2021届黑龙江牡丹江一中高三10月月考文数学试卷

2021年黑龙江牡丹江一中高三10月月考文数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则=（）

A． B． C． D．

2．下列判断错误的是（）

A ．若为假命题，则至少之一为假命题

B．命题“”的否定是“”

C．“若且，则”是真命题

D．“若，则”的否命题是假命题

3．设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为（）A．1,3 B． C． D．

4．已知f（x）＝2sin（ωx＋φ）的部分图像如图所示，则f（x）的表达式为（）

A．f（x）＝2sin（x＋）

B．f（x）＝2sin（x＋）

C．f（x）＝2sin（x＋）

D．f（x）＝2sin（x＋）

5．若函数的导函数，则使得函数单调递减的一个充分不必要条件是∈（）

A．[2，4] B．[2，3] C．[0，1] D．[3，5]

6．若函数与函数在上的单调性相同，则的一个

值为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

7．已知，且

，若

，

，

，

则的大小关系是（ ） A ． B ．

C ．

D ．无法确定

8．在

中，若

，则

是（ ）

A ．等边三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．直角三角形 9．已知，

，则下列不等式一定成立的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

10．已知定义域为的奇函数

的导函数为

，当

时

若，

，

，则的大小关系是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数21

()(),()(0),()2ln f x x x R g x x h x e x x

=∈=<=，有下列命题：

①()()()F x f x g x =-在

(x ∈内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(4,0]-；

④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-． 其中真命题的个数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题

12．已知是圆心在坐标原点的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且点的纵坐标为，点的横坐标为，则．13．．

14．给出下列四个命题：

①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为

②若为锐角，，则

③函数的一条对称轴是

④已知，，则

其中正确的命题是．

15．若若方程有两个实根，则实数的取值范围是．

三、解答题

16．已知函数（）．

（1）求的最小正周期；

（2）求函数在区间上的取值范围．

17．在中, 且∥

（1）求角的大小；

（2）若，当面积取最大时，求内切圆的半径．

18．已知函数是定义在上的奇函数，且时，

（1）求的解析式；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

19．已知

（1）当时，求在上的最值；

（2）若函数在区间上不单调

．．．．求实数的取值范围．20．已知函数

（1）若恒成立，求实数的值；

（2）若方程有一根为，方程的根为，是否存在实数，使若存在，求出所有满足条件的值，若不存在说明理由．21．（选修）已知函数

（1）解不等式；

（2）对任意，都有成立，求实数的取值范围．

参考答案

1．A

【解析】

试题分析：，，故选A．

考点：集合的运算

2．C

【解析】

试题分析：对于A，若都为真命题，则为真命题，故若为假命题，则至少之一为假命题；对于B，命题“”的否定是“”；对于C，若，则不一定成立；对于D，“若，则”的否命题真假性与逆命题“若，则”一致，可知逆命题为假命题，故否命题为假命题.

考点：常用逻辑用语．

3．A

【解析】

试题分析：当时，函数的定义域为，不满足定义域为；当时，函数的定义域为，且为奇函数，满足要求；当函数的定义域为，不满足定义域为；当时，函数的定义域为，且为奇函数，满足要求；故选D．

考点：幂函数的性质

4．B

【解析】

试题分析：由图可得，把点代入可求得，故选B．

考点：函数的图像

5．B

【解析】

试题分析：由，为的单调减区间，的单调减区间为，，所以选B．

考点：利用导数研究函数的单调性

6．C

【解析】

试题分析：函数在是减函数，上单调递增，A 不对；单调递增B不对；上单调递增，在单调递减

考点：正余弦函数的单调性

7．B

【解析】

试题分析：，且，，，对数函数为减函数，，故选B．

考点：对数值大小的比较

8．D

【解析】

试题分析：，

，所以，故选D．

考点：

9．D

【解析】

试题分析：令，

为偶函数，又当

，即在单调递增；又为偶

函数，所以在单调递减，

，即

，反之也成立，故

，选D ．

考点：函数的单调性 10．D 【详解】 试题分析：设

，是定义在上的奇函数，

是定义在的偶函数，当

时，

，此时函数

单

调递增．，，，

又故选D ．

考点：利用导数研究函数的单调性 【思路点睛】

本题考察的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中无解析式，所以我们无法采用作差法、作商法和中间量法，只能采用单调性法，经观察得需要进行构造函数，研究构造的函数的单调性，再利用函数的奇偶性进行转化到同一侧，即可判断出所给几个值的． 11．C 【解析】 试题分析：①

()()(

)()2

'211,,20

F x f x g x x x F x x x x ?

