立体几何文科练习题
立体几何训练文科((答案)
立体几何训练答案1．如图，在四面体A－BCD中，F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.证明法一如图，连接BH，BH与CF交于K，连接EK.∵F、H分别是AB、AC的中点，∴K是△ABC的重心，∴BK BH＝23.又据题设条件知，BEBG＝23，∴BKBH＝BEBG，∴EK∥GH.∵EK⊂平面CEF，GH⊄平面CEF，∴直线HG∥平面CEF.法二如图，取CD的中点N，连接GN、HN.∵G为DE的中点，∴GN∥CE.∵CE⊂平面CEF，GN⊄平面CEF，∴GN∥平面CEF.连接FH，EN∵F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，∴FH綉12BC，EN綉12BC，∴FH綉EN，∴四边形FHNE为平行四边形，∴HN∥EF.∵EF⊂平面CEF，HN⊄平面CEF，∴HN∥平面CEF.HN∩GN＝N，∴平面GHN∥平面CEF.∵GH⊂平面GHN，∴直线HG∥平面CEF.2．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.证明(1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2，∴BG綉A1E，∴A1G綉BE.又同理，C1F綉B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG綉C1B1綉D1A1，∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綉D1F，∴D1F綉EB，故E、B、F、D1四点共面．(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝3 2.又B1G＝1，∴B1GB1H＝23.又FCBC＝23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.3．一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M、N分别是AF、BC的中点)．(1)求证：MN∥平面CDEF；(2)求多面体A－CDEF的体积．解由三视图可知：AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝22，∠CBF＝π2.(1)证明：取BF的中点G，连接MG、NG，由M、N分别为AF、BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，∴平面MNG∥平面CDEF，又MN⊂平面MNG，∴MN∥平面CDEF.(2)取DE的中点H.∵AD＝AE，∴AH⊥DE，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF＝DE.∴AH⊥平面CDEF.∴多面体A－CDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，在△ADE中，AH＝ 2.S矩形CDEF＝DE·EF＝42，∴棱锥A－CDEF的体积为V＝13·S矩形CDEF·AH＝13×42×2＝83.4．如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .(1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，则AE ⊥BC .又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BF ，又BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE .∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∴MG ∥平面ADE .同理，GN ∥平面ADE .又∵GN ∩MG ＝G ，∴平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点.5．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.(1)证明由直四棱柱，得BB1∥DD1，又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.(2)证明∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC.(3)解当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.6．如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；(2)证明：平面BDE⊥平面BCD.(3)求三棱锥D－BCE的体积．(1)证明连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，又MN＝AE＝12CD，∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM.∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，∴AN∥平面CME.(2)证明∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD.由(1)，知AN∥EM，∴EM⊥平面BCD.又EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD.(3)解V D－BCE＝V E－BCD＝13S△BCD·|EM|＝13×22×42×2＝83.7．如图，在多面体ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1綉BB1，AB＝AC＝AA1＝22BC，B1C1綉12BC.(1)求证：A1B1⊥平面AA1C；(2)若D是BC的中点，求证：B1D∥平面A1C1C.(3)若BC＝2，求几何体ABC－A1B1C1的体积．(1)证明∵AB＝AC＝22BC，AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC，又AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AA 1⊥AB ，AA 1∩AC ＝A ， ∴AB ⊥平面AA 1C ，又∵AA 1綉BB 1，∴四边形ABB 1A 1为平行四边形．∴A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)证明 ∵B 1C 1綉12BC ，且D 是BC 的中点，∴CD 綉C 1B 1，∴四边形C 1CDB 1为平行四边形，∴B 1D ∥C 1C ，B 1D ⊄平面A 1C 1C 且C 1C ⊂平面A 1C 1C ，∴B 1D ∥平面A 1C 1C .(3)解 连接AD ，DC 1，V ＝V 三棱柱A 1B 1C 1－ABD ＋V 四棱锥C －AA 1C 1D＝12×1×1×2＋13×(2×1)×1＝526.8．如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF .证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE .则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1 ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)由(1)知AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1， ∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，∴DF →＝(0，2，1)∴AM →·DF →＝0，∴AM ⊥DF .同理AM ⊥BF .又DF ∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF .9．在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．(1)证明 如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0、P (0,0，a )、F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2. EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)． ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解 设G (x,0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0， 得z ＝0.∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点． 10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．(1)证明：CD ⊥平面P AE ；(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．解 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝h ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4，3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0,0，h )．(1)易知CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h )．因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP .而AP ，AE是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)由题设和(1)知，CD →·P A →分别是平面P AE ，平面ABCD 的法向量．而PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos 〈CD →，PB →〉|＝|cos 〈P A →，PB →〉|，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·PB →|CD →|·|PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪P A →·PB →|P A →|·|PB →|.由(1)知，CD →＝(－4,2,0)，P A →＝(0,0，－h )，又PB →＝(4,0，－h )，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＋0＋025×16＋h 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋0＋h 2h ×16＋h 2. 解得h ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.11．