双曲线的定义及其基本性质
双曲线的基本知识点
双曲线的基本知识点双曲线的基本知识点有哪些双曲线的基本知识点如下：1.双曲线定义：在平面内，设$F_{1}、F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a,b$是实数且$a>0,b>0$）的焦点，若$F_{1}F_{2}=2c$，则称$F_{1}F_{2}$为双曲线的焦距。
2.定义法证明：（1）设$P$点是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a,b$是实数且$a>0,b>0$）的左支上的一点，$F_{1}$是双曲线的左焦点，若$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$ 双曲线的基本知识点整理双曲线的基本知识点整理如下：1.双曲线定义：平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线。
双曲线函数的图像和性质
双曲线函数的图像和性质双曲线函数是一类常见的函数，其具有独特的图像和性质。
本文将介绍双曲线函数的定义、基本性质以及图像特点。
一、双曲线函数的定义双曲线函数是一类由双曲线函数定义域和值域的函数。
一般来说，双曲线函数可以表示为：y = a / x + b / x其中，a和b是实数。
这个函数在x=0处有一个垂直渐近线，同时在 x 趋近正无穷（＋∞）和负无穷（－∞）时也会有渐近线。
此外，这个函数的图像是对称于 y 轴的。
二、双曲线函数的图像特点双曲线函数的图像有一些独特的特点。
首先，它的图像是以原点为中心的对称曲线，因此很容易将该函数的图像分成四个象限。
其次，双曲线函数在 x 轴上有一个渐近线，图像会在该线上面趋近正无穷或负无穷，而在该线下面趋近于零。
另外，双曲线函数也有两个射线渐近线，分别为 y = a 和 y = -a，其中 a 为函数的正值。
这两个射线渐近线与 x 轴上的渐近线相交于原点。
最后，双曲线函数的图像类似于双曲线的形状，因此得名双曲线函数。
在图像的左右两个象限中，函数都会随着 x 的增大或减小而逐渐趋近于渐近线，但方向是相反的。
三、双曲线函数的基本性质双曲线函数具有很多基本的性质。
其中，最重要的是该函数的定义域和值域。
双曲线函数的定义域为除了 x=0 的所有实数，而值域则是除了y=0 的所有实数。
此外，双曲线函数的导数为：dy / dx = -(a+b) / x^2使用导数可以帮助我们更好地理解双曲线函数的图像以及其性质。
四、结论综上所述，双曲线函数是一类具有独特图像和性质的函数。
它的图像类似于双曲线，在 x=0 处有一个垂直渐近线以及两个射线渐近线。
除了对应值为零的 y 轴上的点外，该函数的定义域和值域分别为除 x=0 和 y=0 外的所有实数。
同时，其导数的解析式为 -(a+b) / x^2。
了解双曲线函数的图像和属性有助于我们更好地理解和解决数学和物理领域的相关问题，如电磁学中的静电场和磁场问题等。
双曲线的概念及性质
双曲线的概念及性质一，定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|F1F2| ）的轨迹 问题：（1）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于|F1F2| ）的轨迹是什么？ （2）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？（3）若a=0，动点M 的是轨迹什么？①当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时，M 点轨迹是双曲线（其中当|MF1|-|MF2|= 2a 时，M 点轨迹是双曲线中靠近F2的一支； 当|MF2|-|MF1|= 2a 时，M 点轨迹是双曲线中靠近F1的一支）；②当||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时，M 点轨迹是在直线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。
③当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时，M 点的轨迹不存在。
④当||MF1|-|MF2||= 2a=0时，M 点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 。
二，双曲线的标准方程 首先建立起适当的直角坐标系，以1,2F F 所在的直线为x 轴，1,F F 的垂直平分线为y 轴，根据定义可以得到:122a F F =≥ 化简此方程得()22222222()c a x a y a c a --=- ，令222c a b -=得：22221x y a b -=，其中1F (),0c -为左焦点，2F (),0c 为右焦点思考：若焦点落在Y 轴上的时候，其标准方程又是怎样的？ 三，双曲线的性质以双曲线标准方程12222=-by a x ，)0(222>>+=a c b a c 为例进行说明.1．范围: 观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧.由标准方程可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点，令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，它们是双曲线12222=-by a x 的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a ，a 叫半实轴长但y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21，在双曲线中也有非常重要的作用 把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b ，b 叫做虚半轴长实轴：21A A 长为2a ，a 叫做半实轴长. 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长.4． 渐近线：经过2121B B A A 、、、作x 轴、y 轴的平行线b y a x ±=±=,，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为x aby ±=. （1） 定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点M 限远离原点时，点M 条直线叫这一曲线的渐近线；（2） 直线x a by ±=与双曲线12222=-by a x 否相交？（3） 求法：在方程12222=-by ax 中，令右边为零，则0))((=+-b ya xb y a x 即x ab y ±=； 若方程为12222=-b x a y ，则渐近线方程为x ba y ±=5.离心率：ce a= ()0c a >>,所以1e > 2．