第二章-赋范线性空间
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泛函分析第四讲
T是X的线性子空间DT 到 Y中的线性算子. 如果存在M 0，使得对于任意的 x DT 都有
Tx M x ,
则称 T是 DT Y 中的有界线性算子.
当 DT X时，称 T 是 X Y 中的有界线性算子.
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
二、有界线性算子和连续线性泛函
泛函分析
2.2 赋范线性空间及Banach空间
第二章 泛函分析
一、赋范线性空间
1. 赋范线性空间的定义
定义1 设 X 是复（或实）的线性空间，
如果对于 X 中的每个 x ，对应于一个实数 x ，
且满足 (1) x 0，x 0 x 0；
(2) x x ， R 或 C；
（非负性） （齐次性）
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
三、线性算子空间和共轭空间
定理5 ƁX Y 按通常的线性运算及算子范数
构成一个赋范线性空间. 证Ax sup Ax
x 1
x 1
x 1
A
（3）A B sup A Bx sup Ax Bx
x D, x 0
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
二、有界线性算子和连续线性泛函
定理3 设 X ,Y 是两个赋范线性空间， T : X Y 的线性算子，则T连续的充要条件是 T有界.
证明 必要性 若T连续但无界
xn X，xn 0n 1,2, 使 Txn n xn
令
yn
定理2 设 X ,Y 是两个赋范线性空间，T是定义在 X 的子空间D上而值域含在 Y 中的线性算子，则 T 是有界的充要条件是 T将D中任一有界集映成 Y 中有界集.
证明 必要性
Tx M x ,
则称 T是 DT Y 中的有界线性算子.
当 DT X时，称 T 是 X Y 中的有界线性算子.
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
二、有界线性算子和连续线性泛函
泛函分析
2.2 赋范线性空间及Banach空间
第二章 泛函分析
一、赋范线性空间
1. 赋范线性空间的定义
定义1 设 X 是复（或实）的线性空间，
如果对于 X 中的每个 x ，对应于一个实数 x ，
且满足 (1) x 0，x 0 x 0；
(2) x x ， R 或 C；
（非负性） （齐次性）
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
三、线性算子空间和共轭空间
定理5 ƁX Y 按通常的线性运算及算子范数
构成一个赋范线性空间. 证Ax sup Ax
x 1
x 1
x 1
A
（3）A B sup A Bx sup Ax Bx
x D, x 0
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
二、有界线性算子和连续线性泛函
定理3 设 X ,Y 是两个赋范线性空间， T : X Y 的线性算子，则T连续的充要条件是 T有界.
证明 必要性 若T连续但无界
xn X，xn 0n 1,2, 使 Txn n xn
令
yn
定理2 设 X ,Y 是两个赋范线性空间，T是定义在 X 的子空间D上而值域含在 Y 中的线性算子，则 T 是有界的充要条件是 T将D中任一有界集映成 Y 中有界集.
证明 必要性
第二章 赋范线性空间2
对于 f ∈ X * , f ≠ 0 , Mαf = {x ∈ X | f (x) = α } , 则
1)
M
0 f
为
X
的一个闭子空间;
2) 取 x0 ∈ X 使 f (x0 ) ≠ 0 , 则
X
=
M
0 f
+ {λ x0
|λ ∈ R};
3)
若
f (x0 ) = α
,
则
M
α f
=
x0
+
M
0 f
.
M
α f
i =1
||2 ,
所以
||
f
||≥
⎛ ⎜⎝
n
| αi
i =1
|2
⎞1/ ⎟⎠
2
.
∑ 这样就有 ||
f
||=
⎛ ⎜⎝
n
| αi
i =1
|2
⎞1/ ⎟⎠
2
.
f → (α1,α2 ,
,αn) .
n
∑ 反过来, 任取一个 (α1,α2 , ,αn ) ∈ R n ,对于 x = αiei ∈ Rn ,定义 i =1
例3 设用 l∞ 作为离散信号空间，取 h = (hi ) ∈ l1 为一个滤波器的单位脉冲响应，
∞
∑ y = Hx ， yn = hi xn−i i = −∞
H : l∞ → l∞ 为一个有界（稳定）线性算子。事实上，
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ||
y
||∞
=
max n
|
i = −∞
hi xn−i
|≤
|
i = −∞
||xn+1-xn|| ≤ α n||x1-x0|| 。
1)
M
0 f
为
X
的一个闭子空间;
2) 取 x0 ∈ X 使 f (x0 ) ≠ 0 , 则
X
=
M
0 f
+ {λ x0
|λ ∈ R};
3)
若
f (x0 ) = α
,
则
M
α f
=
x0
+
M
0 f
.
