(整理)15对坐标的曲面积分.
《对坐标的曲面积分》知识要点与基本计算思路与步骤
《对坐标的曲面积分》知识要点与基本计算思路与步骤一、曲面积分物理意义之流量的计算当流速场为A=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))时，则穿过指定方向了的曲面∑的流量可以表示为其中n o曲面上的单位法向量，dS=(dydz,dzdx,dxdy)，如果记单位法向量为n o=(cosα,cosβ,cosγ)，则有【注】其中dydz，dzdx，dxdy分别为dS在三个坐标面上的投影，因此它们是可正可负的，正负号由相应的方向余弦符号确定！二、对坐标的曲面积分的直接计算方法步骤直接对坐标的曲面积分进行计算，必须分成三个曲面积分进行计算，即对每个曲面积分直接进行计算，必须要求积分曲面为简单的YZ-型，简单的ZX-型和简单的XY-型分别计算。
在积分曲面为简单类型的情况下，则只要直接将积分曲面的二元函数表达式，即z=z(x,y),y=y(z,x),x=x(y,z)直接代入被积函数，就可以得到积分曲面分别在yOz面上的投影区域D yz，zOx面上的投影区域D zx和xOy面上的投影区域D xy上的二重积分，即有其中正负号的确定由曲面的法向量的方向来确定。
对于第一个积分，当曲面的法向量取为向前的时候，即cosα>0的时候，取正，否则向后为负；类似另外两个的正负号确定分别为右正左负，上正下负。
所以具体步骤可以概括为：第一步：被积函数定义在积分曲面上。
考虑将描述积分曲面的变量关系式（方程）代入被积函数变换，化简被积函数。
第二步：在直角坐标系中绘制积分曲面图形，或者直接借助描述积分曲面的方程，讨论积分区域图形的对称性和被积函数的奇偶性，包括图形的“轮换对称性”；从而在满足对称性、奇偶性和轮换对称性的条件下，借助“偶零奇倍”和轮换被积表达式变量转换、化简积分。
【注】对称性注意方向也要对称，即折叠曲面除了图形要重合，方向也要重合！第三步：将积分转换为简单积分曲面上的积分；然后利用上面给出的直接计算公式将简单曲面上对坐标的曲面积分转换为二重积分。
对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分曲面的侧•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)其方向用法向量指向方向余弦cos αcos βcos γ> 0 为前侧< 0 为后侧封闭曲面> 0 为右侧< 0 为左侧> 0 为上侧< 0 为下侧外侧内侧侧的规定•指定了侧的曲面叫有向曲面表示:Oxyz(),,1x y n z z =--(),z z x y =(),,1x y n z z =-Oxyz(),z z x y =上侧曲面下侧曲面若曲面为则曲面定向可取上侧或下侧,():,,z z x y ∑=当此曲面取上侧时, 法向量为(),,1;x y n z z =--当此曲面取下侧时, 法向量为(),,1;xyn z z =-右侧曲面左侧曲面若曲面为则曲面定向可取右侧或左侧,():,,y y x z ∑=当此曲面取右侧时, 法向量为当此曲面取左侧时, 法向量为(),1,;x z n y y =--(),1,;x z n y y =-Oxyz(),1,x z n y y =--(),y y x z =Oxyz(),1,x z n y y =-(),y y x z =前侧曲面后侧曲面若曲面为则曲面定向可取前侧或后侧,():,,x z y z ∑=当此曲面取前侧时, 法向量为当此曲面取后侧时, 法向量为()1,,;y z n x x =--()1,,;yzn x x =-Oxyz()1,,y z n x x =--(),x x y z =Oxyz()1,,y z n x x =-(),x x y z =设∑是有向曲面. 在∑上取一小块曲面S ∆,把S ∆投影到xOy 面上得一投影区域, 面积记为()xy σ∆S ∆在xOy 面上的投影()xy S ∆为⎪⎩⎪⎨⎧≡<∆->∆=∆0cos 00cos )(0cos )()(γγσγσxy xy xy S流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v x y z P x y z Q x y z R x y z=给出, (,,)((,,),(,,),(,,))∑是速度场中的一片有向曲面,函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z都在∑上连续,求在单位时间内流向∑指定侧流体的质量,即流量Φ.当()π,2v n θ=<时,||cos A v Av n θ⇒Φ=⋅v n hθ当()π,2v n θ==时, 0Av n Φ=⋅=当()π,2v n θ=>时, 0Av n Φ=⋅<(,,)i i i i S ξηζ∀∈∆nviS ∆∑(,,)(,,)(,,)(,,)i i i i i i i i i i i i i v v P i Q j R kξηζξηζξηζξηζ==++(,,)cos cos cos i i i i i i i n i j k ξηζαβγ=++ 1ni i i i v n S =Φ≈⋅∆∑i i i ni S ∆⋅≈=∑n v 1Φii i i i i i i i i i i i ni S R Q P ∆++==∑]cos ),,(cos ),,(cos ),,([1γζηξβζηξαζηξ()()()cos ,cos ,cos i i i i i i i i i yz xz xyS S S S S S αβγ⋅∆≈∆⋅∆≈∆⋅∆≈∆]))(,,())(,,())(,,([1xy i i i i zx i i i i yz i i i i ni S R S Q S P ∆+∆+∆≈Φ=∑ζηξζηξζηξ对坐标的曲面积分的概念和性质设∑为光滑的有向曲面, 函数(,,)R x y z 在∑上有界.把∑任意分成n 块小曲面i S ∆(i S ∆也代表第i 小块曲面面积).在xOy 面上的投影为()i xy S ∆， (,,)i i i ξηζ是i S ∆上任意一点. 定义 如果当各小块曲面的直径的最大值0λ→时,xy i i i i ni S R ))(,,(lim 10∆=→∑ζηξλ 总存在,定义 称此极限为函数(,,)R x y z 在有向曲面∑上对坐标,x y 的曲面积分: 记作 (,,)d d R x y z x y ∑⎰⎰01(,,)d d lim (,,)()niiii xyi R x y z x y R S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰其中(,,)R x y z 叫做被积函数,∑叫做积分曲面.定义 类似的有01(,,)d d lim (,,)()ni i i i yzi P x y z y z P S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰01(,,)d d lim (,,)()ni i i i zx i Q x y z z x Q S λξηζ→=∑=∆∑⎰⎰以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分.