2020年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷(理科)(含解析)

2020年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2−2x−3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩(∁U B)＝（）A.(2, 3]B.⌀C.[−1, 0)∪(2, 3]D.[−1, 0]∪(2, 3]2.已知实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”是“xy≤1”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.在等比数列{a n}中，若2a2，3a3，4a4成等差数列，则公比q为（）A.1B.2C.1或12D.124.图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A12．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A.8B.9C.10D.115.若直线ax+by+2＝0(a>0、b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2＝1的弦长为2，则1a +2b 的最小值为（ ） A.4 B.6 C.8 D.106.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f(x)=2x +12x −1cosx 的图象大致是（ ）A. B.C. D.7.函数y ＝sinx −√3cosx 的图象可由函数y ＝sinx +√3cosx 的图象至少向右平移（ ）个单位长度得到． A.π6 B.π3C.π2D.2π38.平面向量a →与b →的夹角为60∘，a →=(2, 0)，|a →+2b →|=2√3，则|b →|＝（ ） A.√3 B.1C.2D.√3−19.如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A.1−2π B.12−1πC.2πD.1π10.设函数f(x)的定义域为R ，满足2f(x +1)＝f(x)，且当x ∈(0, 1]时，f(x)＝−x(x −1)．若对任意x ∈[m, +∞)，都有f(x)≤89，则m 的取值范围是（ ） A.[−76,+∞) B.[−53,+∞)C.[−54,+∞)D.[−43,+∞)11.SC 是球O 的直径，A 、B 是该球面上两点，AB =√3，∠ASC ＝∠BSC ＝30∘，棱锥S −ABC 的体积为√3，则球O 的表面积（ ） A.4π B.8π C.16π D.32π12.关于函数f(x)=2x +lnx ，下列说法正确的是() A.x =2是f(x)的极小值点； B.函数y =f(x)−x 有且只有1个零点; C.f(x)>12x 恒成立；D.设函数g(x)=−xf(x)+x 2+4，若存在区间[a,b]⊂[12,+∞)，使g(x)在[a, b]上的值域是[k(a +2), k(b +2)]，则k ∈(1,9+2ln210]．二、填空题（本大题共4小题，共20分．把答案填在题中的横线上） 已知单位向量a →与向量b →=(1, 2)方向相同，则向量a →的坐标是________．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若B ＝60∘，2b =√7c ，则sinA 的值为________．2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额．新的税率表如下： 2019年1月1日后个人所得税税率表个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除．其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元．某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是________元．函数y＝(15sinx+7)cosx的最大值是________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d为整数，S5＝35，且a2，a3+1，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=1，求数列{b n}的前n项和T n．a n a n+1已知四棱锥E−ABCD，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，cos∠ADC=1213，EC⊥平面ABCD．（1）求证：平面ABE⊥平面EBC；（2）当CE＝60时，求直线AC和平面ADE所成角的正弦值．已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为2．(Ⅰ)求椭圆T的标准方程；(Ⅱ)若直线l:y＝kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点(1, 0)，求实数k的取值范围．已知函数f(x)＝lnx−a(x−1)．（1）若函数f(x)的图象与x轴相切，求实数a的值；（2）讨论函数f(x)的零点个数．