M
α f
i =1
||2 ,
所以
||
f
||≥
⎛ ⎜⎝
n
| αi
i =1
|2
⎞1/ ⎟⎠
2
.
∑ 这样就有 ||
f
||=
⎛ ⎜⎝
n
| αi
i =1
|2
⎞1/ ⎟⎠
2
.
f → (α1,α2 ,
,αn) .
n
∑ 反过来, 任取一个 (α1,α2 , ,αn ) ∈ R n ,对于 x = αiei ∈ Rn ,定义 i =1
例3 设用 l∞ 作为离散信号空间，取 h = (hi ) ∈ l1 为一个滤波器的单位脉冲响应，
∞
∑ y = Hx ， yn = hi xn−i i = −∞
H : l∞ → l∞ 为一个有界（稳定）线性算子。事实上，
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ||
y
||∞
=
max n
|
i = −∞
hi xn−i
|≤
|
i = −∞
||xn+1-xn|| ≤ α n||x1-x0|| 。
泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间
泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间泛函分析是数学中的一个重要分支，研究函数空间上的函数和运算的性质。
在泛函分析中，度量空间和赋范线性空间是两个基本的概念。
本文将介绍这两个概念以及它们的性质。
度量空间是一个集合X，其中定义了一个度量函数d：X×X→R，满足以下条件：1.非负性：对于任意的x，y∈X，有d(x,y)≥0，且当且仅当x=y时，d(x,y)=0；2.对称性：对于任意的x，y∈X，有d(x,y)=d(y,x)；3.三角不等式：对于任意的x，y，z∈X，有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。
度量函数d可以看作是度量空间X中点之间的距离，由其性质可以推导出许多重要结论。
例如，由三角不等式的性质可以得出X中点列的收敛性质，即对于度量空间X中的点列{x_n}，如果存在x∈X，使得对于任意的ε>0，存在正整数N，当n≥N时，有d(x_n,x)<ε，那么称{x_n}收敛于x。
赋范线性空间是一个向量空间V，其中定义了一个范数函数∥·∥：V→R，满足以下条件：1.非负性：对于任意的x∈V，有∥x∥≥0，且当且仅当x=0时，∥x∥=0；2. 齐次性：对于任意的x∈V和实数a，有∥ax∥=，a，∥x∥；3.三角不等式：对于任意的x，y∈V，有∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
范数函数∥·∥可以看作是赋范线性空间V中向量的长度或大小，具有度量空间的部分性质，如非负性和齐次性。
范数函数还满足一条重要的性质，即∥x+y∥≥，∥x∥-∥y∥，这被称为三角不等式强化定理。
度量空间和赋范线性空间都具有一些不同的性质和概念。
例如，度量空间中存在序列的收敛性质，而赋范线性空间中存在序列的收敛性质以及序列的Cauchy性质。
同时，度量空间和赋范线性空间都可以构建拓扑结构，使其成为一个拓扑空间。
在拓扑空间中，点列的收敛性质和序列的Cauchy性质是等价的。
此外，度量空间和赋范线性空间都是完备的，即满足序列的Cauchy 性质的序列都收敛于空间中的一些点。
2.1赋范线性空间
N 3 x x
N 4 x y x y
则称 x 为 x 的范数，称 X , . 简称赋范空间，也简记作 X 。
为赋范线性空间，
可以利用“范数”在 X 中定义距离
d x, y x y
称为由范数诱导的距离。 范数导出的距离具有平移不变性和绝对齐次性。 ⑴ d x a, y a d x, y （平移不变性） ； ⑵ d ax, ay a d x, y （绝对齐次性） 。
e 叫做关于基 e 的表达式或展开式，
i 1 i i
n
并记作
x i ei
i.5 设{x1, x2, ……, xn}是任意维赋
