圆弧计算公式

圆弧计算公式
圆弧计算公式

一. 教学内容:

弧长及扇形的面积

圆锥的侧面积

二. 教学要求

1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。

2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。

三. 重点及难点

重点:

1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。

2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。

难点:

1、弧长公式、扇形面积公式的推导。

2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

[知识要点]

知识点1、弧长公式

因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是

,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”,

例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。

(2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。

知识点2、扇形的面积

如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角

为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。

又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。

知识点3、弓形的面积

(1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。

(2)弓形的周长=弦长+弧长

(3)弓形的面积

如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。

当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示,

当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示,

当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示,

例:如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是()(结果用表示)

分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC=∠AOC,所以∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC是直角三角形,所以

所以

注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

圆周长弧长圆面积扇形面积

(2)扇形与弓形的联系与区别

知识点4、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2,圆锥的侧面积,圆锥的全面积

说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

(2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

知识点5、圆柱的侧面积

圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,

若圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的侧面

积,圆柱的全面

知识小结:

圆锥与圆柱的比较

【典型例题】

例1. (2003.辽宁)如图所示,在同心圆中,两圆的半径分别为2,1,∠AOB=120°,则阴影部分的面积是()

A. B. C. D.

分析:阴影部分所在的两个扇形的圆心角为,

所以

故答案为:B.

例2. (2004·陕西)如图所示,点C在以AB为直径的半圆上,连接AC,BC,AB=10

厘米,tan∠BAC=,求阴影部分的面积。

分析:本题考查的知识点有:(1)直径所对圆周角为90°,(2)解直角三角形的知识(3)组合图形面积的计算。

解:因为AB为直径,所以∠ACB=90°,

在Rt△ABC中,AB=10,tan∠BAC=,而tan∠BAC=

设BC=3k,AC=4k,(k不为0,且为正数)

由勾股定理得

所以BC=6,AC=8,,而

所以

例3. (2003.福州)如图所示,已知扇形AOB的圆心角为直角,正方形OCDE内接于扇形AOB,点C,E,D分别在OA,OB及AB弧上,过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F,垂足为F,如果正方形的边长为1,那么阴影部分的面积为()

分析:连接OD,由正方形性质可知∠EOD=∠DOC=45°,在Rt△OED中,OD=

因为正方形的边长为1,所以OE=DE=1,所以,设两部分阴影的面积中的

一部分为M,另一部分为N,则,阴影部分面积可求,但这种方法较麻烦,用割补法解此题较为简单,设一部分空白面积为P,因为∠BOD=∠DOC,所以

所以M=P,所以

答案:。

例4. 如图所示,直角梯形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC,AB=2,BC=7,AD=3,以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周,求所得几何体的表面积。

分析:将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的,所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。

解:作DH⊥BC于H,所以DH=AB=2

CH=BC-BH=BC-AD=7-3=4

在△CDH中,

所以

例5. (2003.宁波)已知扇形的圆心角为120°,面积为300平方厘米(1)求扇形的弧长。

(2)若把此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积是多少?

分析:(1)由扇形面积公式,可得扇形半径R,扇形的弧长可由弧长

公式求得。(2)由此扇形卷成的圆锥如图所示,这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC,(1)问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长,而圆周长公式为C=2r,底面圆

半径r即CD的长可求,圆锥的高AD可在Rt△ADC中求得,所以可求。

解:(1)设扇形的半径为R,

由,得,解得R=30.

所以扇形的弧长(厘米)。

(2)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC=R=30,BC=2r,底面圆周长C=2r,因为底面圆周长即为扇形的弧长,所以

在Rt△ADC中,高AD=

所以轴截面面积(平方厘米)。

【模拟试题】(答题时间:40分钟)

一、选择题

1. 若一个扇形的圆心角是45°,面积为2л,则这个扇形的半径是()

A. 4

B. 2

C. 47л

D. 2л

2. 扇形的圆心角是60°,则扇形的面积是所在图面积的()

A. B. C. D.

3. 扇形的面积等于其半径的平方,则扇形的圆心角是()

A. 90°

B.

C.

