磁场中的“动态圆”分析
2024年高考物理热点磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)
磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边界相切经常是临界条件。
带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。
带电粒子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。
2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。
一、分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R =mv 0qB。
如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R =mv 0qB的圆上界定方法将一半径为R =mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法四、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R =mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R =mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法五、“磁聚焦”模型1．带电粒子的会聚如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R =r )，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)证明：四边形OAO ′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO ′(即竖直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，从P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O 1A (O 2B 、O 3C )均平行于PO ，即出射速度方向相同(即水平方向)．(建议用时：60分钟)一、单选题1地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内(边界上有磁场)，磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。
磁场中的“动态圆”分析
磁场中的“动态圆”分析对动态轨迹问题，首先要确定轨迹圆和边界的关系，寻找临界点，然后利用数学方法求解。
常用结论：1、刚好突出磁场边界的条件是粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切。
2、当速度一定时，弧长或弦长越长，圆周角越大，粒子在磁场中运动时间越长。
3、当速度变化时，圆周角大的运动时间越长。
4、从同一边界射入的粒子从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等，在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。
模型一：确定入射点和速度大小,不确定速度方向1、模型特征(1)各动态圆均相交于同一点。
(2)在纸面内，各粒子所能打到的区域是以2R为半径的圆(包络面)。
2、方法：转转圆，出答案（可用一枚硬币）3.例题分析例1、如图，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向里，PQ为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。
现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。
答案：MN=(3+1)r例2、如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小B=0.6T的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板ab，在距ab距离为l=16cm处，有一点状的放射源S向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106 m/s，已知α粒子的电荷与质量之比q/m= 5.0×107C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。
解答：半径R=10cm.NP1=8cm NP2=12cm P1P2=20cm例题3：如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。
有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P点进入磁场。
这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的1/3。
将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则B2/B1等于多少？答案：3模型二：确定入射点和速度方向,不确定速度大小1、模型特征(1)各动态圆圆心轨迹为直线。
带电粒子在磁场中的运动动态圆法课件
带电粒子在磁场中的运动方程
牛顿第二定律