如图，四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两垂直，AB ＝BC ＝BD ＝4，E 、F分别为棱BC 、AD 的中点．(1)求异面直线AB 与EF 所成角的余弦值； (2)求E 到平面ACD 的距离；(3)求EF 与平面ACD 所成角的正弦值．解 如图，分别以直线BC 、BD 、BA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A (0,0,4)、C (4,0，0)、D (0,4，0)，E (2,0,0)、F (0，2,2)．(1)∵AB →＝(0,0，－4)，EF →＝(－2,2,2)，∴|cos 〈AB →，EF →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－84×23＝33， ∴异面直线AB 与EF 所成角的余弦值为33.(2)设平面ACD 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC →＝0，n ·CD →＝0，∵AC →＝(4,0，－4)，CD →＝(－4,4,0)，∴⎩⎨⎧4x －4＝0，－4x ＋4y ＝0，∴x ＝y ＝1，∴n ＝(1,1,1，)．∵F ∈平面ACD ，EF →＝(－2,2,2)，∴E 到平面ACD 的距离为d ＝|n ·EF →||n |＝23＝233. (3)EF 与平面ACD 所成角的正弦值为|cos 〈n ，EF →〉|＝23×23＝13 12．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)求二面角P －BD －A 的大小．(1)证明 如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)， C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,3)，∴AP →＝(0,0,3)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)．∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0.∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC .又∵P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥面P AC .(2)解 设平面ABD 的法向量为m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BD →＝0，n ·BP →＝0.∵BP →＝(－23，0,3)，∴⎩⎨⎧ －23x ＋2y ＝0，－23x ＋3z ＝0解得⎩⎨⎧ y ＝3x ，z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12.∴二面角P －BD －A 的大小为60°.13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .(1)证明：DC 1⊥BC .(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1A 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，|CA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 C －xyz .由题意知A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)．则A 1D →＝(0,0，－1)，BD →＝(1，－1,1)，DC 1→＝(－1,0,1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BD →＝0，n ·A 1D →＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0，可取n ＝(1,1,0)． 同理，设m ＝(x ，y ，z )是平面C 1BD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0，即⎩⎨⎧x －y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，可取m ＝(1,2,1)． 从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝32.故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.14．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求证：平面BCE ⊥平面CDE ；(3)求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．解 方法一：(1)证法一：取CE 的中点G ，连接FG 、BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE ， ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB∥DE，∴GF∥AB.又AB＝12DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB，∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. ∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE.证法二：取DE的中点M，连接AM、FM，∵F为CD的中点，∴FM∥CE.∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB.又AB＝12DE＝ME，∴四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE.∵FM、AM⊄平面BCE，CE、BE⊂平面BCE，∴FM∥平面BCE，AM∥平面BCE.又FM∩AM＝M，∴平面AFM∥平面BCE.∵AF⊂平面AFM，∴AF∥平面BCE.(2)证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE.∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.(3)在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连接BH，∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE.∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角．设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，则FH ＝CF sin45°＝22a ， BF ＝AB 2＋AF 2＝a 2＋3a 2＝2a ，在Rt △FHB 中，sin ∠FBH ＝FH BF ＝24. ∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24. 方法二：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0. (1)证明：AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a,0，－a )， ∵AF →＝12(BE →＋BC →)，AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . (2)证明：∵AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，CD →＝(－a ，3a,0)，ED →＝(0,0，－2a )， ∴AF →·CD →＝0，AF →·ED →＝0，∴AF →⊥CD →，AF →⊥ED →.∴AF →⊥平面CDE ，又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .(3)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·BE →＝0，n ·BC →＝0可得 x ＋3y ＋z ＝0,2x －z ＝0，取n ＝(1，－3，2)．又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，－a ，设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则 sin θ＝|BF →·n ||BF →|·|n |＝2a 2a ·22＝24.2 4.∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为。
立体几何基础检测卷(文科)(含详解)
立体几何基础检测卷（文科）一、选择题（每题4分）1.用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b ．其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④2.已知l ，m ，n 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若α∩β=l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥lD ．若α∩β=m ，α∩γ=n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α3.一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为( ).A ．1BC D4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 64B. 72C. 80D.1125.一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( )A ．B ．C ．1D ． 1232136、长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）A ．20πB ．25πC ．50πD ．200π7、一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（ ）A ．1 B．2 D．8、教室内有一把尺子无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线 （ ）A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直9、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）（A ）316 （B ） 916 （C ） 38 （D ） 93210、.