【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线综合题

解几综合题

1.如图，

()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，

且12

OA OB ?=-，O 为坐标原点，动点P 满足

OP OA OB =+.

（Ⅰ）求m n ?的值；

（Ⅱ）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样

的曲线？

（Ⅲ）若直线l 过点E （2，0）交（Ⅱ）中曲线C 于M 、N 两

点，且3ME EN =，求l 的方程.

2. 如图，在平面直角坐标系中，已知动点()y x P ,，y PM ⊥轴，

垂足为

M ，点N 与点P 关于x 轴对称， 4=?MN OP

（1）求动点P 的轨迹W 的方程

（2）若点Q 的坐标为()0,2，A 、B 为W 上的两个动点，且满

足

QB QA ⊥，点Q 到直线AB 的距离为d ，求d 的最大值

3. 已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点. ① 设1

()2

OR OP OQ =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程；

② 若直线l 的倾斜角为0

60，求1

||PF

4. 在双曲线

113

122

2=-x y 的上半支有三点A ，B ，C ，其中B 是第一象限的点，F 为双曲的上焦点.若线段AC 的中点D 在直线y=6上，且|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列. （Ⅰ）求点B 的坐标；

（Ⅱ）若直线l 经过点D ，且在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得 |

||

|(

CP AP +

=λ证明：直线l 必过定点，并求出该定点的坐标。

5. 如图，椭圆两焦点F 1、F 2与短轴两端B 1、B 2正好是正方形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点最近距离为

.12-

（I ）求椭圆的标准方程；

（II ）过D(0，2)的直线与椭圆交于不同的两点M 、N ，且

M 在D 、N 之间，设

λ=|

|DN DM ，求λ的取值范围.

6. 已知F 1、F 2分别是椭圆)0,0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点，其左准线与x 轴相交于点N ，并且满

足，.2||,221121==F F NF F F （1）求此椭圆的方程；

（2）设A 、B 是这个椭圆上的两点，并且满足]3

1

,51[,∈=λλ当NB NA 时，求直线AB 的斜率的取值范

围.

7. 已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），

0MN AF =?，1

()2

ON OA OF =+，//AM ME ．

（Ⅰ）求点M 的轨迹W 的方程； （Ⅱ）点0(,)2

m

P y 在轨迹W 上，直线PF 交轨迹W 于点Q ，且PF FQ λ=，若12λ≤≤，求实数m 的范围．

8. 已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2

=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.

（I ）若△POM 的面积为

2

5

，求向量OM 与OP 的夹角； （II ）试探求点O 到直线PQ 的距离是否存在最大值？若存在，

求出这个

最大值；若不存在，说明理由.

9. 设不等式组??

?x ＋y >0，x －y >0

表示的平面区域为D ．区域D 内的动点P 到直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0的距离

之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）过点F (2，0)的直线与曲线C 交于A ，B 两点．若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求线段AB 的

长．

10. 如图，在△OSF 中，c OF a OS OSF ==?=∠,,90（c a ,均为正常数），E 、P 是平面OSF

内的动点，且满足0=?OF SE ，),(R ∈=λλ向量PE c PF a +与PE c PF a -垂 直。设动点P 的轨迹为曲线M .

⑴ 说明曲线M 是何种曲线，为什么？

⑵ 设b SF =， 若c b a ,,成等差数列，且△OSF 的面积为6， 试建立适当的坐标系，求曲线M 的方程；

⑶ 在⑵的条件下，是否存在过点)1,1(A 的直线m ，

使m 与曲线M 交于不同的两点C B ,，且0

=+.