带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力作用，可以将其视为惯性力，根据牛顿第二 定律建立运动方程。
运动方程形式
带电粒子的运动方程为 $frac{dvec{v}}{dt} = qvec{v} times vec{B}$，其中 $vec{v}$ 是带电粒子的速度，$q$ 是带电粒子的电荷量，$vec{B}$ 是磁感应强 度。
06 总结与展望
本课程内容的总结
动态圆法的基本原理
本课程介绍了动态圆法的基本原理，包括磁场对带电粒子的作用力和运动轨迹的影响，以 及动态圆法在解决实际问题中的应用。
动态圆法的应用实例
通过具体的应用实例，如回旋加速器、磁约束核聚变等，详细阐述了动态圆法的实际应用 和效果。
课程内容的局限性和改进方向
03 动态圆法的基本原理
动态圆法的定义和概念
动态圆法是一种分析带电粒子在磁场中运动的数学方法，通过建立动态圆模型来描 述粒子运动的轨迹。
动态圆模型将粒子运动的轨迹描述为一个动态圆，其中圆心为粒子的运动中心，半 径为粒子运动的轨迹半径。
动态圆法通过分析动态圆的运动状态和变化规律，来研究带电粒子在磁场中的运动 特性。
指出了本课程内容存在的局限性，如对复杂磁场和粒子初始条件的考虑不足，并提出了可 能的改进方向。
对未来研究和应用的展望
01
深入研究磁场和粒子的相互作用机制
随着科学技术的发展，对磁场和带电粒子相互作用机制的研究将更加深
入，有望发现新的物理现象和规律。
02
动态圆法在新型技术领域的应用
动态圆法作为一种有效的物理分析方法，有望在新型技术领域如磁悬浮、
详细描述
通过动态圆法，可以观察到带电粒子在磁场中做椭圆运动时，其运动轨迹是一个椭圆。随着磁感应强度的变化， 椭圆的形状和大小也会发生变化。同时，粒子的运动具有周期性，即每隔一定的时间，粒子会回到相同的运动状 态。
几个典型磁场里的“动态圆”问题
几个典型动圆问题例1. 如图2所示，真空室内存有匀强磁场，磁场方向垂直于图中纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.6T 。
磁场内有一块平面感光平板ab ，板面与磁场方向平行。
在距ab 的距离为L ＝16cm 处。
有一个点状的α粒子放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是s /m 100.3v 6⨯=。
已知α粒子的电荷与质量之比kg/C 100.5m q7⨯=。
现在只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度。
解析：α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R 表示轨道半径，有：R mvqvB 2=由此得m q BvBq mv R ==，代入数据得R ＝10cm 。
可见，R L R 2>>。
因向不同的方向发射α粒子的圆轨迹都经过了S ，由此可知，将通过S 点半径为R 的圆，绕S 点转动，此圆就会与ab 直线相交，其相交局部就是题里要求的ab 直线上α粒子打中的区域的长度。
其中圆与ab 右侧最远点相交于2P 点，且R 2SP 2=，继续转动圆，此圆会与ab 线相交于很多点，构成线段21P P ，圆与ab 直线上最左边的交点为圆与ab 的切点1P ，即1P 为ab 直线上α粒子打中区域的左侧最远点，如图3所示。
作SN ⊥ab ，由几何知识得.cm 8cm )1016(10)R L (R NP 22221=--=--=由图中的几何关系得：cm 12cm 16)102(L )R 2(NP 22222=-⨯=-=所求的宽度为：.cm 20cm 12cm 8NP NP P P 2121=+=+=即ab 上被α粒子打中的区域的长度为：.cm 20P P 21=例2. 如图4所示，在xOy 平面内有很多电子（质量为m ，电量为e ），从坐标原点O 持续的以相同大小的速度0v 沿不同方向射入I 象限，现加一个垂直于xOy 平面的磁感应强度为B 的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都能平行于x 轴向＋x 方向运动，试求符合该条件的磁场的最小面积。
带电粒子在磁场中的运动动态圆法课件
探索动态圆法与其他物理方法的结合， 以解决更复杂、更广泛的物理问题。
开发基于动态圆法的计算机模拟软件， 为实验研究和工程应用提供更准确、更
便捷的工具。
THANKS
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稳定性
动态圆在磁场中的运动是稳定的 ，只要洛伦兹力与向心力平衡， 带电粒子就会做稳定的圆周运动 。
05
动态圆法在物理实验中的应用
实验原理和步骤
• 实验原理：动态圆法是一种通过观察带电粒子在磁场中的运动 轨迹来研究磁场特性的实验方法。通过改变磁场强度或粒子速 度，可以观察到轨迹圆半径的变化，从而得到磁场与粒子运动 之间的关系。
课程目标和意义
掌握动态圆法的基本原理和计算 方法，能够运用动态圆法解决实
际问题。
理解带电粒子在磁场中运动的物 理机制，提高对电磁学原理的理
解和应用能力。
通过学习动态圆法，培养学生的 逻辑思维和数学分析能力，为进 一步学习物理学和相关领域打下
基础。
02
带电粒子在磁场中的基本性质
电荷在磁场中的受力
在等离子体物理实验中，动态圆法也 被用来研究等离子体的特性和行为。
在粒子加速器、回旋加速器、核聚变 装置等实验设备中，需要利用动态圆 法来研究带电粒子的运动轨迹和行为。
04
带电粒子在磁场中的动态圆运动
动态圆在磁场中的受力分析
洛伦兹力