范空间X中的一个线性无关组，则对任意
选定的一组系数α1， α2，…… αn，必存在 一个常数 C > 0 , 使得
定义 2.1.4 (肖德基)
若赋范空间 X 包含一个序列 en ，
对每个 x X 都存在唯一的数列 n ，使得当 n 时， 有
x 1e1 2 e2 n en 0
则称 en 为 X 空间的一个肖德（Schauder）基，
而把其和为 x 的级数
1 x1 2 x2 .... n xn
C ( 1 2 ... n )
定理2.1.6（有限维赋范空间的完备性）
赋范空间X的每一个有限维子空间M
都是完备的，特别是每个有限维赋范空间
都是完备的。
2.1.6 赋范空间的同构性
定义2.1.7（同构线性空间）
设X、Y是同一数域K上的两个线性空
i 1
i
x1 x2 xn
N 4 x y x y
则称 x 为 x 的范数，称 X , . 简称赋范空间，也简记作 X 。
为赋范线性空间，
可以利用“范数”在 X 中定义距离
d x, y x y
称为由范数诱导的距离。 范数导出的距离具有平移不变性和绝对齐次性。 ⑴ d x a, y a d x, y （平移不变性） ； ⑵ d ax, ay a d x, y （绝对齐次性） 。
e 叫做关于基 e 的表达式或展开式，
i 1 i i
n
并记作
x i ei
i.5 设{x1, x2, ……, xn}是任意维赋
范空间X中的一个线性无关组，则对任意
选定的一组系数α1， α2，…… αn，必存在 一个常数 C > 0 , 使得
定义 2.1.4 (肖德基)
若赋范空间 X 包含一个序列 en ，
对每个 x X 都存在唯一的数列 n ，使得当 n 时， 有
x 1e1 2 e2 n en 0
则称 en 为 X 空间的一个肖德（Schauder）基，
而把其和为 x 的级数
1 x1 2 x2 .... n xn
C ( 1 2 ... n )
定理2.1.6（有限维赋范空间的完备性）
赋范空间X的每一个有限维子空间M
都是完备的，特别是每个有限维赋范空间
都是完备的。
2.1.6 赋范空间的同构性
定义2.1.7（同构线性空间）
设X、Y是同一数域K上的两个线性空
i 1
i
x1 x2 xn
D2 赋范线性空间
f (Bδ (x0)) ⊂ Bε ( f (x0)) .
例2.9 设(X, d )为度量空间 , 固定 y0 ∈ X , 则d(� , y0): X→ 是连续泛函 .
2.1. 3 度量空间的映射
定理2.5 设(X, d ), (Y, ρ)是度量空间 , f : X →Y, 则 下列命题等价 : (1) f 连续; (2) 开集的原像是开集 ; (3) 闭集的原像是闭集 ; (4) ∀{xn}⊂ X, 若d(xn, x)→0, 则 ρ( f (xn), f (x))→0, 即若 lim xn = x , 则 lim f ( xn ) = f ( x) . n →∞
2.1.2 度量空间的收敛性和点集
定义2.5 设 ( X, d )为度量空间, A ⊂ X . 设 x ∈ A, 若∃ ε > 0, s.t. Bε (x) ⊂ A, 则称 x 是 A 的内点. ． 若 A 的每个点都是内点, 则称 A 是开集 开集． ． 闭集． (2) 若 AC为开集, 则称 A 为闭集 定理2.2 度量空间 X 中开集和闭集具有如下性质 : (1) 任意个开集之并是开集; (2) 有限个开集之交是开集; (3) 任意个闭集之交是闭集; (4) 有限个闭集之并是闭集．
2.1. 3 度量空间的映射
定义2.10 设( X, d )为度量空间 , T : X →X, 若存在
α ∈[0, 1), 使得 ∀ x, y ∈ X , d(Tx, Ty) ≤ α d(x, y), 则
压缩映射 . 称 T 是 X 上的一个 上的一个压缩映射 压缩映射是连续映射 . 定义2.11 设( X, d )为度量空间 , T : X →X , 如果有
lim xn = x, 或 xn → x (n→ ∞ ), 或 xn → x .