为P 在曲面∑上对坐标,y z 的曲面积分为Q 在曲面∑上对坐标,z x 的曲面积分对坐标的曲面积分的简记形式(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑∑∑++⎰⎰⎰⎰⎰⎰(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑=++⎰⎰对坐标的曲面积分的物理意义(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑Φ=++⎰⎰对坐标的曲面积分的侧的性质设∑是有向曲面, -∑表示与∑取相反侧的曲面, 则d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y -∑∑++=-++⎰⎰⎰⎰对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面∑由方程(,)z z x y =给出的, ∑在xOy 面上的投影区域为xy D , 函数(,)z z x y =在xy D 上具有一阶连续偏导数, 被积函数(,,)R x y z 在∑上连续,(,,)d d [,,(,)]d d xyD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰当∑取上侧时, 积分前取“+”; 当∑取下侧时, 积分前取“-”类似地, 如果∑由(,)x x y z =给出, 则有(,,)d d [(,),,]d d yzD P x y z y z P x y z y z y z ∑=±⎰⎰⎰⎰如果∑由(,)y y x z =给出, 则有(,,)d d [,(,),]d d zxD Q x y z z x Q x y z x z z x ∑=±⎰⎰⎰⎰前正后负 右正左负例 计算曲面积分222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ , 其中∑是长方体Ω的整个表面的外侧,解 把Ω的上下面分别记为1∑和2∑;{(,,)|0,0,0}x y z x a y b z c Ω=≤≤≤≤≤≤前后面分别记为3∑和4∑; 左右面分别记为5∑和6∑.xzyO1∑2∑3∑4∑5∑6∑xzyO1∑2∑3∑4∑5∑6∑解 1:(0,0)z c x a y b ∑=≤≤≤≤的上侧;2:0(0,0)z x a y b ∑=≤≤≤≤的下侧;3:(0,0)x a y b z c ∑=≤≤≤≤的前侧;4:0(0,0)x y b z c ∑=≤≤≤≤的后侧;5:0(0,0)y x a z c ∑=≤≤≤≤的左侧. 6:(0,0)y b x a z c ∑=≤≤≤≤的右侧.xzyO1∑2∑3∑4∑5∑6∑解 除3∑、4∑外, 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零,34222d d d d d d x y z x y z x y z ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2d d 0d d yzyzD D a y z y z =-⎰⎰⎰⎰2a bc =3:∑=x a 4:0∑=x解 xzyO1∑2∑3∑4∑5∑6∑类似地可得22d d y z x b ac ∑=⎰⎰,22d d z x y c ab ∑=⎰⎰,于是所求曲面积分为()a b c abc ++.例 计算曲面积分d d xyz x y ∑⎰⎰, 其中∑是球面2221x y z ++=外侧在0,0x y ≥≥的部分.解 1∑: 221y x z --=(0,0)x y ≥≥的上侧,Oyxz1∑2∑xyD 2∑: 221y x z ---=(0,0)x y ≥≥的下侧.Oyxz1∑2∑xyD 例 计算曲面积分d d xyz x y ∑⎰⎰, 其中∑是球面2221x y z ++=外侧在0,0x y ≥≥的部分.解 1∑和2∑在xOy 面上的投影区域都是22:1(0,0)xy D x y x y +≤≥≥解12d d d d d d xyz x y xyz x y xyz x y ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221d d (1)d d xyxyD D xy x y x y xy x y x y=------⎰⎰⎰⎰ 2221d d xyD xy x y x y =--⎰⎰π122202d sin cos 1d θθθ=-⎰⎰r r r r 152=两类曲面积分之间的联系设积分曲面∑由方程(,)=给出,z z x yD,∑在xOy面上的投影区域为xyD上具有一阶连续偏导数,函数(,)=在z z x yxy被积函数(,,)R x y z在∑上连续.如果∑取上侧, 则有(,,)d d [,,(,)]d d xy D R x y z x y R x y z x y x y ∑=⎰⎰⎰⎰因上述有向曲面∑的法向量的方向余弦为221cos y x x z z z ++-=α, 221cos y x yz z z ++-=β, 2211cos y x z z ++=γ,(,,)cos d [,,(,)]d d xy D R x y z S R x y z x y x y γ∑=⎰⎰⎰⎰(,,)d d (,,)cos d R x y z x y R x y z S γ∑∑=⎰⎰⎰⎰如果∑取下侧, 则有(,,)d d [,,(,)]d d xyD R x y z x y R x y z x y x y ∑=-⎰⎰⎰⎰ 但这时2211cos yx z z ++-=γ, 因此仍有 (,,)d d (,,)cos d R x y z x y R x y z S γ∑∑=⎰⎰⎰⎰(,,)d d (,,)cos d R x y z x y R x y z S γ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (,,)d d (,,)cos d P x y z y z P x y z S α∑∑=⎰⎰⎰⎰ (,,)d d (,,)cos d Q x y z z x Q x y z S β∑∑=⎰⎰⎰⎰d d d d d d (cos cos cos )d P y z Q z x R x y P Q R S αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰向量形式d d A S A n S ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰，d d n A S A S ∑∑⋅=⎰⎰⎰⎰, (,,)A P Q R =, (cos ,cos ,cos )n αβγ=,d d (d d ,d d ,d d )S n S y z z x x y ==n A 为向量A 在向量n 上的投影.例 计算曲面积分2()d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰, 其中∑是曲面)(2122y x z +=介于平面0z =及2z =之间部分的下侧. 解 曲面上向下的法向量为(,,1)x y - 221cos y x x ++=α, 2211cos y x ++-=γ, O yx z222d 1d d S x y x y =++解 d d =cos d ,d d cos d y z S x y S αγ= d d d d =cos ()d d ,cos x y y z x x y αγ=- 22()d d d d [()()]d d z x y z z x y z x x z x y ∑∑+-=+--⎰⎰⎰⎰2[()()]d d ∑+--⎰⎰z x x z x y 2222211()()()d d 42⎧⎫⎡⎤=-++⋅--+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎰⎰xy D x y x x x y x y 22222211()()d d 42⎧⎫=+-+⎨⎬⎩⎭+⎰⎰xyD x x y x y y x x2221()d d 20⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦⎰⎰xy D x x y x y 2222241[()]d d 2x y x x y x y +≤=++⎰⎰ 2π2222001d (cos )d 2θθ=+⎰⎰r r r r 8π=对坐标的曲面积分1. 理解曲面的侧，对坐标的曲面积分的概念.2. 掌握对坐标（第二类）的曲面积分的计算方法.3. 理解两类曲面积分的联系.。