带电粒子在磁场中受到的力称为洛伦兹力，其方向由左手定则确定，大小为$F = qvBsintheta$，其中$q$是带电粒子的电荷量，$v$是速度，$B$是磁感应 强度，$theta$是速度与磁感应强度的夹角。
实验结果和结论
实验结果
通过动态圆法实验，可以观察到带电粒子在磁场中的运动轨迹呈现圆形，并且随着磁场强度的增加或粒子速度的 减小，轨迹圆的半径逐渐减小。实验结果与理论值基本一致。
用“动态圆”模型分析带电粒子在匀强磁场中的运动
B A
A
A AA
C v
D
v
v
vv
B AA
C vv
R D
练习3．如图所示，长方形abcd长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e 分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里 的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强度B=0.25T。一群不 计重力、质量m=3×10-7 kg、电荷量q=+2×10－3C的带电粒子 以速度v=5×l02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域， 则( ) A．从Od边射人的粒子，出射点全部分布在Oa边 B．从aO边射人的粒子，出射点全部分布在ab边 C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边 D．从aO边射人的粒子，出射点分布在ab边和bc边
B
Q
E
A
P
F
练习1.如图，一端无限伸长的矩形区域abcd内存在着磁感应
强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。从边ad中点
O射入一速率v0、方向与Od夹角θ=30º的正电粒子，粒子质量 为m，重力不计，带电量为q，已知ad=L。
（1）要使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围。 （2）从ab边射出的粒子在磁场中运动时间t 的范围。
B
A.
2R B. 2R
O M 2R R N
O M R 2R
N M
O
N
C.
D.
2R
O
O
R
M 2R 2Ro
N
练习2．如图，电子源S能在图示纸面360°范围内发射速率相
同的电子（质量为m，电量为e），M、N是足够大的竖直挡板，
与S的水平距离OS＝L，挡板左侧是垂直纸面向里，磁感应强
用“动态圆”模型分析带电粒子在匀强 磁场中的运动
动态圆分析法
用“动态圆”分析带电粒子在匀强磁场中的运动问题带电粒子在磁场中的运动是历年高考中的一个重要考点,解决此类问题的常规方法为：一定圆心，二画轨迹，三用几何关系求半径，四根据圆心角和周期关系确定运动时间。
其中圆心的确定最为关键，解题要点为：①已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点做垂直于速度方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心。
②已知入射点位置及入射时速度方向和出射点的位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，做其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心。
以上方法简单明了，但具体求解时，学生对其轨迹的变化想象不出来，从而导致错解习题。
如从以上方法出发，再借助圆规从“动态圆”角度分析，便可快而准的解决问题。
此类试题可分为旋转圆、缩放圆和平移圆三大类型。
[模型一、旋转圆模型]带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图。
运动轨迹所在圆的圆心在以入射点为圆心以在匀强磁场中运动半径为半径的“动态圆”上，解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。
[点评] 离子以相同速率、不同方向射入磁场，动态圆的圆心在同一个圆周上1.[2005·山东卷]如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里．许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O 射人磁场区域．不计重力，不计粒子间的相互影响．下列图中阴影部分表示带电粒子能经过区域，其中R=mv/qB．哪个图是正确的2.[2010·新课标卷]如图所示，在0≤x≤a、0≤y≤a/2范围内垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。
磁场中的动态圆问题
磁场中的动态圆问题一、粒子特点：入射粒子速度的方向相同，速度的大小不同，或者是B 的大小变化，从而造成轨迹圆的半径不同。
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大.或者磁感应强B 越小，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线CO 上.解决方法：放缩圆法。
粒子的轨迹圆的的圆心轨迹为一条线段，利用圆规作图，不断改变圆心位置找到符合要求的轨迹圆。