问题拓展 （一）等轴双曲线1、定义：若a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：222a y x =-或222a x y =-.3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直..3）等轴双曲线方程可以设为：)0(22≠=-λλy x ,当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上. （二）共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程：（1）12222=-b y a x 的共轭双曲线为12222=-a x b y ；12222=-b x a y 的共轭双曲线为12222-=-bx a y ; （2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为12222±=-b y a x 或12222±=-bx a y ;3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如121822=-y x 和1922=-y x ； （2）12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a ≠b ）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；（三）共渐近线的双曲线系方程问题 (1)191622=-y x 与221916y x -=;(2) 191622=-y x 与1183222=-y x 的区别? 问题: 共用同一对渐近线x aby ±=的双曲线的方程具有什么样的特征？ 双曲线2222x y a b λ-=（0λ≠）与双曲线22221x y a b-=有共同的渐近线.当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上.例：求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程. 三、课堂练习：1 .双曲线2214x y k-=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 A .(0, 6) B . (3, 12) C . (1, 3) D . (0, 12)2 .下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是(A)x 23-y 2=1和y 29-x 23=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x 23=1(C)y 2-x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -32y =13 .方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k4 .以x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为 ( )（A ）1322=-y x （B ）1322=-y x （C ）13222-=-y x （D ）13222=-y x 5 .双曲线kx 2+4y 2=4k 的离心率小于2，则k 的取值范围是 ( )（A ）（-∞,0） （B ）(-3,0) （C ）(-12,0) （D ）(-12,1)6 .已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.57. 设C 1：2222b y a x -=1,C 2： 2222a x b y -=1,C 3： 2222ay b x -=1,a 2≠b 2,则 ( )(A)C 1和C 2有公共焦点 (B) C 1和C 3有公共焦点 (C)C 3和C 2有公共渐近线 (D) C 1和C 3有公共渐近线8. 双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为____________ 9. 与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为___ 10. 直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =___________ 11. 求满足下列条件的双曲线的标准方程 （1）、焦点分别为（0，-5）、（0，5），离心率是23； （2）以坐标轴为两条对称轴，实轴长是虚轴长的一半，且过点(3，2)。
双曲线的性质与应用
双曲线的性质与应用【正文】双曲线（hyperbola）是数学中的一种特殊曲线，其性质与应用广泛而深远。
本文将对双曲线的性质进行阐述，并探讨其在不同领域中的应用。
一、双曲线的基本性质双曲线可以通过以下两种方式的定义：准线法和焦点法。
准线法是通过定义两条与双曲线相切的直线，而焦点法是通过定义焦点和直角平分线来确定双曲线的位置。
1. 双曲线的准线准线是与双曲线相切于其两个分支的直线。
对于双曲线，两条准线分别对应两个分离的无穷远点。
2. 双曲线的焦点双曲线有两个焦点，位于曲线的近点和远点之间，并分别与曲线的两条分支关联。
3. 双曲线的定义方程双曲线在直角坐标系中的定义方程如下：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，其中a和b分别代表相应坐标轴上的半轴长度。
4. 双曲线的对称性双曲线是关于x轴、y轴和原点对称的。
当双曲线的焦点在y轴上时，其对称轴为y轴；当焦点在x轴上时，对称轴为x轴；当焦点在原点时，对称轴为原点。
5. 双曲线的渐近线双曲线还有两条渐近线，分别与曲线的两个分支无限接近但永不相交。
这两条线的方程为y = (b/a) * x 和 y = -(b/a) * x。
二、双曲线的应用双曲线由于其特殊的形状和性质，在数学和其他学科中具有广泛的应用。
1. 物理学中的应用双曲线常用于描述电磁波的传播路径和粒子在加速器中的运动轨迹。
对于电磁波的折射和反射现象，双曲线可以帮助我们解释和预测光线的弯曲和聚焦。
2. 工程学中的应用双曲线在无线通信和抛物面天线设计中起到关键作用。
通过合理地选择双曲线的几何参数，我们可以实现信号的聚焦和辐射，从而提高通信系统的性能。
3. 经济学中的应用双曲线模型在经济学中有着广泛的应用。
例如，在供求关系中，当需求和供应分别满足双曲线方程时，市场均衡的价格和数量可以通过双曲线的交点得到。
4. 生物学中的应用生物学研究中常利用双曲线模型来描述生物体的生长曲线。
在这种情况下，双曲线可以帮助我们理解生物体的增长速率以及其与环境因素之间的关系。
双曲线的性质
PF1 − PF2 = 2a
{
2a < F1 F2
双曲线
2a = F1 F2
两条射线
2.双曲线的标准方程: 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在 轴上F1(c,0)、 F2(-c,0) 轴上 、
x y − 2 = 1 (a, b > 0) 2 a b
2 2
