立体几何大题专题训练(文)

立体几何大题专题训练（文）

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一、解答题（共10小题）

1. [一般] （2019?新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB

＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的四边形ACGD的面积．

2. [一般] （2019?海南）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥

EC1．

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．

3. [较难] （2018?新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为

AC的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．

4. [一般] （2018?新课标Ⅲ）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D

的点．

（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．

5. [一般] （2018?新课标Ⅰ）如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕

将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积．

6. [一般] （2017?新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD，

AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．

（1）证明：直线BC∥平面P AD；

（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

7. [一般] （2017?新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．

（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；

（2）若P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．

8. [较难] （2017?新课标Ⅲ）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

9. [一般] （2016?新课标Ⅱ）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，

AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；

（Ⅱ）若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．

10. [一般] （2016?新课标Ⅲ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，

P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

（Ⅰ）证明MN∥平面P AB；

（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．

立体几何大题专题训练（文）

参考答案

一、解答题（共10小题）

1.【解答】解：（1）证明：由已知可得AD∥BE，CG∥BE，即有AD∥CG，

则AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面；

由四边形ABED为矩形，可得AB⊥BE，

由△ABC为直角三角形，可得AB⊥BC，

又BC∩BE＝E，可得AB⊥平面BCGE，

AB?平面ABC，可得平面ABC⊥平面BCGE；

（2）连接BG，AG，

由AB⊥平面BCGE，可得AB⊥BG，

在△BCG中，BC＝CG＝2，∠BCG＝120°，可得BG＝2BC sin60°＝2，

可得AG＝＝，

在△ACG中，AC＝，CG＝2，AG＝，

可得cos∠ACG＝＝﹣，即有sin∠ACG＝，

则平行四边形ACGD的面积为2××＝4．

2.【解答】解：（1）证明：由长方体ABCD﹣A1B1C1D1，可知

B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，

∴B1C1⊥BE，

∵BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，

∴BE⊥平面EB1C1；

（2）由（1）知∠BEB1＝90°，由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，

∴∠AEB＝∠A1EB1＝45°，∴AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6，

∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，

∴E到平面BB1C1C的距离d＝AB＝3，

∴四棱锥E﹣BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18．

3.【解答】（1）证明：∵AB＝BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，

又O为AC的中点，∴OA＝OB＝OC，

∵P A＝PB＝PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，

∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC＝0，∴PO⊥平面ABC；

（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO＝，

在△COM中，OM＝＝．

＝××＝，

S△COM＝＝．

设点C到平面POM的距离为d．由V P﹣OMC＝V C﹣POM?，

解得d＝，

∴点C到平面POM的距离为．

4.【解答】（1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦所在平面垂直，所以AD⊥半圆弦所在平面，

CM?半圆弦所在平面，

∴CM⊥AD，

M是上异于C，D的点．∴CM⊥DM，DM∩AD＝D，∴CM⊥平面AMD，CM?平面

CMB，

∴平面AMD⊥平面BMC；

（2）解：存在P是AM的中点，

理由：

连接BD交AC于O，取AM的中点P，连接OP，可得MC∥OP，MC?平面BDP，OP?

平面BDP，

所以MC∥平面PBD．

5.【解答】解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM中，∠ACM＝90°，∴AB⊥AC，

又AB⊥DA．且AD∩AC＝A，

∴AB⊥面ADC，∵AB?面ABC，

∴平面ACD⊥平面ABC；

（2）∵AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，∴AD＝AM＝3，

∴BP＝DQ＝DA＝2，

由（1）得DC⊥AB，又DC⊥CA，∴DC⊥面ABC，

∴三棱锥Q﹣ABP的体积V＝

＝××＝＝1．

6.【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD＝∠ABC＝90°．∴BC∥AD，∵AD?平面P AD，