例：（多选）如图2所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的中点，一个带正电的粒子(重力忽略不计)若从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场.现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是( )图2A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场B.若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是23t 0C.若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t 0D.若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是53t 0解析 带电粒子以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场，则知带电粒子的运动周期为T ＝2t0.作出粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向射入恰好从各边射出的轨迹，如图所示发现粒子不可能经过正方形的某顶点，故A 正确；作出粒子恰好从ab 边射出的临界轨迹③④，（从ab 边射出意思是不从ad 边出，就是和ad 边相切，与ab 边相切）由几何关系知圆心角不大于150°，在磁场中经历的时间不大于512个周期，即56t 0；圆心角不小于60°，在磁场中经历的时间不小于16个周期，即13t 0，故B 正确；作出粒子恰好从bc 边射出的临界轨迹②③，由几何关系知圆心角不大于240°，在磁场中经历的时间不大于23个周期，即43t 0；圆心角不小于150°，在磁场中经历的时间不小于512个周期，即56t 0，故C 正确；若该带电粒子在磁场中经历的时间是56个周期，即53t 0.粒子轨迹的圆心角为θ＝53π，速度的偏向角也为53π，根据几何知识得知，粒子射出磁场时与磁场边界的夹角为30°，必定从cd 边射出磁场，故D 错误.答案 ABC例2、如图所示，在边长为2a 的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m 、电荷量为－q (q >0)的带电粒子(重力不计)从AB 边的中心O 以速度v 进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB 边的夹角为60°，若要使粒子能从AC 边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B 需满足( )A.B >3mv3aqB.B <3mv 3aqC.B >3mv aqD.B <3mvaq答案 B解析 若粒子刚好达到C 点时，其运动轨迹与AC 相切，如图所示，则粒子运动的半径为r 0＝atan 30°＝3a .由qvB ＝mv 2r 得r ＝mvqB，粒子要能从AC 边射出，粒子运行的半径应满足r >r 0，解得B <3mv3aq，选项B 正确.3、(多选)(2018·湖北省十堰市调研)如图12所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B ，其边界为一边长为L 的正三角形(边界上有磁场)，A 、B 、C 为三角形的三个顶点．今有一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子(不计重力)，以速度v ＝3qBL4m从AB 边上的某点P 既垂直于AB 边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC 边上某点Q 射出．若从P 点射入的该粒子能从Q 点射出，则( )A ．PB <1＋34L B ．PB <2＋34L C ．QB ≤34L D ．QB ≤12L答案 BD解析 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示：粒子在磁场中的运动轨迹半径为r ＝mv Bq ，因此可得r ＝34L ，当入射点为P 1，圆心为O 1，且此刻轨迹正好与BC 相切时，PB 取得最大值，若粒子从BC 边射出，根据几何关系有PB <P 1B ＝2＋34L ，A错误，B 正确；当运动轨迹为弧P 2Q 时，即O 2Q 与AB 垂直时，此刻QB 取得最大值，根据几何关系有QB ＝rsin 60°＝12L ，所以有QB ≤12L ，C 错误，D 正确．二、粒子特点：入射粒子速度的方向不相同，速度的大小相同。
带电粒子在磁场中运动的动态圆
轨迹圆与磁场边界圆半径相等时,在边界圆某点 射入匀强磁场的所有带电粒子岀射速度方向相同。
1.磁发散与磁聚焦 磁聚焦概括：
迁移与逆向、对称的物理思想！
一点发散成平行
R r
R r
平行会聚于一点
区域半径 R 与运动半径 r 相等
表述：
① 磁发散：
带电粒子轨迹半径等于磁场边界圆半 径时， 从匀强磁场边界圆某点射入磁场的 所有带电粒子岀射速度方向均平行于过该 点的切线。
.a L s b
解:粒子带正电,故在磁场中
L
a
沿逆时针方向做匀速圆周运
动,用R表示轨道半径,有
r mv 16cm
P1
qB
因朝不同方向发射的α粒子的
圆轨迹都过S,由此可知,某一
圆轨迹在图中ab上侧与ab相
s
N
切,则此切点P1就是该粒子能
打中的上侧最远点.再考虑
ab的下侧.任何α粒子在运动中离
轨道与外圆相切时，则以速度沿各方向射入磁场
区的粒子都不能穿出磁场边界，如图所示。
由由所图以Bq中所v2 知 有m粒vr222r2子得 不Rv2能22 R穿11越.00.磁251m场0 7 m / s
的最大速度 • 评注：
v2
Bqr2 m
1.0 107 m / s
• 1.先根据题意，画出两种情况下带电粒子运动的
v0
B
间多少？什么时候偏角最大？ a
o
b
5.磁约束 如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运
