高考理科数学专题复习题型选填题的解法研究

题型1选填题练熟练稳少丢分

第1讲选填题的解法研究

一选择题、填空题在高考中的地位

选择题、填空题在当今数学高考(全国卷)中，题目数量多且占分比例高(选择12题，填空4题，共16题，共计80分，其中选择题60分，填空题20分，占全卷总分的53.3%)．

二选择题、填空题难度及排序规律

就一套试卷而言，选择题1～10题相对较简单，考查知识点明显，学生比较容易入手，11,12题对思维要求较高，重视对数学素养的考查，学生需要综合运用多种数学思想方法才能解决．填空题13～15题难度比较低，很常规，主要考查基础知识，解题思路清晰，16题难度相对较大，同样重视对数学素养的考查．今年的高考题设置了组合型选择题．为实现设置多选题过渡，填空题出现了一题双空，难度增加，思维量加大．

三选择题、填空题特点及考查功能

从解答形式上看，选择题、填空题都不要过程，形式灵活，选择题还有选项可以提供额外的信息；从考查知识点上看，选择题、填空题都能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查；从运算因素上看，选择题、填空题都对运算要求较低，呈现多想少算的特点．

四选择题、填空题解答策略

选择题、填空题的结构特点决定了解答选择题、填空题的方法，除常规方法外，还有一些特殊的方法．解答选择题、填空题的基本原则是：“小题不大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．

数学选择题的求解，一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选项联合考虑，或从选项出发探求是否满足题干条件，由此得到做选择题的几种常用方法：直接法、排除法、构造法、特例法、代入验证法、数形结合法等．填空题虽然没有选项提供参考，但依然可以根据其特点，考虑直接法、构造法、特例法等．

五选择题、填空题答题禁忌

选择题、填空题答题时，一定要注意认真审题，理解清楚题意后再作答．选择题确定选项后，其余选项也应该看一看，弄清楚它们错在哪里．不要一味图快，还是要以保证正确率为主．

如果某题不太好解答，应及时调整策略，去解答下一题．切忌在某一道题上

花费过多时间．这样很容易影响答题的心理状态，产生紧张、焦虑等负面情绪．另外涂答题卡时，要注意题号排列规律，不要出现答串行等低级失误．选择题要修改的话，一定要先把原有选项擦除干净，再用2B铅笔涂黑新选项．

方法汇总选填通用方法一直接法

直接法是指直接从题目条件出发，利用已知的条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨的推理、准确的运算、合理的验证，从而直接得出正确结论的解题方法．解答选择题、填空题时，此方法一般都会是考生最先考虑的方法，也是解题最常用的方法之一．但是此种方法并没有充分利用选择题、填空题的题型特点，因此多用于解答一些比较容易的选、填题．

题型一(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()

A．33

4B．

23

3C．

32

4D．

3

2

思维启迪首先利用正方体的棱是3组且每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成的角相等，只需与从同一个顶点出发的3条棱所成的角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.

解析根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD －A1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，同理，平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的，且过棱的中点的正六边形，边长为

22，所以其面积为S ＝6×12×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝334，故选A ．

答案 A

特教评析

该题考查的是有关正方体被平面所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.

题型二 设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.

思维启迪 本题以数列为背景，综合考查等比数列的通项公式，幂的运算性质，等比数列求和公式等多个知识点．数列是高中数学的一个重要模块，对数列的考查，在历年全国卷中都能见到．此类问题，多直接利用题目条件，结合数列的相关公式计算解决.

本题中首先根据题目的两个条件，结合等比数列的通项公式，可以列出方程，解出首项及公比，进而可以将a 1a 2…a n 表示为关于n 的函数，利用函数的相关知识求解其最大值.

解析 解法一：由题可得⎩⎨⎧ a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，

两式相除，解得q ＝12，a 1＝8，则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4，所以a 1a 2…a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12(n －7)n 2. 由于指数函数y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x 单调递减，因此当n (n －7)2最小时，a 1a 2…a n 最大，即n ＝3或n ＝4时，a 1a 2…a n 有最大值26＝64.

解法二：同解法一，解得a n ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －4.设b n ＝a 1a 2…a n ， 由⎩⎨⎧ b n ≥b n ＋1，b n ≥b n －1，得⎩⎨⎧

a n ＋1≤1，a n ≥1，

解得3≤n ≤4. 所以当n ＝3或4时，b n 有最大值b 3＝b 4＝64.

答案 64

特教评析

本题是根据题目条件，利用数列的相关公式，直接解决数列的最值问题．解法一是从数列是特殊函数这个角度予以求解的，解法二是利用数列本身的一些特性予以求解．这两种都是直接解决数列最值问题的常用方法.