精典平面几何题汇总
平面几何100题及答案(前80题)
第一题、如图，F为。
0外一点，PA、PB分别切6于A、B, PCD为ST割线，CO 交CX）于另一点E, AC、EB交于点F,证明：CD平分匕ADF。
"证明方法一：如图，延长ED交CA于K,根据条件知四边形CADB为调和四边形，故ED、EC、EA、EB构成一组调和线束，进而知K、C、A、F构成一组调和点列。
而KD±CD, 故CD平分ZADFo 3证明方法二：如鼠连結OA、OE、AB、BC,因为ZAFB = ZACE-ZBEC =ZAOE-ZBOC ISCT-NAOC-NBOC 半，且PA = PB,故点P为TkABF的外心。
于是知ZPFA= ZPAC = ZPDA,所以P、A、D、F 四点共圆。
又PA= PF,故CD 平分Z A DF。
3第二题、如图，AB为©0直径，C、D为O。
上两点，且在AB同侧，。
在C、D两处的切城交于点E, BC、AD交于点F, EF交AB于证明：E、C、页、D四点共圆。
“证明：如图，延长白C、BD交于点K,则BC1AK, AD丄BK,从而知F^)AKAB的垂心。
又在圆内接六边形CCADDB中使用帕斯卡定理，知K、E、F三点共线，从而KM丄卽于価。
于是知匕CMF = ZCAF= ZCDE,所以E、C、页、D四点共圆。
K第三题、如图，AB为。
直径，C、D为伽上两点'且在AB同侧，O0在C. D两处的切线交于点E, BC、AD交于点F, EB交0。
于点G,证明；ZCEF = 2/AGF。
“证明：如图，根据条件知匕CF D =典牌=(脸-®；(i对-命)=Z CAB + / DBA = ZECF + ZEDF；且EC = ED；故点E 为△CED 外心。
于是知/EFC = ZECF = ZCAB = ZCGE,敌E、C、F、G四点共圆。
所以“ZCGF = ZCEF = 2(90° - ZECF)= 2(90° - ZCAB)= 2ZABC 二2ZAGC " 0lWZAGF = —=—,即得ZCEF = 2ZAGFo，2 2第四題、如图，AB为直径，P为AB延长线上一点，PC切于C,点C关于朋的对称点为点D, CE1AD于E, F为CE中点，AF交于K,求证：AP为ZXPCK外扬圆的切线。
平面几何练习题
平面几何练习题题一：求三角形边长和周长已知一个三角形的两边长分别为a和b，夹角为C°，求第三边c的长度和三角形的周长P。
解：根据余弦定理可知，余弦公式为：c² = a² + b² - 2ab·cos(C)。
根据上述公式，可以计算得到c的长度。
根据三角形的定义可知，三角形的周长P等于三边之和，即P = a + b + c。
题二：求三角形的面积已知一个三角形的底边长为b，高为h，求三角形的面积S。
解：根据三角形的面积公式可知，S = 0.5 * b * h。
题三：判断点是否在三角形内部已知一个三角形的三个顶点坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），以及一个待判断的点D（x，y），判断点D是否在三角形ABC的内部。
解：利用行列式的性质可以判断点D是否在三角形ABC内部。
设点D的坐标为(x,y)，则点D在三角形ABC内部的条件为：|(x₁ - x) (y₁ - y) 1||(x₂ - x) (y₂ - y) 1| > 0|(x₃ - x) (y₃ - y) 1|如果等式左侧的行列式结果大于0，则点D在三角形ABC内部；如果等式左侧的行列式结果小于0，则点D在三角形ABC的外部；如果等式左侧的行列式结果等于0，则点D在三角形ABC所在的边界上。
题四：求矩形的面积和周长已知一个矩形的长为L，宽为W，求矩形的面积S和周长P。
解：矩形的面积公式为S = L * W，周长公式为P = 2 * (L + W)。
题五：求圆的面积和周长已知一个圆的半径为r，求圆的面积S和周长C（circumference）。
解：圆的面积公式为S = π * r²，其中π取近似值3.14159；圆的周长公式为C = 2 * π * r。
题六：判断点是否在圆内部已知一个圆的圆心坐标为O（x₀，y₀），半径为r，以及一个待判断的点P（x,y），判断点P是否在圆O内部或者在圆的边界上。
平面几何习题及答案
平面几何习题及答案
平面几何是数学中的重要部分，通过题的练可以加深对基本概念和定理的理解。
本文提供一些常见的平面几何题及其答案，供研究和练使用。
1. 题1
已知三角形ABC的三边长度分别为a、b和c，求三角形的面积S。
解答：
首先，可以使用海伦公式计算半周长p：
p = (a + b + c) / 2
然后，使用海伦公式计算三角形的面积S：
S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
其中，sqrt表示平方根。
2. 题2
已知三角形ABC的底边AB是一条固定的线段，顶角C的位置可以变化，求三角形的最大面积。
解答：
根据三角形面积公式S = 1/2 * base * height，当底边AB固定时，三角形的最大面积出现在高度最大的位置。
在这种情况下，高度等于底边长度的一半。
因此，三角形的最大面积为：S = 1/2 * AB * (AB/2) = AB^2 / 4
3. 题3
已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，求平行四边形的面积S。
解答：
由于对角线互相平分，所以可以将平行四边形分为两个相等的三角形。
假设对角线AB和CD的交点为O，那么平行四边形的面积等于两个三角形的面积之和。
设对角线AB和CD的长度分别为d1和d2，那么平行四边形的面积为：
S = 2 * (1/2 * d1 * d2) = d1 * d2
通过以上题的练，可以提高对平面几何的理解和应用能力。
希望本文对研究者有所帮助。
参考资料
- 平面几何概念和定理的教材或课堂讲义。
平面几何练习题及解答
平面几何练习题及解答一、直线与角度1. 给定一条直线L1和两条直线L2和L3，若L1与L2垂直，L2与L3平行，则L1与L3之间的夹角为多少度？解答：由于L1与L2垂直，可得出L2的斜率为无穷大，即L2为竖直线。
而L2与L3平行，说明它们具有相同的斜率。
因此，L3的斜率也为无穷大，即L3也是竖直线。
由此可知，L1与L3之间的夹角为90度。
2. 给定一条直线L和两点A、B，若L与AB的垂线相交于点M，且角AMB为40度，则角LMA的度数是多少？解答：由垂线的性质可得出，角LMA与角AMB互补，它们的度数和为90度。
已知角AMB为40度，因此角LMA的度数为90度减去40度，即50度。
二、三角形3. 已知三角形ABC，其中∠B = 90度，AB = 3 cm，BC = 4 cm，求AC的长度。
解答：根据勾股定理可得：AC² = AB² + BC²AC² = 3² + 4²AC² = 9 + 16AC² = 25AC = √25AC = 5 cm4. 已知三角形ABC，其中AB = 6 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm，求∠B的度数。
解答：根据余弦定理可得：BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cosB8² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cosB64 = 36 + 100 - 120 * cosB64 = 136 - 120 * cosB120 * cosB = 136 - 64120 * cosB = 72cosB = 72 / 120cosB = 0.6根据反余弦函数可得：∠B = arccos(0.6)∠B ≈ 53.13度三、圆的性质5. 在平面直角坐标系中，给定圆心为O(2, 3)，半径为5的圆C，点P(6, 7)是否在圆C上？解答：利用距离公式可计算OP的距离：OP = √((6-2)² + (7-3)²)OP = √((4)² + (4)²)OP = √(16 + 16)OP = √32OP ≈ 5.66由于OP的长度不等于圆C的半径，即5.66不等于5，因此点P不在圆C上。
平面几何经典难的题目及解答
平面几何经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A PC D B AFG C EBOD D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 BF经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．4、平行四边形ABCD 中，设E 、F分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC＝200，求∠BED 的度数．经典难题解答:经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