如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,P 为11D A 的中点,Q 为11B A 上任意一点,F E 、为CD 上两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不是定值的是（ ）(A)点P 到平面QEF 的距离 (B)直线PQ 与平面PEF 所成的角(C)三棱锥QEF P -的体积 (D)QEF ∆的面积二、填空题（每题4分）1.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是 cm 2．2.某几何体的三视图如图，则它的体积是________ π1203、已知正四棱锥的底面边长为2，则该正四棱锥的体积为 ．4.设α，β为互不重合的平面，m ，n 为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m ⊥n ，n 是平面α内任意的直线，则m ⊥α； ②若α⊥β，α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m 则n ⊥β； ③若α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β； ④若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β．其中正确命题的序号为 ．5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 ．三、解答题（每小题10分）1．如图所示， PA ⊥矩形ABCD 所在的平面， ,M N 分别是AB PC 、的中点.（1）求证： //MN 平面PAD .（2）MN CD ⊥2．如图，已知PA O ⊥所在的平面， AB 是O 的直径， 4,AB C =是O 上一点，且0,45,AC BC PCA E =∠=是PC 中点， F 为PB 中点．（1）求证： //EF 面ABC ；（2）求证： EF ⊥面PAC ；（3）求三棱锥B PAC -的体积．3．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形， 060BCD ∠=， PA ⊥平面ABCD ， E 是AB 的中点.（1）求证：平面PDE ⊥平面PAB ；（2）棱PC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面PDE ？若存在，确定F 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.4、如图所示，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=．（1）求证：平面SAD⊥平面SBC；（2）若BC=2，求点A到平面SBD的距离h的值．立体几何基础检测卷（文科）一、选择题（每题4分）1.用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b ．其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④答案：.C2.已知l ，m ，n 为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若α∩β=l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥lD ．若α∩β=m ，α∩γ=n ，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α答案：C3.一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为( ).A ．1B ．3CD ．3答案：.B4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 64B. 72C. 80D.112答案 .C5.一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( )A ．B ．C ．1D ．答案：.A6、长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）A ．20πB ．25πC ．50πD ．200π答案：.C7、一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（ ）A ．1 B．2 D． 答案：.B8、教室内有一把尺子无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线 （ ）A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案：.A9、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）（A ）316 （B ） 916 （C ） 38 （D ） 932答案：.A 10、.如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,P 为11D A 的中点,Q 为11B A 上任意一点,F E 、为CD 上两点,且EF 的长为定值,则下面四个值中不是定值的是（ ）(A)点P 到平面QEF 的距离 (B)直线PQ 与平面PEF 所成的角(C)三棱锥QEF P -的体积 (D)QEF ∆的面积答案：.B二、填空题（每题4分）1.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是 cm 2． 123213π120答案：.2.某几何体的三视图如图，则它的体积是________答案：.2 83π-3、已知正四棱锥的底面边长为2，则该正四棱锥的体积为．答案：8 34.设α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，n是平面α内任意的直线，则m⊥α；②若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m则n⊥β；③若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中正确命题的序号为．答案：①②5.给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是．答案：.②④三、解答题（每小题10分）1．如图所示， PA ⊥矩形ABCD 所在的平面， ,M N 分别是AB PC 、的中点.（1）求证： //MN 平面PAD .（2）MN CD ⊥解析：（1）证明：取PD 的中点E ，连接,AE EN ,,E N 分别是,PC PD 的中点,1//2EN CD ∴, //AM EN ∴,∴四边形AMNE 是平行四边形， //MN AE ∴ MN ⊄平面PAD ， AD ⊂平面PAD ,∴ //MN 平面PAD .（2） PA ⊥平面ABCD ， ∴ PA CD ⊥,又CD AD ⊥,∴ CD ⊥平面PAD ,∴ CD AE ⊥,又//MN AE ， CD MN ∴⊥.2．如图，已知PA O ⊥所在的平面， AB 是O 的直径， 4,AB C =是O 上一点，且0,45,AC BC PCA E =∠=是PC 中点， F 为PB 中点．（1）求证： //EF 面ABC ；（2）求证： EF ⊥面PAC ；（3）求三棱锥B PAC -的体积．试题解析：（1）证明：在三角形PBC 中， E 是PC 中点， F 为PB 中点，∴//EF BC ， BC ⊂平面,ABC EF ⊄平面ABC ，∴//EF 面ABC ；（2）证明：∵PA ⊥面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴BC PA ⊥，又∵AB 是O 的直径，∴BC AC ⊥，又PA AC A ⋂=，∴BC ⊥面PAC ，∵//EF BC ，∴EF ⊥面PAC ；（3）∵045PCA ∠=，∴PA AC =，在Rt ABC ∆中，∵,4AC BC AB ==，∴AC BC ==∴1·33B PAC P ABC ABC V V S PA --∆===． 3．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形， 060BCD ∠=， PA ⊥平面ABCD ，E 是AB 的中点.（1）求证：平面PDE ⊥平面PAB ；（2）棱PC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面PDE ？若存在，确定F 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.解析：（1）连接BD ，因为底面ABCD 是菱形， 60BCD ∠=︒,所以ABD ∆为正三角形.因为E 是AB 的中点, 所以DE AB ⊥,因为PA ⊥面ABCD , DE ABCD ⊂面，∴DE PA ⊥，因为DE AB ⊥， DE PA ⊥， AB PA A ⋂=,所以DE PAB ⊥面.又DE PDE ⊂面, 所以面PDE ⊥面PAB .（2）当点F为PC的中点时，BF∥面PDE.事实上，取PC的中点F,PD的中点G，连结FG，GE，∵FG为三角形PCD的中位线，∴FG∥CD且1=2FG CD，又在菱形ABCD中，E为AB的中点，∴BE∥CD且1=2BE CD，∴FG∥BE且=FG BE，所以四边形BEGF为平行四边形.所以BF∥GE，又GE⊂面PDE，BF⊄面PDE，∴BF∥面PDE，结论得证.4、如图所示，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=．（1）求证：平面SAD⊥平面SBC；（2）若BC=2，求点A到平面SBD的距离h的值．【解答】（1）证明：侧面SDC⊥底面ABCD，有AD⊥SC，AD⊥SD故△ADS为Rt△，有SD2+AD2=SA2且AD=BC，SD=，故2+BC2=SA2即BC2=SA2﹣2连接AC，易得AC2=BC2+AB2=BC2+4即BC2=AC2﹣4那么SA2﹣2=AC2﹣4，整理后有AC2=SA2+2又SC=，故AC2=SA2+SC2所以△ASC为Rt△，有SA⊥SC所以SC⊥平面SAD，那么平面SBC⊥平面SAD；（2）解：由题意，BC⊥SC，SB=，DB=2，∴DB2=SD2+SB2，∴SB⊥SD，∴S△SBD==．由等体积可得，∴h=，即点A到平面SBD的距离h的值为．。
高考立体几何文科大题及答案
（Ⅱ）求二面角A— —B的大小。
14.（2009宁夏海南卷文）如图，在三棱锥 中，⊿ 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90（Ⅰ）证明：AB⊥PC
（Ⅱ）若 ，且平面 ⊥平面 ，
求三棱锥 体积。
15.（2009福建卷文）如图，平行四边形 中， ， 将
沿 折起到 的位置，使平面 平面
（I）求证：
又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣD ＡD，又ＳＤ AD=D， CD 平面SAD。
过点D在平面SAD内做DF AE于F，连接CF，则CF AE，
故 CFD是二面角C-AE-D的平面角，即 CFD=60°
在Rt△ADE中， AD= , DE= ，AE= 。
于是，DF=
在Rt△CDF中，由 cot60°=
得 ，即 =3
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系 ，
设
则 ，
（Ⅰ）∵ ，
∴ ，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面 .
