量子力学作业习题

第一章量子力学的诞生

[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明：

( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；

( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；

( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射．

[2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：

( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂

[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级围，

( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．

[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．

( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．

[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释．

( 1 ) A 缝开启，B缝关闭；

( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭；

( 3 ）两缝均开启．

（2；（3）hc

[6]验算三个系数数值：（1

第二章 波函数与Schr ödinger 方程

[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能222

1

)(x m x V ω=] [2] 一维运动的粒子处在

⎩⎨

⎧<≥=-0

,

00,

)(x x Axe x x 当当λψ

的状态，其中0>λ，求：

（1）粒子动量的几率分布函数；

（2）粒子动量的平均值。

[3] 平面转子的转动惯量为I ,求能量允许值

[4]. 有一带电荷e 质量m 的粒子在平面运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.

[5] 对高速运动的粒子(静质量m )的能量和动量由下式给出

2

2

21c v mc E -=

(1)

2

2

21c v mv p -=

(2)

试根据哈密顿量 2242p c c m E H +=

= (3)

及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.

[6]. （1）试用Fermat 最小光程原理导出光的折射定律

α

α2

2

1

1

sin sin n n =

（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理⎰=0pdl δ

认为mv p =则

⎰=0pdl δ这将导得下述折射定律

α

α1

3

3

1

sin sin n n =

这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：2

c Ev

p =仍就成立，E 是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E 仍不变，仍有⎰=0pdl δ

，你怎样解决矛盾？

[7]. 当势能)(r V 改变一常量C 时,即c r V r V +→)()(

,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?

[8]. 试证粒子势能的极小值是

>E n

V min

[9]. 设1ψ与2ψ是薛定谔方程式两个解，证明⎰⎰⎰τ

ψψ3

21*),(),(dx t x t x

与时间无关。

[10]. 考虑单粒子的薛定谔方程式：

),()]()([),(2),(2122t x x iV x V t x m

t x t i

ψψψ++∇-

=∂∂ V 1，V 2为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积Ω，粒子几率“丧失”或“增

加”的速率。

[11]. 对于一维自由运动粒子，设)()0,(x x δψ=求2

),(t x ψ。 [12]. 证明从单粒子的薛定谔方程式得出的速度场是非旋的，即

()ρ /0j v v ==⨯∇ ψψ=*

ρ

第三章 一维定态问题

[1]. 对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明

2a

x = ）（）（22226112π

n a x x -=- 并证明当∞→n 时上述结果与经典结论一致。

[2]. 试求在不对称势力阱中粒子的能级。

[3]. 设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动： ∞ ()0

1

x m ω ()0>x 求粒子的能级。

[4]. 考虑粒子()0〈E 在下列势阱壁（ｘ＝０）处的反射系数 [5]. 试证明对于任意势垒，粒子的反射系数Ｔ满足Ｒ＋Ｔ＝１。 [6]. 设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用： ()a

x

a

x

a

x ππ2

cos sin

4=

ψ

描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。

[7]. 设一谐振子处于基态，求它的

()2

2

p x ∆∆，）（并验证测不准关系： [8]. 设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数)()(x a Ax x -=ψ描述，5

30

a A =是归一化常数，求（1）粒子取不同能量几率分布。（2）能量平均值及涨落。 [9]. 一维无限深势阱中求处于)(x n ψ态的粒子的动量分布几率密度2

)(p ϕ。 [10]. 写出动量表象中谐振子的薛定谔方程式，并求出动量几率分布 [11]. 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ

αψ2

2

22)(--

=

，求：