D.180°

4. 两同心圆的圆心是O,大圆的半径是以OA,OB分别交小圆于点M,N.已知大圆半径是小圆半径的3倍,则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的()

A. 2倍

B. 3倍

C. 6倍

D. 9倍

5. 半圆O的直径为6cm,∠BAC=30°,则阴影部分的面积是()

A. B.

C. D.

6 用一个半径长为6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径为()

A. 2cm

B. 3cm

C. 4cm

D. 6cm

7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 :2,这个圆锥的轴截面的顶角是()

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为1∶2,则它们的高之比为()

A. 2:1

B. 3:2

C. 2:

D. 5:

9. 如图,在△ABC中,∠C =Rt∠,AC > BC,若以AC为底面圆半径,BC为高的圆锥的侧面积为S1,以BC为底面圆半径,AC为高的圆锥的侧面积为S2,则()

A. S1=S2

B. S1 > S2

C. S1 < S2

D. S1、S2的大小关系不确定

二、填空题

1. 扇形的弧长是12лcm,其圆心角是90°,则扇形的半径是cm ,扇形的面积是cm

2.

2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍,且扇形面积等于圆面积,则扇形的圆心角是.

3. 已知扇形面积是12cm2,半径为8cm,则扇形周长为.

4 在△ABC中,AB=3,AC=4,∠A=90°,把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥,其全面积为S1;把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥,其全面积为S2,则S1:S2=。

5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm,要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子,做成的盖子要能盖住圆柱形容器,这个扇形的半径至少要有cm。

6. 如图,扇形AOB的圆心角为60°,半径为6cm,C,D分别是的三等分点,则阴影部分的面积是。

7. 如图正方形的边长为2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心,以2为半径画弧,则阴影部分面积为。

三、计算题

1. 如图,在Rt△ABC中,AC=BC ,以A为圆心画弧,交AB于点D,交AC延长线于点F,交BC于点E,若图中两个阴影部分的面积相等,求AC与AF的长度之比(л取3)。

2. 一个等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的侧面积是S1,另一个圆锥的侧面积是S2,

如果圆锥和圆柱等底等高,求.

3. 圆锥的底面半径是R,母线长是3R,M是底面圆周上一点,从点M拉一根绳子绕圆锥一圈,再回到M点,求这根绳子的最短长度.

【试题答案】

一、选择题

1. A

2. B

3. C

4. D

5. B

6. B

7. B

8. C

9. B

二、填空题

1、24 144

2、40°

3、19cm

4、3:4

5、3

6、2

7、2-4

三、计算题

1、连接AE,则,所以

2、

3、连接展开图的两个端点MM',即是最短长度。

利用等量关系得出∠MAM′=120°,∠AMD=30°,AD=,

圆形弧形计算公式

在做工程造价时,有些时候工程量的计算是没必要计算的那么准确的,那么一小点工程量对总造价是没什么太大的影响的.比如楼主所说的弧形阳台的面积,主要是阳台弧形那部分的面积,其实楼主可以采用一个细线沿弧形阳台的外边线测量一下,然后根据图纸的比例和线的长度计算出实际的弧长,然后利用公式就可以求出弧形那部分的面积了F=1/2*[r*(L-C)+C*h] 其中L代表的是弧长,C代表的是弦长,h代表从圆弧部分到弦的最长垂直距离.在计算弧形梁时可以采用同样的办法计算出梁的实际长度,答案就出来了. 圆弧面积公式: 0.5*×弧长×半径 或 圆面积×圆心角÷360度 用扇形面积减三角形面积 扇形面积公式_s=1/2 L*r S-面积L-弧长r-圆的半径 关键就是圆弧所对圆的R要知道 C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360) r—扇形半径 a—圆心角度数 球的体积公式: V球=4/3 π r^3 球的面积公式: S球=4π r^2 ***************************************************************** 附:推导过程(可能会看不懂(涉及到了大学的微积分),就当学点知识吧,呵呵) 1.球的体积公式的推导 基本思想方法: 先用过球心的平面截球,球被截面分成大小相等的两个半球,截面⊙叫做所得半球的底面.