对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念与性质有向曲面: 通常我们遇到的曲面都是双侧的. 例如由方程z =z (x , y ) 表示的曲面分为上侧与下侧. 设n =(cos α, cos β, cos γ)为曲面上的法向量, 在曲面的上侧cos γ>0, 在曲面的下侧cos γ<0. 闭曲面有内侧与外侧之分.类似地, 如果曲面的方程为y =y (z , x ),则曲面分为左侧与右侧, 在曲面的右侧cos β>0, 在曲面的左侧cos β<0. 如果曲面的方程为x =x (y , z ), 则曲面分为前侧与后侧, 在曲面的前侧cos α>0, 在曲面的后侧cos α<0.设∑是有向曲面. 在∑上取一小块曲面∆S , 把∆S 投影到xOy 面上得一投影区域, 这投影区域的面积记为(∆σ)xy .假定∆S 上各点处的法向量与z 轴的夹角γ的余弦cos γ有相同的符号(即cos γ都是正的或都是负的). 我们规定∆S 在xOy 面上的投影(∆S )xy 为,⎪⎩⎪⎨⎧≡<∆->∆=∆0cos 00cos )(0cos )()(γγσγσxy xy xy S 其中cos γ≡0也就是(∆σ)xy =0的情形. 类似地可以定义∆S 在yOz 面及在zOx 面上的投影(∆S )yz 及(∆S )zx .流向曲面一侧的流量: 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v (x , y , z )=(P (x , y , z ) , Q (x , y , z ) , R (x , y , z ))给出, ∑是速度场中的一片有向曲面, 函数P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z )都在∑上连续, 求在单位时间内流向∑指定侧的流体的质量, 即流量Φ.如果流体流过平面上面积为A 的一个闭区域, 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v , 又设n 为该平面的单位法向量, 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A 、斜高为|v |的斜柱体.当(v ,^n )时, 这斜柱体的体积为2πθ<=A |v |cos θ=A v ⋅n . 当(v ,^n )时, 显然流体通过闭区域A 的流向n 所指一侧的流量Φ为零, 而A v ⋅n =0, 2π=故Φ=A v ⋅n ;当(v ,^n )时, A v ⋅n <0, 这时我们仍把A v ⋅n 称为流体通过闭区域A 流向n 所指一侧2π>的流量, 它表示流体通过闭区域A 实际上流向-n 所指一侧, 且流向-n 所指一侧的流量为-A v ⋅n . 因此, 不论(v ,^n )为何值, 流体通过闭区域A 流向n 所指一侧的流量均为A v ⋅n . 把曲面∑分成n 小块: ∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n (∆S i 同时也代表第i 小块曲面的面积). 在∑是光滑的和v 是连续的前提下, 只要∆S i 的直径很小, 我们就可以用∆S i 上任一点(ξi , ηi , ζi )处的流速v i =v (ξi , ηi , ζi )=P (ξi , ηi , ζi )i +Q (ξi , ηi , ζi )j +R (ξi , ηi , ζi )k代替∆S i 上其它各点处的流速, 以该点(ξi , ηi , ζi )处曲面∑的单位法向量n i =cos αi i +cos βi j + cos γi k 代替∆S i 上其它各点处的单位法向量. 从而得到通过∆S i 流向指定侧的流量的近似值为 v i ⋅n i ∆S i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ ,n )于是, 通过∑流向指定侧的流量i i i ni S ∆⋅≈=∑n v 1Φ, i i i i i i i i i i i i i n i S R Q P ∆++==∑]cos ),,(cos ),,(cos ),,([1γζηξβζηξαζηξ但 cos αi ⋅∆S i ≈(∆S i )yz , cos βi ⋅∆S i ≈(∆S i )zx , cos γi ⋅∆S i ≈(∆S i )xy ,因此上式可以写成; ]))(,,())(,,())(,,([1xy i i i i zx i i i i yz i i i i n i S R S Q S P ∆+∆+∆≈Φ=∑ζηξζηξζηξ 令λ→0取上述和的极限, 就得到流量Φ的精确值. 这样的极限还会在其它问题中遇到. 抽去它们的具体意义, 就得出下列对坐标的曲面积分的概念.提示: 把∆S i 看成是一小块平面, 其法线向量为n i , 则通过∆S i 流向指定侧的流量近似地等于一个斜柱体的体积.此斜柱体的斜高为|v i |, 高为|v i |cos(v i ,^n i )=v i ⋅n i , 体积为v i ⋅n i ∆S i .因为 n i =cos αi i +cos βi j + cos γi k ,v i =v (ξi , ηi , ζi )=P (ξi , ηi , ζi )i +Q (ξi , ηi , ζi )j +R (ξi , ηi , ζi )k , v i ⋅n i ∆S i =[P (ξi , ηi , ζi )cos αi +Q (ξi , ηi , ζi )cos βi +R (ξi , ηi , ζi )cos γi ]∆S i ,而 cos αi ⋅∆S i ≈(∆S i )yz , cos βi ⋅∆S i ≈(∆S i )zx , cos γi ⋅∆S i ≈(∆S i )xy ,所以 v i ⋅n i ∆S i ≈P (ξi , ηi , ζi )(∆S i )yz +Q (ξi , ηi , ζi )(∆S i )zx +R (ξi , ηi , ζi )(∆S i )xy .对于∑上的一个小块σ, 显然在∆t 时间内流过σ的是一个弯曲的柱体. 它的体积近似于以σ为底, 而高为(|V |∆t )cos(V ,^n )=V ⋅n ∆t的柱体的体积: V ⋅n ∆t ∆S , 这里n =(cos α, cos β, cos γ)是σ上的单位法向量, ∆S 表示σ的面积. 