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依托法向量求空间角和距离
广东碧桂园学校高中部
根据向量内积的定义，不难得出下列结论：
（ⅰ）如图1，若平面α的法向量为n
，则直线AB 与α所成角的
大小为：arccos 2AB n AB n
π- ；
（ⅱ）如图2，若平面α、β的法向量分别为12n n
、，则二面角 α—a —β的大小为：
12
12
arccos n n n n π- 或12
12
arccos
n n n n ； （ⅲ）如图3，点A 到平面α的距离等于α的斜线段AB 在α的
法向量n
上的正射影长，即：d ＝A 1B 1＝AB n n
；
（ⅳ）a 、b 为异面直线，如图4，若b ⊂α，a ∥α，n
为α的
法向量，A 1、B 1分别为a 、b 上两点在n
上的正射影，则a 、b 的
距离d ＝A 1B 1＝AB n
n
.
例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点，求：
（Ⅰ）D 1E 与平面BC 1D 所成角的大小；
（Ⅱ）二面角D －BC 1－C 的大小；
（Ⅲ）异面直线B 1D 1与BC 1之间的距离.
【解】建立坐标系如图，则()2,0,0A 、()2,2,0B ，()0,2,0C ，
()12,0,2A ，()12,2,2B ，()10,0,2D ，()2,1,0E ，()12,2,2AC =--
， ()12,1,2D E =- ，()0,2,0AB = ，()10,0,2BB =
.
（Ⅰ）不难证明1AC
为平面BC 1D 的法向量， ∵ 111111cos ,A C D E A C D E A C D E
==
∴ D 1E 与平面BC 1D 所成的角的大小为 a r c c 2
π-（即. （Ⅱ）1
AC 、AB
分别为平面BC 1D 、BC 1C 的法向量， ∵ 111cos ,A C AB A C AB A C AB
==
，∴ 二面角D －BC 1－C 的大小为. （Ⅲ）∵ B 1D 1∥平面BC 1D ，∴ B 1D 1与BC 1之间的距离为111A C BB d A C
=
. 例2（03年高考试题）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB
＝90︒，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G . （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.
【解】（Ⅰ）如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设CA ＝2a ，则A (2a ，0，0)，B (0，2a ，0)，D (0，0，1)，A 1(2a ，0，2)，E (a ，a ，1)， G (
221,,333
a a ) ，
2
∵ ()
2,,a a GE =--- ，()0,2,1BD a =- ，222033GE BD a =-= ，
∴ a ＝1，()
112,,333
GE =--- ，()12,2,2A B =--
∵ GE 为平面ABD 的法向量，且
1cos ,A B GE = ∴ A 1B 与平面ABD 所成角是2π-（Ⅱ）由（Ⅰ）有A (2，0，0)，A 1(2，0，2)，E D (0，0，1)，设A 1在平面AED 上的射影为K (m ，n ，()()1,1,1,1,1,0AE DE =-= ，(12,,A K m n p =--
∵ A 1K ⊥DE ，A 1K ⊥AE ， ∴ 110,0A K AE A K DE ==
，即
{
222m n p n
=-=- ∵ A 1K 为平面AED 的法向量，且()1,,2A K n n n =-- ，()11,1,1A E =--
∴ 点A 1到平面AED 的距离111A E A K d A K ==
. 以上依托于平面的法向量给出的解法十分简捷，解题的关键是先确定与问题相关的平面及其法向量.如果图中的法向量没
有直接给出，那么必须先创设法向量.请用上面的方法解答2001年高考试题：
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90︒， SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝
12
．
（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积；
（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．
A
B
C
D
S。