(l)第一步:分割. 用一组平行于底面的平面把半球切割成层. (2)第二步:求近似和. 每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”,我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积,它们的和就是半球体积的近似值. (3)第三步:由近似和转化为精确和. 当无限增大时,半球的近似体积就趋向于精确体积. 2.定理:半径是的球的体积公式为:. 3.体积公式的应用 求球的体积只需一个条件,那就是球的半径.两个球的半径比的立方等于这两个球的体积比. 球内切于正方体,球的直径等于正方体的棱长;正方体内接于球,球的半径等于正方体棱长的倍(即球体对角钱的一半);棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球半径为. 也可以用微积分来求,不过不好写 ================================================================ ====== 球体面积公式: 可用球的体积公式+微积分推导 定积分的应用:旋转面的面积。好多课本上都有,推导方法借助于曲线的弧长。 让圆y=√(R^2-x^2)绕x轴旋转,得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。 以x为积分变量,积分限是[-R,R]。 在[-R,R]上任取一个子区间[x,x+△x],这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds,ds是弧长。 所以球的表面积S=∫<-R,R>2π×y×√(1+y'^2)dx,整理一下即得到S=4πR^ 求各种图形的面积公式 圆πR^2 椭圆πab 长方形ab 圆内接四边形根号下((s-a)(s-b)(s-c)(s-d) )

最新各种图形面积计算公式

各种图形面积计算公式 1、长方形的周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×2 2、正方形的周长=边长×4 C=4a 3、长方形的面积=长×宽S=ab 4、正方形的面积=边长×边长S=a.a= a 5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 6、平行四边形的面积=底×高S=ah 7、梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)h÷2 8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 10、圆的面积=圆周率×半径×半径?=πr 11、长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 12、长方体的体积=长×宽×高V =abh 13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a 14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a.a.a= a 15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高S=ch 16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch 17、圆柱的体积=底面积×高V=Sh V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h

18、圆锥的体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷3 19、长方体(正方体、圆柱体)的体积=底面积×高 V=Sh 各种图形体积计算公式 平面图形 名称符号周长C和面积S 1、正方形a—边长C=4a S=a2 2、长方形a和b-边长C=2(a+b) S=ab 3、三角形a,b,c-三边长 h-a边上的高 s-周长的一半 A,B,C-内角 其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2 =ab/2·sinC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2sinBsinC/(2sinA) 4、四边形d,D-对角线长 α-对角线夹角S=dD/2·sinα 5、平行四边形a,b-边长 h-a边的高 α-两边夹角S=ah =absinα 6、菱形a-边长 α-夹角 D-长对角线长 d-短对角线长S=Dd/2 =a2sinα 7、梯形a和b-上、下底长 h-高 m-中位线长S=(a+b)h/2 =mh

圆弧计算公式及运用

圆弧计算公式及运用 一. 教学容: 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点: 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点: 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 [知识要点] 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:, 说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”,例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示,

常用面积计算公式

常用面积计算公式 名 称 简图计算公式 正方形A a;a 0.7.71d A d 1.4142a 1.4142 A 长方形A ab a d2 2 b d2 2 A d a b;a d2 2 b b d a a 平 行四边形 A A A bh;h b h 三角形 a b c A a ()2 2 2 2b 1 P (a b c); 2 A P(P a)(P b)(P c) 梯形A;h ; (a b)h2A 2 a b 2A a b; b a h h 正六边型 A2.5981a2 2.5981R2 3.4641r R a1.1547r r0.86603a 0.86603R 2 a b 2 2 A 2 2 b ;b bh b 2 2 2 2 2A 2

圆A r23.1416r2 0.7854d2 L 2r6.2832r3.1416d r L/20.15915L0.56419A d L/0.31831L 1.1284 A 椭圆A ab 3.1416ab 周长的近似值 2P2(a b) 比较精确的值 2P[1.5(a b)ab] 扇型 1 A rl 0.0087266a r2 2 l 2A/r 0.017453ar r 2A/l 57.296l/a 180l 57.296l a r r 弓型 2 2 A[r l c(r h)];r 2 8h l 0.017453ar;c2h(2r h) 4r2 2 57.296l h r;a 2 r 圆环A(R r) 3.1416(R r) 0.7854(D d) 3.1416(D S)S 3.1416(d S)S S R r(D d)/2

圆弧计算公式

一. 教学内容: 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点: 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点: 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 [知识要点] 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”, 例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角 为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。 知识点3、弓形的面积

(1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示, 例:如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是()(结果用表示) 分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC=∠AOC,所以∠AOC =2∠ABC=90°,所以△OAC是直角三角形,所以 , 所以 注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积

弧长的公式、扇形面积公式

【本讲教育信息】 一. 教学内容: 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点: 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点: 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 [知识要点] 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”, 例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角 为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长

(3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示, 例:如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是()(结果用表示) 分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC=∠AOC,所以∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC是直角三角形,所以 , 所以 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点4、圆锥的侧面积