所以单位时间内流向σ 指定侧的流体的质量近似于V ⋅n ∆S ≈(P (x , y , z )cos α+Q (x , y , z )cos β +R (x , y , z )cos γ )∆S .如果把曲面∑分成n 小块σi (i =1, 2, · · · , n ), 单位时间内流向∑指定侧的流体的质量近似于μ.S z y x R z y x Q z y x P i i i i i i i i i i i i ni ∆++≈=∑}cos ),,(cos ),,(cos ),,({1γβα按对面积的曲面积分的定义,. ⎰⎰⎰⎰∑∑⋅=++=dS dS z y x R z y x Q z y x P n V }cos ),,(cos ),,(cos ),,({γβαμ舍去流体这个具体的物理内容, 我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念. 定义 设∑为光滑的有向曲面, 函数R (x , y , z )在∑上有界. 把∑任意分成n 块小曲面∆S i (∆S i 同时也代表第i 小块曲面的面积). 在xOy 面上的投影为(∆S i )xy , (ξi , ηi , ζi )是∆S i 上任意取定的一点. 如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时,xy i i i i ni S R ))(,,(lim 10∆=→∑ζηξλ总存在, 则称此极限为函数R (x , y , z )在有向曲面∑上对坐标x 、y 的曲面积分:, 记作,⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(即. xy i i i i n i S R dxdy z y x R ))(,,(lim ),,(10∆==→∑∑⎰⎰ζηξλ类似地有. yz i i i i ni S P dydz z y x P ))(,,(lim ),,(10∆==→∑∑⎰⎰ζηξλ . zx i i i i ni S Q dzdx z y x Q ))(,,(lim ),,(10∆==→∑∑⎰⎰ζηξλ其中R (x , y , z )叫做被积函数, ∑叫做积分曲面.定义 设∑是空间内一个光滑的曲面, n =(cos α , cos β , cos γ)是其上的单位法向量, V (x , y , z )=(P (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z ))是确在∑上的向量场. 如果下列各式右端的积分存在, 我们定义, ⎰⎰⎰⎰∑∑=dS z y x P dydz z y x P αcos ),,(),,(, ⎰⎰⎰⎰∑∑=dS z y x Q dzdx z y x Q βcos ),,(),,(. ⎰⎰⎰⎰∑∑=dS z y x R dxdy z y x R γcos ),,(),,(并称为P 在曲面∑上对坐标y 、z 的曲面积分, 为Q 在⎰⎰∑dydz z y x P ),,(⎰⎰∑dzdx z y x Q ),,(曲面∑上对坐标z 、x 的曲面积分, 为R 在曲面∑上对坐标y 、z 的曲面⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(积分. 其中P 、Q 、R 叫做被积函数, ∑叫做积分曲面.以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分.对坐标的曲面积分的存在性:对坐标的曲面积分的简记形式:在应用上出现较多的是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++dxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(. dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(++=⎰⎰∑流向∑指定侧的流量Φ可表示为Φ. dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(++=⎰⎰∑ 一个规定: 如果是分片光滑的有向曲面, 我们规定函数在∑上对坐标的曲面积分∑等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和.对坐标的曲面积分的性质: 对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质. 例如(1)如果把∑分成∑ 1和∑2, 则RdxdyQdzdx Pdydz ++⎰⎰∑.Rdxdy Qdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz +++++=⎰⎰⎰⎰∑∑21(2)设∑是有向曲面, -∑表示与∑取相反侧的有向曲面, 则. Rdxdy Qdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz ++-=++⎰⎰⎰⎰∑∑-这是因为如果n =(cos α , cos β , cos γ)是∑的单位法向量, 则-∑上的单位法向量是-n =(- cos α , -cos β , -cos γ).Rdxdy Qdzdx Pdydz ++⎰⎰∑-dS z y x R z y x Q z y x P ⎰⎰∑++-=}cos ),,(cos ),,(cos ),,({γβαRdxdy Qdzdx Pdydz ++-=⎰⎰∑二、对坐标的曲面积分的计算法 将曲面积分化为二重积分: 设积分曲面∑由方程z =z (x , y )给出的, ∑在xOy 面上的投影区域为D xy , 函数z =z (x , y )在D xy 上具有一阶连续偏导数, 被积函数R (x , y , z )在∑上连续, 则有,⎰⎰⎰⎰±=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(其中当∑取上侧时, 积分前取“+”; 当∑取下侧时, 积分前取“-”.这是因为, 按对坐标的曲面积分的定义, 有 =. ⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(∑=→∆ni xy i i i i S R 10))(,,(lim ζηξλ当∑取上侧时, cos γ>0, 所以(∆S i )xy =(∆σi )xy .又因(ξi , ηi , ζi )是∑上的一点, 故ζi =z (ξi , ηi ). 从而有.∑∑==∆=∆ni xy i i i i i n i xy i i i i z R S R 11))](,(,,[))(,,(σηξηξζηξ令λ→0取上式两端的极限, 就得到.⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(同理当∑取下侧时, 有.⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(因为当∑取上侧时, cos γ>0, (∆S i )xy =(∆σi )xy . 当(ξi , ηi , ζi )∈∑时, ζi =z (ξi , ηi ). 