如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由

11. 已知点D 在定线段MN 上，且|MN |＝3，|DN |＝1且与MN 相切，分别过M 、N 作圆C 的另两条切线交于点P ． （Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求点P 的轨迹方程；

（Ⅱ）过点M 作直线l 与所求轨迹交于两个不同的点A 、B 若(MA ＋λMB )·(MA －λMB )＝0，且 λ∈[2－3，2＋3]，求直线l 与直线MN 夹角θ的取值范围． 12. 已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆的离心率是

2

，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和为4．(1)求椭圆标准方程；(2)设椭圆长轴的左端点为A ，P 是

椭圆上且位于第一象限的任意一点，//AB OP ，点B 在椭圆上，R 为直线AB 与y 轴的交点，证明：

2

2ABAR OP =．

13. 已知抛物线C ：)0(22

>=p px y 的焦点为F ，定点)0,4(A 设N M 、为抛物线C 上的两动点，且总存在一个实数λ，使得FA =FM λ(1)FN λ+-

（Ⅰ）若OM ON +OM ON =-，求抛物线C 的方程. （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若直线MN 的倾斜角]3

,4[

π

πα∈， 求MN 的取值范围. 14. 如图，DE ⊥x 轴，垂足为D ，点M 满足,2=当点E 在圆12

2

=+y x 上运动时， （1）求点M 的轨迹方程；

（2）过点F )3,0(-引（与两坐标轴都不平行的）直线l 与点M 的轨迹交于A 、B 两点，试在y 轴上求

点P ，使得PF 是∠APB 的角平分线.

S

F

P

O

E

N

M(0,a)

B

A

o

x

15. 如图，若F 1、F 2为双曲线122

22=-b

y a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左支上，M 在右准线

上，且四边形OMPF 1为菱形.

（I ）若此双曲线过点)3,2(N ，求双曲线的方程；

（II ）设（I ）中双曲线的虚轴端点为B 1、B 2（B 1在y 轴的正半轴上），过B 2作直线l 与双曲线交于A 、B

两点，当B B A B 11⊥时，求直线l 的方程.

16. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于B A ,两点，

+与)1,3(-=共线。

(1) 求椭圆的离心率；

(2) 设M 为椭圆上任意一点，且),(R ∈+=μλμλ，证明2

2

μλ+为定值。 17. 如图，线段AB 过y 轴负半轴上一点(0,)M a ，A 、B 两点到y 轴距离的差为2k 。

(Ⅰ)若AB 所在的直线的斜率为(0)k k ≠，求以y 轴为对称轴，且过A 、O 、B 三点的抛物线的方程； (Ⅱ)设(Ⅰ)中所确定的抛物线为C,点M 是C 的焦点，若 直线AB 的倾斜角为60°，又点P 在抛物线C 上由A 到B 运动，

试求△PAB 面积的最大值。

18. 已知点H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足

0HP PM ?=， 3

2

PM =-

MQ .

（1）当点

P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；

（2）过定点(,0)(0)D m m >作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，E 是D 点关于坐标原点O 的对称点，求证：

AED BED ∠=∠；

（3）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出l '的方程；若不存在，请说明理由.

19在直角坐标平面中，△ABC 的两个顶点为 A （0，－1），B （0, 1）平面内两点G 、M 同时满足①0GA GB GC ++= , ②||MA = ||MB = ||MC ③GM ∥AB

（1）求顶点C 的轨迹E 的方程

（2）设P 、Q 、R 、N 都在曲线E 上 ，定点F 的坐标为（2, 0） ，已知PF ∥FQ , RF ∥FN 且PF ·RF = 0.求四边形PRQN 面积S 的最大值和最小值.

20如图，已知直线l 与抛物线y x 42

=相切于点P(2, 1)，且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为(2, 0) . （I ）若动点M 满足02=+

?AM BM AB ，求点M 的轨迹C ；

（II ）若过点B 的直线l '（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求?OBE 与?OBF 面积之比的取值范围.