球的体积与表面积教案设计(参考)

球的体积和表面积 一、教材分析 本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第2课时球的体积和表面积,是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上,通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征.从知识上讲,球是一种高度对称的基本空间几何体,同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础;从方法上讲,它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法;从教材编排上,更重视学生的直观感知和操作确认,为螺旋式上升的学习奠定了基础. 课时分配 本节内容用1课时的时间完成,主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用. 二、教学目标 知识与技能 (1)通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法:“分割——求和——化为准确和”,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识. (2)能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题. (3)培养学生的空间思维能力和空间想象能力. 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式3 3 4 =R V π和面积公式24=R S π的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极限思想. 情感与价值观 通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心. 三、教学重点、难点 重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法.

难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成,以及与球有关的组合体的表面积和体积的计算. 四、学法和教学用具 学法:学生思考老师提出的问题,通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤. 教学用具:投影仪,旨在通过动态图形使得学生对球这一立体图形有一个直观的认识. 五、教学设计 创设情景 ⑴教师提出问题:乌鸦喝水的问题我们都知道, 只有一颗一颗的小圆石头往水瓶里投乌鸦才能喝到 水,那么我们是不是可以用数学方法精确的计算出乌 鸦具体需要投入几颗小圆石头呢?这里就涉及到了 小石子的体积了,假设小石子都是均匀的球体,我们 知道球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考. ⑵教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积?激发学生推导球的体积和面积公式. 探究新知 1.球的体积: 如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”,“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按【设计意图】通过大家所熟知的寓言小故事引出教学内容,提高学生学习兴趣.

弧长计算公式及扇形面积计算公式

教学目标 知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题 过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识,提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算 【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为:

所有图形的面积,体积,表面积公式

长方形的周长=(长+宽)×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体(正方体、圆柱体) 的体积=底面积×高 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C=4a S=a2 长方形a和b-边长C=2(a+b) S=ab 三角形a,b,c-三边长 h-a边上的高 s-周长的一半 A,B,C-内角 其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2 =ab/2·sinC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D-对角线长 α-对角线夹角S=dD/2·sinα

平行四边形a,b-边长 h-a边的高 α-两边夹角S=ah =absinα 菱形a-边长 α-夹角 D-长对角线长 d-短对角线长S=Dd/2 =a2sinα 梯形a和b-上、下底长 h-高 m-中位线长S=(a+b)h/2 =mh 圆r-半径 d-直径C=πd=2πr S=πr2 =πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360) 弓形l-弧长 b-弦长 h-矢高 r-半径 α-圆心角的度数S=r2/2·(πα/180-sinα)=r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 =r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环R-外圆半径 r-内圆半径 D-外圆直径 d-内圆直径S=π(R2-r2) =π(D2-d2)/4 椭圆D-长轴 d-短轴S=πDd/4 立方图形

室内面积计算公式

室内面积计算公式 一、楼地面 1、找平层、整体面层按房间净面积以平方米计算,不扣除柱、墙垛、间壁墙及面积在0.3㎡以内孔洞所站面积,但门洞口、暖气槽面积也不增加。 2、块料面层、木地板、活动地板,按图示尺寸以平方米计算。 3、铝合金道牙按图示尺寸以米计算。 4、楼梯满铺地毯按楼梯间净水平投影面积以平方米计算,但楼梯井宽超过500㎜者应扣除其面积;不满铺地毯按实铺地毯的展开面积计算。 5、块料踢脚、木踢脚按图示长度以米计算。 6、台阶、坡道按图示水平投影面积以平方米计算。 7、防滑条、地毯压棍和地毯压板按图示尺寸以米计算。 二、天棚 1、天棚面层 A、天棚面层按房间净面积以平方米计算,不扣除检查口、附墙烟囱、附墙垛和管道所占面积,但应扣除独立柱、与天棚相连的窗帘盒、0.3㎡以上洞口及嵌顶灯槽所占的面积。 B、天棚中的折线、错台、拱型、穹顶、高低灯槽等其它艺术形式的天棚面积均按图示展开面积以平方米计算。 2、面层装饰 A、天棚面积按房间净面积以平方米计算,不扣除柱、垛、附墙烟囱、检查口和管道所占的面积带梁的天棚,梁两侧面积并入天棚工程量内。 B、密肋梁井字梁天棚面积按图示展开面积以平方米计算。