泛函分析第2章_度量空间与赋范线性空间[1]
![泛函分析第2章_度量空间与赋范线性空间[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/2a560a02cfc789eb172dc87a.png)
第2章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。
事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。
它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。
因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。
度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(∙∙ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。
此时，称X 按),(∙∙ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(∙∙ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。
当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例2.1 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令1 (,)0 x yx y x y ρ≠⎧=⎨=⎩显然，这样定义的),(∙∙ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。
这种距离是最粗的。
它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。
数值分析(03)赋范线性空间
A的特征值1 5, 2,3 3,
数值分析
数值分析
第二步：由(i I A)x 0求A的特征向量，
对1 5，解齐次方程组(5I A)x 0，有
1 0 1 1 0 1 2 2 2 0 1 2 1 0 1 0 0 0
x1 x2
x3 2x3
基础解系为1 (1,2,1)T
矩阵A属于1 5的全部特征向量
为 x(1) k1 k(1,2,1)T , k 0
数值分析
数值分析
对2,3 3，解齐次方程组(3I A)x 0，有
1 0 1 1 0 1 2 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0
3 用max（求最大）、sum（求和）编写计算矩阵1 范数
A 的程序。 1
数值分析
例：证明
x
= max 1 i n
xi
为向量范数.
证：(1)显然 x 0,
x 0 xi 0, i 1, 2, ..., n x 0
(2)
kx
= max 1 i n
程序3
计算向量的 范数
x
max 1 i n
xi
s=0;
for i=1:n
if abs(x(i))>s,s=abs(x(i));end
end
作业
1 用for语句、if 语句编写计算矩阵1 范数 A 的程序。 1
2 用for语句、if 语句编写计算矩阵 范数 A 的程序。
数值分析
数值分析
2. Rnn , A (aij )nn 定义(矩阵的范数)
赋范线性空间
有界线性算子
(1) 线性性： ∀x = (x1, , xn ) , y = ( y1, , yn ) ∈ R ， α, β ∈ R
T T n
1
T (α x + β y) = A(α x + β y) = α Ax + β Ay = αTx + βTy
∀x = ( x1 , , xn )T ∈ R n ， Tx = Ax = ( z1 , , zm )T ∈ R m (2)有界性：
T 定义： E、 1 是赋范线性空间， : D(T ) ⊂ E → N (T ) ⊂ E1 。 设 E
（1）线性算子：若 ∀x, y ∈ D(T ), α ∈ K (数域) ，有
⎧T ( x + y ) = Tx + Ty ⎨ 即 T (α x + β y) = αTx + β Ty T (α x) = α Tx ⎩
3）范数的等价性 定义 设线性空间 E 中定义了两种范数 x 1和 x 2 如果由 xn 1 → 0 ⇒ xn 2 → 0 ，称 x 1比 x 2 更强； 若又由 xn 2 → 0 ⇒ xn 1 → 0 ，即 x 2 比 x 1更强， 则称范数 x 1与 x 2 等价。 注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数 x 1、 x 2 、 x ∞ 相互等价
m n
T 2