平面解析几何经典题(含答案解析)
平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角α的围000180α≤<（2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l，其斜率分别为12,k k，则有1212//l l k k⇔=。
特别地，当直线12,l l的斜率都不存在时，12l l与的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l斜率存在，设为12,k k，则12121l l k k⊥⇔=-注：两条直线12,l l垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l与互相垂直。
二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式k为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式是直线上两定点不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x yB x yC x y若123AB ACx x x k k===或，则有A、B、C三点共线。
平面几何100题(1)
平面几何100题1.非等腰锐角三角形ABC 的外接圆为ω，H 为△ABC 的垂心，M 是AB 的中点。
在不含C 的圆弧AB 上取点P、Q，使得∠ACP=∠BCQ＜∠ACQ，过H 分别作CQ、CP 的垂线，垂足为R、S。
证明：P，Q，R，S 共圆且点M 是该圆的圆心。
2.在△ABC 中，点M、N、K 分别在边BC、CA、AB 上且不与顶点重合，若∠BAC=∠KMN 且∠ABC=∠KNM，则称△MNK 为完美三角形。
证明：如果在△ABC 中有两个具有共同顶点且不重合的完美三角形，则△ABC 是直角三角形。
3.四边形ABCD 满足AD//BC，∠ABC>90⁰，M 是线段AB 上不同于A、B 的一点，设△MAD、△MBC 的外心分别为21,O O 。
△D MO 1的外接圆不同于M 的交点为N。
求证：点N 在直线21O O 上。
4.在凸四边形（非平行四边形）ABCD 的对角线上分别取点B′、C′，使得△ACB′、△BDC′都为正三角形，其中点B 和B′位于AC 的同侧，点C 和C′位于BD 的同侧，如果CD AB C B +=''，求∠BAD+∠CDA 的值。
5.给定一个凸六边形ABCDEF，其中AB//DE，BC//EF，CD//FA。
设BD 和AE、AC 和DF、CE 和BF 的交点分别为M、N、K。
证明：过M、N、K 分别作AB、CD、EF 的垂线交于同一点。
6.圆内接四边形ABCD 的对角线交于点K，点M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点，△ADM 和△BCM 的外接圆交于点M、L，证明：K，L，M，N（这些点两两不重合）四点共圆。
7.圆内接四边形ABCD 的外接圆为圆Ω且AB=AD，在线段BC、CD 上分别取点M、N，使得MN=BM+DN。
直线AM 交圆Ω于点P （不同于A），直线AN 交圆Ω于点Q （不同于A）。
求证：△APQ 的垂心在MN 上。
8.给定四边形ABCD，其中∠B=∠D=90⁰，在线段AB 上取点M 使得AD=AM。
平面几何经典测试题(含答案)
平面几何经典测试题(含答案)1. 题目：已知正方形ABCD，边长为a，点O是正方形中线的中点，连接AO、BO、CO、DO，求角AOB的大小。
解答：首先，我们知道正方形的中线与边的交点是该边的中点。
因此，点O是正方形ABCD的中心点，且AO、BO、CO、DO都是正方形的对角线。
由于正方形的对角线互相垂直且平分对方角，所以角AOB的大小是90度。
2. 题目：在平面直角坐标系中，点A(1, 3)和点B(4, -2)确定了一条直线L，求直线L的斜率和截距。
解答：直线的斜率可以用两点的坐标来计算。
斜率表示了直线的倾斜程度。
设两点的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则直线的斜率k可以计算为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)在这个题目中，点A的坐标为A(1, 3)，点B的坐标为B(4, -2)。
将这些值代入斜率公式，可以计算出直线L的斜率。
斜率 k = (-2 - 3) / (4 - 1) = -5/3直线的截距表示了直线与y轴的交点的纵坐标。
设与y轴的交点坐标为(0, b)，则直线的截距b可以计算为：b = y - kx将点A或B的坐标代入，就可以计算出直线L的截距。
以点A(1, 3)为例，截距 b = 3 - (-5/3) * 1 = 8/3所以，直线L的斜率为-5/3，截距为8/3。
3. 题目：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，其中a=4，b=5，c=6，判断三角形ABC的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。
解答：根据三角形的边长关系，如果三边满足任意两边之和大于第三边，那么这个三角形是一个合法的三角形。
在这个题目中，三角形的边长分别为a=4，b=5，c=6。
我们可以验证一下是否符合三角形的边长关系：4 +5 > 65 +6 > 46 + 4 > 5由于以上的不等式都成立，所以这个三角形是一个合法的三角形。
接下来，判断三角形的类型。
根据三角形的内角和，我们可以知道：如果三角形的所有内角都小于90度，则这个三角形是一个锐角三角形。
平面几何100题 70页
61.设ω是△ABC的外接圆，ΓA是与线段AB、AC相切且与ω内切的圆，ΓB是与线段BA、BC相切且与ω内切的圆，ΓC是与线段CA、CB相切且与ω内切的圆．设过B、C且与ΓA 相切的圆（不同于ω）切ΓA于X，过C、A且与ΓB相切的圆（不同于ω）切ΓB于Y，过A、B且与ΓC相切的圆（不同于ω）切ΓC于Z．证明：AX、BY、CZ三线共点．62.设⊙I是△ABC的内切圆，⊙u、⊙v、⊙w分别是过点B和点C且与⊙I相切的圆、过点A和点C且与⊙I相切的圆、过点B和点A且与⊙I相切的圆．设P、Q、R、S、T、U分别是⊙w与BC、⊙v与BC、⊙v与AB、⊙u与AB、⊙u与CA、⊙w与AC的交点（均不同于A、B、C）．I1、I2分别是△ARQ、△BST的内心，类似定义I3、I4、I5、I6．I A是△AST∠SAT内的旁心，类似定义I B、I C．求证∶△I A I2I3、△I B I6I1、△I C I4I5的欧拉线共点．63.以凸四边形ABCD为边长向外作正方形AE1E2B、BF1F2C、CG1G2D、DH1H2A．连接AF1、BG1、CH1、DE1交出四边形A'B'C'D'，连接DF2、AG2、BH2、CE2交出四边形A''B''C''D''．证明∶A'A''、B'B''、C'C''、D'D''交出的四边形是正方形．64.圆内接四边形ABCD中，直线AC、BD交于E，直线AB、CD交于F，直线BC、DA交于G．设△ABE的外接圆与直线CB交于B、P两点，△ADE的外接圆与直线CD交于D、Q两点．设直线FP、GQ交于点M，证明∶AM⊥AC．65.设⊙X、⊙Y、⊙Z分别为△ABC∠BAC、∠ABC、∠BCA内的旁切圆，D、E、F、G、H、I分别是⊙Z与AC、⊙Z与BC、⊙X与AB、⊙X与AC、⊙Y与BC、⊙Y与AB的切点．FD、GI交于J，IE、HF交于K，EG、DH交于L，设M、N、O、P、Q、R分别是KL、LJ、JK、BC、CA、AB的中点．证明∶直线MP、NQ、OR三线共点．66.已知凸六边形ABCDEF既有外接圆又有内切圆，记△ABC、△BCD、△CDE、△DEF、△EFA、△FAB的内切圆分别为ωb、ωc、ωd、ωe、ωf、ωa.l AB表示ωb、ωa的另一条外公切线（不为AB），类似定义l BC、l CD、l DE、l EF、l FA.设l FA与l AB的交点为A1，类似定义B1、C1、D1、E1、F1．若六边形A1B1C1D1E1F1为凸六边形，证明：该六边形的对角线共点．67.已知圆弧Γ1、Γ2、Γ3均过点A、C，且在直线AC同侧，Γ2在Γ1与Γ3之间，B是线段AC上一点，由B引三条射线h1、h2、h3，与Γ1、Γ2、Γ3在直线AC的同侧，且h2在h1与 h3之间．设h i与Γj（i,j=1,2,3）的交点为V ij.由线段V ij V il、V kj V kl及弧V ij V kj、弧V il V kl构成的曲边四边形记为V ij V kj V kl V il,若存在一个圆与其两条线段和两条弧均相切，则称这个圆为这个曲边四边形的内切圆．