C、天棚中的折线、灯槽线、圆弧型线、拱型线等艺术形式的面层按图示展开面积以平方米计算。 D、天棚涂料、油漆、裱糊按饰面基层相应的工程量以平方米计算。 3、其它项目 A、金属格栅吊顶、硬木格栅吊顶等均根据天棚图示尺寸按水平投影面积以平方米计算。 B、玻璃采光天棚根据玻璃天棚面层的图示尺寸按展开面积以平方米计。 C、天棚吸音保温层按吸音保温天棚的图示尺寸以平方米计算。 D、藻井灯带按灯带外边线的设计尺寸以米计算。

弧长的计算公式(终审稿)

弧长的计算公式公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

1°的圆心角所对的弧长的n 倍,即 180 R n l π= ⑶引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式,弧长计算公式 180 R n l π= ,揭示了R n l ,,这3个量之间的一种相等关系。在R n l ,,这3个量中,如果知道其中的两个量,就可以由弧长计算公式,求出另一个量。 强调:公式中的n 不带单位,n 表示1°的圆心角所对的弧长的倍数 师 生 互 动 过 程 教学内容和学生活动 教师活动 三、例题讲解 例1 弯制铝合金框架时,先要按中心线计算框架的展直长度再下料,计算如图所示框架的展直长度(精确到1mm ) 四、练习 1、已知圆弧的半径为30cm ,它所对 ? 学生小组交流讨论,然后找一名学生到黑板上板演

的圆心角为70o,求这条圆弧的长度(精确到) 2、已知圆的半径为9cm,求20o的圆 心角所对的弧的长度(精确到) 3、已知一条弧的长度为πR/4,半径为R,求这条弧所对的圆心角的度数 4、如图,已知扇形的圆心角为150°,弧长为20πcm,求扇形的半径. 学生讨论,找学生到黑板板演 教学内容和学生活动教师活动

师生互动过程练习2:如图,圆心角为60°的扇形的 半径为10cm, 求这个扇形的周长. 补充: 如图,某传送带的一个转动 轮的半径为10cm. 1)转动轮转一周,传送带上的物品 A被传送多少厘米 2)转动轮转1°,传送带上的物品 A被传送多少厘米 3)转动轮转n°,传送带上的物品 A被传送多少厘米 五、小结 布置作业 ? 学生思考 板书设计

弧长计算公式及扇形面积

课题: 课型:新授课 教学目标: 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力; 2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题,训练学生的数学应用能力; 3.使学生了解计算公式的同时,体验公式的变式,使学生在合作与竞争中形成良好的数学品质. 教学重点: 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形的面积计算公式;会利用公式解决问题. 教学难点: 探索弧长及扇形的面积计算公式;用公式解决问题. 教学准备: 多媒体课件、几何画板软件. 教法学法: 多媒体教学、演示教学和自主探究法 教学过程: 一、创设情境,引入新课. 师:今天大家是怎么来上学的? 生:自行车/电动车/步行/坐十路车. 师:看来咱们班多数同学一天的学习生活都是从车轮开始的. 生发出会心的笑声. 师:大家看这辆自行车,它的车轮的半径是30cm,车轮转动一周,车子将会前进多少?

生:60πcm . 师:这实际上就是利用圆的周长公式计算的,那圆的面积公式是什么?圆的圆心角是多少度? 生:若圆的半径是r ,则面积是2S r π=,圆的圆心角是360°. 师:看得出来同学们对一整个圆已经是相当的了解了,我们今天要来把圆剖析一下,来研究一下“弧长及扇形的面积”(板书课题). 设计意图:激发学生的求知欲望,肯定学生的合理答案. 二、师生互动,探究新知 活动1 探索弧长公式 师:我们知道车轮转动一周是360°,那如果车轮转动180°,车子将会前进多少厘米? 生:30πcm .因为车轮转动180°,是转动了半圈,所以车子前进的距离是圆周长的一半. 师:那如果车轮转动了90°,车子将会前进多少厘米? 生:15πcm .因为车轮转动90°,是转动了四分之一圈,所以车子前进的距离是圆周长的一半. 师:那如果车轮转动1°呢?转动n °呢? 小组研讨交流、计算. 师参与、辅助、组织学生阐述解决问题的方法. 生:因为圆的周长所对的圆心角是360°,所以车轮转动1°,车子将前进圆周长的 1 360 ;车轮转动n °,车子前进的距离是车轮转动1°时的n 倍,也就是圆周长的360n .所以,当车轮转动1°时,车子前进 11 2306360180 r πππ?=?=cm; 当车轮转动n °时,车子前进2303601806 n n n r πππ?=?=cm. 师:同学们能不能通过以上探究总结一下在半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式是什么? 学生思考. 生: 180 n l r π= . 师:是的,这里同学们要特别注意,公式中的n 表示的是1°的圆心角的倍数,所以不写单位;如图所示?AB 的弧长记作: ?180 l n AB r π=.请同学们记住这个公式. 学生识记公式. 设计意图:关于弧长的计算,我从一个生活中的实际问题出发,设计了5个小问题,从具体到抽象,让小组的同学讨论分

