初中数学一元二次不等式解法
初中数学方程与不等式的解法
初中数学方程与不等式的解法方程与不等式是初中数学中重要的概念之一，它们在实际生活中的应用广泛。
本文将介绍初中数学中常见的方程与不等式的解法，包括一元一次方程的解法、一元一次不等式的解法、一元二次方程的解法和一元二次不等式的解法。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a、b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的基本思路是将方程转化为x的系数为1的方程。
具体步骤如下：1. 化简方程，消去方程中的常数项，使得系数x前的数字为1。
2. 通过逆运算，将x系数为1的方程转化为等式，得到x的解。
例如，解方程2x + 3 = 7，可以按照以下步骤进行：1. 化简方程：将方程中的常数项3移到等号右边，得到2x = 7 - 3，化简为2x = 4。
2. 转化为等式：将2x = 4转化为等式，得到x = 4 / 2，化简为x = 2。
因此，方程2x + 3 = 7的解为x = 2。
二、一元一次不等式的解法一元一次不等式是形如ax + b < c或ax + b > c的不等式，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元一次不等式的基本思路是根据不等式符号（<或>）找出合适的解集。
具体步骤如下：1. 化简不等式，消去方程中的常数项，使得系数x前的数字为1。
2. 根据不等式符号找出解集，如果是"<"，找出大于等于解的最小值；如果是">"，找出小于等于解的最大值。
例如，解不等式3x + 2 < 8，可以按照以下步骤进行：1. 化简不等式：将不等式中的常数项2移到不等号右边，得到3x < 8 - 2，化简为3x < 6。
2. 找出解集：由于是"<"不等式，解集为大于等于解的最小值。
将不等式除以3，得到x < 6 / 3，化简为x < 2。
因此，不等式3x + 2 < 8的解集为x < 2。
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法初中数学知识归纳：一元二次不等式与解法一、引言初中数学学科中，一元二次不等式是一个重要的内容。
在解决实际问题和数学推理中，一元二次不等式经常被应用。
本文将对一元二次不等式的定义、性质以及解法进行详细的归纳与总结。
二、一元二次不等式的定义与性质一元二次不等式指的是包含未知数的平方项的不等式，其一般形式为：ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0其中，a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
1. 定义一元二次不等式是基于一元二次方程和不等式的概念而产生的。
不等式中的未知数仍然是x，与一元二次方程相同。
2. 性质（1）二次函数性质：一元二次不等式与一元二次方程在性质上有很多相似之处，其中关键是利用二次函数的凹凸性质进行分析。
（2）符号问题：处理不等式时需要确定不等号的方向，区别于一元二次方程需要使用等号。
三、解一元二次不等式的常用方法一元二次不等式的解法有两种常用的方法：图像法和区间法。
1. 图像法图像法基于二次函数的图像和不等式的定义，通过对二次函数图像的观察，从几何直觉的角度得出不等式的解集。
2. 区间法区间法利用了二次函数在不等式中的凹凸性质。
通过求解一元二次不等式的判别式和二次函数的极值点，将定义域划分成若干个区间，进而判定不等式的解集。
四、具体解题步骤与示例以下是一元二次不等式解题的一般步骤：1. 对齐系数，将不等式变形成标准形式(ax^2 + bx + c ＞0 或 ax^2 + bx + c ＜0)。
2. 利用图像法或区间法进行解题。
3. 在解集中找出满足题意的解。
解题示例：例题1：解不等式 x^2 + 6x ＞ 0解答过程如下：1. 对齐系数，得到： x^2 + 6x ＞ 02. 根据二次函数的性质，当 a > 0 时，二次函数开口向上，函数图像位于x轴上方。
因此，解集是实数集 R。
3. 综上所述，不等式 x^2 + 6x ＞ 0 的解集为实数集 R。
初中数学知识点梳理第四章不等式
初中数学知识点梳理第四章不等式初中数学第四章主要介绍了不等式的基本理论、解不等式的一般步骤以及一元一次不等式、一元二次不等式的解法等内容。
一、不等式的基本性质1.不等式的定义：不等式是表达两个数据之间大小关系的数学式，用不等号“<”、“>”、“≤”、“≥”等表示。
2.不等式的两端可以加上、减去相同的数，并且不等号方向不变。
3.不等式的两端可以乘以、除以正数，并且不等号方向不变；如果乘以或除以负数，则需要改变不等号的方向。
4.不等式的两端可以交换位置，但要改变不等号的方向。
二、不等式的解法步骤1.将不等式化简，使其符合格式要求。
2.根据不等式的性质，找出合适的变量范围。
3.根据条件，求出变量的取值范围。
4.根据不等式的性质，确定不等式的解集。
三、一元一次不等式的解法1. 一元一次不等式是指只含有一个变量的一次函数不等式，形如ax + b < c 或 ax + b > c。
2.解一元一次不等式的步骤：(1) 将不等式化为形如ax + b < 0或ax + b > 0的形式。
(2)确定变量范围，找出通解的形式。
(3) 求解方程ax + b = 0，得出一个关键点，并将变量范围分为几个部分。
(4)根据关键点判断每个部分的取值情况，得出不等式的解集。
四、一元二次不等式的解法1. 一元二次不等式是指只含有一个变量的二次函数不等式，形如ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。