证明：若曲边四边形VV21V22V12、V12V22V23V13、V21V31V32V2211均有内切圆，则曲边四边形VV32V33V23也有内切圆．2268.设△ABC的内心为I，⊙I分别切边BC，CA，AB于点D、E、F，设AI与DE、DF交于点M、N，以MN为直径的圆交BC于P、Q．已知△APQ的外接圆与⊙I切于R，△ABC 的外接圆与九点圆切于Fe,设RFe与DE、DF分别交于点M'、N'．以M'N'为直径的圆交BC 于点P'、Q'．证明：△AP'Q'的外接圆与⊙I的根轴平分线段BC．69.设I是△ABC的内心，∠BAC、∠ABC、∠BCA的内角平分线分别交对边于点D、E、F．记H是△DEF垂心．证明：IH与△ABC的欧拉线平行．70.设⊙O、⊙P、⊙Q分别是△ABC∠BAC、∠CBA、∠ACB内的旁切圆，G、H、I、J、K、L分别是⊙P与AB、⊙Q与AC、⊙Q与BC、⊙O与AB、⊙O与AC、⊙P与BC的切点．证明∶△JKD、△LGE、△HIF、△ABC的欧拉线共点．71.△ABC中，O为外心，K为△ABC九点圆圆心关于△ABC的等角共轭点.K在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，H是△DEF垂心.证明：O、K、H共线.72.已知H、I分别为△ABC垂心、内心，D、E、F分别在射线AH、BH、CH上，且AD=BE=CF=2r, 这里r是△ABC的内切圆半径.证明：I也为△DEF内心.73.已知B、I1、I2、C是⊙M上顺次四点，BI1与CI2交于A，△I1I2M的外接圆与AB、AC再次交于M1、M2，点O'满足M1O'∥CI1，M2O'∥BI2．X、Y为△ABC的一组等角共轭点，D、E分别在AB、AC上使得XD∥CI1、XE∥BI2，N为△BMC外接圆弧BC（不含M）的中点，XN与△BMC外接圆的另一个交点为F．证明：X、Y、O'共线当且仅当△DEF外接圆与△I1I2M的外接圆相切．74.设△ABC∠BAC内的旁切圆切AB、AC于G、F，∠ABC内的旁切圆⊙P切AB、AC于E、N，∠ACB内的旁切圆⊙Q切AB、AC于M、D．直线DE、MN分别交⊙Q于H、J，交⊙P 于I、K．HC、BI交于X，JF、KG交于Y，证明∶∠BAX＝∠CAY．75.△ABC的内切圆⊙I切BC于D，连接AD交⊙I于J，K在JD上且DK=AJ，若BJ⊥CJ，证明：I、K关于△JBC等角共轭.76.O为△ABC外心，BC、CA上的旁切圆切点分别是X、Y，AX、BY交于点N.圆Γ1切BA、 CA延长线于E、D使得AD=AE=BC，类似地定义Γ2、Γ3.⊙U为与Γ1、Γ2、Γ3均外切的圆，证明:N、O、U共线.77.△ABC内切圆⊙I切BC于D，∠ACB内的旁切圆⊙P分别切BC、AB、CA于E、F、G，∠ABC内的旁切圆⊙Q分别切BC、CA、AB于H、J、K，CF与⊙P交于F、M两点，BJ与⊙Q交于J、N两点.证明:MJ、NF、AD共点.78.P为圆外切四边形ABCD内任意一点，AP、DP分别交BC于N、M.证明:△APD、△MPN、△ABN、△CDM四个三角形的内心共圆.79.设⊙I是△ABC的内切圆，△BCD外接圆⊙O1、△CAE外接圆⊙O2、△ABF外接圆⊙O3分别与⊙I内切于点D、E、F．GH与ST、JK与NP、LM与QR分别是⊙O2与⊙O3、⊙O1与⊙O2、⊙O3与⊙O1的外公切线（L、N、R、K在⊙O1上，P、H、J、S在⊙O2上，G、Q、T、M在⊙O3上，GH、TS与A分别在BC的同侧、异侧，LM、RQ与B分别在AC的同侧、异侧，JK、YM与C分别在AB的同侧、异侧）．设△GHF、△JKE、△LMD外接圆分别为ω1、ω2、ω3，X、Y、Z分别是ω2与ω3、ω1与ω3、ω1与ω2的交点且X、A在BC异侧，Y、 C 在BA异侧，Z、B在AC异侧．证明∶S△KSX•S△MNY•S△HQZ＝S△LTX•S△GPY•S．△RJZ80.圆外切四边形ABCD中两点P、Q满足∠DPA+∠BPC=∠DQA+∠BQC,I1、I2、I3、I4、I11、I22、I33、I44分别是△PAB、△PBC、△PCD、△PDA、△QAB、△QBC、△QCD、△QDA 的内心.证明:I1、I2、I3、I4共圆当且仅当I11、I22、I33、I44共圆.81.△ABC的内切圆分别切AC、AB于E、F.P、Q分别为边AC、AB上的旁切圆切点.点M 为BC中点，PQ、EF交于R.设△ABC九点圆与内切圆切于K，证明:M、R、K共线.82.凸四边形ABCD中，△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的内心分别为I D、I A、I B、I C，∠BAC与∠BDC的角平分线交于点E，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点F，线段I D I A、I B I C、EF的中点分别为X、Y、Z.证明:X、Y、Z三点共线.83.设ω1、ω2分别是过A、C且与△ABC内切圆内切于J的圆与过B、A且与△ABC内切圆内切于K的圆.设Q、R分别是ω1、ω2与BC的交点，ω1与AB交于P，ω2与AC交于S,X 是△CSR∠C内的旁心，Y是△BPQ∠B内的旁心，M是△BSR的内心，N是△CPQ的内心. 证明:四边形XYMN是矩形.84.设圆Γ过B，C且与△ABC的内切圆⊙I内切于点J，延长AJ交BC于K，交Γ于L.证明:（KB/KC）2=(LB/LC)3.85.⊙I、⊙J、⊙K与⊙O外切于X、Y、Z，EH、FL、MG分别是⊙I与⊙K、⊙I与⊙J、⊙J 与⊙K的外公切线且均与⊙O相交，并且E、F、G、H、L、M均为切点.HG与ML、EF与HG、EF与ML分别交于点U、V、W.证明:YW·XV·ZU=WX·VZ·UY.86.设I、O分别是△ABC的内心、外心，U、V分别为⊙O与⊙I的外位似中心与内位似中心，设E、F、Y、Z分别是BI与AC、CI与AB、BO与AC、CO与AB的交点.证明：U、E、F共线的充要条件是V、Y、Z共线.87.设P、Q是△ABC的一对等角共轭点且△ABC的重心G与P、Q共线.D、E、F分别是AP 与BC、BP与AC、CP与AB的交点，AQ、BQ、CQ分别与△ABC外接圆再次交于点X、Y、Z，证明：△ADX、△BEY、△CFZ外接圆有公共的根轴.88.给定△ABC，证明：在△ABC所在平面内存在唯一的一点P，使得△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的欧拉线互相平行.89.设N为△ABC的九点圆圆心，N在BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F，R为N 关于△DEF的等角共轭点，X是△AEF的九点圆圆心.证明：RX垂直于BC.90.设O、I a、I b、I c分别是△ABC的外心、∠BAC内的旁心、∠ABC内的旁心、∠BCA内的旁心.设与⊙Ib、⊙I c外切且与⊙O内切的圆与⊙O切于X，类似定义Y、Z.证明：AX、BY、CZ三线共点.91.O为△ABC外心，P、Q为△ABC的一对等角共轭点.设D、E、F分别为AP与BC、BP与CA、CP与AB的交点.设一条与OQ垂直的直线分别与BC、CA、AB交于点X、Y、Z.证明：△ADX外接圆、△BEY外接圆、△CFZ外接圆有一条公共的根轴.92.设I、O分别为△ABC的内心、外心，D、E、F分别为AI与BC、BI与AC、CI与 AB的交点.设ω为与AB、AC相切且与⊙O内切的圆，过E，F作ωaa的切线(不同于直线AB、AC)交于D1，X为ωa与⊙O切点，类似定义E1、F1、Y、Z.证明：XD1、YE1、ZF1、OI四线共点.93.设P为△ABC内一点，D、E、F分别是AP与BC、BP与AC、CP与AB的交点.设△DEF外接圆与直线BC另一个交点为X，O为△ABC外心，T为△DEF垂心，X'为X 关于直线EF的对称点.证明：AX'、BC、OT三线共点.。
平面几何的练习题及解题思路
平面几何的练习题及解题思路一、三角形的性质与计算1. 已知三角形ABC，已知边长a = 5cm，b = 8cm，c = 10cm，求角A的度数。
解题思路：根据余弦定理，可以得到cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入已知数据，计算得cosA=0.6，再利用反余弦函数求得角A的度数。
答案：角A≈53.13°。
2. 已知三角形ABC，已知边长a = 7cm，b = 9cm，C角的度数为60°，求边c的长度。
解题思路：根据正弦定理，可以得到a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入已知数据，可得c=9×sin60°/sinC，再利用正弦函数计算得c≈7.8cm。
3. 已知三角形ABC，已知边长a = 6cm，b = 8cm，C角的度数为120°，求角A的度数。
解题思路：根据余弦定理，可以得到cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，代入已知数据，可以得到cosB=1/2，再利用反余弦函数计算得角B的度数为60°。
