伴随矩阵的性质和应用
伴随矩阵的性质及应用汇总
伴随矩阵的性质及应用汇总伴随矩阵，也被称为伴随矩阵、伴随方阵或伴随法方阵，是与一个给定的矩阵相关联的矩阵。
在线性代数中，伴随矩阵的性质及应用非常重要。
下面是对伴随矩阵的性质及应用的汇总。
一、伴随矩阵的基本性质：1.对于任意的n阶矩阵A，它的伴随矩阵存在且唯一2. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵A的n次方，即，adj(A)， = ，A，^(n-1)。
3. 如果原矩阵A是可逆的，则它的伴随矩阵也是可逆的，并且有逆矩阵的性质，即(adj(A))^(-1) = 1/，A， * adj(A)。
4. 伴随矩阵的转置等于原矩阵的伴随矩阵的转置，即(adj(A))^T = adj(A^T)。
二、伴随矩阵的应用：1. 伴随矩阵在求逆矩阵中的应用：利用伴随矩阵可以很方便地求解矩阵的逆。
对于可逆矩阵A，有A^(-1) = 1/，A， * adj(A)。
通过计算原矩阵的行列式和伴随矩阵，即可得到逆矩阵。
2. 伴随矩阵在线性方程组求解中的应用：对于线性方程组AX = B，如果矩阵A是可逆的，则可以通过左乘伴随矩阵满足（adj(A) * A）* X= adj(A) * B，进而求解出X的解。
3. 伴随矩阵在求解特征值和特征向量中的应用：矩阵A的伴随矩阵adj(A)与矩阵A一样具有相同的特征值，但是特征向量方向相反。
因此，可以通过求解伴随矩阵的特征值和特征向量来得到矩阵A的特征值和特征向量。
4. 伴随矩阵在向量夹角和投影中的应用：对于两个向量A和B，它们的夹角θ可以通过伴随矩阵求解得到，即cosθ = (A・B) / (，A，* ，B，) = (adj(A)・B) / (，A， * ，B，)。
此外，在向量的投影计算中也可以通过伴随矩阵来实现，即投影向量P = A * (adj(A)・B) / (adj(A)・A)。
综上所述，伴随矩阵具有独特的性质和广泛的应用。
它在求逆矩阵、线性方程组求解、特征值和特征向量求解、向量夹角和投影等方面发挥着重要的作用。
伴随矩阵运算法则
伴随矩阵运算法则
（最新版）
目录
1.伴随矩阵的定义与性质
2.伴随矩阵的运算法则
3.伴随矩阵的应用
4.总结
正文
一、伴随矩阵的定义与性质
伴随矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与逆矩阵有着密切的关系。
伴随矩阵的定义是：一个方形矩阵 A 的伴随矩阵，是由矩阵 A 的代数余子式构成的一个矩阵。
伴随矩阵的性质包括：
1.伴随矩阵是一个方阵，其行数和列数与原矩阵相同。
2.伴随矩阵的元素是原矩阵的代数余子式，即伴随矩阵第 i 行第 j 列的元素是原矩阵的第 j 行第 i 列的代数余子式。
3.伴随矩阵的转置等于原矩阵的代数余子式的转置。
二、伴随矩阵的运算法则
伴随矩阵的运算法则主要包括以下几点：
1.伴随矩阵的加法：两个矩阵的伴随矩阵相加，对应位置的元素是两个矩阵对应位置的代数余子式之和。
2.伴随矩阵的数乘：一个矩阵的伴随矩阵与一个标量的乘积，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式乘以该标量。
3.伴随矩阵的乘法：两个矩阵的伴随矩阵相乘，对应位置的元素是原矩阵对应位置的代数余子式的乘积。
三、伴随矩阵的应用
伴随矩阵在线性代数中有广泛的应用，主要包括：
1.求解线性方程组：当矩阵 A 可逆时，可以用伴随矩阵表示矩阵 A 的逆矩阵，从而求解线性方程组。
2.矩阵的行列式：矩阵的行列式等于其伴随矩阵的行列式，可以利用伴随矩阵求矩阵的行列式。
3.矩阵的秩：伴随矩阵的秩等于原矩阵的秩，可以利用伴随矩阵求矩阵的秩。
四、总结
伴随矩阵是线性代数中的一个基本概念，它与逆矩阵、行列式等有着密切的关系。
伴随变换与伴随矩阵的性质与应用
伴随变换与伴随矩阵的性质与应用伴随变换与伴随矩阵是线性代数中重要的概念，它们在矩阵论和线性变换的理论中有着广泛的应用。
本文将探讨伴随变换与伴随矩阵的性质以及它们在实际问题中的应用。
一、伴随变换的定义与性质伴随变换是指在线性空间中，给定一个线性变换T，其伴随变换T*是一个线性变换，满足对于任意的向量u和v，有内积的性质：（T(u), v）= （u, T*(v)）其中（，）表示内积。
伴随变换的性质包括：1. 线性性质：对于任意的向量u和v，以及任意的标量a和b，有T*(au+bv) = aT*(u) + bT*(v)。
2. 对偶性质：如果存在一个向量w，使得对于任意的向量u，有（T(u), v）= （u, w），则称w为T的伴随向量，记作w=T*(v)。