2.解一元二次不等式的步骤：(1) 将不等式化为标准形式ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。
(2)确定变量范围，找出通解的形式。
(3) 求解方程ax² + bx + c = 0，得出两个关键点，并将变量范围分为几个部分。
(4)根据关键点判断每个部分的取值情况，得出不等式的解集。
一元二次不等式及其解法 PPT
当a=-1时，如图1-26，一元二次函数y =x2+（1-a）x-a的图象
与x轴只有一 个交点（-1，0）.所以原不等式的解集为
（3）当a>-1时，如图1 - 27，一元二次函数y=x2+（1-a）x-a 的图 象与x轴从左至右有两个交点（-1，0）与（a，0）.所以原不等式 的解集为（-1，a）.
类比初中数学中用一次函数的图象求解一次不等式，我 们可以 利用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集.
以不等式 x2-2x-3<0为例
1.画出一元二次函数y=x2-2x-3 的图象
它与x轴交点的横坐标分别是-1和3.即当x1=1，x2=3时 x2-2x-3=0
2.当 -1<X<3时，一元二次函数y=x2-2x-3的图象在x轴的下方， 满足y<0.也就是说，一元二次不等式x2—2x—3<0的解集是{x|1<x<3}
交点（ -2，0）(和13 , 0) 观察图象可得原不等式的解集为 {x | x 2或x 13}
解法2：
将原不等式可以转化为：（x+2）（3x-1）>0
或 即： x20, 3x10,
x+2<0 3x10
所以不等式的解集：{x | x 2或x 13} 思考：根据不等式3x2+5x-2>0的解集，你能得出不等式3x2+5x-2≤0
已知一元二次函数
y
1 2
x
2
4
x
2
（1）指出它的图象可以由
y
1 2
x2
函数的图象经过怎样的
变换而得到；
（2）指出它的图像的对称轴，试述函数的变化趋势及最
大值或最小值
初中数学教案一元二次不等式的解法
初中数学教案一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法一、教学目标1. 理解一元二次不等式的概念及解法；2. 掌握一元二次不等式的基本性质；3. 能够运用一元二次不等式解决实际问题。
二、教学重点1. 掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式的基本性质。
三、教学难点1. 发展学生的逻辑思维能力，准确解决一元二次不等式；2. 应用一元二次不等式解决实际问题。
四、教学过程第一步：导入新知通过展示一元二次不等式的实际应用场景，激发学生学习兴趣。
第二步：讲解概念引导学生回顾一元二次方程的概念和解法，然后引出一元二次不等式的概念，并解释其与一元二次方程的关系。
第三步：解一元二次不等式1. 针对形如ax^2 + bx + c > 0的一元二次不等式，介绍解法：a) 求解关于x的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的根；b) 根据方程的解与系数的关系，确定不等式的解集。
2. 针对形如ax^2 + bx + c < 0的一元二次不等式，引出解法：a) 利用一次函数的图像来确定不等式的解集。
第四步：解决实际问题通过实际问题的讲解，引导学生将一元二次不等式的解法应用到实际生活中，培养学生解决问题的能力。
第五步：总结归纳复习一元二次不等式的解法及应用场景，将解法总结归纳为简洁易懂的形式，方便学生记忆和复习。
第六步：巩固练习提供一定数量的练习题，让学生在课堂上进行解答，并批改订正。
第七步：拓展延伸出示一些拓展题目，引导学生进一步思考并解决更加复杂的一元二次不等式问题。
五、教学反思本节课通过讲解一元二次不等式的解法和应用场景，提高了学生的解决实际问题的能力。
通过巩固练习和拓展延伸，加深了学生对一元二次不等式的理解和掌握程度。
整堂课注重引导学生发展逻辑思维能力，通过解决问题来提升学生的数学素养。
不仅满足了教学目标，而且在教学过程中保持了良好的课堂秩序和学生的学习兴趣。
初中数学教案：解一元二次不等式
初中数学教案：解一元二次不等式解一元二次不等式一、引言解一元二次不等式是初中数学中的重要内容之一。
它可以帮助我们解决很多实际问题，并且在高中数学的学习中也扮演着重要的角色。
本教案将针对初中数学解一元二次不等式的具体方法和技巧进行详细讲解，帮助学生掌握解题的基本思路和步骤。
二、一元二次不等式的定义在开始讲解解一元二次不等式之前，我们先来了解一下一元二次不等式的定义。
一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c≥0或ax^2+bx+c≤0的不等式，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次不等式的目标就是找出使不等式成立的x的取值范围。
三、解一元二次不等式的基本思路解一元二次不等式的基本思路是将不等式化简为标准二次形式，并根据其对称轴的性质来确定不等式的解集。
具体步骤如下：1. 将一元二次不等式化简为标准二次形式，即将不等式左边的式子整理成(ax+b)^2的形式。
2. 根据二次曲线的对称性，确定二次曲线的对称轴为x=-b/2a，并以此为分界点判断不等式的解集。
3. 根据二次曲线的开口方向，确定不等式的解集是大于等于零还是小于等于零。
四、解一元二次不等式的具体方法下面我们通过几个例题来具体讲解解一元二次不等式的方法。
例题1：解不等式x^2-6x+8≥0。
解法：首先将不等式化简为标准二次形式，即(x-2)(x-4)≥0。
然后我们画出二次曲线y=(x-2)(x-4)，发现该二次曲线在x=2和x=4处与x轴相交。
由于二次曲线开口向上，根据对称轴x=3的位置，我们可以得出不等式的解集为x≤2或x≥4。
