2008中国国家集训队平面几何培训资料

2008年国家集训队平面几何讲义1．一圆O 切于两条平行线12,l l ，第二个圆1O e 切1l 于A ，外切O e 于C ，第三个圆2O e 切2l 于B ，外切O e 于D ，外切1O e 于E ，AD 交BC 于Q ，求证Q 是CDE ∆的外心。

（35届IMO 预选题）证明 由1AO ∥2BO ，知12 AO E BO E ∠=∠，从而有12AEO BEO ∠=∠，即,,A E B 三点共线。

同理由OF ∥2BO ，可得,,B D F 三点共线。

又因为211118018022EDB EO B AO E EAF ∠=︒-∠=︒-∠=∠，所以,,,A E D F 四点共圆，BE BA BD BF =g g ，即点B 在1O e 与O e 的根轴上。

又因为C 在1O e 与O e 的根轴上，所以BC 是1O e 与O e 的根轴。

同理AD 是2O e 与O e 的根轴，因此Q 为根心，且有QC QD QE ==，即Q 是CDE ∆的外心。

2．非等腰ABC ∆的内切圆圆心为I ，其与,,BC CA AB 分别相切于点111,,A B C ，11,AA BB 分别交圆于22,A B ， 111A B C ∆中111111,C A B C B A ∠∠的角平分线分别交1111,B C AC 于点33,A B ，证明（1）23A A 是121B A C ∠的角平分线；（2）如果 ,P Q 是123A A A ∆和123B B B ∆的两个外接圆的交点，则点I 在直线 PQ 上。

（01年保加利亚）证明 （1）因为12AC A ∆∽11AA C ∆，12AB A ∆∽11AA B ∆，所以有122212111111C A AA AA B AC A AC AB B A===，从而有131211121113C AC A C AB A B A B A==，即23A A是121B A C∠的角平分线。

（2）设123A A A∆的外心为O，连221,,,OI IA OA OA，则12OI A A⊥。

由于132A A A∠=()1121231131121211111121902AC A C A A C A A AC A C A B C A B AC A∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠，所以2211321122118090902A OI A OA A A A AC A A IO∠=∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠，于是有290IA O∠=︒，即2IA与Oe相切于2A。

同理2IB与123B B B∆的外接圆相切于2B，从而I 在Oe与123B B B∆的外接圆的根轴上，即 ,,I P Q三点共线。

3．已知圆O外一点X，由X向圆O引两条切线，切点分别为,A B，过点X作直线，与圆O交于两点,C D，且满足CA BD⊥，若,CA BD交于点F，,CD AB交于点G，BD 与GX的中垂线交于点H，证明,,,X F G H四点共圆。

（05年日本）证明 因为,,,X D G C 是调和点列，且90CFD ∠=︒，所以F 在关于点,X G 的阿波罗尼斯圆上。

连,FG FX ，有GFD DFX ∠=∠。

设GFX ∆的外接圆与BF 交于点H '，则有GH XH ''=，即H '在GX 的中垂线上，从而有H H '=，因此,,,X F G H 四点共圆。

4．若 ,P Q 到ABC ∆的三个顶点 ,,A B C 的距离的比都是 ::l m n ，且,,l m n 互不相等，则直线 PQ 过ABC ∆的外接圆的一条直径DE 。

若设ABC ∆的外接圆圆心为O ，则2OP OQ OD =g 。

证明 法一：由于 ,P Q 到,A C 的距离之比为 :l n ，则 PQ 在阿波罗尼斯圆G e 上，其中AG 与G e 的交点为,K L ，且,,,A K C L 为调和点列。

设O e 与G e 交于点F ，则22GA GC GK GF ==g ，因此GF 与O e 相切于点F ，于是OF 也与G e 相切于点F 。

同理，由于 ,P Q 到,B C 的距离之比为 :m n ，则 PQ 在阿波罗尼斯圆M e 上，设O e 与M e 交于点H ，于是OH 与M e 相切于点H 。

因为OH OF =，所以O 在G e 与M e 的根轴上，从而有,,O P Q 三点共线。

设 PQ 与O e 交于点,D E ，则22OD OF OP OQ ==g ，即,,,D P E Q 为调和点列。

法二 由于AP BP CP AQ BQ CQ==，则ABC ∆的外接圆就是关于点 ,P Q 的阿波罗尼斯圆，从而O 在直线 PQ 上，且有2OP OQ OD =g。

5．已知圆心分别为12,O O 的圆12,ωω外切于点D ，并内切于圆ω，切点分别为,E F ，过点D 作12,ωω的公切线l 。

设圆ω的直径AB 垂直于l ，使得1,,A E O 在l 的同侧，证明12,,AO BO EF 三线交于一点。

（第47届IMO 预选题）证明 设AB 的中点为O ，E 为圆ω与圆1ω的位似中心，由于半径1,OB O D 分别垂直于l ，所以OB ∥1O D ，且有,,E D B 三点共线。

同理,,F D A 三点共线。

设,AE BF 交于点C ，由于,AF BC BE AC ⊥⊥，所以D 是ABC ∆的垂心，于是CD AB ⊥，这表明C 在直线l 上。

设EF 与直线l 交于点P ，下面证明点P 在直线1AO 上。

设AC 与圆1ω的第二个交点为N ，则ND 是圆1ω的直径，由梅涅劳斯定理的逆定理，要证1,,A O P 三点共线，只要证111NO CA DP AN O D PC =g g 。