伴随变换的作用是根据给定的线性变换T，求解其对应的伴随向量。
二、伴随矩阵的定义与性质对于一个线性变换T，如果存在一个矩阵A，使得对于任意的向量u和v，有 T(u) = Av，则称矩阵A为线性变换T的矩阵表示。
伴随矩阵B是指对于给定的矩阵A，存在一个矩阵B，使得（AB）^T =BA^T，其中（）^T表示矩阵的转置。
伴随矩阵的性质包括：1. 转置性质：伴随矩阵的转置等于原矩阵的伴随矩阵的转置，即（A^T）^T = A*。
2. 乘法性质：对于两个线性变换T和S，其伴随矩阵分别为A和B，则对应的复合变换的伴随矩阵为BA，即（TS)* = B*A。
三、伴随变换与伴随矩阵的应用伴随变换与伴随矩阵在实际问题中有各种各样的应用。
下面以几个例子来说明其应用。
1. 线性变换的正交性判断：对于给定的线性变换T，可以通过求解其伴随变换T*，再判断T和T*的关系来确定T是否是正交变换。
如果T和T*相等，则T是正交变换；如果T和T*互为逆变换，则T是酉变换。
2. 矩阵的相似性判断：对于给定的两个矩阵A和B，可以通过求解其伴随矩阵A*和B*，再判断A*和B*的关系来确定A和B是否相似。
谈谈伴随矩阵的性质及其应用
谈谈伴随矩阵的性质及其应用摘要：线性代数是高等院校理工科学生必学的一门课程，其中矩阵理论在线性代数中占有十分重要的地位，而矩阵的运算也是数值分析领域中具有极其广泛的应用。
然而，在现行的教材中都出现过方阵的伴随矩阵的概念，但是大多编者和教材并没有对伴随矩阵进行过全面的探究。
我们知道矩阵的伴随矩阵是一个十分重要的概念．它有很多重要的性质，并且有及其广泛的应用。
所以系统的去分析伴随矩阵的性质和运算，具有十分重要的意义。
本文对于伴随矩阵常用的性质做了归纳与总结，然后介绍了矩阵的伴随矩阵一些常见的应用。
关键词：伴随矩阵；逆矩阵；矩阵的秩；线性代数在线性代数讨论矩阵的逆时，为了求可逆矩阵的逆矩阵，我们引入了矩阵的伴随矩阵的概念，用伴随矩阵的性质推得了矩阵可逆的充要条件，并由此推出了求逆矩阵的公式。
但由于用定义计算逆矩阵比较繁琐，所以，在实际计算中，通常我们一般利用矩阵的初等变换求它的逆矩阵。
然而，伴随矩阵及其性质的重要性不仅仅在讨论矩阵的逆时用到，它在讨论矩阵的行列式，矩阵的秩以及矩阵的特征值等等，都有其广泛的应用。
下面，我们首先给出矩阵的伴随矩阵的概念，然后讨论一下伴随矩阵的性质，最后，探讨伴随矩阵性质的一些应用。
1.伴随矩阵的概念定义：设是一个n阶方阵，为中元素的代数余子式，称n 阶矩阵为n阶矩阵的伴随矩阵。
1.伴随矩阵的性质性质1. ；注：这是n阶矩阵的伴随矩阵的一个非常重要的性质，一般情况下，只要涉及到有关伴随矩阵的命题，都是从这个性质作为切入点展开讨论。
至于这个性质的证明，只要利用矩阵的乘法即行列式的性质直接验证即可。
由性质1，易推得如下性质2至性质7.性质2. 如果，则；性质3. （1）；（2）；（3）性质4. 如果为对称矩阵，则也是对称矩阵；性质5. ；性质6. ，（其中为阶方阵）性质7. 如果可逆，则也可逆，且；性质8. 设为n阶方阵，则；证明：如果，则，由性质1可知，在等式两边取行列式可得，由此推得，从而；如果，则，由性质1可知，由此可知得列向量都是齐次线性方程组的解，又由于，可知，齐次线性方程组的基础解系含有个解向量，因此，；如果，则的每一个元素，也即为零矩阵，故。
伴随矩阵的性质及其应用
伴随矩阵的性质及其应用伴随矩阵的性质及其应用摘要：在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
伴随矩阵不仅仅可以求矩阵的逆，它还有很多重要的性质。
本文介绍了伴随矩阵的十四条性质，每一条都给出了详细的证明，同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。
伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点，它的性质及其应用更是学习中的重中之重，掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习.关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质Adjoint matrices properties and applicationsAbstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper introduces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of priority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning.Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties矩阵是高等数学中非常重要的一个概念，而且应用相当广泛，它是线性代数的核心，矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。