例题2：解不等式2x^2-5x+2>0。
解法：将不等式化简为标准二次形式，即(2x-1)(x-2)>0。
然后我们画出二次曲线y=(2x-1)(x-2)，发现该二次曲线在x=1/2和x=2处与x轴相交。
由于二次曲线开口向上，根据对称轴x=5/4的位置，我们可以得出不等式的解集为1/2<x<2。
解一元二次方程及不等式的解法
适用能因式分解的方程解一元二次方程 解法一元二次方程：因式分解法；公式法1、因式分解法移项：使方程右边为0因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组 由A?B=0，则A=0或B=0，解两个一元一次方程2、公式法将方程化为一般式写出a 、b 、c求出ac b 42-，若＜0，则无实数解若＞0，则代入公式求解解下列方程：1、)4(5)4(2+=+x x2、x x 4)1(2=+3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x5、（x+5）2=166、2（2x －1）－x （1－2x ）=07、x 2=648、5x 2-52=09、8（3-x ）2–72=0 10、3x(x+2)=5(x+2)11、（1－3y ）2+2（3y －1）=012、x 2+2x+3=013、x 2+6x －5=014、x 2－4x+3=015、x 2－2x －1=016、2x 2+3x+1=017、3x 2+2x －1=018、5x 2－3x+2=019、7x 2－4x －3=020、-x 2-x+12=021、x 2－6x+9=022、22(32)(23)x x -=-23、x 2-2x-4=024、x 2-3=4x25、3x 2＋8x －3＝026、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋1427、(x+1)(x+8)=-1228、2(x －3)2＝x 2－929、－3x 2＋22x －24＝030、（2x-1）2+3（2x-1）+2=031、2x 2－9x ＋8＝032、3（x-5）2=x(5-x)33、(x ＋2)2＝8x 34、(x －2)2＝(2x ＋3)235、2720x x +=36、24410t t -+=37、()()24330x x x -+-=38、2631350x x -+=39、()2231210x --=40、2223650x x -+=41、()()2116x x ---=42、()()323212x x -+=44、22510x x +-=45、46、21302x x ++=、 二．利用因式分解法解下列方程(x －2)2＝(2x-3)2042=-x x 3(1)33x x x +=+x 2-23x+3=0()()0165852=+---x x 三．利用开平方法解下列方程51)12(212=-y 4（x-3）2=2524)23(2=+x四． 利用配方法解下列方程7x=4x 2+201072=+-x x五． 利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝02x （x －3）=x －3．3x2+5(2x+1)=0 六． 选用适当的方法解下列方程(x ＋1)2－3(x ＋1)＋2＝022(21)9(3)x x +=-2230x x --= 2)2)(113(=--x x x （x ＋1）－5x ＝0.3x (x －3)＝2(x －1)(x ＋1).一元二次不等式及其解法知识点一：一元二次不等式的定义(标准式)任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或. 知识点二：一般的一元二次不等式的解法一元二次不等式或的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集.设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：二次函数（）的图象039922=--x x有两相异实根有两相等实根无实根知识点三：解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程，计算判别式：①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时，求根；③时，方程无解（3）根据不等式，写出解集.规律方法指导1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数例1．解下列一元二次不等式（1）；（2）；（3）（1）解:因为所以方程的两个实数根为：，函数的简图为：因而不等式的解集是.（1）练习:解下列不等式（2） ； ；02732<+-x x ；0262≤+--x x ；01442<++x x ；0532>+-x x062=--x x 01522=--x x ；01662=++x x ；08232≥+--x x ；0542≥+-x x ；31≥-x x ；。
【初中数学】初中数学知识点不等式：一元二次不等式的解法
【初中数学】初中数学知识点??不等式：一元二次不等式的解法解法一当△=b2-4ac≥0时，二次三项式，ax2+bx+c有两个实根，那么ax2+bx+c总可分解为a（x-x1）（x-x2）的形式。
这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。
一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。
举例：试解一元二次不等式2x2-7x+6<0解：利用十字相乘法2x-3x-2得（2x-3）（x-2）<0然后，分两种情况讨论口诀：大于取两边，小于取中间1）2x-3<0，x-2>0得x<1.5且x>2.不成立2）2x-3>0，x-2<0得x>1.5且x<2得最后不等式的解集为：1.5解法二另外，你也可以用配方法解二次不等式。