⎛ ⎞ = ∑ z = ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ i =1 i =1 ⎝ j =1 ⎠
m 2 i
⎛ ⎞ ⎛ m n 2⎞ ≤ ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ ≤ ⎜ ∑∑ aij ⎟ i =1 ⎝ j =1 ⎠ ⎝ i=1 j =1 ⎠
2
x2 = M x ∑ j
j =1
(1) 线性性： ∀x = (x1, , xn ) , y = ( y1, , yn ) ∈ R ， α, β ∈ R
T T n
1
T (α x + β y) = A(α x + β y) = α Ax + β Ay = αTx + βTy
∀x = ( x1 , , xn )T ∈ R n ， Tx = Ax = ( z1 , , zm )T ∈ R m (2)有界性：
T 定义： E、 1 是赋范线性空间， : D(T ) ⊂ E → N (T ) ⊂ E1 。 设 E
（1）线性算子：若 ∀x, y ∈ D(T ), α ∈ K (数域) ，有
⎧T ( x + y ) = Tx + Ty ⎨ 即 T (α x + β y) = αTx + β Ty T (α x) = α Tx ⎩
3）范数的等价性 定义 设线性空间 E 中定义了两种范数 x 1和 x 2 如果由 xn 1 → 0 ⇒ xn 2 → 0 ，称 x 1比 x 2 更强； 若又由 xn 2 → 0 ⇒ xn 1 → 0 ，即 x 2 比 x 1更强， 则称范数 x 1与 x 2 等价。 注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数 x 1、 x 2 、 x ∞ 相互等价
m n
T 2
⎛ ⎞ = ∑ z = ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ i =1 i =1 ⎝ j =1 ⎠
m 2 i
⎛ ⎞ ⎛ m n 2⎞ ≤ ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ ≤ ⎜ ∑∑ aij ⎟ i =1 ⎝ j =1 ⎠ ⎝ i=1 j =1 ⎠
2
x2 = M x ∑ j
j =1
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*（5）逆算子定理 ：E、E1 都是 Banach 空间，T:E E1
上的一一对应的有界线性算子，则逆算子T 1必存在，
且T 1 也是有界线性算子。
*（6）有限维赋范线性空间中一切线性算子均有界（故 连续）。
3）线性泛函举例
① 设 E 是赋范线性空间，则 E 的范数 x 定义了一个 泛函
f : x E x R1， 则 f 连续有界、但不是线性的泛函。其范数
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D(T)连续在 D(T )上处
处连续
（2）线性算子 T 有界 T 连续
Tx
（3）线性算子 T 有界 T
sup
x0
x
存在 ( ) 。
*（4）共鸣定理： 设 E 为 Banach 空间，E1 为赋范线
性空间，Tn (E E1) ，则x E, Tnx 有界 Tn 有界 。
第2章 赋范线性空间
§2.1 定义和举例 §2.2 按范数收敛 §2.3 有限维赋范线性空间 §2.4 线性算子与线性泛函 §2.5 赋范线性空间中的各种收敛
在第 1 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
若又由
xn
0
2
xn
0 ，即
1
x
2比
x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
x、 1
x、 2
x 相互等价
定理（范数等价判别定理）在线性空间 E 中，两种范数
x与 1
x
2等价的 k1 0,k2 0,
对于x E ，都有
（2）(x y) Z x ( y Z) （3）“零元素”0 E,有 x 0 x （4）“负元素” x E,有 x (x) 0
（5） (x) ()x
（6）1 x x, 0 x 0
（7） ( )x x x
（8） (x y) x y
1
x p ( xi p ) p ，则(l p , x p )是赋范线性空间
i 1
p 1/ p
距离 (x, y) x y xi yi ，
i1
特别的， l — 表示一切有界数列 x (x1, x2, , xn, ) 的
全体，按通常定义下的“加法”“数乘”运算是线性空间。
f sup f (x) sup x 1。
x 1
x 1
② 已知 Rn，设 c (c1,c2, ,cn ) Rn 为固定向量，
例：① 设 A是 m n阶矩阵，则T : xRn AxRm是