（Ⅱ）当 且E为PB的中点时， ，
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即AE与平面PDB所成的角的大小为 .
由 得2AD= ，解得AD= 。
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为 与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形，AD= ，故EH=1，又EC= =2，
（Ⅰ）设 ，则
立体几何大题练习(文科)(含详解)
立体几何大题练习（文科）1．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证： 1A C 面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM .2．直三棱柱111ABC A B C -中， 5AB =， 3AC =， 4BC =，点D 是线段AB 上的动点.（1）当点D 是AB 的中点时，求证： 1AC 平面1B CD ；（2）线段AB 上是否存在点D ，使得平面11ABB A ⊥平面1CDB ？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由.3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， //AB CD ， AB AD ⊥， 2CD AB ==， PAB ∆与PAD ∆均为等边三角形，点E 为CD 的中点.（1）证明：平面PAE ⊥平面ABCD ；（2）若点F 在线段PC 上且2CF PF =，求三棱锥F BEC -的体积.4．在如图所示的多面体A B C D E 中，已知//AB DE ， AB AD ⊥，ACD ∆是正三角形，22AD DE AB ===， BC = F 是CD 的中点.（1）求证： //AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求D 到平面BCE 的距离.5．如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形， EF DC ，平面ABCD ⊥平面CDEF ， AE CF ⊥.(1)求证： CF DE ⊥；(2)若CF DE =， 24DC EF ==，求五面体ABCDEF 的体积.6．如图，在四棱椎E ABCD -中， AE DE ⊥， CD ⊥平面ADE ， AB ⊥平面ADE ， 6CD DA ==， 2AB =， 3DE =.(1)求证：平面ACE ⊥平面CDE ；(2)在线B 段DE 上是否存在一点F ，使AF 平面BCE ？若存在，求出EF ED的值；若不存在，说明理由.7．如图，在三棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形， //,24,3AB CD BD AD ADB π==∠=，点P 在底面ABCD 内的正投影为点M ，且M 为AD 的中点.（1）证明： AB ⊥平面PAD ；（2）若,BC DC PD PB =⊥，求四棱锥P ABCD -的体积.8．如图，四面体PABC 中， PA ⊥平面ABC ， 1PA =， 1AB =， 2AC =，BC =.（1）求四面体PABC 的四个面的面积中，最大的面积是多少？（2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC BM ⊥，并求PMMC 的值.9．在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， //EF 平面ABCD ， 22EA ED AB EF ====， M 为BC 中点.（1）求证： //FM 平面BDE ；（2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离.10．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =， 1AB B C ⊥.⑴ 求证： AO ⊥平面11BB C C ；(2)设1160B BC B AC ∠=∠=︒，若三棱锥1A BCC -的体积为1，求点1C 到平面1ABB 的距离.立体几何大题练习（文科）1．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证： 1A C 面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM .试题解析：（1）设11A B AB O ⋂=，连OD .因为四边形11AA B B 是矩形，∴O 是1A B 的中点.又D 是BC 的中点，∴1AC OD . 又1AC ⊄面1AB D ， OD ⊂面1AB D ， ∴1A C 面1AB D .（2）因为ABC ∆是正三角形， D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥面11BB C C ，又平面ABC ⊥面11BB C C BC =， AD ⊂面ABC .∴AD ⊥面11BB C C ，∵BM ⊂面11BB C C ，∴AD BM ⊥.又∵1BM B D ⊥， 1AD B D D ⋂=， AD ， 1B D ⊂面1AB D ，∴BM ⊥面1AB D ，又BM ⊂面ABM ，∴面1AB D ⊥面ABM .2．直三棱柱111ABC A B C -中， 5AB =， 3AC =， 4BC =，点D 是线段AB 上的动点.（1）当点D 是AB 的中点时，求证： 1AC 平面1B CD ；（2）线段AB 上是否存在点D ，使得平面11ABB A ⊥平面1CDB ？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由.【试题解析】（1）如图，连接1BC ，交1B C 于点E ，连接DE ，则点E 是1BC 的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得1DE AC ，因为DE ⊂平面1B CD ， 1AC ⊄平面1B CD ，所以1AC 平面1B CD .（2）当CD AB ⊥时平面11ABB A ⊥平面1CDB .证明：因为1AA ⊥平面ABC ， CD ⊂平面ABC ，所以1AA CD ⊥．又CD AB ⊥， 1AA AB A ⋂=，所以CD ⊥平面11ABB A ，因为CD ⊂平面1CDB ，所以平面11ABB A ⊥平面1CDB ，故点D 满足CD AB ⊥.因为5AB =， 3AC =， 4BC =，所以222AC BC AB +=，故ABC ∆是以角C 为直角的三角形，又CD AB ⊥，所以95AD =.3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， //AB CD ， AB AD ⊥， 2CD AB ==， PAB ∆与PAD ∆均为等边三角形，点E 为CD 的中点.（1）证明：平面PAE ⊥平面ABCD ；（2）若点F 在线段PC 上且2CF PF =，求三棱锥F BEC -的体积.试题解析：（1）证明：连接BD ，由于//AB CD ，点E 为CD 的中点，DE AB =， AB AD ⊥，所以四边形ABED 为正方形，可得BD AE ⊥，设BD 与AE 相交于点O ，又△PAB 与△PAD 均为等边三角形，可得PB PD =，在等腰△PBD 中，点O 为BD 的中点，所以BD PO ⊥，且AE 与PO 相交于点O ，可得BD ⊥平面PAE ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAE ⊥平面ABCD ．（2）由2CD AB ==，△PAB 与△PAD 均为等边三角形，四边形ABED 为正方形， BD 与AE 相交于点O ，可知3OA OP ==， PA =PO AO ⊥，又平面PAE ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，设点F 到平面BCE 的距离为h ，又2CF PF =，所以223h PO =⋅=，BEC S ∆= 12BE CE ⋅⋅= 192⨯=， F BEC V -= 13BCE S h ∆⋅⋅= 19263⨯⨯=， 所以，三棱锥F BEC -的体积为6． 