概率的加法公式

例5.盒内装有各色球12只，其中5红、4黑、 2白、1绿，从中取1球，设事件A为“取出 1只红球”，事件B为“取出1只黑球”， 事件C为“取出1只白球”，事件D为“取 1 1 出1只绿球”.已知P(A)= ，P(B)= , 3 6 5 1 P(C)= ，P(D)= ， 12 12 求：（1）“取出1球为红或黑”的概率； （2）“取出1球为红或黑或白”的概率.
0 P ( A) 1
问题. 抛掷一颗骰子，观察掷出的点数. 设 事件A为“出现奇数点”，B为“出现2 点”. 已知P(A)= 1 ，P(B)= 1 ，求“出现 2 6 奇数点或2点”的概率。 问题中事件C：“出现奇数点或2点” 的概率是事件A：“出现奇数点”的概 率与事件B：“出现2点”的概率之和， 1 1 2 即 P(C)=P(A)+P(B)= 2 6 3
次不够8环的概率是
。
9. 某人在打靶中，连续射击2次，事件
“至少有一次中靶”的互斥事件
是 .
10. 我国西部一个地区的年降水量在下列 区间内的概率如下表所示：
年降水量 /mm 概率 ［100， 150） 0.21 ［150， 200） 0.16 ［200， 250） 0.13 ［250， 300］ 0.12
例4. 某战士射击一次，问： （1）若事件A=“中靶”的概率为0.95，则 A的概率为多少？ （2）若事件B=“中靶环数大于5”的概率为 0.7 ，那么事件C=“中靶环数小于6”的概率 为多少？ （3）在（1）（2)条件下，事件D=“中靶 环数大于0且小于6”的概率是多少？
解：因为A与A互为对立事件，
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
5.抽查10件产品，设事件A：至少有两件
次品，则A的对立事件为（ A. 至多两件次品 B. 至多一件次品 C. 至多两件正品 ）
D. 至少两件正品
6. 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量
小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g的 概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85) (g)范 围内的概率是 （ A.0.62 ） B.0.38
1 3.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是 , 2 1 乙获胜的概率是 ，则甲不胜的概率是 3
（
1 A. 2 1 C. 6
）
5 B. 6 D. 2 3
4. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任 取两个球，那么互斥而不对立的两个事件 是（ ） A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红 球”
对立事件的概率 若事件A的对立事件为A，则
P(A)=1－P(A). 证明：事件A与A是互斥事件，所以 P(A∪A)=P(A)+P(A)，又A∪A=Ω， 而由必然事件得到P(Ω)=1, 故P(A)=1－P(A).
在上面的例题中，若令A=“小明考试及 格”,则A=“小明考试不及格”
如果求小明考试不及格的概率，则由公 式得 P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07. 即小明考试不及格的概率是0.07.
P(A∪B)=P(A)+P(B)。 一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互 斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2) +…+P(An)，即彼此互斥的事件和的概率 等于各个事件概率的和.
在求某些较为复杂事件的概率时，先 将它分解为一些较为简单的、并且概率 已知（或较容易求出）的彼此互斥的事 件，然后利用概率的加法公式求出概率. 因此互斥事件的概率加法公式具有“化 整为零、化难为易”的功效，但需要注 意的是使用该公式时必须检验是否满足 它的前提条件“彼此互斥”.
例3. 在数学考试中，小明的成绩在90分以 上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51, 在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概 率是0.09，计算小明在数学考试中取得80 分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.
解： 分别记小明的成绩在90分以上，在 80~89分，在70~79分，在60~69分为事件B， C，D，E，这四个事件是彼此互斥的. 根据概率的加法公式，小明的考试成 绩在80分以上的概率是 P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. 小明考试及格的概率为 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
例6. 某公务员去开会，他乘火车、轮船、 汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、 0.4， （1）求他乘火车或乘飞机去的概率； （2）求他不乘轮船去的概率； （3）如果他乘某种交通工具去开会的概 率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具 去的？
解：记“他乘火车去”为事件A，，“他 乘轮船去”为事件B，“他乘汽车去”为 事件C，“他乘飞机去”为事件D，这四 个事件不可能同时发生，故它们彼此互 斥， （1）故P(A∪C)=0.4； （2）设他不乘轮船去的概率为P，则 P=1－P(B)=0.8； （3）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有 可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽 车或乘飞机去。
则年降水量在[200，300]（mm）范围内
的概率是______________.
11.某射手在一次射击中射中10环、9环、8 环、7环、7环以下的概率分别为0.24、 0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一 次射击中： （1）射中10环或9环的概率， （2）至少射中7环的概率； （3）射中环数不足8环的概率.
（1）P(A)=1－P(A)=0.05；
（2）事件B与事件C也是互为对立事件， 所以P(C)=1－P(B)=0.3； （3）事件D的概率应等于中靶环数小于6 的概率减去未中靶的概率，即 P(D)=P(C)－P(A)=0.3－0.05=0.25
变式.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、 7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28、计算 这个射手在一次射击中： （1）射中10环或7环的概率， （2）不够7环的概率；
知识回顾
1、事件 试验的结果称为事件。 分类：
①不可能事件 ②必然事件 ③随机事件
2、基本事件 试验中不能再分的最简单的随机事 件(结果)。 3、基本事件空间
4、概率
m 件A发生的频率 n ，当n很大时，总在某
一般地，在n次重复进行的试验中，事wenku.baidu.com
个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅 度越来越小，这时就把这个常数叫做事件 A的概率，记为P(A).
两个事件的关系