由于A + B + C = 180°，所以A + 60° + 120° = 180°，解得A=0°。
答案：角A≈0°。
二、四边形的性质与计算1. 已知平行四边形ABCD，已知边长AB = 6cm，AD = 8cm，以及对角线AC的长度，求边BC的长度。
解题思路：根据平行四边形的性质，可以知道对角线互相等长，即AC = BD。
代入已知数据，可得AC = BD = √(6^2+8^2) = 10cm。
再利用平行四边形的性质，可以得到BC = AD = 8cm。
2. 已知平行四边形ABCD，已知边长AB = 5cm，BC = 8cm，以及对角线AC的长度，求边AD的长度。
解题思路：根据平行四边形的性质，可以知道对角线互相等长，即AC = BD。
代入已知数据，可得AC = BD = √(5^2+8^2) = √89cm。
史上最全之初中平面几何经典题集锦
初中平面几何经典（史上最全）如图 ，在凸四边形 ABCD 中∠ABC =120° , ∠BCD =90°. 则 AD =______已知如图：正方形 ABCD ，BE ＝BD ，CE 平行于 BD ，BE 交 CD 于 F ，求证：DE ＝DF0ABC AB=AC,A=20,AB D AD BC BDC∠∠在等腰三角形中，在上取一点，使＝，求ABCD00 ABC ABC=46D BC DC=AB DAB=21CAD ∆∠∠∠在中，，是边上一点，，，求ABC ,AB=AC,D BC ,E AD ,BDE CED BAC BD CD ∆∠∠∠在中为边上一点为上一点且满足=2=,求证:=200ABC ,BAC 60,ATB BTC CTA 120M BC TA+TB+TC=2AM∆∠=∠=∠=∠=在中点为的中点,求证:002,ABC ,D AC ,CBD ABD 60BDC 30,AB BC BD ,:DB DC ∆∠-∠=∠===如图中是边上的一个点求证ABC,O ,O AB AC X Y OX OY ≤三角形为重心过作任一条直线、于、，求证:2在直角梯形ABCD 中, ∠ABC =∠BAD =90°, AB =16.对角线AC 与BD 交于点E ,过E 作EF ⊥AB 于点F , O 为边AB 的中点, 且FE+EO =8.求AD +BC的值.已知四边形ABCD 中，AB=DC，E、F 分别为AD 与BC 的中点，连接EF 与BA 的延长线相交于N，与CD 的延长线相交于M，求证：∠BNF=∠CMF0ABC ,CB>CA,BAC 80,D AB CB-CA=BD,I ABC ,IDA _____∆∠=∆∠=在中为上一点,满足为的内心则1,G ABC ,D CB ,BD=BC 2AE DG AC E,?AC ∆=如图为的重心点在延长线上且过的直线交于点则,H O ABC BAC ABC 2,AH ?∆∠∆=如图、分别为的垂心、外心,=45若的外接圆半径为则ABC =90AD BAC BD DC=21∆∠∠∠０已知在中，Ｃ，是 的平分线交ＢＣ于Ｄ，：：，则Ｂ＝？,AB ,C AB D ACDE DB CA BE如图是半圆的直径点平分弧,点平分弧、交于点Ｅ，则＝？0ABC ,CB>CA,ABC 35CB=CA+AI,I ABC ,BAC _____∆∠=∆∠=在中,满足为的内心则AB PC OP BP=2AP=6CP=⊥在圆内的点Ｐ在弦上，点Ｃ在圆上，若，，则？0RT ABC ABC=90D BC E CE AD AE=EF,AC=7,FC=3,cos ACB=?∆∠∠在中，，为线段的中点，在线段ＡＢ上与交于点Ｆ，则ABC BC=12AC=5AI BE D E F DE IF AB G AG=∆如图，直角中，，，角Ａ和角Ｂ的平分线交于点Ｉ，、与边交于点、，为线段的中点，交于点，ABC A BC BC CA AB AB CC =AC BB ∆＇＇＇＇＇’’中，Ｇ为重心，分别为、、的中点，如果Ａ、Ｃ、Ｇ、Ｂ共圆，求证：00ABCDE AB=BC CD=DE BD=2ABC=150CDE=30ABCDE ∠∠如图，五边形满足，，，，，则五边形的面积为＿00493ABC AB=AC BC=cos 25E BEC+ACB=180AED=120DE=ABC D ∆∠=∠∠∠如图，在中，，，为ＢＣ中点，点为三角形内部一点，，＿ABCD O ABC AMN ABCD ∆∆如图，在平行四边形中，为对角线的交点，ＭＮ分别是ＢＯ、ＣＤ的中点，若，求证：为正方形OPQR ABC AOR BOP CRQ OPQR ∆∆∆∆如图，正方形内接于，已知、、的面积分别为１，３，１那么正方形的边长是＿＿E F AB AD BFDE AE+EC=AF+FC AB+BC=AD+DC如图，、分别为线段、上的点，与交于点Ｃ，若，求证：已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．已知：△ABC 中，H 为垂心，O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．AFGCEBO D ·ADHEMCBO如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．PCGFBQADEE DA CBFFEP C BA设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：３ ≤L ＜2．PADCBFPDECBAAPC BABC AB=AC AC D BC=BD+AD A ∆∠∠如图：是一个等腰三角形，其中，若Ｂ的角平分线交于，求的度数00AB=CD=1ABC=90CBD=30AC∠∠如图：已知，，，求PA=PB APB 2ACB AC PB D P =4PD=3AD DC ∠∠如图：若，＝，与交于点，且Ｂ，，则＝？ABC DEC AD BE 18S =2cosC=?∆∆如图，，是锐角三角形的两条高，若Ｓ＝，，则。
平面几何练习题及答案
平面几何练习题及答案一、选择题1. 已知三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，BC=4cm，求AC的长度。
A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. √7cm2. 在矩形PQRS中，若PS=6cm，QR=8cm，求对角线PR的长度。
A. 10cmB. 12cmC. 14cmD. √(6²+8²)cm3. 圆O的半径为5cm，点A在圆上，点B在圆外，且OA=5cm，OB=10cm，求AB的长度。
A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. √(10²-5²)cm二、填空题4. 已知等腰三角形的底边长为6cm，两腰长为5cm，求其面积。
答案：____cm²5. 已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求其外接圆的半径。
答案：____cm6. 已知正六边形的边长为a，求其内切圆的半径。
答案：____三、计算题7. 在三角形DEF中，DE=7cm，DF=8cm，EF=9cm，求三角形DEF的面积。
8. 已知圆的半径为r，圆心为O，点A在圆上，点B在圆外，OA=r，OB=2r，求AB的长度。
9. 已知矩形LMNP的长为10cm，宽为6cm，求其内切圆的半径。
四、证明题10. 证明：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
11. 证明：如果一个三角形的两边和其中一边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形。
12. 证明：在等边三角形中，每个内角都是60°。
五、解答题13. 已知圆的半径为r，求圆的周长和面积。
14. 已知矩形ABCD的长为a，宽为b，求对角线AC的长度。
15. 已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，求三角形ABC的面积。
答案：1. D2. D3. D4. 12cm²5. 2.5cm6. a/√37. 27cm²8. 5r9. 2cm10. 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质证明。
平面几何模拟试题
平面几何模拟试题题一：直线与角度1. 已知直线l1与直线l2的交角为60°，直线l3与直线l2的交角为120°，求直线l1与l3的交角。
解析：根据直线的性质，相邻补角之和为180°，因此直线l1与直线l2的补角为120°。
同理，直线l3与直线l2的补角为60°。
由于补角相等，因此直线l1与l3的交角为60°。
题二：平行线与角度2. 已知直线l1与l2平行，直线l3与l2的外部交角为120°，求直线l1与l3的内部交角。