从而有 ∑⎰⎰=→∑∆=ni xy i i i i S R dxdy z y x R 10))(,,(lim ),,(ζηξλ . ⎰⎰∑=∆==→xy D ni xy i i i i i dxdy y x z y x R z R )],(,,[))](,(,,[lim 10σηξηξλ同理当∑取下侧时, 有.⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(这是因为n =(cos α, cos β , cos γ), , }1 , ,1122y x y x z z z z --++±=2211cos y x z z ++±=γ, dxdy z z dS y x 221++= .⎰⎰⎰⎰⎰⎰±==∑∑xyD dxdy y x z y x R dS z y x R dxdy z y x R )],(,,[cos ),,(),,(γ类似地, 如果∑由x =x (y , z )给出, 则有 .⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dydz z y z y x P dydz z y x P ],),,([),,(如果∑由y =y (z , x )给出, 则有 .⎰⎰⎰⎰±=∑zxD dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q ]),,(,[),,( 应注意的问题: 应注意符号的确定.例1. 计算曲面积分 , 其中∑是长方体Ω的整个表面的dxdy z dzdx y dydz x 222++⎰⎰∑外侧, Ω=((x , y , z ) |0≤x ≤a , 0≤y ≤b , 0≤z ≤c ).解: 把Ω的上下面分别记为∑1和∑2; 前后面分别记为∑3和∑4; 左右面分别记为∑5和∑6.∑1: z =c (0≤x ≤a , 0≤y ≤b )的上侧;∑2: z =0 (0≤x ≤a , 0≤y ≤b )的下侧;∑3: x =a (0≤y ≤b , 0≤z ≤c )的前侧;∑4: x =0 (0≤y ≤b , 0≤z ≤c )的后侧;∑5: y =0 (0≤x ≤a , 0≤z ≤c )的左侧.∑6: y =b (0≤x ≤a , 0≤z ≤c )的右侧;除∑3、∑4外, 其余四片曲面在yO z 面上的投影为零, 因此 =a 2bc . dydz dydz a dyd x dydz y dydz x yzyz D D 0222243⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=+=∑∑∑类似地可得, . ac b dzdx y 22=⎰⎰∑ab c dxdy z 22=⎰⎰∑于是所求曲面积分为(a +b +c )abc .例2 计算曲面积分, 其中∑是球面x 2+y 2+z 2=1外侧在x ≥0, y ≥0的部分. ⎰⎰∑xyzdxdy解 把有向曲面∑分成以下两部分:: (x ≥0, y ≥0)的上侧, 1∑221y x z --= : (x ≥0, y ≥0)的下侧.2∑221y x z ---=∑1和∑2在xOy 面上的投影区域都是D xy : x 2+y 2≤1(x ≥0, y ≥0).于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21xyzdxdyxyzdxdy xyzdxdy ⎰⎰⎰⎰------=xy xy D D dxdyy x xy dxdy y x xy )1(12222. ⎰⎰--=xy D dxdy y x xy 2212⎰⎰-=2010221cos sin 2πθθθrdr r r d 152=三、两类曲面积分之间的联系 设积分曲面∑由方程z =z (x , y )给出的, ∑在xOy 面上的投影区域为D xy , 函数z =z (x , y )在D xy 上具有一阶连续偏导数, 被积函数R (x , y , z )在∑上连续.如果∑取上侧, 则有.⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(另一方面, 因上述有向曲面∑的法向量的方向余弦为 , , , 221cos y x xz z z ++-=α221cos y x y z z z ++-=β2211cos yx z z ++=γ故由对面积的曲面积分计算公式有.⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dS z y x R )],(,,[cos ),,(γ由此可见, 有. ⎰⎰⎰⎰∑∑=dS z y x R dxdy z y x R γcos ),,(),,( 如果∑取下侧, 则有 .⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(但这时, 因此仍有2211cos yx z z ++-=γ , ⎰⎰⎰⎰∑∑=dS z y x R dxdy z y x R γcos ),,(),,(类似地可推得, ⎰⎰⎰⎰∑∑=dS z y x P dydz z y x P αcos ),,(),,( .⎰⎰⎰⎰∑∑=dS z y x P dzdx z y x Q βcos ),,(),,(综合起来有,⎰⎰⎰⎰∑∑++=++dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz )cos cos cos (γβα其中cos α、cos β、cos γ是有向曲面∑上点(x , y , z )处的法向量的方向余弦. 两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式:, 或,⎰⎰⎰⎰∑∑⋅=⋅dS d n A S A ⎰⎰⎰⎰∑∑=⋅dS A d n S A 其中A =(P , Q , R ), n =(cos α, cos β, cos γ)是有向曲面∑上点(x , y , z )处的单位法向量, d S =n dS =(dydz , dzdx , dxdy ), 称为有向曲面元, A n 为向量A 在向量n 上的投影. 例3 计算曲面积分, 其中∑是zdxdy dydz x z -+⎰⎰∑)(2曲面介于平面z =0及z =2之间的部分的下侧.)(2122y x z +=解 由两类曲面积分之间的关系, 可得 .⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=+=+dxdy x z dS x z dydz x z γααcos cos )(cos )()(222在曲面∑上,提示: 曲面上向下的法向量为(x , y , -1) ), , . 221cos y x x ++=α2211cos y x ++-=γdxdy y x dS 221++=故 ⎰⎰⎰⎰∑∑--+=-+dxdyz x x z zdxdy dydz x z ]))([()(22 ⎰⎰≤++--⋅++=42222222)}(21)(])(41{[y x dxdy y x x x y x=8π. ⎰⎰≤+++=422222)](21[y x dxdy y x x rdr r r d )21cos (2020222⎰⎰+=πθθ解: 由两类曲面积分之间的关系, 可得 dSz x z zdxdy dydz x z ]cos cos )([)(22γα-+=-+⎰⎰⎰⎰∑∑ dxdy y x x x y x y x })1()(21])(41{[42222222⎰⎰≤+-⋅+-⋅++= ⎰⎰⎰⎰≤+≤+++++=422242222222)](21[)(4y x y x dxdy y x x dxdy y x x=8π. rdr r r d )21cos (2020222⎰⎰+=πθθ提示: . ⎰⎰≤+=+4222220)(4y x dxdy y x x。