21. 已知椭圆C 的中心为原点，点F )0,1(是它的一个焦点，直线l 过点F 与椭圆C 交于B A ,两点，且当直线l 垂直于x 轴时，6

5=

?． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）是否存在直线l ，使得在椭圆C 的右准线上可以找到一点P ，满足ABP ?为正三角形．如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．

22. 设椭圆C ：x 24＋y 2

2＝1的左焦点为F ，左准线为l ，一条直线过点F 与椭圆C 交于A ，B 两点，若直线l

上存在点P ，使△ABP 为等边三角形，求直线AB 的方程．

23. 设O 为坐标原点，A (－1

p

，0)，点M 在定直线x ＝－p （p ＞0）上移动，点N 在线段MO 的延长线上，且

P

x O y

H

M

Q

满足|OM ||MN |＝1|NA |．（Ⅰ）求动点N 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

（Ⅱ）若|AN |的最大值≤3

2

，求p 的取值范围．

24. (1) 已知抛物线),0p (px 2y 2

>= 过焦点F 的动直线l 交抛物线于B ,A 两点, O 为坐标原点, 求证:

OB OA ?为定值;

(2) 由 (1) 可知: 过抛物线的焦点F 的动直线 l 交抛物线于B ,A 两点, 存在定点P , 使得PB PA ?为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.

25. 已知F 1、F 2是椭圆12222=+b

y a x 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 22

,1(-）在椭圆上，线段PF 2与y

轴的交点M 满足02=+M F PM ；⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，一直线l : y =kx +m 与⊙O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B .

（I ）求椭圆的标准方程； （II ）当λ=?OB OA ，且满足

4

3

32≤≤λ时，求△AOB 面积S 的取值范围. 26. 如图，已知圆O ：42

2

=+y x 与y 轴正半轴交于点P ，A （－1，0），B （1，0），直线l 与圆O 切于点S （l 不垂直于x 轴），抛物线过A 、B 两点且以l 为准线。

（Ⅰ）当点S 在圆周上运动时，求证：抛物线的焦点Q 始终在某一椭圆C 上，并求出该

椭圆C 的方程； （Ⅱ）设M 、N 是（Ⅰ）中椭圆C 上除短轴端点外的不同两点，且)(R t PN t PM ∈=，

问：△MON 的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。

27. 长度为a （0a >）的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点P 在线 段AB 上，且AP PB λ=（λ为常数且0λ>）。

（Ⅰ）求点P 的轨迹方程C ；

（Ⅱ）当1a λ=+时，过点(1,0)M 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 和2l 分别与曲线C 相交于点N 和Q （都异于点M ），试问：MNQ ?能不能是等腰三角形？若能，这样的三角形有几个；若不能，请说明理由。

28. 如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB ⊥x 轴与点C ， ||4OC =，3CD DO =,动点M 到直线AB 的距离是它到点D 的距离的2倍。

（I ）求点M 的轨迹方程

y

A

（II ）设点K 为点M 的轨迹与x 轴正半轴的交点,直线l 交点M 的轨

迹于,E F 两点（,E F 与点K 不重合）,且满足KE KF ⊥.动点P 满足

2OP OE OF =+,求直线KP 的斜率的取值范围.

29. 如图，F 是抛物线x y 42

=的焦点，Q 是准线与x 轴的交点，

直线

经过点Q 。

（1） 直线 与抛物线有唯一公共点，求 的方程； （2） 直线 与抛物线交于A ，B 两点，

（Ⅰ）记FB FA ,的斜率分别为21,k k ，求21k k +的值； （Ⅱ）若点R 在线段AB 上，且满足|

||

|||||QB AQ RB AR =，求点R 的轨迹方

程。

30. 已知A 为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点1F 、2F 与椭圆交于

点B 、C ，当AC 垂直于x 轴时，恰好有12

3AF AF =

（Ⅰ）求该椭圆的离心率；

（Ⅱ）当A 变动时，设1122,AF F B AF F C λμ==.

求证： 6λμ+=

31. 已知)0,2(1-F ，)0,2(2F ，点P 满足2||||21=-PF PF ，记点P 的轨迹为E 。

（1）求轨迹E 的方程；

（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点。

（ⅰ）无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点)0,(m M ，使MQ MP ⊥恒成立，求实数m 的值。

（ⅱ）过P 、Q 作直线21

=

x 的垂线PA 、QB ，垂足分别为A 、B ，记|

|||||AB QB PA +=λ，求λ的取值范围。 32. 设A 、B 是椭圆λ=+2

2

3y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.

