特征值与特征向量计算第六章演示文稿

01
1
1
1 274
95
-184
2 44.43277 14.84322 -29.64262
3 44.92333 14.97623 -29.95048
4 44.99572 14.99865 -29.99722
5 44.99959 14.99988 -29.99974
6 44.99953 14.99983 -29.99968
由上可见经过7次迭代, m7的值已稳定到小数后5位， 故所求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作：
1 4.9 49 ,x 1 9 (1 ,0 5 .3, 3 0 .6 36 )T 67
注：1、归一化例题6-2
2、幂法的加速：原点平移法； Aitken加速法；Rayleigh商加速法
（1）原点平移法
最简单的加速办法是以 B A qI 来代替矩阵 A 进
Hale Waihona Puke Baidu
行迭代, 此时适当选取平移量 q 可使过程得以加速。
易知 B 的特征值为 i q,i 1, ,n ， B 的特征向量与矩阵 A 相 同 。 为 了 加 速 求 得 1 ， 应 使 1 q 模 最 大 ， 且
为说明上述算法的正确性，我们证明下述定理
定理二：在定理一的条件下,规范化向量序列{uk}收敛于 矩阵A按模最大的特征值1对应的特征向量,而向量序列 {Vk}的绝对值最大的分量mk收敛于1,即
lk im uk
1 max(1)
lk im mk 1
证: V 1A0 uA0,V u 1m V 1V a 1)x m (A a A 0V 0 x )V(
111 222 nnn
V 2 A 1 A 2 V V 0 1 1 2 1 2 2 2 2 n 2 n n
…………..
V k A k 1 A k V 0 1 1 k 1 2 k 2 2 n k n n
n
1 k[ 1 1
7 44.99953 14.99983 -29.99968
uk
1
1
1
1
0.34672
-0.67153
1
0.33413
-0.66727
1
0.33337
-0.66670
1
0.33334
-0.66667
1
0.33333
-0.66667
1
0.33333
-0.66667
1
0.33333
-0.66667
m 24.4 42,3 m 3 747 .9 42,3 m 4 343 .9 49572 m 54.9 49,9 m 65 49 .9 49,9 m 7 543 .9 49953
有
lim (Vk ) j k (Vk1) j
1
其中表示向量的第j个分量.
P129：定理6-2；归一化幂 法是定理6-3。
证明： 仅就为实数的情况来证明.假定
V 0 1 1 22 nn (1 0 )
于是,由矩阵特征值定义知 i ii ,得
V 1 A 0 1 A V 1 2 A 2 n A n
目前，求矩阵特征值问题实际采用的是迭代法和变换法。 这里将介绍通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭代法---幂法，而后再介绍一些反幂法的内容。
一、幂法 定理：设矩阵A的特征值为
12 n
并设A有完全的特征向量系 1,2, ,n (它们线性无关)，
则对任意一个非零向量V0Rn 所构造的向量序列 Vk AVk1
特征值与特征向量 计算第六章演示文
稿
矩阵特征值 与特征向量的计算主要内容
一、幂法 二、反幂法 三、幂法、反幂法小结 四、QR算法 五、Jacobi方法
问题的提出： 工程技术的许多实际问题，例如振动问题，稳定问题的
求解，有时会归结成求矩阵的特征值λ和对应的特征向量χ。 学过线性代数后，我们已知求矩阵A的特征值λ和特征向量χ 的解法，即先求出A的特征多项式：
a11 a12 a1n
fxdeAtI
a21
a22
a2n
an1
an2 ann
令ｆ﹙ｘ﹚﹦0。 通过求解上述高次多项式方程，所得根λ即为矩阵A
的特征值，然后求解方程组﹙Ａ﹣λＩ﹚Ｘ﹦0，就可得 出特征值λ对应的特征向量X。
但众所周知，高次多项式求根是相当困难的，而且重根 的计算精度较低。同时，矩阵A求特征多项式系数的过程对舍 入误差十分敏感，这对最后计算结果影响很大。因此，从数 值计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。
i( i )k
i 2
1
i]
同理可得：
n
V [ k 1
k 1
1
1
1
i( ) i k 1 i]
i 2
1
假定
(1)j 0 ,因为
i 1
1(i 2,3,,n)
,故得
n
lim (Vk)j k (Vk1)j
1( 1)j [
1lk i m
i2 n
1( 1)j [
i( i)k i]j
1
max[11
n
i
i2
(i 1
)i
]
max[11
n
i
i2
(1i )k1i
]
lim mk 1
k
例：用幂法求矩阵
133 6 135
A
44
5
46
88 6 90
按模最大特征值1和对应的特征向量x1
解: 取初始向量V0= u0=(1,1,1)T ，计算出Vk,uk和mk,迭代
7次的结果列于下表
k
Vk
1
i( ) i k1 i]j
1
i2
1
从上述证明过程可得出计算矩阵A的按模最大特征值的方
法,具体步骤如下：
(1)任取一非零向量V0Rn,一般可取V0=(1,1,.…,1)T
(2)计算Vk=AVk-1 (3)当k足够大时,即可得到：1
(Vk ) j (Vk 1 ) j
若按上述计算过程，有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时）{Vk}中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计 算机就可能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢）， 因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量 Vk进行“规范化”,即取Vk中绝对值最大的一个分量记作 mk =max(Vk )，用mk遍除的所有向量Vk ，得到规范化向 量。
Vk
Aku1
AkV0
maA xk (1V0)
uk
Vk mk
AkV0
max Ak (V0)
1k[11
n
i
i2
(i 1
)i
]
max{1k[11
n
i
i2
(i 1
)k
i
]}
n
1 1
i ( i )k
i
i2
1
n
max[ 1 1 i ( i )k i ]
i2
1
m k m lk im uakV kx)m(m a1x1)(am x{ a 1 k[1 kx [1{ 111 i n i2 n 2i(i( 1 i1 )i )ki]1i]} }