最新15对坐标的曲面积分汇总
15对坐标的曲面积分§10.5 对坐标的曲面积分一、曲面的侧、曲面在坐标面上的投影区域假定我们所讨论的曲面是光滑的，一般来讲，我们所遇到的曲面都是双侧的，曲面侧可以通过曲面上法向量的指向来定义，这种取定了法向量也就选定了侧的曲面，我们称之为有向曲面。
«Skip Record If...»是有向曲面，在«Skip Record If...»上取一小块曲面«Skip Record If...»，设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的法向量与«Skip Record If...»轴正向的夹角«Skip Record If...»的余弦，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»面投影区域的面积值。
我们规定：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»面上的投影«Skip Record If...»为«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»也就是«Skip Record If...»的情形。
简言之：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»面上的投影«Skip Record If...»，实际就是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»面上的投影区域的面积附以一定的正负号，即：«Skip Record If...»。
对坐标的曲面积分(课堂PPT)
A ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
14
P d y d z Q d zd x R d x d y
第五节
第十一章
对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系
1
对坐标的曲面积分
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
2
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
A
n0
流量
A vcos
Av n0
v
A
8
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
的速度场由
v( x ,
y,z)
P(x,
y, z)i
Q(x,
y,z) j
R(x,
y, z)k
给 出 ,Σ 是 速 度 场 中 的 一 片 有 向 曲 面 ,函 数
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) z
n
lim
0
i
1
P (i, i, i) (S i)yz Q (i,i, i) (S i)zx R (i,i,i) (S i)xy
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积
分, 或第二类曲面积分. 记作
P d ydz Q dzdxR d xdy
对坐标的曲面积分
1.1 曲面的侧
本节中，我们假定所研究曲面皆为双侧曲面，并规定其中一侧为正侧，另一侧为负 侧．我们将选定侧的双侧曲面称为有向曲面，侧的选定与该曲面法向量的指向相关．例 如，对于曲面 z z(x ，y) ，若法向量指向朝上，则正侧为曲面的上侧；若法向量指向朝 下，则正侧为曲面的下侧，其余情况类推．我们规定曲面上侧、前侧、右侧为曲面的正 侧，而曲面下侧、后侧、左侧为负侧．
二类曲面积分），记作
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy ，
即
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy
n
lim
0
{P(i
i 1
，i
， i )(Si ) yz
Q(i
，i
， i )(Si )zx
3
1 y2 dz
1
3
dx
1 x2 dz 2 3 1
1 x2 dx 3 π ．
0
0
0
0
0
2
1.2 对坐标的曲面积分的概念与性质
例 2 计算曲面积分 zdxdy ，其中 为上半球面 x2 y2 z2 R2 的上侧．
解 则有
的方程是 z R2 x2 y2 ， 在 xOy 面上的投影区域为
Dxy {(x ，y) | x2 y2 R2}，
zdxdy R2 x2 y2 dxdy．
Dxy
因为将 Dxy 表示为极坐标形式时有 0 R ， 0 2 ，
故
zdxdy
R2 2 dd 1
2π
d
R
R2 2 d(R2 2 ) 2π R3 ．
Dxy
20
15对坐标的曲面积分
其中COsY 三0也就是（Acr ）xy =0的情形。
§ 10.5 对坐标的曲面积分一、曲面的侧、曲面在坐标面上的投影区域假定我们所讨论的曲面是光滑的，一般来讲，我们所遇到的曲面都是 双侧的， 曲面侧可以通过曲面上法向量的指向来定义，这种取定了法向量也就选定了侧的 曲面，我们称之为有向曲面。
' "丿由方程# ="（礼刃表示的曲面，有上僥 与下侧之分，如舷它的法向量万&^ 向朝上，我们就认为取定曲面的上《。
一张包围某一空间区域的闭曲面.有外侧与 內侧之分，如惑它的法向量的指向朝外， 茨们就认为取定曲面的外侧邑是有向曲面，在H 上取一小块曲面A S ，设cosY 是也S 的法向量与z 轴正向 的夹角Y 的余弦，（3）xy 是A S 在xoy 面投影区域的面积值。
我们规定：A S 在xoy 面上的投影（AS ）xy 为（呵xy ,mi X! 2^= zf X vlXeS）xy （呵xy,I 0,其中COsY三0也就是（Acr）xy =0的情形。
简言之：A S 在xoy 面上的投影（AS ）xy ，实际就是△ S 在xoy 面上的投影区域的 面积附以一定的正负号，即：（也S ）xy = cos Y 边S 。
类似地可以定义A S 在yoz 面及zox 面上的投影（也S ） yz 及（A S ）Zx 二、流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为 1）的速度场由v(x, y,z) = P(x, y, z) i + Q(x, y,z) j + R(x, y, z) k给出，夏是速度场中的一片有向曲面，函数 P, Q,R 均在夏上连续，求单位时间 内流向工指定侧的流体的质量，即流量 ①。
先讨论一个特殊情况：如果流体流过平面上面积为 A 的一个闭区域，且流体 在该闭区域上各点的流速为（常向量） v ，设n 为该平面的单位法向量。
显然，在单位时间内流过该闭区域的流体组成一个底面积为A,斜高为V的r-i-旳 AST斜柱体。
高等数学 对坐标的曲面积分
z
r 则该点流速为 v i ，
∆Si
Σ
r n i
•
r vi
(ξi ,ηi ,ζi )
r 法向量为 ni .