解析：由于l1与l2平行，根据平行线性质，对应角相等。
因此直线l1与l2的外部交角为120°，那么直线l1与l2的内部交角也为120°。
同理，直线l3与l2的内部交角为120°。
由于对应角相等，直线l1与l3的内部交角也为120°。
题三：垂直线与角度3. 已知直线l1与l2垂直，直线l2与l3的交角为45°，求直线l1与l3的交角。
解析：垂直直线的交角为90°，所以直线l1与l2的交角为90°。
根据角的性质，直线l2与l3的补角为135°。
由于补角相等，直线l1与l3的交角为135°。
题四：等腰三角形的性质4. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。
证明以下关系：a = c。
解析：由等腰三角形的性质可知，角A等于角C。
根据正弦定理，a/sinA = c/sinC。
由于sinA = sinC，所以a = c。
题五：三角形内角和5. 求证：任意一三角形内角的和等于180°。
解析：设三角形的三个内角分别为A、B、C，根据角的性质，有A + B + C = 180°。
因此，任意一个三角形内角的和等于180°。
题六：正方形的对角线6. 求证：正方形的对角线相等且垂直。
平面几何100题
平面几何100题难度排行:红字偏难，黑字为常见难度1:在锐角△A B C中，A B＜A C，A B是B C边上的高，P是线段A D 上一点，过P作P E⊥A C，垂足为E，作P F⊥A B，垂足为F，O1,O2分别是△B D F，△C D E外心.证明:O1.O2.E.F共圆的充要条件为P 是△A B C的垂心.2:设H是△A B C的垂心,D.E.F分别是△A B C外接圆上三点，且A D∥B E∥C F，S.T.U分别为D.E.F关于B C.C A.A B的对称点，证明:S.T.U.H四点共圆3:在△P A B中，E.F分别是边P A.P B上的点，在A P.B P的延长线上分别取点C.D使得P C＝A E，P D＝B F，点M.N分别是△P C D，△P E F的垂心，证明:M N⊥A B4:过△A B C外心O任作直线，交边A B.A C于M.N；E.F分别是B N.C M的中点.证明:∠E O F＝∠A5:P为△A B C内一点，D.E.F分别是B C.C A.A B上的点，且P D⊥B C,P E⊥C A,P F⊥A B,△A B C内的一点H满足∠H A B＝∠P A C，∠H C B＝∠P C A，证明:D E⊥E F，当且仅当H是△B D F垂心.6:锐角△A B C三边长互不相等，其垂心为H,D是B C中点，直线B H与A C交于E,直线C H与A B交于F，直线A H与B C交于T，○B D E与○C D F交于G，直线A G与○B D E.○C D F分别交于M.N，证明:(1)A H平分∠M T N，(2)M E.N F.A H三线共点.7:凸四边形A B C D的外接圆圆心为O,已知A C≠B D，且A C与B D 交于E，若P为A B C D内部一点，且∠P A B+∠P C B＝∠P B C+∠P D C ＝90°，证明:P.O.E共线8:与等腰△A B C两腰A B.A C都相切的圆ω交B C与K和L，联结A K，交圆ω于一点另一点M,点P.Q分别是点K关于点B和点C 的对称点，证明:△P M Q的外接圆和圆ω相切9:在△A B C中，D是B C边上一点，O1.O2.分别是△B A D.△A C D 外心，O′是经过A.O1.O2三点的圆的圆心.记△A B C的九点圆心为V,作O′E⊥B C于E，证明:V E∥A D10:锐角△A B C中，I是内心A B≠A C，△A B C的内切圆ω与边B C.C A.A B分别相切于点D.E.F过D点且垂直于E F的直线与ω另一个交点为R.直线A R与ω另一个交点为P，△P C E和△P B F 的外接圆交于另一点Q.证明:直线D I和P Q的交点在过A且垂直于A I的直线上.11:在△A B C中，A B＞A C，内心为I，内切圆分别切B C.C A.A B 于D.E.F，M是B C中点，A H是高，直线A I与D E.D F分别交于K.L，证明:M.L.H.K四点共圆12:○O为△A B C外接圆A M.A D分别为中线与角平分线，过B.C 分别作切线相交于P，A P交B C于E，交○O于F，证明:D是△A M F 内心.13:锐角△A B C，点D.E.F分别是B C.C A.A B上的高的垂足，I1，I2，I3分别是△A E F，△B D F，△C D E的内心，L1是○I2与圆I3不同于B C的外公切线，类似定义L2.L3，证明:L1，L2.L3共点，且此点是△I1I2I3外心14:锐角△A B C中，A B＜A C，M为边B C中点，点D和点E分别是△A B C外接圆弧B A C和B C中点，F为△A B C内切圆在A B上的切点，A E和B C交于G，N点在线段E F上，满足N B⊥A B，证明:若B N＝E M，则D F⊥F G15:两圆内切.A B C D为大圆上顺次四点，A C.B D分别切小圆于E.F，B与小圆在A C同侧，证明:E F过△A B C内心16:在△A B C中，D.E分别在A B.A C上，E D∥B C，B D.C E交于F，证明:△A E F.△A D F，△E F B，△D F C四个外心共圆17:D.E.F分别在△A B C边B C.C A.A B上，并且A D.B E.C F交于一点G，△A F G，△B F G，△B G D，△G D C，△C G E，△A G E的外心分别为O i(i＝1，2，3，4，5，6)，且他们互不相同，证明:O i六点共圆的充要条件为G是△A B C重心18:○O是△A B C的外接圆，D在弧A B上，△C A D，△C B D的内心分别为E.F，○D E F与○O的另一个交点为X，证明:当D点在弧A B上运动时，X是一个定点19:四边形A B C D的边A D.B C交于P，A B与C D不平行，△A B P，△C D P的外心分别为O1，O2,垂心分别为H1，H2，O1H1,O2H2中点分别为E1，E2，过E1.E2分别作C D.A B的垂线.证明:两条垂线和H1H2共点20:设△A B C的外心为O，在∠A的角平分线上取一点P，分别作P在A B.B C.C A.上的射影D.E.F，若△D E F的外接圆交B C于另外一点G，设H为△E F G垂心，求证:O.P.H共线21:△A B C外心为O，B O与A C交于F，C O与A B交于E，E F的垂直平分线交B C于D，D E与B F交于M，D F与C E交于N，若E M.F N 的垂直平分线交于E F上一点K，证明:∠B A C＝90°22:点P在以△A B C垂心H为圆心的圆上运动，P在三边的射影分别是D.E.F，证明:s i n(2A)·P D2+s i n(2B)·P E2+s i n(2C)·P F2为定值.23:△A B C内接于圆O，I为内心，M为弧B C中点，A′是A关于O的对径点，D为△A B C内切圆和B C的切点，A E⊥B C于E，直线A′D和M E交于K，证明:D M⊥I K24:P为△A B C内一点，满足∠P A C＝∠P C B＝∠P B A＝30°，证明:△A B C为等边三角形25:在△A B C中，点A1在边B C上，点B1在边A C上，点P和点Q 分别在A A1和B B1上，且P Q∥A B，在直线P B1上取点P1使得B1严格位于P和P1之间，且∠P P1C＝∠B A C，类似地，在直线Q A1上取点Q1使得使得A1严格位于点Q和点Q1之间，且∠C Q1Q＝∠C B A，证明:P.Q.P1.Q1共圆26:凸五边形A B C D E内接于○O，且A B＝C D＝E A，对角线B E.C E 相交于点P，点H为△A B E垂心，M.N分别是B C.D E中点，G是△A M N重心，直线P H，O G相交于T，证明:A T⊥C D27:在锐角三角形A B C中，A B＞A C，点E.F分别在A C.A B上，满足B F+C E＝B C，点I B，I C分别是∠B,∠C内的旁心，直线E I C，F I B相交于点T，点K为弧B A C中点，直线K T与△A B C的外接圆交于K.P，证明:T.F.P.E四点共圆.28:等腰△A B C中，A B＝A C，A C边上一点D及B C延长线上一点E，满足2A D·C E＝D C·B C，以A B为直径的圆ω与线段D E 交于一点F，证明:B C F D共圆29:在△A B C平面内，存在唯一一组点(P.Q)使得P.Q关于△A B C 互为等角共轭，且满足P A+Q A＝P B+Q B＝P C+Q C30:设P是△A B C内的任意点，O.O A.O B.O C分别是△A B C,△P B C，△P C A，△P A B外心，O B C,O C A,O A B分别是△P O B O C，△P O C O A，△P O A O B 的外心，O′，O′′分别是△O A O B O