=-=-∴∈=+>??

，

()()()

F x f x g x ∴=-

在

?

??

上单调递增，①正确；②③设

()()

,f x g x 的隔离直线

为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 成立，即有2

10,40

k b ≤+≤，又1kx b

x

≤+对

一切0x <成立，则210kx bx +-≤即

22

0,40,0,0b k k b ≤+≤≤≤，即有

224244,166440k b b k k b k k ≤≤≤≤-?-≤≤且，同理40b ?-≤≤，故②正确，③错

误；④函数

()

f x 和

()

h x 的图像在x e =

处有公共点，因此存在()f x 和()h x 的隔离直

线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ．则隔离直线方程为

()

y e k x e

-=-，即

y kx k e e =-+，由()()f x kx k e e x R ≥-+∈，可得

20x kx k e e -+-≥当x R ∈恒成立，则0≤，只有2k e =，此时直线方程为：

．

下

面

证

明

，

令

，当时，

，当时，，当时，，则当时，

取得极小值，极小值是0，也是最小值．所以

，则

，当

时恒成立．

函数

和

()

h x 存在唯一的隔离直线

2y ex e =-，故④正确．故选C ．

考点：命题的真假判断与应用

【思路点睛】本题考察的知识点有新定义、函数的性质及应用、导数的综合应用，对每个命题进行一一判断，①中，要判断函数的单调性只需判断导函数在所给区间内的符号即可；②③中，要根据新定义所给的条件根据不等式的性质即可判断；④中，存在()f x 和()g x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率，则隔离直线，构造函数，求出函数的导数，根据导数求出函数的最值． 12．65

33-

【解析】

试题分析：由题意可得

，再根据

，

13．

【解析】 试题分析：，表示的几何意义是以

为圆心，1为半径，四分之一圆的面积为

，

，

考点：定积分 14．③④ 【解析】

试题分析：对于①，根据扇形面积公式22

11121222S r α=

=??=，①不对；对于②，()()()11tan tan 23tan 2111

1tan tan 123

αββαβαββ++++==

=-+?-?，24k παβπ∴+=+，因为βα,为锐角，3

1

tan ,21)tan(==+ββα，所以24παβ+=，②不对；对于③，

2362

k x k x πππ

π-=∴=+

，当1k =时，23x π=，③正确；因

为1sin cos sin 4545ππαααα???

?+=+=-+=-

? ?????，又

()

πα，0

∈cos tan 44ππαα???

?∴+=+=

? ?????

，④正确． 考点：命题真假的判断与应用

【易错点睛】①，只需记清楚扇形的面积公式，代入相关数据即可；②，需要记清两角和的正切公式，结合所给角的范围和正切函数的单调性，即可判断2αβ+的值；③中，我们在判断余弦函数的对称轴的时候可以把所给的直线代入看所得的值是否为最大或者最小值，如果是即为对称轴，如果不是即不是对称轴；④考察的是辅助角公式和同角三角函数的基本关系，结合所给角的范围即可判断． 15．

试题分析：由图像可知222x y x +=图像横在1

2y x =的上方，①当0x ≤时，()f x 与

()()1g x k x =-只有一个交点，

舍去；②当102

k <≤，1x >时，()f x 与()()1g x k x =-无交点，

(]0,1x ∈时，令()()()()()2log 1,10

h x f x g x x k x h =-=--=()'1

ln 2

h x k x =

-恒大于0，即(]0,1x ∈，()0h x ≤，当()1,0x h x ==，(]0,1x ∴∈时，()f x 与()()1g x k x =-只有一个交点，舍去；③当1

2

k >时，[)1,x ∈+∞，

令()()f x g x =，即

()22

12x k x x

+=-，处理得

()()22122

21220,

48210021

k x kx k k x x k ----==+->∴=

<-，所以在()1,x ∈+∞，()f x 与()g x 有一个交点，需保证(]0,1x ∈时，()h x 有唯一零点，()'1

ln 2

h x k x =-，

只需()'

h x 恒大于等于0，即()'110ln 2h k ≥∴≤

；综上，k 的取值范围是11,2ln 2?? ???