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N∗)份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次．方式二：混合检验，将其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p <1)．现取其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2（1）若E(ξ1)＝E(ξ2)，试求关于k 的函数关系式P ＝f(k)；（2）若P 与干扰素计量x n 相关，其中x 1，x 2，…，x n (n ≥2)是不同的正实数，满足x 1＝1且∀n ∈N ∗(n ≥2)都有e −13∑n−1i=1x n 2x i x i+1=x n 2−x i 2x22−x 12成立．(i)求证：数列{x n }为等比数列；(ii)当P ＝1−√x 3时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα （t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ−4cosθ＝0． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 经过曲线C 的焦点F 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|FQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|x +a +1|+|x −4a |,(a >0)． (Ⅰ)证明：f(x)≥5；(Ⅱ)若f(1)<6成立，求实数a 的取值范围．2020年湖南省岳阳市汨罗市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U＝R，集合A＝{x|x2−2x−3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩(∁U B)＝（）A.(2, 3]B.⌀C.[−1, 0)∪(2, 3]D.[−1, 0]∪(2, 3]【解答】∵全集U＝R，集合A＝{x|x2−2x−3≤0}＝{x|−1≤x≤3}，集合B＝{x|log2x≤1}＝{x|0<x≤2}，∴∁U B＝{x|x≤0或x>2}，∴A∩(∁U B)＝{x|−1≤x≤0或2<x≤3}＝[−1, 0]∪(2, 3]．2.已知实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”是“xy≤1”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”⇒2√2x⋅2y≤4，化为：2x+y≤4，∴x+y≤2．∴2√xy≤2，化为xy≤1．反之不成立，例如x=4，y=16，∴实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”是“xy≤1”的充分不必要条件．故选C.3.在等比数列{a n}中，若2a2，3a3，4a4成等差数列，则公比q为（）A.1B.2C.1或12D.12【解答】等比数列{a n}中，若2a2，3a3，4a4成等差数列，可得6a3＝2a2+4a4，即有3a1q2＝a1q+2a1q3，即为2q2−3q+1＝0，解得q＝1或12，4.图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到12次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A12．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A.8B.9C.10D.11【解答】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图运行输出的是茎叶图所有数据中大于90的数据的个数n，由茎叶图知，n＝9．5.若直线ax+by+2＝0(a>0、b>0)截得圆(x+2)2+(y+1)2＝1的弦长为2，则1a +2b的最小值为（）A.4B.6C.8D.10【解答】由题意圆心坐标为：(−2, −1)，半径＝1，所以圆心代直线的距离为：d=√a2+b2，所以弦长2＝2√1−(√22)2，整理可得：2a+b＝2，a>0，b>0，所以1a +2b=(1a+2b)⋅12⋅(2a+b)=12(2+2+ba+4ab)≥12(4+2√ba⋅4ab)＝4，所以最小值为4，6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f(x)=2x +12x −1cosx 的图象大致是（ ）A. B.C. D.【解答】f(−x)=2−x +12−x −1cos(−x)=1+2x1−2x cosx =−f(x)，故函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除AC ； 当x →0+时，f(x)→+∞，故排除D ；7.函数y ＝sinx −√3cosx 的图象可由函数y ＝sinx +√3cosx 的图象至少向右平移（ ）个单位长度得到． A.π6 B.π3C.