球冠表面积计算公式

球冠表面积计算公式文稿归稿存档编号:[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ,对应球半径 R 有关系:r = Rc osθ,则有球冠积分表达: 球冠面积微分元dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ 积分下限为θ,上限π/2 所以:S = 2πR*R(1 - sinθ) 其中:R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H 所以:S = 2πRH S=∫dS =∫2πr*Rdθ=∫ 2πR^2*cosθ dθ=2πR^2∫cosθ dθ= 2πR*R(1 - sinθ) 注 1》2πR^2中^2为2πR的平方 2》∫ 要有写上下标,分别为π/2 ,θ 球冠的面积计算公式 推导过程如下:? 假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ,对应球半径 R 有关系:r = Rcosθ,则有球冠积分表达:? 球冠面积微分元 dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ? 积分下限为θ,上限π/2? 所以:S = 2πR*R(1 - sinθ)? 其中:R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H? 所以:S = 2πRH 球冠概念的分析 (1)球冠不是几何体,而是一种曲面,它是球面的一部分,是球面被一个平面截成的,也可以看成由一段弧绕着经过它的一个端点的直径旋转而成的曲面。球冠的任何部分都不能展开平面。 (2)球冠的底面是圆,而不是圆面,故球冠的面积不能包括底面圆的面积。 (3)球面被一个平面截成两个部分,它们都是球冠,其中一个球冠的高小于球的半径,另一个球冠的高大于球的半径。 (4)球冠面积公式S球冠=2πRh对其高小于、等于或大于球半径

圆弧计算公式及运用

圆弧计算公式及运用 一. 教学内容: 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点: 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点: 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 [知识要点] 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式:,说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”, 例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角 为1°的扇形面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积,所以又得到扇形面积的另一个计算公式:。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积

如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示, 例:如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是()(结果用表示) 分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC=∠AOC,所以∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC是直角三角形,所以 , 所以 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点4、圆锥的侧面积

各种面积计算公式

各种面积计算公式 长方形的周长=(长+宽)>2 正方形的周长=边长>4 长方形的面积=长>宽 正方形的面积=边长>边长 三角形的面积=底>高吃 平行四边形的面积=底>高 梯形的面积=(上底+下底)冷高吃 直径二半径>2半径=直径吃 圆的周长=圆周率 >直径 圆周率 >半径> 圆的面积=圆周率 >半径 >半径 长方体的表面积= (长观+长>高+宽 >高)> 椭圆的面积S=n ab 的公式求椭圆的面积。a = b 时, 当长半径a = 3(厘米),短半径b = 2(厘米)时,其面积S = 3> 2>茫6n 平方厘米)。 长方体的体积=长观辭 正方体的表面积=棱长 >棱长>6 正方体的体积=棱长 >棱长 >棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长 >高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积 >高 圆锥的体积=底面积 >七 长方体(正方体、圆柱体) 的体积=底面积 >高 平面图形 名称符 正方形 S = a2 长方形 S = ab 三角形 h —a 边上的高 s —周长的一半 A,B,C —内角 其中 s = (a+b+c)/2 S = ah/2 =ab/2 sinC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2si nBsi nC/(2si nA) 四边形d,D —对角线长 a —对角线夹角 S = dD/2 - sin a 平行四边形a,b —边长 h — a 边的咼 a —两边夹角S = ah =absin a 菱形a —边长 a —夹角 D -长对角线长 d —短对角线长S = Dd/2 =a2sin a 号周长C 和面积S a —边长C = 4a a 和 b —边长 C = 2(a+b) a,b,c -三边长