4．在如图所示的多面体A B C D E 中，已知//AB DE ， AB AD ⊥， ACD ∆是正三角形，22AD DE AB ===， BC = F 是CD 的中点.（1）求证： //AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求D 到平面BCE 的距离.【试题解析】（Ⅰ）取CE 的中点M ，连接,BM MF ，因F 为CD 的中点， 所以1//2MF ED ，又AB // 12ED , 所以//MF AB ，四边形ABMF 为平行四边形，所以MB//AF ,因为BM ⊂平面BCE ， AF ⊄平面BCE ，所以//AF 平面.BCE（Ⅱ）因为ACD ∆是正三角形，所以2AC AD CD ===,在ABC ∆中， 1,2,AB AC BC ===所以222AB AC BC +=，故AB AC ⊥，∴DE ⊥AC ，又DE ⊥AD ,AC∩AD=A∴DE ⊥平面ACD∴DE ⊥AF,又AF ⊥CD ，由（Ⅰ）得BM ∥AF∴DE ⊥BM, BM ⊥CD ，DE∩CD=D∴BM ⊥平面CDE ，BM ⊂平面BCE∴平面BCE ⊥平面CDE（Ⅲ）连接DM ，由于DE =DC∴DM ⊥CE由（Ⅱ）知，平面BCE ⊥平面CDE ，∴DM ⊥平面BCE所以DM 为D 到平面BCE 的距离，DM所以D 到平面BCE5．如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形， EF DC ，平面ABCD ⊥平面CDEF ， AE CF ⊥.(1)求证： CF DE ⊥；(2)若CF DE =， 24DC EF ==，求五面体ABCDEF 的体积.试题解析：（Ⅰ）因为平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ∩平面CDEF ＝CD ，AD ⊥CD ，所以AD ⊥平面CDEF ，又CF ⊂平面CDEF ，则AD ⊥CF ．又因为AE ⊥CF ，AD ∩AE ＝A ，所以CF ⊥平面AED ，DE ⊂平面AED ，从而有CF ⊥DE ．（Ⅱ）连接FA ，FD ，过F 作FM ⊥CD 于M ，因为平面ABCD ⊥平面CDEF 且交线为CD ，FM ⊥CD ，所以FM ⊥平面ABCD ．因为CF ＝DE ，DC ＝2EF ＝4，且CF ⊥DE ，所以FM ＝CM ＝1，所以五面体的体积V ＝V F －ABCD ＋V A －DEF ＝＋＝．6．如图，在四棱椎E ABCD -中， AE DE ⊥， CD ⊥平面ADE ， AB ⊥平面ADE ， 6CD DA ==， 2AB =， 3DE =.(1)求证：平面ACE ⊥平面CDE ；(2)在线段DE 上是否存在一点F ，使AF 平面BCE ？若存在，求出EF ED的值；若不存在，说明理由. 解析：(1)证明：因为CD ⊥平面ADE ， AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥，又因为AE DE ⊥， CD DE D ⋂=， 所以AE ⊥平面CDE ，又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE .(2)结论：在线段DE 上存在一点F ，且13EF ED =，使AF 平面BCE . 解：设F 为线段DE 上一点，且13EF ED =，过点F 作FM CD 交CE 于M ，则13FM CD =. 因为CD ⊥平面ADE ， AB ⊥平面ADE ，所以CD AB .又因为3CD AB =，所以MF AB =， FM AB ，所以四边形ABMF 为平行四边形，则AF BM . 又因为AF ⊄平面BCE ， BM ⊂平面BCE ，所以AF 平面BCE .7．如图，在三棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形， //,24,3AB CD BD AD ADB π==∠=，点P 在底面ABCD 内的正投影为点M ，且M 为AD 的中点.（1）证明： AB ⊥平面PAD ；（2）若,BC DC PD PB =⊥，求四棱锥P ABCD -的体积.试题解析：（1）2,4,3AD BD ADB π==∠=，由余弦定理得， 222AB BD AD AB =∴=+，故AB AD ⊥又点P 在底面ABCD 内的正投影为点M ， PM ∴⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABDPM AB ∴⊥，又,,PM AD M PM AD ⋂=⊂平面PAD ， AB PAD ∴⊥（2）连接PM ⊥平面,ABD AD ⊂平面,ABD PM AD ∴⊥又M 为AD 的中点， 1MD AM ∴==设PM h =，则PD BM PB =====222PD PB PD PB BD ⊥∴+=，即2211316,1h h h +++=∴=//,AB CD AB AD CD AD ⊥∴⊥，又3ADB π∠=∴在等腰BCD ∆中， 1,,cos 2662BC DC CDB CD BD ππ=∠=∴==,3CD ∴=∴梯形ABCD 的面积为122⨯⨯=⎝113P ABCD V -∴==8．如图，四面体PABC 中， PA ⊥平面ABC ， 1PA =， 1AB =， 2AC =， BC =.（1）求四面体PABC 的四个面的面积中，最大的面积是多少？（2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC BM ⊥，并求PM MC 的值. 试题解析：（1）由题设AB ＝1，AC ＝2，BC可得222AB BC AC +=,所以AB BC ⊥,由PA ⊥平面ABC ，BC 、AB ⊂平面ABC ,所以PA BC ⊥， PA AB ⊥,所以PB =又由于PA∩AB ＝A ，故BC ⊥平面PAB,PB ⊂平面PAB,所以BC PB ⊥,所以ACB ∆， PAC ∆, PAB ∆, PCB ∆均为直角三角形，且PCB ∆的面积最大，12PCB S ∆==．（2）证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ．在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM ．由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC ．由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ．又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM ．因为ABN ∆与ACB ∆相似， 12AB AB AN AC ⋅==， 从而NC ＝AC －AN ＝．由MN ∥PA ，得＝＝．9．在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， //EF 平面ABCD ，22EA ED AB EF ====， M 为BC 中点.（1）求证： //FM 平面BDE ；（2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离.试题解析：（1）取CD 中点N ，连接,MN FN ，因为,N M 分别为,CD BC 中点，所以//MN BD ，又BD ⊂平面BDE ，且MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ，因为//EF 平面ABCD ， EF ⊂平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =， 所以//EF AB ．又222AB CD DN EF ====， //AB CD ，所以//EF CD ， EF DN =.所以四边形EFND 为平行四边形.所以//FN ED .又ED ⊂平面BDE 且FN ⊄平面BDE ，所以//FN 平面BDE ，又FN MN N ⋂=，所以平面//MFN 平面BDE .又MF ⊂平面MFN ，所以//FM 平面BDE .