因为11NO O D =，所以只要证CA CP AN PD=。

设l 与AB 交于点K ，则CA CK AN KD =，从而只要证CP CK PD KD=，即证,,,C P D K 是调和点列。

连AP 交BC 于点X ，则,,,C X F B 是调和点列，因此有,,,C P D K 是调和点列。

6．设 ABCD 是梯形， AB ∥CD ，在其两腰 ,AD BC 上分别存在点 ,P Q ，使得,APB CPD AQB CQD ∠=∠∠=∠，证明点 ,P Q 到梯形两对角线的交点的距离相等。

（20届全俄）证明 设APB ∆与CPD ∆的外接圆交于点1Q ，则有()()11180180180CQ P BQ P CDP BAP ∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒，所以点1Q 在 BC 上。

又因为11 CQ D CPD APB AQ B ∠=∠=∠=∠，所以1Q Q =。

设APB ∆与CPD ∆的外接圆半径分别为12,R R ，APB α∠=，则11222sin 2sin R R AB CD R R αα==，因此 AC 与BD 的交点O 是APB ∆的外接圆与CPD ∆的外接圆的位似中心，设APB ∆与CPD ∆的外接圆的圆心分别为12,O O ，则O 在12O O 上，且12O O 是PQ 的中垂线，于是有OP OQ =。

7．圆123,,S S S 均与圆S 外切，切点分别为111,,A B C ，并且它们还分别与ABC ∆的两条边相切，证明111,,AA BB CC 三线共点。

（20届全俄）证明 设ABC ∆的内切圆的圆心为I ，半径为R ，123,,,S S S S e e e e 的半径分别为123,,,r r r r ，则111,,1r r H A H A r R I S S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−−−→−−−−→e e e 。

设P 为SI 上的一点，且满足PS r PI R =，则,r H P R I S ⎛⎫- ⎪⎝⎭−−−−→e e ，从而有1,,A A P 在一条直线上。

同理1,,B B P 与1,,C C P 均三点共线，即111,,AA BB CC 三线共点。

8．给定一个半圆周，其直径为 AB ，圆心为O ，一直线与半圆周相交于点,C D ，且与 AB 的延长线交于点M ，其中,MB MA MD MC <<。

设 ,AOC BOD ∆∆的外接圆12,O O 的第二个交点为K ，证明MKO ∠是直角。

（21届全俄）证明 法一 连1OO 交1O e 于点P ，2OO 交2O e 于点Q ，因为12,O O OK PQ ⊥∥12O O ，且K 在PQ 上，所以只要证,,P Q M 三点共线。

由于OP 是1O e 的直径，因此PA 与O e 相切。

同理,,PC QB QD 也均与O e 相切。

过P 作QD 的平行线，与DC 的延长线交于点E ，则CEP MDQ ECP ∠=∠=∠，所以PE PC PA ==，即PAE ∆与QBD ∆均是等腰三角形，且对应边平行，因此对应顶点的连线交于一点，即,,P Q M 三点共线。

法二 设,AC BD 交于点N ，,AD BC 交于点H ，则H 为NAB ∆的垂心。

连MH ，分别交,AC BD 于点,X Y ，则,,,N C X A 及,,,N D Y B 为调和点列，所以MH 是N 关于O e 的极线，于是ON MH ⊥。

同理OM NH ⊥，且O 是HMN ∆的垂心。

由蒙日定理得OK 过点N ，于是有MH OK ⊥。

设NH 与 AB 交于点T ，则NH NT NC NA NK NO ==g g g ，所以,,,K O T H 四点共圆，90HKO HTO ∠=∠=︒，于是有,,M K H 三点共线。

法三 延长OK 至S ，则9090MKO SKD DKM ∠=︒⇔∠+∠=︒⇔90,,,DBO DKM DKM DAM K A M D ∠+∠=︒⇔∠=∠⇔四点共圆KAB CDK ⇔∠=∠。

因为,C A 关于PO对称，所以有()()180180CDK CDB KDB CAB KOB KOB CAB ∠=∠-∠=︒-∠-︒-∠=∠-∠KCA CAB OCA OCK CAB OAC KAO CAB KAB =∠-∠=∠+∠-∠=∠+∠-∠=∠。

9．设点O 是凸四边形 ABCD 的对角线的交点，过AOB ∆的重心与COD ∆的重心引一条直线，过BOC ∆的垂心与AOD ∆的垂心引一条直线，证明这两条直线互相垂直。

（6届全苏）证明 设,,,AOB BOC COD AOD ∆∆∆∆的重心分别为 ,,,K L M N ，则四边形 KLMN 是平行四边形，并满足 ,KL KN 分别平行于 ,AC BD ， =,33AC BD KL KN =，从而有KL AC KN BD=。

设,,,AOB BOC COD AOD ∆∆∆∆的垂心分别为 ,,,K L M N ''''，则,,;,,;, ,;,,A K N C M L B K L D M N ''''''''均三点共线，且四边形 K L M N ''''是平行四边形，并满足 ,K L K N ''''分别垂直于 ,AC BD 。