C，△O B C O C A O A B外心，证明:O P∥O O′′31:在△A B C中，P1,P2为一组等角共轭点，点P1在B C.C A.A B上的射影分别是D1.E1.F1，直线D1P1与E1F1交于点K1，直线A K1与B C交于点X1类似定义X2，证明B X1＝C X232:△A B C的内切圆○I分别与B C.C A.A B相切于D.E.F联结A D 交○I于点P，联结B P交○I于点H，证明:P H·D E·D F＝E F·D P·D H33:在△A B C中，以A B.A C为直径的圆ω1，ω2，M是∠B A C角平分线A D的中点，B K的延长线分别交ω1，ω2于E.F，C K的延长线分别交ω1，ω2于点F.G证明:○A E F和○A F G外切34:在△A B C中，∠A，∠B均为锐角，C D⊥A B于，且C D2·B C2+A C2·C D2＝A C2·B C2，证明:∠A C B＝90°35:△A B C和△A B′C′共外接圆，P为外接圆上任一点，证明:P 关于△A B C和P关于△A B′C′的西姆森线平行的充要条件是B C∥B′C′36:凸四边形A B C D中，对角线B D,A C交于M，△A M B，△C M D 的垂心分别是S.R，△A M D,△B M C的重心分别是I.Q，证明:I Q⊥S R37:△A B C中，A D⊥B C于D，B F⊥A C于E，C G⊥A B于F，联D E.E F.D F，证明:△A E F，△B D E，△C D F的欧拉线共点，且交点在九点圆上38:△A B C中，A Y⊥B C于Y，记O为外心，A O交B C于X，过B.C 引外接圆切线交于L，D为内切圆在B C上的切点，I为内心，P Q 是过O I的外接圆直径(P.Q端点)，证明:P X Y Q共圆当且仅当A D L 共线39:△A B C中，P为∠B A C平分线上一点，O1,O2,O3分别是△A P B，△A P C，△B P C外心，K为△O1O2O3外心，证明:O K∥A P(其中O 是△A B C外心)40:∠X A Y为一个固定的角，B.C分别是射线A X.A Y上的动点，∠X A Y内有一点P满足P A.P B.P C的长均为定值，求△A B C的最大值41:圆O1,O2相交于A.B两点，C D是两圆靠近B的外公切线，P 是圆O1上一点，Q是圆O2上一点，P C.Q D延长线交于R，若A R平分∠P A Q，证明:P Q∥C D或P B Q共线42:已知圆O1和圆O2相交于P.Q两点，O是连心线O1O2的中点，过P作两条不重合的割线A B和C D，(其中A.C在圆O1上，B.D 在圆O2上)，联结A D并取其中点M，联C B并取其中点N，证明:O 到直线M N的距离小于O到P Q的距离.43:四边形A B C D内接于圆，O是外心，E是对角线交点，P是平面内任一点，O1,O2,O3,O4分别是△P A B，△P B C，△P C D，△P D A 外心，证明:O E,O1O3,O2O4共点44:平面内有七个圆，其中六个圆含于一个大圆内，且没个圆都和大圆相切，六个圆两两相切，记六个圆在大圆上的切点依次为A i(i＝1.2.3.4.5.6)，证明:A1A4.A2A5.A3A6共点45:△A B C内切圆与B C.A C.A B相切于点D.E.F，一圆与△A B C 内切圆切于D，与△A B C外接圆切于K，M.N类似定义，证明:D K，E M.F N共点，且此点在△D E F的欧拉线上46:圆O1，O2分别是△A B C的C-旁切圆，B-旁切圆，O1与A C.B C 分别相切于G.H，圆O2分别与A B.B C相切于L.K，直线O1L和直线O2G相交于P，证明:A P⊥G L47:从圆Ω外一点P作圆Ω的切线P A.P B，A A′,B B′分别是圆Ω的两条直径，点C.D分别在切线P A.P B上，过C且垂直于A B 的直线与∠A B B′的平分线交于C′，过D且垂直于A B的直线与∠A′A B的平分线交于D′，证明:C,D′，A′共线当且仅当C′D B′共线48:四条直线相交成四个三角形，这四个三角形的垂心共线49:已知△A B C，A1,A2,A3分别在高线A D.B E.C F上若S△A B C＝S△A B C1+S△B C A1+S△C A B1，证明:△A1B1C1外接圆通过△A B C的垂心50:已知五角星形A B C D E F G H I J，△I B C，△J B A，△E A G，△F E D，△H D C的外接圆轮回相交，两两交点分别是K.O.N.M.L，记L B 和A N交于Q类似定义T.S.R.P，记J O与F N交于U类似定义W.Z.V.A1.证明:K O N M L Q T S R P U WZ V A1共圆51:四边形A B C D内接于圆，E为B C上一点，E在直线A B.B D.A C.C D上的射影分别是M.N.Q.P，直线M N与P Q交于点K，直线E K与A D交于F，证明:K E＝K F52:等腰三角形A B C中，A B＝A C，三角形内存在一点P使得∠P B C ＝45°，∠P C B＝15°，且A P＝B P+C P，求∠A B C53:在梯形A B C D中，A D∥B C，P为B C上任一点，P E∥A C交A B 于E，P F∥B D交C D于F，E F分别交B D.A C于点G.H，证明:E G ＝F H54:在不等腰锐角三角形A B C中，三条高线A D.B E.C F的中点依次为P.S.T，内心为I，外心为O，内切圆○I与边B C.C A.A B分别相切于M.N.L，证明:P M.S N.T L共点，且此交点和O I共线55:△A B C中，M是B C中点，点E.F分别是M关于A C.A B的对称点，直线F B.E C交于P，点Q满足Q A＝Q M，∠Q A P＝90°，O是△P E F外心，证明:A O⊥O Q56:△A B C中，A B＞A C，∠B A C的角平分线交B C于D，线段A D的垂直平分线与A B.A C分别交于E.F，点X在B C上，且B X·C F ＝X C·B E，A X交△A B C外接圆于Y,已知B C＝a，C A＝b，A B＝c，求△A D Y外接圆半径57:△A B C中，B C＞C A＞A B，B E.C F是角平分线，外接圆弦B Q∥E F,Q P∥A C,证明:P C＝P A+P B58:已知△A B C为给定三角形，D在B C上,E在A B上，F在A C 上，且△D E F为正三角形，求S△D E F最小值59:设F是双曲线定点，A是右焦点，△H I J的内切圆是以A为圆心A F为半径的圆.过H.I作双曲线的切线交于K，证明:K A J共线60:在△A B C中，I为内心，T为A I与B C的交点，J为A-胖切圆与边B C的切点，△A J T的外接圆和△A B C的外接圆第二个交点为F，过I作I S⊥A T，与B C交于点S，A S与△A B C外接圆的第二个交点为E，证明:E F∥B C.61:已知正△X Y Z的顶点分别在△A B C的边B C.C A.A B上，证明:△A B C的内心在△X Y Z的内切圆的内部62:△A B C内接于圆O，∠A B C＞90°，M是边B C中点，点P在△A B C内，满足P B⊥P C，过P作A P的垂线，D.E是该垂线上不同于P的两点，满足B D＝B P，C E＝C P，若四边形A D O E是平行四边形，证明:∠O P E＝∠A M B63:设A为○Ω外一点，直线A B.A C分别与圆Ω相切于B.C两点，设P是劣弧B C上的一个动点，过点P作Ω的切线分别于A B.A C相交于点D.E，直线B P.C P分别与∠B A C的内角平分线交于点U.V，过点P作A B的垂线，与直线D V交于M，过点P作A C的垂线，与直线E U交于点N，证明:存在一个与点P无关的定点L，使得M N L共线64:△A B C中，A B＞A C,M是边B C的中点，○M以B C为直径，直线A B.A C分别与○M交于点D(异于B)，E(异于C)，已知在△A B C内的点P满足∠P A B＝∠A C P，∠C A P＝∠A B P，B C²＝2D E·M P，在○M外的点X满足X M∥A P，X B·A C＝X C·A C，证明:∠B X C+∠B A C＝90°65:锐角三角形A B C中，A B＜A C，A D是B C边上的高，D是垂足，I是△A B C内心，J是A-旁心，点E在边A B上，点F在A B 延长线上满足B E＝B F＝B D，证明:在△A B C外接圆上存在两点P.Q(可以重合)，满足P B＝Q C，并且△P E I∽△Q F J66:锐角△A B C中，作出角平分线B L，D.E分别是△A B C外接圆上弧A B和弧B C中点，线段B D的延长线上取一点P，在线段B E 的延长线上取一点Q，使得∠A P B＝∠C Q B＝90°，证明:线段B L 的中点与P.Q共线67:锐角△A B C内有P.Q两点满足∠A C P＝∠B C Q，∠C A P＝∠B A Q，过点P作B C.C A.A B的垂线，垂足为D.E.F，证明:∠D E F ＝90°当且仅当Q是△B F D垂心68:在△A B C周围作3个任意三角形△D B C，△E C A，△F A B，他们的顶点围成△D E F，再向△D E F周围作三个三角形△A′F E,△B′D F，△C′E D相应地，使他们与△D B C，△E C A，△F A B顺向相似，证明:△A′B′C′∽△A B C69:圆周上有A B C D四点，证明:其中一点关于另三点围成的三角形的三条西姆森线共点70:设○O1,O2交于P.Q两点，过点P任作两条直线A P B，C P D，其中A.C在○O1上，点B.D在○O2上，M.N分别是A D.B C中点,O 为O1O2中点，∠A P C＝θ为锐角，设h为点O到M N的距离，K 为P Q中点，证明:h＝O K·c o sθ。