（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；

（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.

R

y

x

O

Q F

B

A

33. 已知双曲线的中心在原点，以两条坐标轴为对称轴，离心率是2，两准线间的距离大于2，且双曲线上动点P 到A （2，0）的最近距离为1。 （Ⅰ）求证：该双曲线的焦点不在y 轴上； （Ⅱ）求双曲线的方程；

（Ⅲ）如果斜率为k 的直线L 过点M （0，3），与该双曲线交于A 、B 两点，若()0AM MB λλ=>，试用λ表示k 2

,并求当1,22

λ??∈????

时，k 的取值范围

34. 如图，与抛物线x 2=-4y 相切于点A (-4，-4)的直线l 分别交x

轴、y 轴于点F 、E ，过点E 作y 轴的垂线l 0.

(Ⅰ)若以l 0为一条准线，中心在坐标原点的椭圆恰好过点F ，求椭

圆的方程；

(Ⅱ)若直线l 与双曲线6x 2-λy 2=8的两个交点M 、N ，且点A 为线段MN 的中点，又过点E 的直线与该双曲线的两支分别交于P 、Q 两点，记

|

|FE FE 在x 轴正方向上的投影为p ，且(OQ OP ·)P 2

=m ，m

∈

［

3

8

,34］，求直线PQ 的斜率的取值范围. 35. 如图，F F ,'分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线22

221x y a b

-=的右焦点，A 、B 为椭圆和双曲

线的公共顶点.P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的第一象限内的点，且满足

PA PB +=()

QB QA +λ()R ∈λ,F Q PF '?=3. ⑴求出椭圆和双曲线的离心率； （2）设直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率分别是

12,k k ,34,k k .求证：12340k k k k +++=.

36. 已知椭圆的两个焦点分别为F 1（0，－1）、F 2（0，1），直线y=4是椭圆的一条准线。 （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点P 在椭圆上，设)1(||||21≥=-m m PF PF ，试用m 表示21PF PF ?；

A B

O P Q

x y

F /‘

F

2121

37. 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 相交于A 、B 两点.

（Ⅰ）若椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，求线段AB 的长； （Ⅱ）若向量与向量互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率 ]2

2

,21[∈e 时，求椭圆的长轴长的最大值.

解几综合题答案

1.解：（Ⅰ）由已知得

()(,) 11 22

OA OB m n mn ?=?=-=-分

14

m n ∴?= …………4分

（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP OA OB =+得

(,)()(,)x y m n =+

())m n m n =+- …………5分

∴

)

x m n y m n =+???=-?? 消去m ，n 可得

2

2

43

y x mn -=，又因14mn = 8分

∴ P 点的轨迹方程为22

1(0)3

y x x -=>

它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线

22

13

y x -=的右支 …………9分

（Ⅲ）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得 2

2

3(2)3ty y +-=

即 2

2

(31)1290t y ty -++=

易知2

(31)0t -≠（否则，直线l

的斜率为

又2

2

2

14436(31)36(1)0t t t ?=--=+>

设1122(,),(,)M x y N x y ，则1212

22

129,31

31

t y y y y t t -+==--

∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧

12122121222222(2)(2)2()4

91224313134031

x x ty ty t y y t y y t t t t t t t =++=+++-=?

+?+--+=->- ∴ 2

310t -<，即2

103

t <<

又由 120x x +>同理可得 2

103

t << …………11分

由3ME EN =得

1122(2,)3(2,)x y x y --=- ∴1212

23(2)

3x x y y -=-??

-=?