焦点在y轴上 1(0, c)、 F2 (0, -c) 焦点在 轴上F 轴上 、 2 2 y x − 2 = 1 (a, b > 0) 其中 c2=a2+b2 2 a b
2 2
1.范围：|x|≥a， y∈R. 范围： ≥ ， ∈ 范围
2.对称性： 对称性： 对称性 关于x轴 轴成轴对称 轴成轴对称； 关于 轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称。 关于原点成中心对称。 原点——中心 原点 中心 3.顶点： 顶点： 顶点 A1(-a,0)、 A2(a,0)； 、 ； B1(0,-b)、 B2(0,b)(不是顶点 不是顶点). 、 不是顶点 线段A 实轴； 焦点、顶点在实轴上） 线段 1A2——实轴； |A1A2|=2a（焦点、顶点在实轴上） 实轴 线段B 虚轴。 线段 1 B2——虚轴。 |B1B2|=2b 虚轴
a a a
y< x a
4.渐近线： 渐近线： 渐近线
焦点在x轴上的渐近线 焦点在 轴上的渐近线
b y = ± x a
焦点在y轴上的渐近线 焦点在 轴上的渐近线
x y − 2 = 0 2 a b
2Байду номын сангаас
2
a y = ± x b
y x − 2 = 0 2 a b
2
2
提问：等轴双曲线的渐近线方程为？ 提问：等轴双曲线的渐近线方程为？ 双曲线有唯一的渐近线，反之对吗？ 双曲线有唯一的渐近线，反之对吗？
双曲线经典知识点总结
双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。
在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。
一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。
当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。
2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。
（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。
（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。
（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。
二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。
（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。
2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。
在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。
双曲线及其性质
双曲线及其性质 ☆知识梳理☆一、双曲线的定义1、 的点的轨迹叫双曲线，两定点叫 ，两点间的距离之差为 。
2、用符号语言表述为： 。
二、双曲线的标准方程及简单几何性质三、双曲线的常见结论1、与双曲线22221x y a b-=共渐近线的双曲线系方程为 。
2、等轴双曲线222x y a -=±的渐近线方程为 ，离心率是 。
3、渐近线与离心率的关系： 。
4、双曲线的通径为： 。
四、直线与双曲线的位置关系1、直线与双曲线位置关系的判定把双曲线22221x y a b -= ()0,0a b >>与直线方程y kx b =+联立消去y ，整理成形如20Ax Bx C ++=的形式，对此一元二次方程有：（1）0∆>, （2）0∆=， （3）0∆<， 。
2、直线被双曲线截得的张长公式设直线与双曲线交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则AB = 。
3、中点弦“点差法” 。
☆释疑解惑☆1、对双曲线定义的认识（1）双曲线221102x y -=的焦距为（2）动点P 到两动点()()0,2,0,2A B -的距离之差的绝对值是4，则点P 的轨迹是双曲线（3）双曲线的两焦点()()123,0,3,0F F -，点(6,P 在双曲线上，则双曲线的标准方程是22145x y -= （4）以椭圆221164x y +=的焦点为实轴的顶点，长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是221124x y -= 2、对双曲线性质的认识（1）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，当a b =时，称该双曲线为等轴双曲线，等轴双（2）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的3倍，则19m =-（3）双曲线221416x y k k-=的渐近线方程是2y x =±☆典例精析☆例1：已知双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，点,A B 在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点2F ，AB m =，1F 为另一焦点，则△1ABF 的周长为 （ ） A . 22a m + B . a m + C . 42a m + D . 24a m +变1：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上一点()4,3P 到双曲线的左、右焦点的距离之差等于4，则b 的值为 .变2：已知点()()()3,0,3,0,1,0M N B -，圆C 与直线MN 切于点B ，过,M N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为 .变3：设P 是双曲线222116x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为430x y -=，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为_ .例2：与椭圆2214x y +=共焦点且过点()2,1P 的双曲线方程是（ ）A ．2214x y -=B ．2212x y -=C ．22133x y -= D ．2212y x -=变1：若双曲线222114y x m m ++-=的焦点在y 轴上，则m 的取值范围是 （ ） A ．()2,2- B ．()2,1-- C ．()1,2 D ．()1,2-变2：已知双曲线 ()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 （ ）A ．22145x y -= B ．22154x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -=例3：如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝2 : 3 : 4，则双曲线的离心率为 （ ）A ．