平面几何题
1、在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边与斜边的关系是？A、直角边等于斜边的一半B、直角边是斜边的两倍C、直角边与斜边相等D、无法确定（答案）A2、一个等腰三角形的顶角是80°，那么它的一个底角是多少度？A、40°B、50°C、65°D、80°（答案）B3、在一个平行四边形中，如果它的一组对角相等，且这组对角的邻边也相等，那么这个平行四边形是？A、矩形B、菱形C、正方形D、无法确定（答案）B4、一个圆的半径增加100%，那么它的面积将增加多少？A、100%B、200%C、300%D、400%（答案）C5、在梯形中，如果一组对边平行，且这组对边之间的距离处处相等，那么这个梯形是？A、直角梯形B、等腰梯形C、等边梯形D、平行四边形（实际应为等腰梯形的一种特殊情况，但在此题中可视为梯形的一种特殊形式）（答案）D（注：此题有些争议，严格来说应指明是等腰梯形，但考虑到梯形中若一组对边平行且距离处处相等，可视为特殊的等腰梯形或平行四边形，故选D）6、一个正六边形的内角是多少度？A、60°B、90°C、120°D、150°（答案）C7、在三角形ABC中，如果AB=AC，且AD是BC边上的中线，那么AD与BC的关系是？A、AD垂直于BCB、AD平行于BCC、AD与BC相交但不垂直D、无法确定（答案）A8、一个正方形的对角线长度与边长的关系是？A、对角线长度等于边长B、对角线长度是边长的两倍C、对角线长度是边长的根号2倍D、对角线长度是边长的三倍（答案）C。
平面几何100题(1)
平面几何100题1.非等腰锐角三角形ABC 的外接圆为ω，H 为△ABC 的垂心，M 是AB 的中点。
在不含C 的圆弧AB 上取点P、Q，使得∠ACP=∠BCQ＜∠ACQ，过H 分别作CQ、CP 的垂线，垂足为R、S。
证明：P，Q，R，S 共圆且点M 是该圆的圆心。
2.在△ABC 中，点M、N、K 分别在边BC、CA、AB 上且不与顶点重合，若∠BAC=∠KMN 且∠ABC=∠KNM，则称△MNK 为完美三角形。
证明：如果在△ABC 中有两个具有共同顶点且不重合的完美三角形，则△ABC 是直角三角形。
3.四边形ABCD 满足AD//BC，∠ABC>90⁰，M 是线段AB 上不同于A、B 的一点，设△MAD、△MBC 的外心分别为21,O O 。
△D MO 1的外接圆不同于M 的交点为N。
求证：点N 在直线21O O 上。
4.在凸四边形（非平行四边形）ABCD 的对角线上分别取点B′、C′，使得△ACB′、△BDC′都为正三角形，其中点B 和B′位于AC 的同侧，点C 和C′位于BD 的同侧，如果CD AB C B +=''，求∠BAD+∠CDA 的值。
5.给定一个凸六边形ABCDEF，其中AB//DE，BC//EF，CD//FA。
设BD 和AE、AC 和DF、CE 和BF 的交点分别为M、N、K。
证明：过M、N、K 分别作AB、CD、EF 的垂线交于同一点。
6.圆内接四边形ABCD 的对角线交于点K，点M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点，△ADM 和△BCM 的外接圆交于点M、L，证明：K，L，M，N（这些点两两不重合）四点共圆。
7.圆内接四边形ABCD 的外接圆为圆Ω且AB=AD，在线段BC、CD 上分别取点M、N，使得MN=BM+DN。
直线AM 交圆Ω于点P （不同于A），直线AN 交圆Ω于点Q （不同于A）。
求证：△APQ 的垂心在MN 上。
8.给定四边形ABCD，其中∠B=∠D=90⁰，在线段AB 上取点M 使得AD=AM。
平面几何习题大全
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共分为五种类型，1，几何计算；2，几何证明；3，共点线与共线点；4，几何不等式；5，经典几何。
几何计算-1命题设点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。
若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是多少解：设DF=CE=x,DE=CF=y. ∵Rt△BED∽Rt△DFA, ∴BE/DE=DF/AF<==> 10/y=x/15 <==> xy=150.所以，矩形DECF的面积150.几何证明-1命题在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，己知∠AOB+∠COD=180.求证:由O向四边形ABCD所作的垂线段之和等于四边形ABCD的周长的一半。
证明(一) 连OA,OB,OC,OD，过圆心O点分别作AB,BC,CD,DA的垂线，垂足依次为P,Q,R,S。
易证ΔAPO≌ΔORD，所以 DR=OP,AP=OR，故 OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。
同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。
因此有 OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。
证明(二) 连OA,OB,OC,OD，因为∠AOB+∠COD=180°,OA=OD，所以易证RtΔAPO≌RtΔORD，故得 DR=OP,AP=OR，即 OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。
同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。
因此有 OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。
几何不等式-1命题设P是正△ABC内任意一点，△DEF是P点关于正△ABC的内接三角形[AP,BP,CP延长分别交BC,CA,AB于D,E,F]，记面积为S1;△KNM是P点关于正△ABC的垂足三角形[过P点分别作BC,CA,AB垂线交于K,N,M]，记面积为S2。
平面解析几何练习题
平面解析几何练习题一、直线与圆的相交1. 已知圆的方程为：x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，求与直线y = 2x + 1相交的点坐标。
解析：首先将直线方程代入圆的方程，得到：x^2 + (2x + 1)^2 - 4x - 6(2x + 1) + 9 = 0。
将方程化简得到二次方程 5x^2 - 22x - 14 = 0。
解此二次方程，得两个不同实根：x1 ≈ 0.953 和x2 ≈ 2.337。
将x的值带入直线方程求得对应的y值，即可得到两个交点的坐标。
2. 已知直线过点A(2, 4)且与圆x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0相切，求此直线的方程。
解析：首先求圆的切线方程，在圆的方程中，将x和y的系数前的项移至另一侧得到新方程 x^2 + y^2 = 6x - 8y - 9。
然后利用点到直线的距离公式，得到圆心O(a, b)到直线的距离公式：d = |a + 2b - 8| / √(1 + 4) = |a + 2b - 8| / 2。
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径。
将距离公式代入原方程，得到二次方程 (2a + 4b - 16)^2 = 4(a^2 + b^2 - 6a + 8b + 9)。
通过求解此二次方程，得到a和b的值，即可得到直线的方程。
二、圆的切线与切点1. 已知圆C的方程为：(x-2)^2 + (y+1)^2 = 16，求过点P(3,2)的圆C 的切线方程及切点。
解析：首先求得点P到圆心C(2,-1)的距离，即两点之间的线段CP 的长度r = √((3-2)^2 + (2+1)^2) = √(2^2 + 3^2) = √13。