伴随矩阵与原矩阵关系
伴随矩阵与原矩阵关系介绍在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，常用于表示线性方程组、线性映射和线性变换等。
矩阵的伴随矩阵是一种特殊的矩阵，与原矩阵有着一定的关系。
本文将详细探讨伴随矩阵与原矩阵的关系，介绍伴随矩阵的定义、性质和应用。
伴随矩阵的定义伴随矩阵，也称为伴随矩阵、复共轭转置矩阵或Hermitian转置矩阵，是指对于一个复矩阵A，将其每个元素取复共轭并转置得到的矩阵，通常用符号A*表示。
对于一个m×n的复矩阵A=(a_{ij})，其伴随矩阵A*=()T。
其中，表示a_{ij}的复共轭，T表示转置。
伴随矩阵与原矩阵的关系伴随矩阵与原矩阵之间有着一些重要的关系。
下面将介绍几个常见的关系。
1. 基本关系对于一个复矩阵A和B，有以下基本关系成立：•(A^)^ = A•(A+B)^* = A^* + B^*•(kA)^* = A^其中，A^表示矩阵A的伴随矩阵，k是一个复数。
2. 伴随矩阵的性质伴随矩阵具有以下重要性质：•(AB)^* = B^A^•(A^)^n = (A n)（n为正整数）•A是Hermitian矩阵（即A=A^*）当且仅当A的所有特征值为实数•A是正规矩阵（即AA^=A^A）当且仅当A可对角化为实对角阵3. 伴随矩阵的应用伴随矩阵在线性代数和数学物理等领域具有广泛的应用，下面介绍几个典型的应用。
3.1. 线性方程组的解法通过求解伴随矩阵的线性方程组，可以求解原矩阵的线性方程组。
设A为一个m×n的复矩阵，X为一个n×1的向量，B为一个m×1的向量，可表示为AX=B的线性方程组。
则该线性方程组的解为X=(A^){-1}B，其中，A为A的伴随矩阵。
3.2. 矩阵的共轭转置伴随矩阵也可以表示矩阵的共轭转置。
对于一个复矩阵A，其共轭转置矩阵为A^*。
通过求解伴随矩阵，可以得到原矩阵的共轭转置。
3.3. 矩阵的特征值和特征向量伴随矩阵与原矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
复合矩阵与伴随矩阵的关系及应用
复合矩阵与伴随矩阵的关系及应用引言：在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，被广泛应用于各个领域。
复合矩阵和伴随矩阵是矩阵理论中的两个重要概念，它们之间存在着密切的关系，并在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍复合矩阵与伴随矩阵的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、复合矩阵的定义与性质：复合矩阵是指一个方阵与其自身的转置矩阵相乘得到的矩阵。
设A 为一个n阶方阵，则其复合矩阵记作A*AT。
复合矩阵具有以下性质：1. 复合矩阵是对称矩阵：由于复合矩阵是方阵与其转置矩阵相乘得到的，而转置矩阵是原矩阵的行列互换，因此复合矩阵是对称矩阵。
2. 复合矩阵的秩等于原矩阵的秩：设A为一个n阶方阵，且rank(A)=r，则rank(A*AT)=r。
3. 复合矩阵的特征值是原矩阵特征值的平方：设A为一个n阶方阵，其特征值为λ，则A*AT的特征值为λ²。
二、伴随矩阵的定义与性质：伴随矩阵是指一个方阵的转置矩阵与其伴随矩阵相乘得到的矩阵。
设A为一个n阶方阵，则其伴随矩阵记作adj(A)=AT。
伴随矩阵具有以下性质：1. 伴随矩阵是可逆矩阵：若A为可逆矩阵，则其伴随矩阵也是可逆矩阵，并且有(adj(A))⁻¹=adj(A⁻¹)。
2. 伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方：设A为一个n阶方阵，则|adj(A)|=|A|^(n-1)。
三、复合矩阵与伴随矩阵的关系：复合矩阵和伴随矩阵之间存在着以下关系：1. A*AT的伴随矩阵等于(A的伴随矩阵)的转置矩阵：即adj(A*AT)=(adj(A))T。
2. A*AT的行列式等于A的行列式的平方：即|A*AT|=|A|²。