由122222

123231

t y y y y y t +=-+=-=--得 22631

t y t =

-

由2

122222

9(3)331

y y y y y t =-=-=-得 222

331

y t =-

-

消去2y 得

2222363(31)31

t t t =--- 解之得：2115t = ，满足2

103

t << …………13分

故所求直线l

0y --=

0y +-= 2. （I ）

由已知()y M ,0，()y x N -, 2分

则()()422,,2

2

=-=-?=?y x y x y x ，即12

42

2=-y x 4分

（II ）设()11,y x A ，()22,y x B ，如图，由QB QA ⊥可得

()()()()022,2,221212211=+--=-?-=?y y x x y x y x QB QA 5分

①若直线x AB ⊥轴，则21x x =，2

4

||||2121-=

=x y y 此时()()()02

4

222212

12121=---=+--x x y y x x ，则 0128121=+-x x ，解之得，61=x 或21=x

但是若21=x ，则直线AB 过Q 点，不可能有QB QA ⊥

所以61=x ，此时Q 点到直线AB 的距离为4 7分 ②若直线AB 斜率存在，设直线AB 的方程为m kx y +=，则

????=-+=4

22

2y x m kx y ()0424122

22=+++-m kmx x k 则()()

?????>+--=?≠-0421241601222222m k m k k ，即?????>+-≠-0

240122

22k m k

又1

242

21--=+k km x x ，12422221-+=k m x x 9分 ∴()()()2

21212

2121m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=

1

2412212412422

2

222222222222--=--+---+=k m k k m m k k m k k k m k ∴()()()()2121221122,2,2y y x x y x y x +--=-?-=?

()=+++-=21212142y y x x x x 01

24124812812422

2

222222=--+--+-+-+k m k k k k km k m 则01282

2

=++k km m ，可得k m 6-=或k m 2-=

若k m 2-=，则直线AB 的方程为()2-=x k y ，此直线过点Q ，这与QB QA ⊥矛盾，舍

若k m 6-=，则直线AB 的方程为k kx y 6-=，即06=--k y kx 12分 此时若0=k ，则直线AB 的方程为0=y ，显然与QB QA ⊥矛盾，故0≠k ∴41141

|4|2

2

<+=

+-=

k

k k d 13分

由①②可得，4max =d 14分

3. 解：① 设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y

112211()(,)[(,)(,)]22OR OP OQ x y x y x y =+?=+1212

22x x x y y y +?=????

+?=??

..........1’

由222

22212

x x y y +=?+=，易得右焦点(1,0)F ......................2’

当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程是：1x =，根据对称性可知(1,0)R ........3’ 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =-

代入E 有2222(21)4220k x k x k +-+-=

2880k ?=+>

2

122

421

k x x k +=+....................................................5’ 于是(,):R x y x =2

122

2221

x x k k +=+ (1)y k x =-

消去参数k 得2220x y x +-=

而(1,0)R 也适上式，故R 的轨迹方程是2220x y x +-=..................8’

②设椭圆另一个焦点为'F ，

在'PF F ?中0'120,|'|2,PFF F F ∠==设||PF m =

，则|'|PF m =

由余弦定理得2220)222cos120m m m -=+-??

?m ?=.............10’

同理，在'QF F ?，设||QF n =

，则|'|QF m =

也由余弦定理得2220)222cos60n n n -=+-??

?n ?=

’

于是

1111||||PF QF m n +=+==’ 4. 解：（I ）设B(x 0，y 0)，A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)

∵双曲线1131222=-x y 的离心率为12

5，∴F 对应的准线方程为512=y , 由双曲线的定义得

|,512

|125||,125|5

12|||11-=∴=-y AF y AF …………（12分） 又A 在双曲线的上半支，∴y 1≥12，

)

