限深势阱中粒子的能级。 解：根据驻波条件 λ h hn 2a a = n →λ = →p= = 2 λ 2a n
4.设宽为 的一维无限深势阱中，可知粒子的基态 设宽为a的一维无限深势阱中 设宽为 的一维无限深势阱中，
2 π 波函数 ψ ( x) = sin x, 试求粒子处于基态时 a a a 区间中出现的几率； （1）粒子在 0 ≤ x ≤ ） 区间中出现的几率； 4 处的几率密度； （2）粒子出现在 a/4处的几率密度； ψ (x) ） 处的几率密度 （3）在何处粒子出现的几率最大？ ）在何处粒子出现的几率最大？ dW 2 1 (2) w = = ψ ( x) x=a / 4 = a a o dx a 2
A ψ 的共轭复数 解： (x)的共轭复数 ψ ( x) = 1 − ix
∗
(1)
1 2 ∫−∞ψ ψdx = A ∫−∞ 1+ x2 dx = A π = 1 1 ⇒ A= π
* 2
∞
∞
1 1 ψ ( x) = π 1 + ix
A 2.有一粒子沿 轴方向运动 其波函数为ψ ( x) = 有一粒子沿x轴方向运动 有一粒子沿 轴方向运动,其波函数为 1 + ix
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10.在量子力学中，电子自旋量子数 ms 在量子力学中， 在量子力学中 A. 只能取一个值 1 2 B. 只能取一个值 −1 2 C. 只能取两个值 ±1 2 D. 只能取两个值 ± 1
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（二）填空
(1)将此波函数归一化； 将此波函数归一化； 将此波函数归一化 (2)求出粒子按坐标的概率密度分布函数 求出粒子按坐标的概率密度分布函数; 求出粒子按坐标的概率密度分布函数 (3)问在何处找到粒子的概率最大，为多少？ 问在何处找到粒子的概率最大， 问在何处找到粒子的概率最大 为多少？ (2) w =ψ *ψ = 1 1 2 π 1+ x 1 dw (3) = 0 → x = 0, wmax = π dx
a 2a A. 0, , 3 3
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a a 5a B. , , 6 2 6
C.Fra Baidu bibliotek
a 5a , 6 6
a D. 2
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8.微观粒子能够穿透大于其动能的势垒的现象， 微观粒子能够穿透大于其动能的势垒的现象， 微观粒子能够穿透大于其动能的势垒的现象 叫做隧道效应，该效应可解释为（ 叫做隧道效应，该效应可解释为（ ） A. 粒子从别处获得了能量 B. 粒子的动能具有不确定度 C. 在势垒内部存在一个隧道 D. 以上都不对 9.在量子力学中，一维谐振子的最低能量不等于 在量子力学中， 在量子力学中 这是由于（） 零，这是由于（） A. 谐振子的能量只能取离散的值 B. 微观粒子具有波粒二象性 C. 谐振子的势阱内存在一个隧道 D. 谐振子的能级是等间距的
第十九章
一、选择题
量子力学基础
1、按照量子力学的基本原理，微观粒子的状 、按照量子力学的基本原理， 态用（ 来描写。 态用（ ） 来描写。 B. 粒子的坐标和动量 A. 波函数 C. 粒子的德布罗意波长 D. 粒子的能量 2.当微观粒子受到外界力场作用时，它不再是 当微观粒子受到外界力场作用时， 当微观粒子受到外界力场作用时 自由粒子了， 自由粒子了，但仍然有 A. 确定的 能量 B. 确定的坐标和动量 C. 确定的德布罗意波长 D. 波粒二象性
h
5.量子力学的定态薛定谔方程就是哈密顿算符的 量子力学的定态薛定谔方程就是哈密顿算符的 本征方程。方程的本征值表示粒子的_______。 本征方程。方程的本征值表示粒子的 能量 。 6.在一维无限深阱（0<x<L)中,当粒子处于ψ1(n = 1) 在一维无限深阱（ 在一维无限深阱 中 当粒子处于 状态时，发现粒子的几率最大的位置为x=______。 状态时，发现粒子的几率最大的位置为 L/2 。
ψψ ψ( rrψt, )
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3.归一化条件表明，尽管在空间各点粒子出现的 归一化条件表明， 归一化条件表明 几率一般_______， 几率一般 不相同 ，但在粒子运动的整个空间找 等于1 到粒子的几率的总和却总是__________。 到粒子的几率的总和却总是 等于 。
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4.对于不受外力的自由粒子，在运动过程中能量E 对于不受外力的自由粒子，在运动过程中能量 对于不受外力的自由粒子 r 不变 （填变大、不变或变小）。 ）。根 和动量 p _______（填变大、不变或变小）。根 据德布罗意假设， 据德布罗意假设，与自由粒子相联系的物质波的 h E =______， =_____。 频率ν=______，波长λ=_____。 p
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三、计算题
1. 已知某一微观粒子的基态波函数为 α x − α e 2 ϕ0 ( x) =
2 2
π
求其在x轴上概率最大的位置。 求其在 轴上概率最大的位置。 轴上概率最大的位置 2 α −α x e 解： w = ϕ0 ( x) =
2 2
π dw − 2α3 x −α2x2 =0 → e =0 dx π α → x = 0, wmax = π
x ( x > 0) A. u = 0 ( x ≤ 0)
）
1 − x2 (−1 ≤ x ≤ 1) B. u = ) 0 ( x是其它值
C. u = x2
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D. u = sin x
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5.下列哪一项不是薛定谔方程的基本特点 下列哪一项不是薛定谔方程的基本特点 A. 是关于时间的一次微分方程，只需一个初 是关于时间的一次微分方程， 始条件便足以确定其解 B. 包含一个 因子，因此满足此方程的波函数 包含一个i因子 因子， 一般是复函数 C. 非相对论的，不适合 非相对论的，不适合m=0的粒子 的粒子 D. 仅适用于势能不随时间变化的状态