动的带电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很
大，都不会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为
R1=0.5m，外半径为 R2=1.0m，磁场的磁感应强度 B=1.0T， 若被缚的带电粒子的荷质比为 q/m=4×107C/kg，中空区
动态圆模型(解析版)——2024学年高二物理同步模型易点通(人教版2019选择性必修第二册)
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R ＝mv 0qB，如图所示带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子垂直进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v 0，则圆周运动轨迹半径为R ＝mv 0qB，如图所示如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R ＝mv 0qB 的圆上如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界A．粒子在磁场中运动的半径为B．粒子在距A点0.5d处射入，会进入C．粒子在距A点1.5d处射入，在结合几何关系，有：sin30=rAO 故从距A 点0.5d 处射入，会进入C ．粒子距A 点1.5d 处射入，在故C 正确；【模型演练3】（2024上·四川内江·高二统考期末）如图，在真空中有一等腰直角三角形ADC的区域内，存在方向垂直纸面向外的匀强磁场。
图中D、O、C三点在同一直线上，AO与CD垂直。
A点处的粒子源持续将比荷一定但速率0v不同的带正电的粒子沿AO方向射入磁场区域中，不计粒子的重力及粒子之间的相互A ．从ADB ．从CDC ．从AD D ．从AD 【答案】B【详解】．粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力：0mv r qB=由题知，粒子源持续将比荷一定但速率边出射的粒子，0v 越大，半径．同理由图知，从CD 边出射的粒子，入射速度越大，半径．如图所示，带正电的粒子沿A．76mqBpB．54mqBpC．【答案】C【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动：mv qBv=可得粒子在磁场中的周期：2m Tp =由图可知，粒子从e点离开时，轨迹对应的圆心角最大，在磁场中运动时间最长；由图中几何关系可知，此时轨迹对应的最大圆心角为：max240q=°A ．76qBRmB ．54qBR mC ．qBR m【答案】C【详解】根据题意，粒子的运动轨迹如图所示不论粒子所经轨迹如何，其圆心必在cd 连线上，则对应圆心角为平角加上下面的角（如图中2fO d Ð）。
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磁场中的“动态圆”分析
对动态轨迹问题，首先要确定轨迹圆和边界的关系，寻找临界点，然后利用数学方法求解。
常用结论：
1、刚好突出磁场边界的条件是粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切。
2、当速度一定时，弧长或弦长越长，圆周角越大，粒子在磁场中运动时间越长。
3、当速度变化时，圆周角大的运动时间越长。
4、从同一边界射入的粒子从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等，在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。
模型一：确定入射点和速度大小,不确定速度方向
1、模型特征
(1)各动态圆均相交于同一点。
(2)在纸面内，各粒子所能打到的区域是以2R为半径的圆(包络面)。
2、方法：转转圆，出答案（可用一枚硬币）
3.例题分析
例1、如图，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向里，PQ为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。
现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。
答案：MN=(3+1)r
例2、如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小B=0.6T的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板ab，在距ab距离为l=16cm处，有一点状的放射源S向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106 m/s，已知α粒子的电荷与质量之比q/m= 5.0×107 C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域的长度。
解答：半径R=10cm.NP
1=8cm NP
2
=12cm P
1
P
2
=20cm
例题3：如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。
有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P点进入磁场。
这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的1/3。