4().512

(12

5||),512(125||)3().512

(12

5

||201分分 -=-=-

=

∴y CF y BF y AF

∵|AF|，|BF|，|CF|构成等差数列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，

∴26113

126)(2102

2210==-=+=x x y y y y 得代入

， ∴点B 的坐标为)6,26(.…………………………（6分）

（II ）∵在l 上任取一点P （不同于D 点），都存在实数λ，使得(

PD +

=λ，

∴PD 在∠APC 的角平分线上，………………………………（7分） ∵线段AC 的中点为D 点，

∴△APC 是等腰三角形，PD 是线段AC 的垂直平分线，………………（8分） ∴设直线l 的方程为),2

(62

12121x x x y y x x y +----

=-

),

(13,

113

12,11312,

)(26212

2212

2

222121212

2

212121y y x x x y x y y y x x x y y x x y -=-∴=-=---+---=-∴作差得又

,2

13

62121+---

=-∴x y y x x y l 的方程为直线………………（11分）

故直线l 恒过点（0，

2

25

）.…………………………（12分） 5. 解：（I ）设椭圆的标准方程为122

22=+b

y a x ，

因B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b=c ，又a 2

= b 2

+ c 2

，所以b a 2=

，…………①

由于椭圆上的左（右）顶点到左（右）焦点的距离最近，所以12-=-c a ，②

由①②知1,2===

c b a ，

∴椭圆的标准方程为：.12

22

=+y x （II ）当直线的斜率存在，设直线MN 的方程为2+=kx y

解方程组???

??=++=12

22

2y x kx y

消去.2

30,034)2

1(2

22>>?=+++k kx x k y 得由得 设),(),,(2211y x N y x M ，则

2212

14k k x x +-

=+……………… ③ .2

13221k x x +=

………………④

又因M 在DN 之间，所以DM λ=， 即212211),2,()2,(x x y x y x λλ=∴-=-， 于是λ

λλλ2

12212212

221)1(

,)1(,x x x x x x x x x x =+++=+=，……………⑤ 将③④代入⑤得λλ2

2

22213

)

1()214(

k k k +=++-， 整理得.)1(316121,)1(3121162

222

λλ

λλ++=+∴+=+k k …………………………8分 .

331

,34)1(3161,341211,23222<<<+<∴<+<∴>

λλλ由此解得k

k

又.13

1

,10<<∴

<<λλ …………………………………………………………10分 当直线的斜率不存在时，直线MN 的方程为x 3

1

,0==这时，

.3

1

=∴λ ……………………………………………………………………………11分

综上所述，λ的取值范围是.1,31??

?

???∈λ …………………………………………12分 6. 解：（1）由于2||,221121==F F NF F F ，

???

????+===-==∴.,1||1,2||22221221c b a NF c

a

F F c 解得?????==1

22

2b a ，从而所求椭圆的方程为

.122

2=+y x （4分）

（2）N B A NB NA ,,,∴=λ 三点共线，而点N 的坐标为（－2，0）.

设直线AB 的方程为)2(+=x k y ， 其中k 为直线AB 的斜率，依条件知k ≠0.

由?

????=++=12

),

2(2

2y x x k y 消去x 得22)21(2

2=+-y y k ，

即.024

1222

2=+-+y k y k

k 根据条件可知??

???≠<+?-=?.0,01

28)4(2

22k k

k k 解得.2

2||0<

设),(),,(2211y x B y x A ，则根据韦达定理，得???

????

+=+=+.122,1

2422

21221k k y y k k y y 又由),2(),2(,2211y x y x +=+=λλ得

???=+=+∴.),2(22121y y x x λλ 从而???

????

+=+=+.

122,1

24)1(22

2222k k y k k y λλ 消去.1

28)1(2

2

2+=

+k y λ

λ得

（8分）

令3

1

51],31,51[,)1()(212

≤<≤∈+=

λλλλ

λλφ任取，则

2

2

21

2

121)1()1()()(λλλλλφλφ+-

+=

-

.0)1

1)((2

121>-

-=λλλλ

（10分）

]3

1

,51[)(是区间λφ∴上的减函数，

从而)51()()31(φλφφ≤≤，

即536)(316≤≤λφ， 5

361283162≤

+≤∴k ， 解得.2

2||0,21626221<<≤≤-≤≤-

k k k 适合或 因此直线AB 的斜率的取值范围是].2

1

,62[]62,21[ -- （12分）

7. 解：（Ⅰ）∵0MN AF ?=，1

()2

ON OA OF =+， ∴ MN 垂直平分AF ．

又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，

∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =，

∴ ||||2||ME MF m EF +=>， ………………………………………………4分 ∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 2