图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式

图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式 一、球体面积 球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成,见图一、图二、图三。设球体的二分之一水平中心为腰线,在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a,然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。根据定义:线的长度不因弯曲而改变,球面可无限分割成N个等腰三角形

如图二、图四、图五所示,所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形,亦可将等腰三角形拼凑成方形。 在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后,我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即,球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形,等腰三角形亦可拼凑成方形,由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。 即S = 长×宽,如果我们设球体1/4之一的周长为宽,设球体的周长为长,则球体表面积公式为:S=1/4周长×周长(见图六) 例1:已知球体直径是1个单位,求球体表面积(用上述最新推导公式S=1/4周长×周长) S =(3.14159÷4)×3.14159 = 2.4674㎡ 二、球体体积 设以球心作一条垂线或水平中心线,然后以垂线或水平中心向外将球体按等

分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。 球体分割完成后,将半圆楔形体镜像排列成圆柱体,见图九、图十。 从图七、图八、图九、图十看,球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体,根据计算得出定义:与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。

则球体体积公式为:V =πR平方×周长的1/4 或:V = D(直径的三次方)×0.616849233 例2:已知球体直径是1个单位,求球体体积(用上述最新推导公式) V =πR平方×周长的1/4 = 3.14159×0.25×0.7853975 = 0.616849233 三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误 1、球体面积 如何检验球体面积计算的正确,最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确,如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确,见图十一。 图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比,新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。 计算过程: S =(1.570795×0.7853975)= 1.2336㎡ 公知公式计算结果反贴复原后剩余有0.337㎡的面积。 计算过程: S = 1×3.14159÷2 = 1.570795㎡

弧长的计算公式

高庙王中学双案教学设计 学科数学年级九时间 11.27 总序 号 51 课题 弧长的计算公式 主备人甄守鲁 授课人甄守鲁 教学目标 和 学习目标1、经历探索弧长计算公式的过程,会推导弧长的计算公式 2、会运用弧长计算公式计算有关问题 教学重点 教学难点 目标2 师生互动过程 教学内容和学生活动教师活动一、创设情境引入新课 某圆拱桥的半径是30m,桥拱AB 所对的圆心 角∠AOB=90°,你会求桥拱AB的长度吗?(精确到 0.1m) 出示课本中小亮的做法,让学生判断正误 二、探索活动 1、探索弧长计算公式 ⑴1°的圆心角所对的弧长是多少? 分析:1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 360 1 ,即 180 360 2R Rπ π = ⑵n°的圆心角所对的弧长是多少? 分析:n°的圆心角所对的弧长是1°的圆心 角所对的弧长的n倍,即 180 R n l π = ⑶引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算 公式,弧长计算公式 180 R n l π =,揭示了R n l, ,这3 个量之间的一种相等关系。在R n l, ,这3个量中, 如果知道其中的两个量,就可以由弧长计算公式, 求出另一个量。 出示问题,让学 生自主探索 强调:公式中的 n不带单位,n 表示1°的圆心 角所对的弧长的 倍数

师生互动过程 教学内容和学生活动教师活动三、例题讲解 例1 弯制铝合金框架时,先要按中心线计算框 架的展直长度再下料,计算如图所示框架的展直长 度(精确到1mm) 四、练习 1、已知圆弧的半径为30cm,它所对的圆心角 为70o,求这条圆弧的长度(精确到0.1cm) 2、已知圆的半径为9cm,求20o的圆心角所对 的弧的长度(精确到0.1cm) 3、已知一条弧的长度为πR/4,半径为R,求 这条弧所对的圆心角的度数 4、如图,已知扇形的圆心角为150°,弧长为20π cm,求扇形的半径. 学生小组交流讨 论,然后找一名 学生到黑板上板 演 学生讨论,找学 生到黑板板演

各种图形面积计算公式

各种图形面积计算公式 1、 长方形的周长=(长+宽)X 2 C=(a+b)X 2 2、正方形的周长二边长X 4 C=4a 3、长方形的面积二长X宽S=ab 4、正方形的面积二边长>边长S=a.a= a 5、二角形的面积=底X高* 2 S=ah * 2 6、平行四边形的面积二底滴S=ah 7、梯形的面积=(上底+ 下底)X高* 2 S(a + b)h* 2 8、直径二半径X 2 d=2半径二直径* 2 r= d * 2 9、圆的周长二圆周率X直径二圆周率X半径X 2 c=d =2n 10、圆的面积二圆周率>半径X半径?= n 11、长方体的表面积=(长X宽+长滴+宽滴)X 2 12、长方体的体积=长>宽滴V =abh 13、正方体的表面积二棱长>棱长X 6 S =6a 14、正方体的体积二棱长>棱长X棱长V=a.a.a= a 15、圆柱的侧面积二底面圆的周长X高S=ch 16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 S=2n r +2 n rh=2 n (d * 2) +2 n (d * 2)h=2 n (C * 2*n ) +Ch 17、圆柱的体积二底面积X高V=Sh V= n r h= n (d * 2) h= n (C * 2*n ) h 18、圆锥的体积二底面积X高* 3