因为点P在圆C 上，所以点P到圆C的距离等于圆C的半径 r = 4。
接下来求得点P到圆C的切线斜率k，即斜率为 -1/k 的直线与圆C的切线。
切线斜率 k = (2 - (-1)) / (3 - 2) = 3。
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一、等腰直角三角形题一∠ACB=90°,AC=BC,ED ⊥DF,D 为AB 中点 ①②12 S △ABC =S △EDF +S △EFC ③S △EDF = 12 S △ABC +S △EFC①另知：DE ⊥AC, DF ⊥BC②E 、F 分别在AC 、BC 内②E 、F 分别在AC 、BC 外题二已知∠BAC=90°,CD 平分∠ACB ，AC=AB,CD ⊥AE,求证：CD=2（OA+OD ）题三：已知∠BAC=90°, AC=AB,D 为AB 中点， CD ⊥AE,求证：∠BDE=∠CDA换说法：求证A 到DE 的距离等于OA题四：已知∠BAC=90°, AC=AB,D 为AC 中点， CF ∥AB,求证：CF=AD题五：已知∠ACB=90°, AC=BC,DA 平分∠BAC ，H 为AB 中点， BE ⊥AD,求证：CF=EC 。
判断：①AF=BE ，②AF=2BD ，③AF 垂直平分BE ，④AC+CF=AB ，⑤S △ACG = S △AHG ⑥AG=BD垂直角平分线题六：已知AB=AE ，BC=CA ，BC ⊥CA ，AD 平分∠BAC ，H 为AB 的中点。
求证：①△AFC ≌△BCE ②2DE=AF ，③判断△BDG 的形状并证明垂直角平分线题七：已知∠B=45°，∠C=30°，DE ⊥CA ，AE=AF ，GE=DF ，求证：①△ADG 为等腰直角三角形，②GC=2BD ，③∠BAD=15°F A C E D B H GF AC ED B H GFA B D CGE F题八：已知正方形ABCD ，DE=AD ，DF=BD ，求证：①BF 平分∠DBC ，②FH=2DG ，③CD=CG ， ④S △CDG =S DHGE ⑤G 为FH 中点题九：已知∠A=90°，AB=AC ，EF ⊥AC ，D 为BC 的中点。
求证：① CF=AG ，②△DGF 为等腰直角三角形题十：已知∠ACB=90°，AC=BC ，PA ⊥AB ，E 为AC 的中点，∠ACF=∠CBE ，CG 平分∠ACB 。
求证：①AP=CG ，②CF=2PE ，③CD ⊥PBA B D E F C题十一：已知∠BAC=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC ， D 为BC 的中点，M 为EF 中点。
求证：①DF=DN ，②AE=CN ，③△DMN 为等腰三角形，④∠BMD 为45°题十二：已知∠BAC=90°, AC=AB, ∠ABP=ACP ， AQ ∥PC,求证：①AP 平分∠BAC ，②若BQ=PB+PA ，M 在BC 上，△BMP 为等腰三角形，求∠BMP 的度数B A BD NF ME C二、等边三角形题一：已知△ABC和△BDE为等边三角形。
①图E在AB上，求证：∠AMC为60°，②图E在△ABC 内，试说明AM，BM，CM之间的关系。
③图E在△ABC外，直接写出AM，BM，CM之间的关系②图③图B D题二：已知△ABC 为等边三角形，BE=AF ，EG ⊥BF ，求证：①∠BCE=∠ABF ，②PE=2PG题三：已知△ABC 和△BDE 等边三角形，求证：①AD=CE ，②BM 平分∠AMCBB E题四：已知△ABC 为等边三角形，DE ⊥AB ，∠APE=60°，求证：BD=2CD以上为题库题五：已知如图，△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．旋转60度等边三角形CEF与菱形ABCD边长相等.求证：（1）∠AEF=∠AFE(2)角B的度数D三、30度直角三角形题一：已知∠A=90°, ∠ABC=60°, DB ⊥BC ， ED ⊥EB, HD ⊥AB,BE 平分∠ABC ，F 为CD 中点，求证：HF=EF①30度直角三角形全等及中线性质题二：已知∠A=90°, ∠ABC=60°, DB ⊥BC ， ED ⊥EB, HD ⊥AB,BE 平分∠ABC ，F 为CD 中点，判断AEF 形状，并说明理由。
②30度直角三角形中线及中位线三、综合性三角形题一：∠O=ɑ, OA 1=OB 1, A 2B 1=B 1B 2，A 3B 2=B 2B 3，。
，∠A 2B 1B 2=b 1, ∠A 3B 2B 3=b 2,∠A n+1B n B n+1=b n ,求b 1和b n题二：BE 平分∠ABC ，AB=BE ，BD=BC ，EF ⊥AB ，求证：①△ABD ≌△EBC ，②BA+BC=2BF题三：S △ABC =12，AB=AC ，BC=3，D 为BC 中点，EF 垂直平分AC ，P 为EF 上动点。
△PCD 周长最小值O A 1A 2B 1 A 3 B 2 A 4B 3ɑA FEB C D A C B EP FD题四：AE=AC ，∠1=∠2=∠3，求证：△BAC ≌△DAE题五：将A 1沿DE 对折，∠1+∠2=100°，求∠A 1度数题六：长方形ABCD ，AE=AM ，AF=AD ，则EF 与DM 有何关系注意垂直BA E D C F1 23 1A 1E BC A2 D F题七：D 为BC 的中点，BG ∥AC ，DE ⊥GF ，求证：①BG=GF ，②BE+CF ＞EF题八∠BAE=∠BCE=∠ACD=90，BC=CE ，求证：△ABC ≌△DEC题九：∠BAC=90°，BE 平分∠ABC ，AG 平分∠DAC ，AD ⊥BC 。
结论：①∠BAD=∠C ，②AE=AF ，③∠EBC=∠C ，④EF=FG 。
其中正确的有 ③④在∠C=30°时成立，请证明B G E DC F AA B C DE AB D G CEN F题十：∠A=105°，MN 垂直平分AE ，AB=CE ，求∠B 度数题十一：P 为∠AOB 是定点，当△PMN 周长最小时，∠MPO=50°，求∠AOB 度数题十二：BC=AC ，DB=DE, ∠BDE+∠ACB=180°,F 为AE 的中点。
求证：①CF ⊥DF ②∠ACB=90°，其他不变，证：CF ⊥DF 且CF=DF ，③∠ACB=60°其他不变，证：CF ⊥DF 且CD=2DF①AB FC E MN O M P AB N A B D EF C②③题十二：四边形ABCD ，∠C=50°，∠B=∠D=90°，当△AEF 周长最小时，∠EAF 的度数B AC FED D AF EB C题十三：E为AC的中点，∠ACB=90°，BC=3，沿CD对折BE重合，求D到AC距离CBD EA六、与坐标相关的几何题题一：A（2，0），B（0，-10），C为x轴正半轴上，OC=5OA，求：①S△ABC，②延长BA，使PA=AB，作PM⊥OC于M，求P坐标，③D为第三象限内，BE⊥CD于E，OF⊥OD交BE延长线于F，当D运动时，OD/OF是否发生变化改变说明理由。
不变求值。
①②题题二：K（2，2），l1⊥l2,①若AC=BD，证△AKC≌△DKB，②求OB+OC的值及S△ACK-S△OCD，③J为AK上的动点，不与A、K重合，作AE⊥DJ，求∠DEK度数题三：B（0，8），A（-8，0），C（2，0）①AH⊥BC，求证：△AOP≌△BOC，且P坐标；②在①条件下，连接OH，证：∠AHO=∠CHO,③D为AB的中点，M为y负半轴上运动，DN⊥MD于D，S△BDM-S△AND是否变化，不变求值，变则变化范围。
①②③七、其他几何题题一：如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F.求证：2AF=FC题二：如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点C 旋转到A'B'CD'的位置，若∠B'CB=30度，求AE 的长.题三：在等腰直角三角形ABC 中，O 是斜边AC 的中点，P 是斜边上的一个动点，且PB=PD ，DE 垂直AC ，垂足为E 。
（1）求证：PE=BO （2）设AC=3a ，AP=x ，四边形PBDE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式。
A B F EC DA B C A B O P D E C题四：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边向形外作等腰直角三角形。
求证：EF=2AD题五：如图，等边三角形ABC 的边长为2，点P 和点Q 分别是从A 和C 两点同时出发，做匀速运动，且他们的速度相同，点P 沿射线AB 运动，Q 点沿点C 在BC 延长线上运动。
设PQ 与直线AC 相交于点D ，作PE ⊥AC 于点E ，当P 和Q 运动时，线段DE 的长度是否改变证明你的结论。
EB A FC DQ。