2

2

2

1b a c m =-=-．

∴ 点M 的轨迹W 的方程为22

2211

x y m m +=-（1m >）．……………………………6分

（Ⅱ）设11(,)Q x y ∵ 0(

,)2

m

P y ，PF FQ λ=， ∴ 1011(1),2

.m x y y λλ?-=-???-=? ∴ 1101(1),2

1.m x y y λλλ?=+-????=-??

……………………………8分 由点P 、Q 均在椭圆W 上，

∴ 2

2

2

202222

11,411(1) 1.2(1)y m y m m

m λλλ?+=?-???+-+=?-? ……………………………10分 消去0y 并整理，得2211

m m m λ-+=-，

由22

1

121

m m m -+-≤≤及1m >，解得12m <≤． ……………………………14分 8. 解：（I ）设点P y y P y y M ),,4

(),,4(22

2

121、M 、A 三点共线，

,4,1

4,4

414

,212

12

112221212

11=∴+=+--=

+=∴y y y y y y y y y y y y k k DM AM 即即

………（2分）

.54

4212

2

21=+?=?∴y y y y OM …………………………………………………（3分）

设∠POM =α，则.5cos ||||=??αOP OM

.5sin ||||,2

5

=??∴=

?αS ROM 由此可得tanα=1.……………………（5分）

又.45,45),,0(??=∴∈与故向量απα……………………（6分）

（II ）设点M y y Q ),,4

(32

3

、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴

)9(.04,4))(1(,1

41,4

41431312

3313312

3323

2131233

分即即即

=+++-=++∴+=-+--=

+y y y y y y y y y y y y y y y y y y

,0444,4,432

322121=+++?∴=

=y y y y y y y y 即

即.(*)04)(43232=+++y y y y ……………………………………（10分）

)4(4,44

42

2322322

3

2232y x y y y y PQ y y y y y y k PQ

-+=-∴+=--=的方程是直线 即.4)(,4))((32322

2322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即……………………（12分）

由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.

故存在定一点E （1，－4），使PE ∥.QF …………………………………………（14分）

9. （Ⅰ）解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．

设动点P (x ，y )，则|x ＋y |2?|x －y |

2

＝1，

即|x 2

－y 2

|＝2．………………………………4分

∵P ∈D ．

∴x ＋y ＞0，x －y ＞0，即x 2－y 2

＞0．

∴x 2－y 2

＝2(x ＞0)．

即曲线C 的方程为x 22－y 2

2＝1(x ＞0)．…………6分

（Ⅱ）解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴以线段AB 为直径的圆的圆心Q (

x 1＋x 22，

y 1＋y 2

2

)，

∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切， ∴半径r ＝12|AB |＝x 1＋x 2

2

．

即|AB |＝x 1＋x 2．①……………………………………………………………………8分 ∵曲线C 的方程为x 22－y 2

2

＝1(x ＞0)，

∴F (2，0)为其焦点，相应的准线方程为x ＝1，离心率e ＝2． 根据双曲线的定义可得， |AF |x 1－1＝|BF |

x 2－1

＝2， ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2(x 1－1)＋2(x 2－1)＝2(x 1＋x 2)－22．②…………………12分 由①，②可得，x 1＋x 2＝2(x 1＋x 2)－22． 由此可得x 1＋x 2＝4＋22．