有界线性算子
②
T
d dt
:
x(t) C1[a,b]
x(t)
f
[a, b] 是无界线性算子
（4）可逆算子：设算子T : D(T) N(T)，若存在算子T 1,使
T 1 : N (T ) N (T 1)
且对于x D(T ), 当Tx y N(T )时,有T 1y x ，则称 T 为
R1 中连续函数 f (x) 。
（3）有界算子 定义 若 M 0, 对于x D(T ) , 都有，
Tx M x
则称 T 是有界算子。
若 T 既是线性、又是有界算子，称 T 为有界线性算子
判别定理 设 T 是线性算子，则 T 是有界算子
T 将 D(T) 中的任一有界集映射为有界集。
x 是 x 的连续泛函 xn x时, xn x
（3）线性运算按范数收敛是连续的
即若 xn x, yn y , n xn yn x y, nxn x
3）范数的等价性
定义
设线性空间 E 中定义了两种范数
x和 1
x 2
如果由 xn 1 0 xn 2 0 ，称 x 1比 x 2更强；
lim
n
xn x
0
则称点列 xn 按范数收敛于 x ，或称 xn 强收敛于 x ，记作
lim
n
xn
x
(强)。
2）性质 设 E 是赋范线性空间,{xn},{yn} E, {n} K（数域）
（1）有界性：若 xn x (强)，则数列 xn 有界
（2）范数的连续性：即Tx x ,T 是连续泛函
(E, ) 是完备的，则称 E 是 Banach 空间。
同样的，不完备的赋范线性空间可以完备化。
§2.2 按范数收敛
赋范线性空间中点列的收敛性及概念，只要在由
范数导出的距离 (x, y) x y 之下来讨论，就可以得
到相应的结论。
1） 定义 设 E 是赋范线性空间，点列 xn及x E ，如果
例3 Pn (x)——次数不超过 n 的多项式全体，在通常的 “加法”“数乘”运算下是线性空间。
例4 Qn (x) ——次数等于 n 的多项式全体，在通常意义 下的“加法”“数乘”运算下不是线性空间。
2）赋范线性空间 （1）定义 设 E 是实数(或复数)域 K 上的线性空间。 若xE 按规一则定 实数 x 0，且满足下列三条(范数公理)
②
x 1
b a
x(t)
dt ，则(C,
x
1 )是赋范线性空间。
例3
L2 [a, b] 是线性空间，若定义
1
x
b
(a
x(t) 2 dt)2 ，则(L2,
x
)是赋范线性空间。
1
距离 (x, y) x y b x(t) y(t) 2 dt 2 a
例 4 l p (P 1) 是线性空间，若定义
k1
x 2
x 1 k2
x 2。
证：
§2.3 有限维赋范线性空间
有限维赋范线性空间比一般赋范线性空间有更多的 优势，通常在有限维赋范线性空间中处理问题更简单。
1) 定义 设 E 是赋范线性空间。若存在 n 个线性无关的
元素 e1,e2, ,en E ，使得x E ，有唯一表达式
n
x x1e1 x2e2 xnen xiei i1
§2.4 线性算子与线性泛函
映射：集合 集合的对应关系；
算子：空间 空间的映射，记为 T，
定义域记作 D(T），值域记作 N(T）
算子通常指：赋范线性空间 赋范线性空间的映射
泛函： 赋范线性空间 数域的映射。
最感兴趣，也是最简单的算子是：保持两种代数运 算的算子——线性算子。
1）线性算子（或线性泛函）的几个概念
验证得知 满足距离的三条公理，因此，(E, )在范数意
义下（以后均指这种情况）是距离空间 (E, ) ，称为由范
数导出的距离空间。
注意： 距离空间 赋范线性空间 。
但当距离空间满足下列三个条件时 ① 是线性空间；
② (x, y) (x y,0)；
③ ( x,0) (x,0) 可用距离定义范数 x (x,0)，验证知三条范数公理成 立，则距离空间 (E, ) 也是(E, )。
②
x
max 1in
xi
，则(R n ,
x
)是赋范线性空间。
n
③
x 1
xi ，则(Rn, x 1 )是赋范线性空间。
i 1
例2 C[a,b]是线性空间，若
定义
① x max x(t) ，则 (C, x )是赋范线性空间。 t[ a ,b ] 距离 (x, y) x y max x(t) y(t) t[ a ,b ]
② 集合{T T是E E1的有界线性算子} 称为有界线性 算子空间，记作
B(E E1)
若在上述空间中引入线性运算：
(T1 T2 )x T1x T2x,
(T )x (Tx)
其中x D(T1) D(T2) E, K 。则（E E1) ，B(E E1) 称 为线性空间，因此可以定义范数。
3）常见赋范线性空间
例 1 在xn ), y ( y1, y2, , yn ) R n
n
定义 ①
x 2
xi 2 ，则(Rn, x 2 )是赋范线性空间。
i 1
n
距离 (x, y) x y (xi yi )2 i 1
例如：C1[a,b]（一阶连续导函数全体）中，T
d dt