π2D.2π3【解答】y =sinx −√3cosx =2sin(x −π3)， y =sinx +√3cosx =2sin(x +π3)， ∵y ＝2sin(x −π3)＝2sin(x −2π3+π3)，即函数y =sinx −√3cosx 的图象可由函数y =sinx +√3cosx 的图象至少向右平移2π3的单位得到，8.平面向量a →与b →的夹角为60∘，a →=(2, 0)，|a →+2b →|=2√3，则|b →|＝（ ） A.√3 B.1 C.2 D.√3−1【解答】由已知|a →|=2,|a →+2b →|2=a →2+4a →⋅b →+4b →2＝4+4×2×|b →|×cos60∘+4|b →|2=12，|b →|=1，9.如图，AB 和CD 是圆O 两条互相垂直的直径，分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A.1−2π B.12−1πC.2πD.1π【解答】设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，S 白＝4π−16(π4−12)＝8， 设“此点取自阴影部分”为事件A ， 由几何概型中的面积型可得： 则P(A)＝1−SS =1−84π=1−2π，10.设函数f(x)的定义域为R ，满足2f(x +1)＝f(x)，且当x ∈(0, 1]时，f(x)＝−x(x −1)．若对任意x ∈[m, +∞)，都有f(x)≤89，则m 的取值范围是（ ） A.[−76,+∞) B.[−53,+∞)C.[−54,+∞)D.[−43,+∞)【解答】作出当x ∈(0, 1]时，f(x)＝−x(x −1)的图象，由2f(x +1)＝f(x)，可得 将y ＝f(x)在(0, 1]的图象向左平移1个，2个，3个单位， 同时点的纵坐标伸长到原来的2倍，4倍，8倍，将y ＝f(x)在(0, 1]的图象每向右平移1个，2个，3个单位， 同时点的纵坐标缩短到原来的12倍，14倍，18倍， 作出直线y =89，如图所示：对任意x ∈[m, +∞)，都有f(x)≤89，可得只要找直线y =89与f(x)(−2<x <−1)的右边的交点，由−4(x +1)(x +2)=89，解得x =−43（−53舍去）， 则m ≥−43，故选：D．11.SC是球O的直径，A、B是该球面上两点，AB=√3，∠ASC＝∠BSC＝30∘，棱锥S−ABC的体积为√3，则球O的表面积（）A.4πB.8πC.16πD.32π【解答】如图，∵SC是球O的直径，可得△SCA，△SCB是直角三角形，∵∠ASC＝∠BSC＝30∘，∴SA＝SB=√3R，（R为球半径），作AD⊥SC于D，连接DB，可得AD＝BD=√32R，∵AB=√3，∴S△ABD=12×AB×√AD2−(AB2)2=34√R2−1．∵13×34√R2−1×2R=√3，解得R＝2，则球O的表面积为4πR2＝16π．12.关于函数f(x)=2x+lnx，下列说法正确的是()A.x=2是f(x)的极小值点；B.函数y=f(x)−x有且只有1个零点;C.f(x)>12x恒成立；D.设函数g(x)=−xf(x)+x2+4，若存在区间[a,b]⊂[12,+∞)，使g(x)在[a, b]上的值域是[k(a+2), k(b+2)]，则k∈(1,9+2ln210]．【解答】解：f′(x)=x−2x2=0，解得x=2.且当x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递减.∴x=2是f(x)的极小值点.故A选项正确；令g(x)=f(x)−x=2x+lnx−x，则g ′(x)=−x 2+x−2x 2<0恒成立，所以函数g(x)在(0, +∞)上单调递减，而g(1)=2−1=1>0，g(e 2)=2e +2−e 2<3−e 2<0， 所以函数y =f(x)−x 有且只有1个零点，即B 选项正确； 令ℎ(x)=f(x)−12x ，原问题转化为ℎ(x)>0恒成立， ℎ′(x)=−x 2+2x−42x 2<0恒成立，所以函数ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减， 由于ℎ(e 2)=2e +2−e 22<3−e 22<0，所以ℎ(x)>0不可能恒成立，即C 选项错误； g(x)=−xf(x)+x 2+4=x 2−xlnx +2， 则g ′(x)=2x −lnx −1，令t(x)=2x −lnx −1，则t ′(x)=2−1x ， 所以t(x)在[12,+∞)上单调递增，t(x)≥t(12)=ln2>0，所以g(x)在[12,+∞)上单调递增． 因为[a,b]⊂[12,+∞)，所以g(x)在[a, b]上单调递增． 因为g(x)在[a, b]上的值域为[k(a +2), k(b +2)]， 所以{g(a)=k(a +2)，g(b)=k(b +2)，即方程g(x)=k(x +2)在[12,+∞)上有a ，b 两个不同解， 所以k =g(x)x+2， 令F(x)=g(x)x+2=x 2−xlnx+2x+2(x ≥12)，则F ′(x)=x 2+3x−2lnx−4(x+2)2，令G(x)=x 2+3x −2lnx −4， 则G ′(x)=(2x−1)(x+2)x ≥0，所以G(x)在[12,+∞)上单调递增， 而G(12)<0，G(1)=0，所以当x ∈[12,1)时，G(x)<0即F ′(x)<0； 当x ∈[1, +∞)时，G(x)≥0即F ′(x)≥0，因此F(x)在[12,1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增， 所以F(1)<k ≤F(12)， 即1<k ≤9+2ln210，所以D 选项正确．