∴线段AB 的长为4＋22．……………………………………………………………14分 （Ⅱ）解法二：∵曲线C 的方程为x 22－y 2

2

＝1(x ＞0)，

∴F (2，0)为其焦点，相应的准线为l ：x ＝1，离心率e ＝2． 分别过A ，B 作AA '⊥l ，BB '⊥l ，垂足分别为A '，B '． 设AB 中点Q ，过Q 点作QQ '⊥y 轴，垂足为Q '．

由双曲线的定义可得，

|AF ||AA '|＝|BF |

|BB '|

＝2， ∴|AF |＝2|AA '|，|BF |＝2|BB '|．…………………10分 |AB |＝|AF |＋|BF |＝2(|AA '|＋|BB '|) 根据梯形中位线性质可得 |AA '|＋|BB '|＝2(|QQ '|－1)．

∴|AB |＝2?2(|QQ '|－1)．①…………………………12分 ∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切， ∴|QQ '|＝1

2

|AB |．②

把②代入①得|AB |＝22(1

2

|AB |－1)，

解得|AB |＝4＋22．……………………………………………………………………14分 （Ⅱ）解法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵直线AB 过点F (2，0)，

当AB ⊥x 轴时，|AB |＝22，以线段AB 为直径的圆与y 轴相离，不合题意． ∴设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)．

代入双曲线方程x 2－y 2

＝2得，

x 2－k 2(x －2)2＝2，即(1－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋2)＝0， ∵直线与双曲线交于A ，B 两点， ∴k ≠±1．

∴x 1＋x 2＝4k 2

k 2－1，x 1x 2＝4k 2

＋2

k 2－1

．

∴|AB |＝(x 1－x 2)2

＋(y 1－y 2)2

＝(1＋k 2

)[(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2] ＝

(1＋k 2

)[? ??

??4k 2

k 2－12－4?4k 2

＋2k 2－1]……………………………………………………9分

∵以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，

∴圆的半径12|AB |与圆心到y 轴的距离1

2

(x 1＋x 2)相等．

即12(1＋k 2

)[? ??

??4k 2

k 2－12－4?4k 2

＋2k 2－1]＝12(x 1＋x 2)．

∴12

(1＋k 2

)[? ??

??4k 2

k 2－12－4?4k 2

＋2k 2－1]＝12?4k

2

k 2－1．………………………………………12分

化简得k 4

－2k 2

－1＝0，

解得k 2

＝1＋2（k 2

＝1－2不合，舍去）． 经检验，当k 2

＝1＋2时，直线与曲线C 有两个不同的交点。

∴|AB |＝x 1＋x 2＝4k

2k 2－1＝4＋22．……………………………………………………14分

10. 解：（1）由0S =?及)R (∈=λλ知

点E 的轨迹是过S 点且与OF 垂直的直线L ，且PE ⊥L …………2分 又由0)c a ()c a (=-?+

得：

PF c

a

PE

=

，为大于1的常数。 据双曲线定义知：曲线M 是以F 为焦点，L 为相应准线的双曲线。 ………5分 （2）设L 交OF 于D ，则由OF OD OS 2

?=得，c

a OD 2

=

以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立直角坐标系， 则)0,c (F ，L 的方程为：c

a x 2

=

∴ 曲线M 的方程为1b

y a x 22

22=- ………….8分

由 2

22b a c 6ab 2

1

c a b 2+==+= 解得：16b ,9a 22==

故所求曲线M 的方程为：116

y 9x 2

2=- …………………..10分

（3）假设存在满足条件的直线m ，设)y ,x (C ),y ,x (B 2211

m 的方程为： 1)1x (k y +-=， （斜率不存在时，直线m 与曲线M 不相交）

代入116

y 9x 2

2=-，得：

0169)k 1(9x )k 1(k 18x )k 916(222=?------ ………… ① ∵ O AC AB =+ ∴ 点A 是线段BC 的中点 ∴ 9

16

k 2k 916)k 1(k 18x x 2

21=

?=--=

+ ………… 13分 而方程的判别式[

]

)1728(163616)1(9)916(4)1(182

2

2

2

2

2

-+?-=+-?-+-=?k k k k k k