互斥事件

对立事件
（B）
一、互斥事件、事件的并、对立事件 1．互斥事件：不可能同时发生的两个事 件叫做互斥事件（或称为互不相容事件）; 2．事件的并：由事件A和B至少有一个发 生（即A发生，或B发生，或A、B都发生） 所构成的事件C，称为事件A与B的并（或 和）。记作C=A∪B（或C=A+B）。 事件A∪B是由事件A或B所包含的基本 事件所组成的集合。
二、互斥事件的概率加法公式
假定事件A与B互斥，则
P(A∪B)=P(A)+P(B)。
证明：假定A、B为互斥事件，在n次试验 中，事件A出现的频数为n1，事件B出现的 频数为n2，则事件A∪B出现的频数正好是 n1+n2，所以事件A∪B的频率为 n1 n2 n1 n2 n n n
如果用μn(A)表示在n次试验中事件A出现 的频率，则有μn(A∪B)=μn(A)+μn(B). 由概率的统计定义可知，
解：（1）“取出红球或黑球”的概率为
3 P(A∪B)=P(A)+P(B)= ； 4
（2）“取出红或黑或白球”的概率为
11 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= 。 12
又（2）A∪B∪C的对立事件为D，
11 所以P(A∪B∪C)=1－P(D)= 即为所求. 12
变式.盒内装有各色球12只，其中5红、4黑、2 白、1绿，从中取1球，求： （1）“取出1球为红或黑”的概率； （2）“取出1球为红或黑或白”的概率.
例2.判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是 否为对立事件，并说明理由。 从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从 1~10各4张）中，任取1张： （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”； 解：是互斥事件，不是对立事件； （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； 是对立事件，也是互斥事件； （3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数 大 于 9”。 不是互斥事件，当然不可能是对立事件；
3．对立事件：不能同时发生且必有一个 发生的两个事件叫做互为对立事件。 事件A的对立事件记作. 所以对立事件一定是互斥事件，而互 斥事件不一定是对立事件。
例1.判断下列各对事件是否是互斥事件， 并说明理由。 某小组有3名男生和2名女生，从中任选 2名同学去参加演讲比赛，其中 （1）恰有1名男生和恰有2名男生； 是互斥事件 不是 （2）至少有1名男生和至少有1名女生； 不是 （3）至少有1名男生和全是男生； （4）至少有1名男生和全是女生。 是互斥事件
C.0.02
D.0.68
7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙
两级均属次品，若生产中出现乙级品的概 率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成 品抽查一件抽得正品的概率为（ A.0.09 B.0.98 ）
C.0.97
D.0.96
8.某射手射击一次击中10环、9环、8环的
概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一
练习题：
1．每道选择题有4个选择项，其中只有1 个选择项是正确的。某次考试共有12道选 择题，某人说：“每题选择正确的概率是 1/4，我每题都选择第一个选择项，则一 定有3题选择结果正确”这句话（ ） （A）正确 （B）错误 （C）不一定 （D）无法解释
2．从1，2，…，9中任取两数，其中：① 恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有 一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个 奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数 和至少有一个偶数。在上述事件中，是对 立事件的是（ ） （A）① （B）②④ （C）③ （D）①③