将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则B2/B1等于多少？
答案：3
模型二：确定入射点和速度方向,不确定速度大小
1、模型特征
(1)各动态圆圆心轨迹为直线。
(2)各动态圆均相交于同一点。
(3)各动态圆周期T相同。
2、找圆心方法
把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大（速度或质量逐渐增大时）或缩小（速度或质量逐渐减小时）的运动圆,所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上。
3.例题分析
例题4：如图，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为 d =1.0×10
－2m ，A 板上有一电子源P ，Q 点在P 点正上方B 板上，在纸面内从P 点向Q 点发射速度在0～3.2×107m/s 范围内的电子。
若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度B=9.1×10－3T ，已知电子质量 m=9.1×10－31kg ，电子电量 q=1.6×10－19C ，不计电子重力和电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在A 、B 两板上的范围。
解：打在A 板上的范围是PH 段。
PH = 2d
电子打在B 板上的范围是MN 段。
r m =2d
QM=(2－ 3)d MN=( 3 -1)d
例5、如图，在POQ 区域内分布有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流(不计重力)，沿纸面垂直于磁场边界OQ 方向从A 点垂直边界射入磁场，已知OA=d ，∠POQ=45º，离子的质量为m 、带电荷量为q 、要使离子不从OP 边射出，离子进入磁场的速度最大不能超过多少？
答案：
()
m qBd v 120-≤ 例6、如图甲所示，有一横截面为正方形的匀强磁场区域，正方形的边长为L ，
磁场的磁感强度为B，一带电粒子从ad边的中点O与ad边成q=30°角且垂直于磁场方向射入．若该带电粒子所带电量为q，质量为m(不计重力)，则该带电粒子在磁场中飞行的最长时间是多少？若要使带电粒子飞行的时间最长，带电粒子的速度必须满足什么条件？
解：如图乙所示，垂直初速度方向的虚线为圆心轨迹，圆心角最大时飞行时间最长，根据图分析可得，当圆轨迹与上边界相切时，圆心角最大为300°，速度再小一些时将从ad边射出，此时的圆心角也是300°。
由几何关系可得：R=L/3
当v=qBL/3m 时。
t
=5 m/3qB
max
所以，要使带电粒子的飞行时间最长，带电粒子的速度必须满足
V≤qBL/3M
模型三：确定入射速度,不确定入射点
1.找圆心方法
带电粒子射入磁场速度的方向大小不变，半径R确定，则所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的方向上，离入射点距离为R。
2.模型特征
(1)各动态圆的半径R相同。
(2)圆心在垂直初速度方向上且离入射点为R的位置。
(3)若磁场边界为直线，则圆心轨迹也为直线。
(4)若磁场边界为圆，则圆心轨迹也为圆。
3.例题分析
例7、如图所示，长方形abcd长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25 T。
一群不计重力，质量m＝3×10-7kg，电荷量q＝+2×10－3C的带电粒子以速度v＝5×l02 m/s沿垂直于ad方向且垂直于磁场射人磁
场区域，则( )。
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边
D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和be边
解：带电粒子射入磁场中的速度不变，半径相同，可得出圆心轨迹在直线ad上，且
并得到一组动态圆（如图所示），答案：D。
例8、如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上，在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场，在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q>0)和初速度v的带电微粒，发射时，这束带电微粒分布在0<y<2R 的区间内。
已知重力加速度大小为g。
(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向。
(2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。
解：(1)由题意得，带电粒子在磁场中的半径为R，由qvB=mv2/R，可得：B=mv/qR，磁场方向垂直纸面向外。
(2)这束带电微粒都通过坐标原点。
从任一点水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于入射点正下方的O′点，如图所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图所示半圆弧，此圆的圆心是坐标原点为O。
所以，这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的。
以上是带电粒子在磁场中运动的几种模型，如果能建立模型，掌握各种模型的特点和分析方法，将会使动态圆问题轻松得解。