r r vi = v (ξ i ,η i , ζ i )
o
y
r r r x = P (ξ i ,η i , ζ i )i + Q(ξ i ,η i , ζ i ) j + R(ξ i ,η i , ζ i )k
20
对坐标的曲面积分
例 计算
其中Σ是球面 xyzdxdy其中 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ∫∫
Σ
外侧在 外侧在 x ≥ 0, y ≥ 0 的部分 的部分. 解 把Σ分成Σ 1和Σ 2两部分
z
O
x
Σ2
+
Σ 1 : z1 = − 1 − x 2 − y 2 ; Σ 2 : z2 = 1 − x 2 − y 2 ,
曲面的直径的最大值 λ → 0时，
12
对坐标的曲面积分
存在, lim∑R ξi ,ηi ,ζi )(∆Si )xy 存在 则称此极限为 (
0 λ→ i=1
n
函数 R( x , y , z )在有向曲面 Σ上 对 标 y的 面 坐 x, 曲
第二类曲面积分. 积 或称 第二类曲面积分 记作 分
∫∫ R(x, y,z)dxdy, 即 Σ
设积分曲面Σ是由 设积分曲面 是由
方程 z = z ( x , y ) 所给出 的曲面上侧, 在xOy面 上侧, Σ在 面 上的投影区域为 Dxy ,
函数 z = z ( x , y )在Dxy上 具有一阶连续偏导数, 具有一阶连续偏导数
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§10.5 对坐标的曲面积分一、曲面的侧、曲面在坐标面上的投影区域假定我们所讨论的曲面是光滑的，一般来讲，我们所遇到的曲面都是双侧的，曲面侧可以通过曲面上法向量的指向来定义，这种取定了法向量也就选定了侧的曲面，我们称之为有向曲面。
∑是有向曲面，在∑上取一小块曲面S ∆，设γcos 是S ∆的法向量与z 轴正向的夹角γ的余弦，y x )(σ∆是S ∆在xoy 面投影区域的面积值。
我们规定：S ∆在xoy 面上的投影y x S )(∆为⎪⎩⎪⎨⎧≡γ<γσ∆->γσ∆=∆0cos ,00cos ,)(0cos ,)()(y x y x yx S 其中0cos ≡γ也就是0)(=σ∆y x 的情形。
简言之：S ∆在xoy 面上的投影y x S )(∆，实际就是S ∆在xoy 面上的投影区域的面积附以一定的正负号，即：S S y x ∆⋅γ=∆cos )(。
类似地可以定义S ∆在yoz 面及zox 面上的投影z y S )(∆及x z S )(∆。
二、流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v),,(),,(),,(),,(++=给出，∑是速度场中的一片有向曲面，函数R Q P ,,均在∑上连续，求单位时间内流向∑指定侧的流体的质量，即流量Φ。
先讨论一个特殊情况：如果流体流过平面上面积为A 的一个闭区域，且流体在该闭区域上各点的流速为（常向量）v ，设n为该平面的单位法向量。
显然，在单位时间内流过该闭区域的流体组成一个底面积为A ,斜高为v的斜柱体。
1、当2),(π<θ=∧n v 时，这斜柱体的体积为 )(cos n v A v A ⋅⋅=θ⋅⋅，这就是通过闭区域A 流向n所指一侧的流量；2、当2),(π=θ=∧n v 时，显然流体通过闭区域A 流向n 所指一侧的流量为零，而0)(cos =⋅⋅=θ⋅⋅n v A v A；3、当2),(π>θ=∧n v 时0)(<⋅⋅n v A ，它表示流体通过闭区域A 实际上流向n -所指一侧，且流向n-所指一侧的流量为)(n v A ⋅⋅-。
因此，不论θ=∧),(n v 为何值，流体通过闭区域A 流向n所指向一侧的流量均为)(n v A ⋅⋅。
再讨论一般情况：流体流过的是一片曲面，且流速v是变化的，此时的流量计算不能直接用上述方法，必须使用元素法来处理。
把曲面∑分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也代表第i 小块曲面的面积)。
在∑是光滑的和v是连续的前提下，只要i S ∆的直径很小，我们就可以用i S ∆上任一点),,(i i i ζηξ处的流速k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i),,(),,(),,(),,(ζηξ+ζηξ+ζηξ=ζηξ=代替i S ∆上其它各点处的流速，以该点),,(i i i ζηξ处曲面∑的单位法向量k j i n i i i iγ+β+α=cos cos cos代替i S ∆上其它各点处的单位法向量，从而得到通过i S ∆流向指定侧的流量的近似值为),,2,1(n i S n v ii i=∆⋅),,(i i i ζηξ于是，通过∑流向指定侧的流量i i ni i S n v ∆⋅≈Φ∑=1[]i n i i i i i i i i i i i i i S R Q P ∆γζηξ+βζηξ+αζηξ=∑=1cos ),,(cos ),,(cos ),,(但 z y i i i S S )(cos ∆≈∆⋅α，x z i i i S S )(cos ∆≈∆⋅β，y x i i i S S )(cos ∆≈∆⋅γ 因此上式又可写成∑=∆ζηξ+∆ζηξ+∆ζηξ≈Φni y x i i i i x z i i i i z y i i i i S R S Q S P 1))(,,()(),,()(),,(令0→λ取上述和式的极限，就得到流量Φ的精确值。
这样的极限还会在其它问题中遇到，抽去它们的具体意义，可给出对坐标的曲面积分概念。
三、对坐标的曲面积分定义及性质【定义】设∑为光滑的有向曲面，函数),,(z y x R 在∑上有界。
把∑任意分成n 块小曲面i S ∆(i S ∆同时又表示第i 块小曲面的面积)，i S ∆在xoy 面上的投影为y x i S )(∆，),,(i i i ζηξ是i S ∆上任意取定的一点，如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时，极限∑=→λ∆⋅ζηξni y x i i i i S R 10)(),,(lim总存在，则称此极限为函数),,(z y x R 在有向曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分，并记作 ⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(。
即 ∑⎰⎰=→λ∑∆ζηξ=ni y x i i i i S R dxdy z y x R 1))(,,(lim ),,(其中),,(z y x R 叫做被积函数，∑叫做积分曲面。
类似地可以定义函数),,(z y x P 在有向曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分⎰⎰∑dydz z y x P ),,(，即∑⎰⎰=→λ∑∆ζηξ=ni z y i iiiS P dydz z y x P 1))(,,(lim ),,(函数),,(z y x Q 在有向曲面∑上对坐标x z ,的曲面积分⎰⎰∑dzdx z y x Q ),,(，即∑⎰⎰=→λ∑∆ζηξ=ni xz iiiiS Q dzdx z y x Q 1))(,,(lim ),,(以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分。