V=Sh* 3= n r h * 3= n (d * 2) h * 3= n (C * 2*n ) h *3 19、长方体(正方体、圆柱体)的体积二底面积>高V=Sh 各种图形体积计算公式平面图形 名称符号周长C和面积S 1 、正方形a—边长C= 4a S= a2 2、长方形 a 和b —边长C= 2(a+b) S= ab 3、三角形a,b,c —三边长 h—a边上的高s—周长的一半 A,B,C—内角 其中s= (a+b+c)/2 S= ah/2 =ab/2 sinC = [s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 = a2sinBsinC/(2sinA) 4、四边形d,D—对角线长 a—对角线夹角S= dD/2 sin a 5、平行四边形a,b—边长h—a边的高 a-两边夹角S= ah = absin a 6、麦形a—边长 a—夹角 D-长对角线长d —短对角线长S=Dd/2 = a2sin a

弧长 计算公式

弧长计算公式 弧长的定义 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。弧长的计算公式 弧长公式:n是圆心角度数,r是半径,a是圆心角弧度。 公式 l = n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180 在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR,所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。 例:半径为1cm,45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45×3.14×1/180 约等于0.785(cm) 拓展 扇形面积公式:S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π(圆周率)x r²【半径的平方(2次方)】/360 例子 如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径

为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。 补充公式 S扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以:S扇=rL/2 还可以是S扇=n/360πr² (n为圆心角的度数,L为该扇形对应的弧长。) 圆锥母线,弧长,面积计算公式 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中:圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π为圆周率≈3.14 R为圆锥体底面圆的半径 L为圆锥的母线长我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线 (注意:不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长

球的体积和表面积公式具体推导过程精编版

1..3.2球的体积和表面积(1) 设球的半径为R ,将半径OAn 等分,过这些分点作平 面把半球切割成n 层,每一层都是近似于圆柱形状的“小 圆片”,这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 n R ,底面 就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i 层(由下向上数)“小圆片”的下底面半径: 2 2)]1([--=i n R R r i ,(i =1,2,3,···,n ) 第i 层“小圆片”的体积为: V ≈π2i r ·n R =??? ???????? ??--2311n i n R π, (i =1,2,3,···,n ) 半球的体积:V 半径=V 1+V 2+···+Vn ≈n R 3π{1+(1-221n )+(1-222n )+···+[1-2 2)1(n n -]} =n R 3π[n -2222)1(21n n -+???++](注:)12)(1(6 121222++=+???++n n n n ) =n R 3π[n -6)12()1(12--?n n n n =236)12)(1(1(n n n R ---π)=????????????---6)12)(11(13n n R π ① 当所分的层数不断增加,也就是说,当n 不断变大时,①式越来越接近于半球的 体积,如果n 无限变大,就能由①式推出半径的体积。 事实上,n 增大, n 1就越来越小,当n 无限大时,n 1趋向于0,这时,有 V 半径=332R π,所以,半径为R 的球的体积为: V =33 4R π

弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)

弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)

【本讲教育信息】 一. 教学内容: 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点: 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点: 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 [知识要点] 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C =2R,所以1°的圆心角所对的弧长是,于是可得半径为R的圆中,n°的圆心角所对的 弧长l的计算公式:,

说明:(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单位“度”,例如,圆的半径R=10,计算20°的圆心角所对的弧 长l时,不要错写成。 (2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为R,圆心角为n°的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积,所以圆心角为1°的扇形 面积是,由此得圆心角为n°的扇形面积的计 算公式是。 又因为扇形的弧长,扇形面积 ,所以又得到扇形面积的另一个计 算公式:。 知识点3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积

知识点4、圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2,圆锥的侧面积,圆锥的全面积 说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 (2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点5、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,若圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的侧面积,圆柱的全面积

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