． 【思路点睛】本题考察的是函数的零点的判断，牵扯到分段函数的题目一般难度都会增加，讨论起来比较复杂．本题中

的图像由对勾函数和对数函数构成，这两类函数图像学生

画起来比较麻烦而且学生不爱熟悉这些函数．对对勾函数进行求导可以判断出在其函数图像上的每一点斜率都小于，

在

与

恒有一个交点，所以只需

在

上与

再有一个交点即可，通过讨论即可得到所求答案．

考点：函数零点的判断 16．（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）先将

化简为

，然后根据周期公式

即可求出最小正周期；

（2）由，根据正弦函数的单调性即可求出所求的取值范

围．

试题解析：（1）

所以的最小正周期为

（2）解：

因为，所以，

所以所以

即在区间上的取值范围是．

考点：（1）三角函数的周期性；（2）三角函数的值域

17．（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）利用数量积运算性质，结合两角和的正弦公式，化简即可得到，从而可求出角的大小；

（2）利用余弦定理、基本不等式和三角形的面积计算公式即可求出面积的最大值，再根据面积公式，即可求出此时内切圆的半径．

试题解析：（Ⅰ）由已知，，即

（Ⅱ）由（1）得，又，中

得即

，又因为．得即．所以

当且仅当时最大值为．此时由

，．

考点：（1）正余弦定理；（2）面积公式

18．（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）只需求当和当时表达式即可，当，可求，再由奇函数的性质可得，因为为奇函数，；（2）把代入，利用换元法令，转化为一元二次不等式恒成立问题来求解，分类讨论即可求出的取值范围．

试题解析：（1）对任意的

（2）在恒成立

设则

即在时恒成立

令

或

综上所述，

考点：（1）求函数的解析式（2）函数恒成立问题

19．（1），；（2）

【解析】

试题分析：（1）对原函数进行求导，利用导函数判断函数在所给区间上的单调性，利用单调性即可求出函数的最值；

（2）求出函数，得出，在区间上不单调可知

不恒大于0也不恒小于零，即可求出的取值范围．

试题解析：（1）当时，，∴

令，得．

所以，

（2），，

∴

则

∵，∴

当时，在上恒成立，即在区间上递减，不合题意，

当时，在上恒成立，即在区间上递增，不合题意，

故函数在区间上不单调

．．．，则，

综上所述，实数的取值范围为．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

【思路点睛】在考察已知含参函数在区间上单调或者不单调或存在单调区间，求参数取值范围时，已知函数在区间上单调递增或递减，转化为导函数恒大于等于0或恒小于等于0求解；已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参数取值范围；已知函数在区间上存在单调递增或者递减区间，转化为导函数在区间上大于0或小于0有解．

20．（1）；（2）不存在

【解析】

试题分析：（1）要恒成立，只需证明的最小值恒大于等于0,即可，构造函数后，利用导数即可求出函数的最小值，令最小值大于等于0，即可求出实数的值的值;

（2）本题可以采用反证法来证明，假设存在这样的实数，使，

代入整理得，然后构造出一个新函数，根据条件求出根，与矛盾，故不存在这样的．

试题解析：（1）令

,令f（k）=

（2）由条件有，若存在k,使,成立．将代入整理得

令令

,

而但当时，，与已知矛盾．所以不存在．

考点：利用导数求函数的最值

【一题多解】本题第一问要恒成立，等价于恒成立，设

，求出导数，确定函数的最小值

，再构造出，求导数，确定出函数的单调性，即可求出所求答案．虽然同样采用的都是构造函数的方法来求解，但是这种解法可以简化很多的计算，使我们更快的得到答案．

21．（1）{|6}；（2）-2或 4

【解析】

试题分析：（1）关于解绝对值不等式一般采用零点分段法，通过对与

三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取并集即可;

（2）通过对与三类讨论，去掉绝对值得到，

画出函数的图像，对任意，都有成立，分讨论，即可求得实数的取值范围．

试题解析：（1）-2 当时，, 即，∴；

当时，,即,∴

当时，, 即, ∴1 6

综上，{|6}

（2）函数的图像如图所示：

令，表示直线的纵截距，当直线过（1,3）点时，；

∴当-2，即-2时成立；

当，即时，令，得,

∴2+,即4时成立，综上-2或4．

考点：绝对值不等式的解法

【思路点睛】在求解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，而去掉绝对值符号的方法有等价转化法、零点分段法和数形结合法等；而在解绝对值不等式时，数形结合（绝对值的几何意义）对于求解含参的绝对值不等式参数的范围有着化繁为简的作用，体现了数形结合思想在求解含参不等式方面的应用．