（2）由（1）得//FM 平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离． 取AD 的中点H ，连接,EH BH ，因为四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=， 2EA ED AB EF ===，所以EH AD ⊥， BH AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ⋂平面ABCD AD =，所以EH ⊥平面ABCD ， EH BH ⊥，因为EH BH ==BE =所以12BDE S ∆==，设F 到平面BDE 的距离为h ，又因为11422BDM BCD S S ∆∆===，所以由E BDM M BDE V V --=，得113232h =⨯⨯，解得5h =. 即F 到平面BDE 的距离为5． 10．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =， 1AB B C ⊥.⑴ 求证： AO ⊥平面11BB C C ；(2)设1160B BC B AC ∠=∠=︒，若三棱锥1A BCC -的体积为1，求点1C 到平面1ABB 的距离. 试题解析：（1)证明：∵四边形11BB C C 是菱形，∴11B C BC ⊥,∵11,AB B C AB BC B ⊥⋂=,∴1B C ⊥平面1ABC ，又AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥．∵1AB AC =, O 是1BC 的中点，∴1AO B C ⊥，∵11B C BC O ⋂=，∴AO ⊥平面11BB C C .(2)设菱形11BB C C 的边长为x ，又160B BC ∠=︒，∴1BB C ∆是等边三角形，则1B C x =．由（1)知1AO B C ⊥，又O 是1B C 的中点， ∴1AB AC =，又160B AC ∠=︒，∴1AB C ∆是等边三角形，则11AC AB B C x ===， 在Rt ACO ∆中，AO x ==，∴1131111sin12013328A BCC BCC V S AO x x x x -∆=⋅=⨯⋅⋅⋅=⋅=， 解得2x =. 在Rt ABO ∆中，BO x ===， 在Rt BCO ∆中，AB x ===11122ABB S AB ∆=⨯==， 设点1C 到平面1ABB 的距离为h ，由111111C ABB A BB C A BCC V V V ---===，得111133ABB S h h ∆⋅⋅==，解得h =， 即点1C 到平面1ABB.。
立体几何文科练习题
立体几何文科练习题1. 塔的高度某座塔的阴影长度为30m，同时日照角度为60°。
求塔的高度。
解析：设塔的高度为h，则根据正切函数的定义，有tan 60° = h / 30即√3 = h / 30解得h = 30√3 m2. 球的体积和表面积已知一颗球的直径为12cm，求其体积和表面积。
解析：球的半径为直径的一半，即 r = 12 / 2 = 6 cm球的体积公式为V = (4/3)πr³，代入 r = 6 cm，π取近似值3.14，计算得V ≈ 904.32 cm³球的表面积公式为S = 4πr²，代入 r = 6 cm，π取近似值3.14，计算得S ≈ 452.16 cm²3. 圆台的体积一个圆台的上底半径为5 cm，下底半径为10 cm，高度为15 cm，求圆台的体积。
解析：圆台的体积公式为V = (1/3)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂)，其中 h 为高度，r₁、r₂分别为上底半径和下底半径代入 h = 15 cm，r₁ = 5 cm，r₂ = 10 cm，π取近似值3.14，计算得V ≈ 1301.67 cm³4. 正方体的对角线长度一个正方体的边长为a，求其对角线长度。
解析：对角线的长度可以通过勾股定理求解。
正方体的对角线可以看作是一个空间对角线：l = √(a² + a² + a²) = √3a5. 圆锥的斜高一个圆锥的半径为4 cm，母线长度为10 cm，求圆锥的斜高。
解析：圆锥的斜高可以通过勾股定理求解。
将圆锥展开图看作一个直角三角形，斜高即为斜边，母线为直角边，半径为另一直角边。
斜高的长度l = √(10² + 4²) = √116 ≈ 10.77 cm6. 圆柱的体积和侧面积一个圆柱的底面半径为8 m，高度为20 m，求圆柱的体积和侧面积。
文科立体几何模拟试题答案
文科立体几何模拟试题答案一、选择题1. 若一个正方体的棱长为2cm，则其对角线的长度为？A. 2√2 cmB. 2√3 cmC. 4 cmD. √8 cm答案：B2. 一个圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，其侧面展开图的扇形的中心角为？A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°答案：D3. 一个球的表面积为4πR²，若该球的体积为16π，则其半径R为？A. 2B. 4C. 2√2D. √16答案：A4. 一个圆柱的底面直径为6cm，高为10cm，其侧面积为？A. 60π cm²B. 36π cm²C. 90π cm²D. 180π cm²答案：A5. 一个锥体的底面半径为r，高为h，侧面展开图是一个等腰三角形，其底边长为？A. πrB. 2πrC. √(2h² + r²)D. √(h² + 4r²)答案：D二、填空题1. 一个正方体的体积为64cm³，其棱长为______。
答案：4cm2. 一个球的体积为64π，其表面积为______。
答案：64π cm²3. 一个圆柱的底面半径为5cm，高为12cm，其体积为______。
答案：942π cm³4. 一个锥体的底面半径为3cm，高为6cm，其侧面展开图的扇形的中心角为______。
答案：120°5. 一个正四面体的边长为a，其表面积为______。
答案：√3a²三、解答题1. 一个正方体的棱长为3cm，求其内切球的体积。
解：正方体的内切球即为正方体的对角线所形成的球体，其半径r为正方体棱长的一半，即r = 3/2 cm。
根据球体体积公式V = 4/3πr³，代入r值得到V = 4/3π(3/2)³ = 9π cm³。
2. 一个圆锥的底面半径为2cm，高为5cm，求其侧面展开图的扇形的弧长。
文科立体几何大题训练
文科立体几何大题训练1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，E为PA 的中点，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EDC的体积．6．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求四面体F﹣DBC的体积．7．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABE，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（III）求三棱锥D﹣FEB的体积．8．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD．（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）设∠BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A﹣PCD 的体积．文科立体几何大题训练参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴直线BC∥平面PAD；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，则AB=BC=x，CD=，O是AD的中点，连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，则OE=，PO=，PE==，△PCD面积为2，可得：=2，即：，解得x=2，PO=2．则V P﹣ABCD=×（BC+AD）×AB×PO==4．