4B C ．2D变1：已知双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左、右焦点分别为12F F 、，P 为双曲线右支上一点，直线1PF 与圆222a y x =+相切，且212F F PF = ，则该双曲线的离心率e 是 （ ）A ．35B ．45C ．1517D ．1617变2：已知O 为原点，双曲线2221x y a-=上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，交点分别为,A B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为 （ ）ABC．2 D．3变3：设双曲线221222:1(0,0),,x y F a b F F a b-=>>为双曲线F 的焦点．若双曲线F 存在点M ，满足1212MF MO MF ==（O 为原点），则双曲线F 的离心率为 （ ） ABCD1-变4：如图，1F ，2F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，12,C C 的离心率分别是12,e e ，点A 是12,C C 的一个公共点，若 6021=∠AF F ，则221213e e += （ ） A ．41 B ． 21C ．2D ．4变5：设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ）A ．221+B ．224-C ．225-D ．223+变6：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为12,F F ， P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为 （ ）A ．()1,3B ．(]1,3C ． ()3,+∞D ．[)3,+∞变7：已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞变8：已知12,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 .例4：已知双曲线22221x y a b-= ()0,0a b >>的左右焦点分别为12,F F ，若在双曲线上存在点P ，满足01260F PF ∠=，OP =（O 为原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．0x =B 0y ±=C ．0x =D 0y ±=变1：与双曲线221916x y -=有公共的渐近线，且经过点(A -的双曲线方程是 ．变2：如图，12,F F 是12222=-by a x （0,0>>b a ）的左右焦点，过1F 的直线与的左、右两支分别交于A B ,两点，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为 ．例5：若直线1y kx =+与曲线x =则k 的取值范围是（ ）A ．k <<B ．1k <-C ．1k <<D ．k <k >变1：直线l 过点()5,0，与双曲线2214y x -=只有一个公共点，则满足条件的l 有（ ） A ．1条B ．2条C ．4条D ．无数条变2：已知双曲线224x y -=，直线l ：()1y k x =-，讨论直线与双曲线公共点个数．变3：直线1y kx =+与双曲线221x y -=左支交于,A B ，另一条直线l 过点()2,0-和AB的中点，则直线l 在y 轴上截距的取值范围是变4：已知双曲线的中心在原点，()3,0F 是双曲线的焦点，过F 的直线l 与双曲线交于,A B ，AB 的中点为()12,15N --，则双曲线的方程为 ．变5：已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，实轴长为（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:l y kx =C 左支交于,A B 两点，求k 的取值范围； （3）在（2）的条件下，线段AB 的垂直平分线与y 轴交于()0,M m ，求m 的取值范围．变6：已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为).（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:=l y kx A 和B 且2∙>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围.例7：已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>和圆：222x y b +=，过双曲线上的一点()00,P x y 引圆的两条切线，切点分别为,A B .（1）若双曲线上存在点P ，使得090APB ∠=，求离心率的取值范围； （2）求直线AB 的方程；（3）求AOB ∆（O 为原点）面积的最大值.变1：若点O 和点()2,0F -分别为双曲线()22210x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围为 .例8：已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为()()111222,,,P x y P x y .（1）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值；（2）记直线11PA 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ⋅是定值吗？证明你的结论.变1：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点()()1002A B -，，，，点C 满足(),,21OC mOA nOB m n R m n =+∈-=．（1）求点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹与双曲线,M N 两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：2211a b-为定值；（3）在（2☆优化热身☆1、过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于,P Q ,若7PQ =，2F 是双曲线右焦点，则三角形2PF Q 的周长是 （ ）A ．28B ．14-C ．14+D ．2、已知双曲线2212x y a-=的一条渐近线为y =，则实数a 的值为 （ ） A . 16 B . 8 C . 4 D . 23、设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12,F F 是该双曲线的两个焦点，若12:3:2PF PF =，则12PF F ∆的面积为 （ ）A ．B ．C ．12D ．