2015年高考北京文科数学试题及答案(word解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（文科）

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2015年北京，文1，5分】若集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =-<<，则A B =（ ）

（A ）{}32x x -<< （B ）{}52x x -<< （C ）{}33x x -<< （D ）{}53x x -<< 【答案】A

【解析】{}32A B x x =-<<，故选A ．

（2）【2015年北京，文2，5分】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）

（A ）()()22111x y -+-= （B ）()()22111x y +++= （C ）()()22112x y +++=（D ）()()22

112x y -+-= 【答案】D

【解析】由已知得，圆心为(

)1,1，圆的方程为()()2

2

112x y -+-=，故选D ．

（3）【2015年北京，文3】下列函数中为偶函数的是（ ）

（A ）2sin y x x = （B ）2cos y x x = （C ）ln y x = （D ）2x y -=

【答案】B

【解析】函数2sin y x x =为奇函数，2cos y x x =为偶函数，ln y x =与2x y -=为非奇非偶函数，故选B ． （4）【2015年北京，文4，5分】某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分

层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该

样本的老年教师人数为（ ）

（A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300

【答案】C

【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为160016

9009

=；设样本中老年教师的

人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相

等，即32016

9

x =，解得180x =，故选C ．

（5）【2015年北京，文

5，5分】执行如图所示的程序框图，输出的k

的值为（ ）

（A ）3 （

B ）

4

（C ）5 （D ）6 【答案】B

【解析】13322a =?=，1k =，3124a =

313428a =?=，3k =，3184a =

31164a =

（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】||||cos ,a b a b a b ?=?<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，

//a b ．而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ?=-，故

“a b a b ?=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A ．

（7）【2015年北京，文7，5分】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥

最长棱的棱长为（ ）

侧（左）视图

正（主）视图

（A ）1 （B

（C

（D ）2 【答案】C

【解析】四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC ⊥平面ABCD ，SA 是四棱锥最长的棱，

SA ===C ．

（8）【2015

注：“ ）

（A ）6升 （B ）8升 （C ）10升 （D ）12升 【答案】B

【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升． 而这段时

间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米． 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为48

1008600

?=升，故选B ． 第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。 （9）【2015年北京，文9，5分】复数()i 1i +的实部为 ． 【答案】1-

【解析】复数i(1i)i 11i +=-=

-+，其实部为1-．

（10）【2015年北京，文10，5分】32-，12

3，2log 5三个数中最大数的是 ．

【答案】2log 5

【解析】3

1

218

-=<，1

231=>，22log 5log

42>>

2log 5最大．

（11）【2015年北京，文11，

5分】在ABC ?中，3a =，b ，23

A π

∠=，则B ∠=______．

【答案】

4

π 【解析】由正弦定理，得

sin sin a b A B =

=，所以sin B =，所以4B π

∠=．

（12）【2015年北京，文12，5分】已知()2,0是双曲线22

21y x b

-=（0b >）的一个焦点，则b = ．

【解析】由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =． （13）【2015年北京，文13，5分】如图，ABC ?及其内部的点组

成的集合记为D ，(),R x y 为D 中任意一点，则23

z x y =+ 的最大值为_______． 【答案】7

【解析】依题意，23z x y =+在点()2,1A 处取得最大值7．

（14）【2015年北京，文14，5分】高三年级267位学生参加期末 考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全

这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生 是 ；

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目 是 ．

【答案】乙、数学．

【解析】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙．

②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学．

三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（15）【2015年北京，文15，13分】已知函数()2sin 2

x

f x x =-．

（1）求()f x 的最小正周期；

（2）求()f x 在区间20,3π??

????

上的最小值．

解：（1）()sin f x x x =2sin 3x π?

?=+ ??

?∴()f x 的最小正周期为2π．

（2）因为203x π≤≤，所以33x πππ≤+≤，从而3x ππ+=，即23

x π=时，()f x 最小。

所以()f x 在区间20,3π??????上的最小值为23f π??

= ???