D ，则
d dt
[k1 x(t )
k2 y(t)]
k1
d dt
x(t)
k2
d dt
y(t)
（2）连续算子 若xn, x D(T ) ，当 xn x(n ) 时，Txn Tx ，称
T 为连续算子。
例如：范数Tx x 是连续泛函；
在 B(E E1) 中定义范数
Tx
T sup
x0
x
sup Tx sup Tx （可证明）
x 1
x 1
则 B(E E1) 为赋范线性空间。
特别的，若 E 为赋范线性空间，而 E1 为 Banach 空间
B(E E1) 也为 Banach 空间。
2）线性算子（或线性泛函）的性质——有界性和连续性
则称 E 为有限维（n 维）赋范线性空间。称{e1,e2, ,en}
为 E 的基（底），而称{x1, x2, , xn}为 E 在该基下的坐标。
2）性质 除了一般的赋范线性空间的性质外，有限维赋 范线性空间还有一些特殊的性质。 （1） 有限维赋范线性空间的各种范数等价。 （2） 有限维赋范线性空间必是完备、可分的空间。 （3） 赋范线性空间 E 是有限维的 E 中的任意有界闭集 是列紧的（即有界闭集中的任意点列都有收敛的子列）。 （4） 任意 n 维赋范线性空间都与 Rn 代数同构（有相同的 代数运算性质）。
上的一一对应的有界线性算子，则逆算子T 1必存在，
且T 1 也是有界线性算子。
*（6）有限维赋范线性空间中一切线性算子均有界（故 连续）。
3）线性泛函举例
① 设 E 是赋范线性空间，则 E 的范数 x 定义了一个 泛函
f : x E x R1， 则 f 连续有界、但不是线性的泛函。其范数
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D(T)连续在 D(T )上处
处连续
（2）线性算子 T 有界 T 连续
Tx
（3）线性算子 T 有界 T
sup
x0
x
存在 ( ) 。
*（4）共鸣定理： 设 E 为 Banach 空间，E1 为赋范线
性空间，Tn (E E1) ，则x E, Tnx 有界 Tn 有界 。
第2章 赋范线性空间
§2.1 定义和举例 §2.2 按范数收敛 §2.3 有限维赋范线性空间 §2.4 线性算子与线性泛函 §2.5 赋范线性空间中的各种收敛
在第 1 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
若又由
xn
0
2
xn
0 ，即
1
x
2比
x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
x、 1
x、 2
x 相互等价
定理（范数等价判别定理）在线性空间 E 中，两种范数
x与 1
x
2等价的 k1 0,k2 0,
对于x E ，都有
（2）(x y) Z x ( y Z) （3）“零元素”0 E,有 x 0 x （4）“负元素” x E,有 x (x) 0
（5） (x) ()x
（6）1 x x, 0 x 0
（7） ( )x x x
（8） (x y) x y
1
x p ( xi p ) p ，则(l p , x p )是赋范线性空间
i 1
p 1/ p
距离 (x, y) x y xi yi ，
i1
特别的， l — 表示一切有界数列 x (x1, x2, , xn, ) 的
全体，按通常定义下的“加法”“数乘”运算是线性空间。
f sup f (x) sup x 1。
x 1
x 1
② 已知 Rn，设 c (c1,c2, ,cn ) Rn 为固定向量，
例：① 设 A是 m n阶矩阵，则T : xRn AxRm是
有界线性算子
②
T
d dt
:
x(t) C1[a,b]
x(t)
f
[a, b] 是无界线性算子
（4）可逆算子：设算子T : D(T) N(T)，若存在算子T 1,使
T 1 : N (T ) N (T 1)
且对于x D(T ), 当Tx y N(T )时,有T 1y x ，则称 T 为
R1 中连续函数 f (x) 。
（3）有界算子 定义 若 M 0, 对于x D(T ) , 都有，
Tx M x
则称 T 是有界算子。
若 T 既是线性、又是有界算子，称 T 为有界线性算子
判别定理 设 T 是线性算子，则 T 是有界算子
T 将 D(T) 中的任一有界集映射为有界集。
x 是 x 的连续泛函 xn x时, xn x
（3）线性运算按范数收敛是连续的
即若 xn x, yn y , n xn yn x y, nxn x
3）范数的等价性
定义
设线性空间 E 中定义了两种范数
x和 1
x 2
如果由 xn 1 0 xn 2 0 ，称 x 1比 x 2更强；
lim
n
xn x
0
则称点列 xn 按范数收敛于 x ，或称 xn 强收敛于 x ，记作
lim
n
xn
x
(强)。
2）性质 设 E 是赋范线性空间,{xn},{yn} E, {n} K（数域）