2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE=PA=1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDC=S△ABC=××2×2=1，则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC=×1×1=．3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S△BCM===2，∴四面体N﹣BCM的体积V N﹣BCM===．4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．【解答】证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．（2）连接PD，∵DE∥BC，又∠ABC=90°，∴DE⊥AB，又PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，又PD∩DE=D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AB⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE．（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊂平面PAB，∴PD⊥平面ABC，∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴PD=，∵E是AC的中点，∴．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，E为PA 的中点，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EDC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC，BD，设AC与BD相交于点O，连接OE．由题意知，底面ABCD是菱形，则O为AC的中点，又E为AP的中点，∴OE∥CP，∵OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，∴PC∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵E为PA的中点，∴，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，∴DO⊥平面PAC，即DO是三棱锥D﹣PCE的高，DO=1，则．6．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，求四面体F﹣DBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又F为AB的中点，DA=DB，∴AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA=DB=DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，∴线段DA、DB、DC在平面ABC的投影EA，EB，EC满足EA=EB=EC∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC由AD⊥DC，AC=4，∠BAC=45°，∴AB=BC=2，DE=2，∴S△FBC==2，∴四面体F﹣DBC的体积V F﹣DBC=V D﹣FBC==．7．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABE，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（III）求三棱锥D﹣FEB的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AB⊥BE，BE⊂平面ABEF，∴BE⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD．∴BE⊥AC，又BE∩BD=B，∴AC⊥平面BDE；（Ⅱ）证明：取DE的中点G，连结OG，FG，∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD的中点．则OG∥BE，且．由已知AF∥BE，且，则AF∥OG且AF=OG，∴四边形AOGF为平行四边形，则AO∥FG，即AC∥FG．∵AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF，∴AC∥平面DEF；（Ⅲ）解：∵平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AD∥BC，AD⊥AB．由（Ⅰ）知，BE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴BE⊥AD∴AD⊥平面BEF．∴．8．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD．（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）设∠BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A﹣PCD 的体积．【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD是菱形；∴对角线BD⊥AC；又BD⊥SA，SA∩AC=A；∴BD⊥平面SAC，SO⊂平面SAC；∴BD⊥SO，即SO⊥BD；又SA=SC，O为AC中点；∴SO⊥AC，AC∩BD=O；∴SO⊥平面ABCD；（2）如图，连接PO；∵SB∥平面APC，SB⊂平面SBD，平面SBD∩平面APC=PO；∴SB∥PO；在△SBD中，O是BD的中点，PO∥SB，∴P是SD的中点；取DO中点，并连接PE，则PE∥SO，SO⊥底面ACD；∴PE⊥底面ACD，且PE=；根据已知条件，Rt△ADO中AD=2，∠DAO=30°，∴DO=1；∴在Rt△SDO中，SD=2，SO=；∴；又；∴V三棱锥A﹣PCD=V三棱锥P﹣ACD=．。
立体几何大题练习(文科)
1．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．2．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：面PAB⊥平面PDC．4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，BD=2，E、F分别为AD、PC中点．（1）求点F到平面PAB的距离；（2）求证：平面PCE⊥平面PBC．5．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC ⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．求证：（1）PC∥平面DEF；（2）平面PBC⊥平面PBD．6．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ．（1）求证：EF ∥平ABD 面；（2）若AE ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．7．已知四棱锥中，⊥平面，是直角梯形，，90º，．（1）求证：⊥；（2）在线段上是否存在一点，使//平面， 若存在，指出点的位置并加以证明；若不存在，请说明理由ABCD P -PA ABCD ABCD BC AD //BAD ∠AD BC 2=AB PD PB E AE PCD E。
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(1)证明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值．[来
9．如图所示的多面体中， 是菱形， 是矩形， 面 , ．
（1）求证: .