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6.微观粒子的定态是（ 微观粒子的定态是（ 微观粒子的定态是 ） ψ (x) A. 势能是常数的状态 B. 势能不随时间变化的状态 o a 3 C. 动能和势能均为常数的状态 D. 总波函数不随时间变化的状态
2a 3
a
x
7.粒子在一维矩形无限深势阱中运动，设已知粒子 粒子在一维矩形无限深势阱中运动， 粒子在一维矩形无限深势阱中运动 处于某一能态， 的分布如图所示, 处于某一能态，其波函数ψ(x)～x的分布如图所示 ～ 的分布如图所示 那么，粒子出现的几率最大位置是（ 那么，粒子出现的几率最大位置是（ ）。
3. (1) 写出自由粒子的薛定谔方程； 写出自由粒子的薛定谔方程； (2) 验证自由粒子波函数
ψ ( x, y, z, t ) =ψ0e
i − [ Et −( xpx + ypy +zpz )] h
满足上述方程。 满足上述方程。 h2 2 ∂ψ ∇ ψ = ih ：（1） 解：（ ） − 2m ∂t i − [ Et −( xpx + ypy +zpz )] （2）将 ψ ( x, y, z, t ) =ψ0e h ） 代入上述方程 左式
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3.按照波函数的统计解释，对于一个微观粒子， 按照波函数的统计解释，对于一个微观粒子， 按照波函数的统计解释 在某一时刻可以由波函数确定的是 A. 粒子一定在哪个坐标出现 B. 在空间各处找到该粒子的几率 C. 粒子的运动轨道 D. 粒子受到的力 4.下列哪个函数符合波函数的标准化条件（ 下列哪个函数符合波函数的标准化条件（ 下列哪个函数符合波函数的标准化条件
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10.描述原子中电子运动状态的四个量子数是 描述原子中电子运动状态的四个量子数是 n 、 l 、 ml 、 ms ， _____、____、_____、_____，它们分别对应电 子的______________、________________、 子的 主量子数 、 角量子数 、 __________________、_______________。 、 自旋磁量子数 。 磁量子数
1.波函数本身不具有确定的物理意义，而 表示在 波函数本身不具有确定的物理意义， 波函数本身不具有确定的物理意义 单位 体积内出现 t 时刻，在坐标为 x,y,z 处______体积内出现 时刻， 概率 ，称为__________。 的_______，称为 概率密度 。 r 2.波函数 ψ(r , t )必须是 单值 、 _____、有限 的 必须是_____、 连续 、 _____的 波函数 函数。上述条件为波函数的________ 条件。 条件。 函数。上述条件为波函数的 标准
2 2 x 2 x 2 2 x
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i − [ Et −( xpx + ypy +zpz )] h
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4.设宽为 的一维无限深势阱中，可知粒子的基态 设宽为a的一维无限深势阱中 设宽为 的一维无限深势阱中，
2 π 波函数 ψ ( x) = sin x, 试求粒子处于基态时 a a a 区间中出现的几率； （1）粒子在 0 ≤ x ≤ ） 区间中出现的几率； 4 处的几率密度； （2）粒子出现在 a/4处的几率密度； ） 处的几率密度 （3）在何处粒子出现的几率最大？ ）在何处粒子出现的几率最大？ a a 2 2π 2 4 4 解：(1) ∆W = ∫ ψ ( x) dx = ∫ sin xdx 0 a 0 a 1 1 = − = 9.1% 4 2π
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A 2.有一粒子沿 轴方向运动 其波函数为ψ ( x) = 有一粒子沿x轴方向运动 有一粒子沿 轴方向运动,其波函数为 1 + ix
(1)将此波函数归一化； 将此波函数归一化； 将此波函数归一化 (2)求出粒子按坐标的概率密度分布函数 求出粒子按坐标的概率密度分布函数; 求出粒子按坐标的概率密度分布函数 (3)问在何处找到粒子的概率最大，为多少？ 问在何处找到粒子的概率最大， 问在何处找到粒子的概率最大 为多少？
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7.当一维无限深势阱的宽度减小时，其能级间隔 当一维无限深势阱的宽度减小时， 当一维无限深势阱的宽度减小时 变_________。 。 大 8.一切处于束缚态的微观粒子的能量具有一个 一切处于束缚态的微观粒子的能量具有一个 共同特点，即能量取值是___________的 共同特点，即能量取值是 不连续 的。 9.在没有外界力场作用的空间内 9.在没有外界力场作用的空间内，一个经典粒 在没有外界力场作用的空间内， 子的最低能量为_______，而微观粒子与经典 子的最低能量为 0 ， 粒子不同，其最低能量________0。 粒子不同，其最低能量 大于 。
h ∂ ∂ ∂ ( 2 + 2 + 2 )ψ0e =− 2m ∂x ∂y ∂z
2 2 2 2
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i − [ Et −( xpx + ypy +zpz )] h
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h p +p +p =− (− )ψ0e 2m h 2 p ψ ( x, y, z, t) = 2m i − [ Et −( xpx + ypy +zpz )] ∂ 右式 = ih ψ0e h ∂t i = ih(− E)ψ = Eψ ( x, y, z, t ) h 2 对于经典粒子， 对于经典粒子，有 E = p 2m 所以 左式 右式 左式=右式