244、已知中心在原点，焦点在y 则它的渐近线方程为（ ）A . 2y x =±B . y x =C . 12y x =±D . y =5、已知双曲线中心在原点且一个焦点为()1F ，点P 位于该双曲线上，线段1PF 的中点坐标为()0,2，则双曲线的方程是 （ ）A ．2214x y -=B ．2214y x -= C ．22123x y -= D ．22132x y -=612,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q .若点P 是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 （ ）A B ．2 C ． D 7、如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ） A ．3B ．5C ．25 D ．31+8、如图所示，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l则该双曲线的离心率为 （ ）A BC ．5D ．29、若双曲线122=-y x 左支上的一点),(b a P 是 ．10、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点是()6,0F ，则此双曲线的方程是 ．11、双曲线1222=-m y m x 和椭圆1402522=+y x 有共同的焦点，则=m ． 12、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆()2221x y +-=无公共点，则双曲线的离心率e 的取值范围是 ．13、设直线()300x y m m -+=≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足＝PA PB ，则该双曲线的离心率是 ．14、如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，122FF =，P是双曲线右支上的一点，12PF PF ⊥，2F P 与y 轴交于点A ，APF ∆的内切圆半径为，则双曲线的离心率是 ．15、已知双曲线:C 2212x y -=，设直线l过点()A -. （1）当直线l 双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 的距离； （2）证明：当2k >时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l．16、已知双曲线方程222y x -2=.（1）求以()2,1A 为中点的双曲线的弦所在的直线方程；（2）过点()1,1能否作直线L ，使L 与双曲线交于12,Q Q 两点，且12,Q Q 两点的中点为()1,1？如果存在，求出直线L 的方程；如果不存在，说明理由．MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求k 的取值范围．18、设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点A ，x 轴上有一点()2,0Q a ，若双曲线上存在点P ，使AP PQ ⊥，求双曲线的离心率的取值范围．。
双曲线的定义与性质
双曲线的定义与性质双曲线是二次曲线中的一种，它是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的定义和性质对于数学研究和应用都非常重要，下面将对双曲线的定义、性质和一些实际应用进行简要介绍。
一、双曲线的定义双曲线的定义可以通过两个焦点和常数的关系来描述。
假设平面上有两个给定的焦点F1和F2，并且设距离两个焦点的距离之差等于常数2a，那么满足这个条件的点的轨迹就是一条双曲线。
二、双曲线的方程双曲线的方程可以通过焦点的坐标和常数来表示。
设焦点F1的坐标为（c, 0），焦点F2的坐标为（-c, 0），则满足条件的双曲线的方程可以表示为：(x-c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1或者(x+c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1其中，a和b分别为双曲线的两个主轴，c为焦点到坐标原点的距离。
三、双曲线的性质1. 焦点与双曲线的关系：双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差都等于常数2a，这个性质决定了双曲线的形状。
2. 双曲线的对称性：双曲线关于x轴和y轴都有对称性。
即当(x, y)是双曲线上的一个点时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也是双曲线上的点。
3. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近。
这两条渐近线的方程分别为y=(b/a)x和y=-(b/a)x。
4. 双曲线的焦点和定点：双曲线的焦点是双曲线的一部分，而焦点之间连线上的点叫做定点。
双曲线的定点到焦点的距离等于a。
四、双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。
1. 物理学中，双曲线可以用来描述相对论效应下的时间与空间的关系。
2. 工程学中，双曲线可以用来描述电磁波在天线中的传播特性。
3. 经济学中，双曲线可以用来描述供需均衡时的市场行为。
总结：双曲线是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的方程可以用焦点的坐标和常数来表示。
双曲线具有一些特点，如焦点与双曲线的关系、双曲线的对称性、渐近线以及焦点和定点等。
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四、双曲线的渐近线：
（1）若双曲线为 渐近线方程为 ，
（2）若已知某双曲线与 有公共渐近线，则可设此双曲线为 ，
（3）特别地当a=b时 两渐近线互相垂直，分别为y=±x，此时双曲线为等轴双曲线
五、共轭双曲线：
双曲线A的实轴为双曲线B的虚轴，双曲线A的虚轴为双曲线B的实轴，即 。
双曲线标准方程的两种形式：
① ， ，焦点是F1(Байду номын сангаасc,0),F2(c,0) , ，
焦点是F1(0, -c),F2(0, c)
三、双曲线的性质：
（1）焦距F1F2=2c,实轴长A1A2=2a,虚轴长2b,且a2+b2=c2
（2）双曲线的离心率为e= ，e>1恒成立。
（3）焦点到渐近线的距离：虚半轴长b，通径长EF＝
双曲线的定义及其基本性质
一、双曲线的定义：
（1）到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜ ）的点的轨迹。两定点叫双曲线的焦点。 ＜
（2）动点P到定点F的距离与到一条定直线的距离之比是常数e（e＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。
二、双曲线的方程：