故选ABD .二、填空题（本大题共4小题，共20分．把答案填在题中的横线上） 已知单位向量a →与向量b →=(1, 2)方向相同，则向量a →的坐标是________． 【解答】设向量a ＝(x, y)，则{x 2+y 2=12x =y ，解得{x =√55y =2√55或{x =−√55y =−2√55， 由于向量a 与向量b 方向相同，所以a =(√55,2√55)． 已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若B ＝60∘，2b =√7c ，则sinA 的值为________． 【解答】由正弦定理得sinC =cb sinB =√7×√32=√217， 因为2b =√7c ，所以b >c ，角C 为锐角， ∴cosC =√1−2149=2√77， 则sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =√32×2√77+12×√217=3√2114． 2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额．新的税率表如下： 2019年1月1日后个人所得税税率表个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除．其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元．某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是________元． 【解答】当工资、薪金为8000元时，缴纳税款3000×3%＝90（元）； 当工资、薪金为17000元时，缴纳税款3000×3%+9000×10%＝990（元），所以他的工资、薪金在8000−17000元之间，设工资、薪金为x 元，则3000×3%+(x −10000)×10%＝390，解得：x ＝13000，所以税后所得为13000−390＝12610（元）， 函数y ＝(15sinx +7)cosx 的最大值是________． 【解答】方法一：y ′＝15cos 2x −(15sinx +7)sinx ＝15cos 2x −15sin 2x −7sinx ＝−30sin 2x −7sinx +15＝(−5sinx +3)(6sinx +5)， 令y ′＝0，得sinx =35或sinx =−56，因为函数的定义域为R ，所以函数若存在最大值， 则最大值应在极大值处取到，当sinx =35，cosx =45时，函数的最大值为645．方法二：因为16sin 2x +9cos 2x ≥24sinxcosx ，当4sinx ＝3cosx 时，等号成立；7(cos 2x +1625)≥7×85cosx ，当cosx =45时，等号成立，所以16sin 2x +9cos 2x +7(cos 2x +1625)≥24sinxcosx +7×85cosx ， 即24sinxcosx +7×85cosx ≤16+16×725，3sinxcosx +75cosx ≤6425， 15sinxcosx +7cosx ≤645，当cosx =45，sinx =35时，等号成立， 因此函数y ＝(15sinx +7)cosx 的最大值是645． 胡答案为：645．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d 为整数，S 5＝35，且a 2，a 3+1，a 6成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设数列{b n }满足b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】由S 5＝5a 3＝35，得a 3＝7，由a 2，a 3+1，a 6成等比数列，得a 2a 6＝(a 3+1)2＝64， 即(a 3−d)(a 3+3d)＝64，整理得3d 2−14d +15＝0， 又因为公差d 为整数，所以d ＝3， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n −2． b n =1an a n+1=1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1)，所以T n ＝b 1+b 2+b 3+...+b n=13×[(1−14)+(14−17)+(17−110)+⋯+(13n −2−13n +1)] =13×(1−13n +1) =n3n+1．已知四棱锥E −ABCD ，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，cos∠ADC =1213，EC ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面ABE ⊥平面EBC ；（2）当CE ＝60时，求直线AC 和平面ADE 所成角的正弦值． 