如上例题：2x2-7x+6=2（x2-3.5x）+6=2（x2-3.5x+3.0625-3.0625）+6=2（x2-3.5x+3.0625）-6.125+6=2（x-1.75）2-0.125<02（x-1.75）2<0.125（x-1.75）2<0.0625两边开平方，得x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25x<2且x>1.5得不等式的解集为1.5解法三一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。
通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题目所需求的“<0”或“>0”而推出答案。
求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。
解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图像法进行解题，使得问题简化。
解法四数轴穿根：用根轴法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，这大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3.2 一元二次不等式解法
二次函数y＝x2－x－6的对应值表与图象如下：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知
当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x2－x＝6＝0；
当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x2－x－6＞0；
当－2＜x＜3时，y＜0，即x2－x－6＜0．
这就是说，如果抛物线y= x2－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么一元二次方程
x2－x－6＝0
的解就是
x1＝－2，x2＝3；
同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式
x2－x－6＞0
的解是
x＜－2，或x＞3；
一元二次不等式
x2－x－6＜0
的解是
－2＜x＜3．
上例表明：由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元
二次不等式的解集．
那么，怎样解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)呢？
我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b2－4ac，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，
相应地，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解．
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图 2.3－2①可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为
x＜x1，或x＞x2；
不等式ax2＋bx＋c＜0的解为
x1＜x＜x2．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c
＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝－
b
2a
，由图 2.3－2②可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为
x≠－
b
2a
；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
（3）如果△＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，由图2.3－2③可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax2＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；
如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，
再利用上面的结论去解不等式．
例3解不等式：
（1）x2＋2x－3≤０；（2）x－x2＋6＜0；
（3）4x2＋4x＋1≥０；（4）x2－6x＋9≤０；
（5）－4＋x－x2＜0．
解：（1）∵Δ＞0，方程x2＋2x－3＝0的解是
x1＝－3，x2＝1．∴不等式的解为
－3≤x≤１．
（2）整理，得
x2－x－6＞0．∵Δ＞0，方程x2－x－6=0的解为
x1＝－2，x2＝3．∴所以，原不等式的解为
x＜－2，或x＜3．
（3）整理，得
(2x＋1)2≥0.
由于上式对任意实数x都成立，
∴原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得
(x－3)2≤0.
由于当x＝3时，(x－3)2＝0成立；而对任意的实数x，(x－3)2＜0都不成立，∴原不等式的解为
x＝3．
（5）整理，得
x2－x＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．。