（1）有界性：若 xn x (强)，则数列 xn 有界
（2）范数的连续性：即Tx x ,T 是连续泛函
(E, ) 是完备的，则称 E 是 Banach 空间。
同样的，不完备的赋范线性空间可以完备化。
§2.2 按范数收敛
赋范线性空间中点列的收敛性及概念，只要在由
范数导出的距离 (x, y) x y 之下来讨论，就可以得
到相应的结论。
1） 定义 设 E 是赋范线性空间，点列 xn及x E ，如果
例3 Pn (x)——次数不超过 n 的多项式全体，在通常的 “加法”“数乘”运算下是线性空间。
例4 Qn (x) ——次数等于 n 的多项式全体，在通常意义 下的“加法”“数乘”运算下不是线性空间。
2）赋范线性空间 （1）定义 设 E 是实数(或复数)域 K 上的线性空间。 若xE 按规一则定 实数 x 0，且满足下列三条(范数公理)
②
x 1
b a
x(t)
dt ，则(C,
x
1 )是赋范线性空间。
例3
L2 [a, b] 是线性空间，若定义
1
x
b
(a
x(t) 2 dt)2 ，则(L2,
x
)是赋范线性空间。
1
距离 (x, y) x y b x(t) y(t) 2 dt 2 a
例 4 l p (P 1) 是线性空间，若定义
k1
x 2
x 1 k2
x 2。
证：
§2.3 有限维赋范线性空间
有限维赋范线性空间比一般赋范线性空间有更多的 优势，通常在有限维赋范线性空间中处理问题更简单。
1) 定义 设 E 是赋范线性空间。若存在 n 个线性无关的
元素 e1,e2, ,en E ，使得x E ，有唯一表达式
n
x x1e1 x2e2 xnen xiei i1
§2.4 线性算子与线性泛函
映射：集合 集合的对应关系；
算子：空间 空间的映射，记为 T，
定义域记作 D(T），值域记作 N(T）
算子通常指：赋范线性空间 赋范线性空间的映射
泛函： 赋范线性空间 数域的映射。
最感兴趣，也是最简单的算子是：保持两种代数运 算的算子——线性算子。
1）线性算子（或线性泛函）的几个概念
验证得知 满足距离的三条公理，因此，(E, )在范数意
义下（以后均指这种情况）是距离空间 (E, ) ，称为由范
数导出的距离空间。
注意： 距离空间 赋范线性空间 。
但当距离空间满足下列三个条件时 ① 是线性空间；
② (x, y) (x y,0)；
③ ( x,0) (x,0) 可用距离定义范数 x (x,0)，验证知三条范数公理成 立，则距离空间 (E, ) 也是(E, )。
②
x
max 1in
xi
，则(R n ,
x
)是赋范线性空间。
n
③
x 1
xi ，则(Rn, x 1 )是赋范线性空间。
i 1
例2 C[a,b]是线性空间，若
定义
① x max x(t) ，则 (C, x )是赋范线性空间。 t[ a ,b ] 距离 (x, y) x y max x(t) y(t) t[ a ,b ]
② 集合{T T是E E1的有界线性算子} 称为有界线性 算子空间，记作
B(E E1)
若在上述空间中引入线性运算：
(T1 T2 )x T1x T2x,
(T )x (Tx)
其中x D(T1) D(T2) E, K 。则（E E1) ，B(E E1) 称 为线性空间，因此可以定义范数。
3）常见赋范线性空间
例 1 在xn ), y ( y1, y2, , yn ) R n
n
定义 ①
x 2
xi 2 ，则(Rn, x 2 )是赋范线性空间。
i 1
n
距离 (x, y) x y (xi yi )2 i 1
例如：C1[a,b]（一阶连续导函数全体）中，T
d dt
D ，则
d dt
[k1 x(t )
k2 y(t)]
k1
d dt
x(t)
k2
d dt
y(t)
（2）连续算子 若xn, x D(T ) ，当 xn x(n ) 时，Txn Tx ，称
T 为连续算子。
例如：范数Tx x 是连续泛函；
在 B(E E1) 中定义范数
Tx
T sup
x0
x
sup Tx sup Tx （可证明）
x 1
x 1
则 B(E E1) 为赋范线性空间。
特别的，若 E 为赋范线性空间，而 E1 为 Banach 空间
B(E E1) 也为 Banach 空间。
2）线性算子（或线性泛函）的性质——有界性和连续性
则称 E 为有限维（n 维）赋范线性空间。称{e1,e2, ,en}
为 E 的基（底），而称{x1, x2, , xn}为 E 在该基下的坐标。
2）性质 除了一般的赋范线性空间的性质外，有限维赋 范线性空间还有一些特殊的性质。 （1） 有限维赋范线性空间的各种范数等价。 （2） 有限维赋范线性空间必是完备、可分的空间。 （3） 赋范线性空间 E 是有限维的 E 中的任意有界闭集 是列紧的（即有界闭集中的任意点列都有收敛的子列）。 （4） 任意 n 维赋范线性空间都与 Rn 代数同构（有相同的 代数运算性质）。