（2）若
10．在四棱锥 中，底面 为矩形， ， ， ， ， 分别为 的中点．
立体几何
1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为( )
A. B. C. D.
2．设 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是 ( )
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 ⊥
D．若 ，则
3．如图，棱长为 的正方体 中， 为线段 上的动点，则下列结论错误的是
A． B．平面 平面
试题解析：（1）证明： 底面 为矩形
（2）证明：取 ，连接
,
是平行四边形，
// ， ，
//
考点：（1）线线垂直；（2）线面平面.
11．（1）证明：见解析；（2）多面体 的体积 ．
试题分析： 面 ，∴A正确； 面 ，∴B正确；当 时， 为钝角，∴C错；将面 与面 沿 展成平面图形，线段 即为 的最小值，解三角形易得 = ， ∴D正确.故选C.
考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直.
4．4
【解析】
试题分析：已知三视图对应的几何体的直观图，如图所示： ，所以其体积为： ，故应填入：４．
1．C
【解析】
试题分析：斜二测法：要求长边，宽减半，直角变为 角，则面积为： .
考点：直观图与立体图的大小关系.
2．C
【解析】
试题分析：此题只要举出反例即可，A,B中由 可得 ,则 , 可以为任意角度的两平面,A,B均错误.C,D中由 可得 ，则有 ,故C正确，D错误.
考点：线，面位置关系.
3．C
【解析】
求证：（1）直线PA∥平面DFE；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
14．如图. 直三棱柱ABC —A1B1C1中，A1B1= A1C1,点D、E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1
（2）直线A1F∥平面ADE．
参考答案
(1) 求证： ；
(2) 求证： 平面 ；
11．如图，多面体 的直观图及三视图如图所示， 分别为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
(2）求多面体 的体积．
12．如图，在三棱锥 中， ， 平面 ， , 分别为 , 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证—ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA=6，BC=8,DF=5.
由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝ a，△DCQ的面积为 a2，
所以棱锥P－DCQ的体积V2＝ a3.
故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.
考点：１．线面垂直；２．几何体的体积．
9．（1）证明过程详见解析；（2） .
【解析】
试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由于ABCD是菱形，得到 ，利用线面平行的判定，得 ，由于BDEF为矩形，得BF//DE，同理可得BF//面ADE，利用面面平行的判定，得到面BCF//面AED；第二问，通过证明得到 ，则 为四棱锥 的高，再求出BDEF的面积，最后利用体积公式 ，计算四棱锥A-BDEF的体积.
考点：体积相似计算.
8．(1)祥见解析；(2)１．
【解析】
试题分析：(1)要证直线与平面垂直，只须证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，注意到QA⊥平面ABCD，所以有平面PDAQ⊥平面ABCD，且交线为AD，又因为四边形ABCD为正方形，由面面垂直的性质可得DC⊥平面PDAQ，从而有PQ⊥DC，又因为PD∥QA，且QA＝AB＝ PD，所以四边形PDAQ为直角梯形，利用勾股定理的逆定理可证PQ⊥QD；从而可证PQ⊥平面DCQ；(2)设AB＝a，则由(1)及已知条件可用含a的式子表示出棱锥Q－ABCD的体积和棱锥P－DCQ的体积从而就可求出其比值．
考点：三视图．
5．24
【解析】
试题分析：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图 .
考点：三视图.
【答案】12
【解析】
试题分析：该几何体是一个直三棱柱，底面是等腰直角三角形
体积为 ＝12
考点：三视图，几何体的体积.
7．
【解析】
试题分析：过 作截面平行于平面 ,可得截面下体积为原体积的 ，若过点F，作截面平行于平面 ,可得截面上的体积为原体积的 ，若C为最低点，以平面 为水平上面，则体积为原体积的 ，此时体积最大.
C． 的最大值为 D． 的最小值为
4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m3.
5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于.
6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________
7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞 ，且知 ，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的.
试题解析：证明：（1）由 是菱形
3分
由 是矩形
∴ .6分
（2）连接 ，
由 是菱形，
由 面 ,
，10分
则 为四棱锥 的高
由 是菱形， ，则 为等边三角形，
由 ；则 ， ，
14分
考点：线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积.
10．(1)见解析；(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）欲证线线垂直往往通过证明线面垂直（即证明其中一条线垂直于另一条所在平面）；（2）欲证线面平行，需在平面内寻找一条直线，并证此线平行于另一直线.此题也可以采用空间向量证明，即证明 的方向向量垂直于平面 的法向量 即可.
试题解析：(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形．
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ.可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝ PD，
则PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.
(2)设AB＝a.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝ a3.