．

（16）【2015年北京，文16，13分】已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？

解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为432a a -=，所以2d =．又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =．

所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =．

（2）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =．所以61642128b -=?=．

由12822n =+，得63n =．所以6b 与数列{}n a 的第63项相等．

（17）【2015年北京，文17，13分】某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的

（1（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；

（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？ 解：（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙

的概率可以估计为

200

0.21000

=． （2）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同

时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品

的概率可以估计为

100200

0.31000

+=． （3）与（1）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为200

0.21000

=，

顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100200300

0.61000++=，

顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为100

0.11000

=，

所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．

（18）【2015年北京，文18，14分】如图所示，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，三角形VAB 为等

边三角形，AC BC

⊥

，且AC BC

==O，M分别为AB，VA的中点．

（1）求证：//

VB平面MOC；

（2）求证：平面MOC⊥平面VAB；

（3）求三棱锥V ABC

-的体积．

解：（1）依题意，O，M分别为AB，VA的中点，则OM是VAB

△的中位线，所以//

OM VB，OM?平面MOC，VB?平面MOC，故//

VB平面MOC．（2）因为AC BC

=，O为AB的中点，所以OC AB

⊥．又因为平面VAB⊥平面ABC，

且OC?平面ABC，所以OC⊥平面VAB，所以平面MOC⊥平面VAB．．

（3）在等腰直角三角形ACB中，2

AC BC

==，所以2,1

AB OC

==．

所以等边三角形VAB的面积

VAB

S

?

=．又因为OC⊥平面VAB，

所以三棱锥C-V AB的体积等于

1

3VAB

OC S

?

??．

又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C VAB

-的体积相等，所以三棱锥V-ABC．

（19）【2015年北京，文19，13分】设函数()

2

ln

2

x

f x k x

=-，0

k>．

（1）求()

f x的单调区间和极值；

（2）证明：若()

f x存在零点，则()

f x在区间(上仅有一个零点．

解：（1）由函数()2ln

2

x

f x k x

=-，()0

k>()2

/

k x k

f x x

x x

-

?=-=，

所以()

/0

f x x

=?=()

/0

f x x

>?>/00

f x

所以，()

f x的单调递减区间是，单调递增区间是)

+∞；

()

f x在x

(1ln)

2

k k

f

-

=．

（2）由（1）知，()

f x在区间(0,)

+∞上的最小值为

(1ln)

2

k k

f

-

=．

因为()

f x存在零点，所以

(1ln)

2

k k

-

≤，从而k e

≥．

当k e

=时，()

f x在区间上单调递减，且0

f=，

所以x=()

f x在区间上的唯一零点．

当k e

>时，()

f x在区间上单调递减，且

1

(1)0

2

f=>，0

2

e k

f

-

=<，

所以()

f x在区间上仅有一个零点．

综上可知，若()

f x存在零点，则()

f x在区间上仅有一个零点．

（20）【2015年北京，文20，14分】已知椭圆22

:33

C x y

+=，过点()

1,0

D且不过点()

2,1

E的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线3

x=交于两点M．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．

解：（1）椭圆C的标准方程为

2

21

3

x

y

+=．所以a1

b=，c=C的离心率c

e

a

==（2）因为AB过点(1,0)

D且垂直于x轴，所以可设

1

(1,)

A y，

1

(1,)

B y

-．直线AE的方程为

1

1(1)(2)

y y x

-=--．令3

x=，得

1

(3,2)

M y

-．所以直线BM的斜率11

2

1

31

BM

y y

k

-+

==

-

．

（3）直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）可知1

BM

k=．又因为直线DE的斜率

10

1

21

DE

k

-

==

-

，所以//

BM DE．

当直线AB的斜率存在时，设其方程为(1)(1)

y k x k

=-≠．

O

M

B

A

V

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=

--．令3x =，得点1113

(3,)2

y x M x +--． 由22

33(1)x y y k x ?+=?=-?

，得2222(13)6330k x k x k +-+-=．直线BM 的斜率112123

23BM y x y x k x +---=- 因为()()()()()

()()

11212121131232132BM k x x k x x x x k x x -+--------=

--

所以1BM DE k k ==//BM DE ?，综上可知，直线BM 与直线DE 平行．