我们指出，当),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在有向光滑曲面∑上连续时，对坐标的曲面积分是存在的，以后总假定R Q P ,,在∑上连续。
在应用上出现较多的是形式⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(为简便起见，我们把它写成.),,(),,(),,(dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ++⎰⎰∑例如，上述流向∑指定侧的流量Φ可表示成为dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(++=Φ⎰⎰∑如果∑是分片光滑的有向曲面，我们规定函数在∑上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和。
对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分有着相类似的一些性质。
1、如果把∑分成1∑和2∑，则RdxdyQdzdx Pdydz Rdxdy Qdzdx Pdydz RdxdyQdzdx Pdydz +++++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑21(1)公式(1)可以推广到∑被分成了n ∑∑∑,,,21 几部分的情形。
2、设∑是有向曲面，-∑表示与∑取相反侧的有向曲面，则⎰⎰⎰⎰∑∑-=-dydz z y x P dydz z y x P ),,(),,(⎰⎰⎰⎰∑∑-=-dzdx z y x Q dzdx z y x Q ),,(),,( (2) ⎰⎰⎰⎰∑∑-=-dxdy z y x R dxdy z y x R ),,(),,((2)式表明：当积分曲面改变为相反侧时，对坐标的曲面积分要改变符号，因此关于对坐标的曲面积分我们必须注意积分曲面所取的侧。
这些性质的证明从略。
四、对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面∑是由方程),(y x z z =所给出的曲面的上侧，∑在xoy 面上的投影区域为y x D ，假设函数),(y x z z =在y x D 上具有一阶连续偏导数，),,(z y x R 在∑上连续。
按对坐标的曲面积分的定义，有∑⎰⎰=→λ∑∆ζηξ=ni yx iiiiS R dxdy z y x R 1))(,,(lim ),,(因为∑取上侧，0cos >γ，所以.)()(y x i y x i S σ∆=∆又因),,(i i i ζηξ是∑上的一点，故),(i i i z ηξ=ζ，从而有y x i i i i ni i yx iiiini z R S R ))](,(,,[))(,,(11σ∆ηξηξ=∆ζηξ∑∑==令0→λ取上式两端的极限，就得到[]⎰⎰⎰⎰=∑yx D dxdy y x z y x R dxdy z y x R ),(,,),,( (3)这就将对坐标的曲面积分化为了二重积分。
公式(3)表明：计算对坐标的曲面积分⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(时，只要把其中变量z换成∑方程),(y x z z =，然后在∑的投影区域y x D 上计算二重积分就成了。
必须注意：公式(3)的曲面积分是取在曲面∑上侧的；如果曲面积分取在曲面∑下侧，这时0cos <γ，那末y x i y x i S )()(σ∆-=∆从而有⎰⎰⎰⎰∑-=yx D dxdy y x z y x R dxdy z y x R ]),(,,[),,( (3’)类似地，如果∑由),(z y x x =给出，则有⎰⎰⎰⎰±=∑zy D dydz z y z y x P dydz z y x P ,],),,([),,( (4)等式右端的符号这样决定：若积分曲面∑是由方程),(z y x x =所给出的曲面前侧，即0cos >α，应取正号；反之，如果∑取后侧，即0cos <α，应取负号。
如果∑由),(x z y y =给出，则有⎰⎰⎰⎰±=∑xz D dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q ,]),,(,[),,( (5)等式右端的符号这样决定：若积分曲面∑是方程),(x z y y =所给出的曲面右侧，即0cos >β，应取正号；反之，如果∑取左侧，即0cos <β，应取负号。
【例1】计算曲面积分⎰⎰∑dxdy z y x其中∑是球面1222=++z y x 外侧在0,0≥≥y x 的部分。
解：把∑分为1∑和2∑两部分，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21dxdy xyz dxdy xyz xyzdxdy上式右端的第一个积分的积分曲面1∑取下侧，第二个积分的积分曲面2∑取上侧，因此分别应用公式(3’)及(3)，就有⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+----=∑yx yx DD dxdy y x xy dxdy y x xy xyzdxdy )1()1(2222其中)0,0(1:22≥≥≤+y x y x D y x ，利用极坐标计算这个二重积分如下：dxdy y x xy yx D ⎰⎰--2212dr r r d 213201cos sin 2-θθθ=⎰⎰π152=从而 ⎰⎰∑=152dxdy z y x 五、两类曲面积分之间的联系设∑是由方程),(y x z z =给出的曲面上侧，由对坐标曲面积分计算公式有[]⎰⎰⎰⎰=∑yx D dxdy y x z y x R dxdy z y x R ),(,,),,(另一方面，∑的法向量的方向余弦为221cos yxx zz z ++-=α，221cos yxy zz z ++-=β，2211cos yxzz ++=γ由对面积的曲面积分计算公式有⎰⎰⎰⎰∑=γxyD dxdy y x z y x R dS z y x R ]),(,,[cos ),,(由此可见，有⎰⎰⎰⎰∑∑γ=dS z y x R dxdy z y x R cos ),,(),,( (6)如果∑取下侧，则有⎰⎰⎰⎰∑-=yx D dxdy y x z y x R dxdy z y x R ]),(,,[),,(此时，∑的法向量的方向余弦应取为221cos yxx zz z ++=α，221cos yxy zz z ++=β，2211cos yxzz ++-=γ⎰⎰⎰⎰∑-=γxyD dxdy y x z y x R dS z y x R ]),(,,[cos ),,(因此(6)式仍成立。