BC?平面P AD，

∴直线BC∥平面P AD；

（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝

AD，∠BAD＝∠ABC＝90°．设AD＝2x，

则AB＝BC＝x，CD＝，O是AD的中点，

连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，

则OE＝，PO＝，PE＝＝，

△PCD面积为2，可得：＝2，

即：，解得x＝2，PO＝2．

则V P﹣ABCD＝×（BC+AD）×AB×PO＝＝4．

7.【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP＝∠CDP＝90°，

∴AB⊥P A，CD⊥PD，

又AB∥CD，∴AB⊥PD，

∵P A∩PD＝P，∴AB⊥平面P AD，

∵AB?平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AD．

解：（2）设P A＝PD＝AB＝DC＝a，取AD中点O，连结PO，

∵P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，平面P AB⊥平面P AD，

∴PO⊥底面ABCD，且AD＝＝，PO＝，

∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，

由AB⊥平面P AD，得AB⊥AD，

∴V P﹣ABCD＝

＝＝＝＝，

解得a＝2，∴P A＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PO＝，

∴PB＝PC＝＝2，

∴该四棱锥的侧面积：

S侧＝S△P AD+S△P AB+S△PDC+S△PBC

＝+++

＝

＝6+2．

8.【解答】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，

∵△ABC是正三角形，AD＝CD，

∴DO⊥AC，BO⊥AC，

∵DO∩BO＝O，∴AC⊥平面BDO，

∵BD?平面BDO，∴AC⊥BD．

解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，

∵OE?平面OBD，∴OE⊥AC，

设AD＝CD＝，则OC＝OA＝1，EC＝EA，

∵AE⊥CE，AC＝2，∴EC2+EA2＝AC2，

∴EC＝EA＝＝CD，

∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC＝EA＝CD＝，

由余弦定理得：

cos∠CBD＝＝，

即，解得BE＝1或BE＝2，

∵BE＜＜BD＝2，∴BE＝1，∴BE＝ED，

∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，

∵BE＝ED，∴S△DCE＝S△BCE，

∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．

法二：设AD＝CD＝，则AC＝AB＝BC＝BD＝2，AO＝CO＝DO＝1，

∴BO＝＝，∴BO2+DO2＝BD2，∴BO⊥DO，

以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，

则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），A（1，0，0），

设E（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）＝λ（0，，﹣1），解得E

（0，，1﹣λ），

∴＝（1，），＝（﹣1，），

∵AE⊥EC，∴＝﹣1+3λ2+（1﹣λ）2＝0，

由λ∈[0，1]，解得，∴DE＝BE，

∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，

∵DE＝BE，∴S△DCE＝S△BCE，

∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．

9.【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE

＝CF，

∴EF∥AC，且EF⊥BD

将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，

则D′H⊥EF，

∵EF∥AC，

∴AC⊥HD′；

（Ⅱ）若AB＝5，AC＝6，则AO＝3，B0＝OD＝4，

∵AE＝，AD＝AB＝5，

∴DE＝5﹣＝，

∵EF∥AC，

∴＝＝＝＝，

∴EH＝，EF＝2EH＝，DH＝3，OH＝4﹣3＝1，

∵HD′＝DH＝3，OD′＝2，

∴满足HD′2＝OD′2+OH2，

则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，

又OD′⊥AC，AC∩OH＝O，

即OD′⊥底面ABCD，

即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．

底面五边形的面积S＝+＝+＝12+＝，

则五棱锥D′﹣ABCFE体积V＝S?OD′＝××2＝．

10.【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，

∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线

∴NE∥PB，

又∵AD∥BC，∴BE∥AD，

∵AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，

∴BE＝BC＝AM＝2，

∴四边形ABEM是平行四边形，

∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面P AB，

∵MN?平面NEM，∴MN∥平面P AB．

解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，

∵NF是△P AC的中位线，

∴NF∥P A，NF＝＝2，

又∵P A⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，

如图，延长BC至G，使得CG＝AM，连结GM，

∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，

∴AC＝MG＝3，

又∵ME＝3，EC＝CG＝2，

∴△MEG的高h＝，

∴S△BCM＝＝＝2，

∴四面体N﹣BCM的体积V N﹣BCM＝＝＝．