【解答】在△ADC 中，由余弦定理可得，AC 2＝AD 2+DC 2−2AD ⋅DCcos∠ADC ， =132+122−2×12×13×1213=25， 故AC ＝5，AB 2+BC 2＝AC 2，即AB ⊥BC ， 又EC ⊥平面ABCD ，AB ⊆平面ABCD ， 所以EC ⊥AB ，EC ∩BC ＝C ， 所以AB ⊥平面EBC ， 又AB ⊆平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面BCE ， 由（1）知AC ⊥CD ， 又EC ⊥平面ABCD ，所以AC ，CD ，EC 两两垂直，以C 为原点，以CD ，CA ，CE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意可得，C(0, 0, 0)，A(0, 5, 0)，(12, 0, 0)，E (0, 0, 60)， 则AD →=(12, −5, 0)，AE →=(0, −5, 60)，设n →=(x,y,z)为平面ADE 的一个法向量，由{AD →⋅n →=0AE →⋅n →=0可得{12x −5y =0−5x +60z =0， 令z ＝1可得，n →=(5, 12, 1)，而AC →=(0, −5, 0)，设直线AC 与平面ADE 所成的角为α， 则sinα=|AC →⋅n →||AC →||n →|=5×√52+122+12=6√17085， 即直线AC 与平面ADE 所成的角的正弦值为6√17085已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2． (Ⅰ)求椭圆T 的标准方程；(Ⅱ)若直线l:y ＝kx +m(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过定点(1, 0)，求实数k 的取值范围． 【解答】（1）由题意可知：{2b =2ca =√32a 2=b 2+c 2，得{a =2b =1c =√3 ，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （2）设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，将y ＝kx +m 代入椭圆方程， 消去y 得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4＝0，所以△＝(8km)2−4(1+4k 2)(4m 2−4)>0，即m 2<4k 2+1…① 由根与系数关系得x 1+x 2=−8km1+4k 2，则y 1+y 2=2m1+4k 2，……………… 所以线段MN 的中点P 的坐标为(−4km1+4k ,m1+4k )．……………………………… 又线段MN 的垂直平分线l ′的方程为y =−1k (x −1)， 由点P 在直线l ′上，得m1+4k 2=−1k (−4km1+4k 2−1)，即4k 2+3km +1＝0，所以m =−13k (4k 2+1)②…………… 由①②得(4k 2+1)29k 2<4k 2+1，∵4k 2+1>0∴4k 2+1<9k 2，所以k 2>15，即k <−√55或k >√55， 所以实数k 的取值范围是(−∞,−√55)∪(√55,+∞)．…………已知函数f(x)＝lnx −a(x −1)．（1）若函数f(x)的图象与x 轴相切，求实数a 的值；（2）讨论函数f(x)的零点个数．【解答】f′(x)=1−axx ，令f′(x)＝0，则x=1a，因为函数f(x)的图象与x轴相切，所以f(1a)=0，即f(1a )=ln1a−a(1a−1)=a−1−lna=0，令ℎ(x)＝x−1−lnx，则ℎ(x)=1−1x，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减；当x>1时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)min＝ℎ(1)＝0，所以a−1−lna＝0有唯一解a＝1，即实数a的值为1．f′(x)=1−axx，①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，且f(1)＝0，函数有唯一零点；②当a>0时，函数f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减，f(x)max=f(1a)=a−1−lna，由（1）ℎ(x)＝x−1−lnx的单调性知：（1）当a＝1时，f(x)max＝0，所以函数只有一个零点；（2）当0<a<1时，f(1a)=a−1−lna>0，f(1)＝0，所以函数f(x)在(0,1a )上有一个零点，f(1a2)=a−1a−21na，令p(x)=x−1x −21nx，则p′(x)=1+1x2−2x=(x−1)2x2≥0，所以函数p(x)在(0, +∞)上单调递增，又p(1)＝0，当0<x<1时，p(x)<0，所以f(1a )=a−1a−21na<0，所以函数f(x)在(1a,+∞)上有一个零点，所以函数f(x)在(0, +∞)上有两个零点；(Ⅲ)当a>1时，f(1)＝0，f(1a)=a−1−lna>0，所以函数f(x)在(1a,+∞)上有一个零点，当0<x<1e a时，lnx<−a，f(x)＝lnx−a(x−1)<−a−a(x−1)＝−ax<0，所以函数f(x)在(0,1a)上有一个零点，所以函数f(x)在(0, +∞)上有两个零点，综上，当a ≤0或a ＝1时，函数f(x)有唯一零点； 当0<a <1或a >1时，函数f(x)有两个零点．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n(n ∈N ∗)份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验n 次．方式二：混合检验，将其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p <1)．现取其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2（1）若E(ξ1)＝E(ξ2)，试求关于k 的函数关系式P ＝f(k)；（2）若P 与干扰素计量x n 相关，其中x 1，x 2，…，x n (n ≥2)是不同的正实数，满足x 1＝1且∀n ∈N ∗(n ≥2)都有e −13∑ n−1i=1x n2x i xi+1=x n 2−x i 2x22−x 12成立．(i)求证：数列{x n }为等比数列；(ii)当P ＝1−x 3时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k 的最大值． 【解答】由已知可得E(ξ1)＝k ，ξ2的所有取值为1，k +1，P(ξ2＝1)＝(1−p)k ，P(ξ2＝k +1)＝1−(1−p)k ，E(ξ2)＝(1−p)k +(k +1)[1−(1−p)k ]＝k +1−k(1−p)k ，由E(ξ1)＝E(ξ2)，可得k ＝k +1−k(1−p)k ，即(1−p)k =1k ，即1−p ＝(1k )1k ，即p ＝1−(1k )1k ，可得f(k)＝1−(1k )1k ，k ∈N ∗，k ≥2； (i)证明：当n ＝2时，e−13⋅x 22x1x 2=x 22−x 12x22−x 12=1，即x 2x 1=e 13，可令q =x 2x 1=e 13>0，则q ≠1，由x 1＝1，下面证明对任意的正整数n ，x n ＝en−13，①当n ＝1，2时，显然成立；②假设对任意的n ＝k ，x k ＝e k−13，下面证明n＝k +1时，x k+1＝e k 3， 由题意可得e−13⋅∑ki=1x k+12x i x i+1=x k+12−x 12x 2−x 1，则e−13⋅x k+12(1x1x 2+1x2x 3+⋯+1x k−1x k+1x k x k+1)=x k+12−1e 23−1， 则e−13⋅x k+12{e −13[1−(e −23)k−1]1−e −23+1e k−13⋅x k+1}=x k+12−1e 23−1，x k+12(1−e −2(k−1)3)e 23−1+e−k 3⋅x k+1=x k+12−1e 23−1，e−2(k−1)3⋅x k+12{+(e −k3−e−k 3+23)x k+1−1＝0，即(e−k 3⋅x k+1−1)(e−k 3+23⋅x k+1+1)＝0，可得x k+1＝e k 3或x k+1＝−ek−23（舍去），即x k+1＝e k 3成立，由①②可得数列{x n }为等比数列，且x n ＝en−13；(ii)由(i)可知p ＝1−√x 3=1−e3，E(ξ1)＝E(ξ2)，可得k >k +1−k(1−p)k ，即1k <(1−p)k ＝(√e3)k ，所以lnk >13k ，设f(x)＝lnx −13x ，x >0，f′(x)=3−x 3x，当x ≥3时，f′(x)<0，f(x)递减，又ln4≈1.3863，43≈1.3333，则ln4>43； ln5≈1.6094，53≈1.6667，则ln5<53，可得k 的最大值为4．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα （t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ−4cosθ＝0．(Ⅰ)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 经过曲线C 的焦点F 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|FQ|的值．【解答】（1）∵直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα （t 为参数），∴直线l 的普通方程为y ＝tanα⋅x +1，由ρsin 2θ−4cosθ＝0，得ρ2sin 2θ−4ρcosθ＝0，即y 2−4x ＝0，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ；（2）∵直线l 经过曲线C 的焦点F(1, 0)，∴tanα＝−1，直线l 的倾斜角α=3π4， ∴直线l 的参数方程为{x =1−√22t y =√22t（t 为参数）， 代入y 2＝4x ，得t 2+4√2t −8=0，设A ，B 两点对应的参数为t 1．t 2，可得t 1+t 2＝−4√2，∵Q 为线段AB 的中点，∴点Q 对应的参数值为t 1+t 22=−2√2． 又点F(1, 0)，则|FQ|=|t 1+t 22|=2√2． [选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|x +a +1|+|x −4a |,(a >0)．(Ⅰ)证明：f(x)≥5；(Ⅱ)若f(1)<6成立，求实数a 的取值范围．【解答】（1）证明：f(x)=|x +a +1|+|x −4a |≥|(x +a +1)−(x −4a )|=|a +1+4a |∵a >0，∴f(x)≥a +1+4a ≥2√a ⋅4a +1=5⋯．（2）由f(1)<6得：|a +2|+|1−4a |<6，∵a >0，∴|1−4a |<4−a ，|a−4|a <4−a ⋯①当a≥4时，不等式|a−4|a<4−a无解；②当a<4时，不等式|a−4|a <4−a，即1a<1，a>1，所以1<a<4综上，实数a的取值范围是(1, 4)。