3. 若A为可逆矩阵，则(A*AT)的逆矩阵等于A⁻¹*adj(A)。
四、复合矩阵与伴随矩阵的应用：复合矩阵和伴随矩阵在实际问题中有着广泛的应用，下面以几个具体的应用场景来说明：1. 矩阵的正定性判断：对于一个n阶对称矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有xTAX>0，则称A为正定矩阵。
求伴随矩阵例题
求伴随矩阵例题（最新版）目录1.伴随矩阵的定义2.伴随矩阵的性质3.求伴随矩阵的方法4.伴随矩阵的应用5.例题解析正文一、伴随矩阵的定义伴随矩阵是指与一个矩阵相对应的一个矩阵，它们的元素互为相反数。
设 A 是一个 m×n 矩阵，那么它的伴随矩阵记作 A*，是一个 n×m 矩阵，满足 A*的第 i 行第 j 列元素与 A 的第 j 行第 i 列元素互为相反数。
即，A*的第 i 行第 j 列元素为-a_{ji}。
二、伴随矩阵的性质1.伴随矩阵是方阵。
2.伴随矩阵的转置等于原矩阵的逆矩阵，即 (A*)^T = A^(-1)。
3.伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的相反数，即|A*| = -|A|。
三、求伴随矩阵的方法求伴随矩阵的方法非常简单，只需要将原矩阵的每一个元素取相反数，然后按照矩阵的行和列重新排列，即可得到伴随矩阵。
四、伴随矩阵的应用伴随矩阵在线性代数中具有广泛的应用，例如在求解线性方程组时，可以通过伴随矩阵来求解。
设线性方程组为 AX=B，那么方程组的解为X=A^-1B，其中 A^-1 就是 A 的伴随矩阵。
五、例题解析例题：求矩阵 A 的伴随矩阵。
解：矩阵 A 为：```2 13 4```首先，我们需要计算矩阵 A 的行列式，即|A| = 2*4 - 1*3 = 5。
然后，计算矩阵 A 的伴随矩阵 A*，如下所示：```-4 -1-3 -2```A*的第 i 行第 j 列元素为-a_{ji}，即 -2*4 + 1*3 = -5。
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伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。
伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。
(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。
本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。
在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。
关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质1、 伴随矩阵的定义定义 1.设ij A 是矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n A A A A A A A A A212222111211称为A 的伴随矩阵。
定义2.设A 为n 阶方阵，如果有矩阵B 满足AB=BA=E,则B 就称为A 的逆矩阵，记为B=1-A 。
*注意：只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。
2、伴随矩阵的性质性质1.设A 为n 阶方阵，AA*=A *A=A E .证明：由行列式按一列（行）展开:AA *=A *A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡d d d 0000000000 =d E, 其中d =A 。
性质2.n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 非退化，即AA A A *1,0=≠-且.证明：若A ≠0，则A 可逆，且1-A =AA *；反之，若A 可逆，则有AA -1 =E ，所以|AA -1|=|A||A -1|=1故|A|=0.即A 非退化。
性质3.1.若A 为非奇异矩阵，则1*1*)()(--=A A . 证明：因为111)(--=A kkA ，由性质2两边取逆可得 1*)(-=A A A 故A AA =-1*)(， 另一方面，由性质2 有A AA A A A A A 1)()*()(1)*11*1111=⇒==------（， 由1*1*)()(--=A A .性质3.2.设A 为n 阶矩阵，则秩A *=⎪⎩⎪⎨⎧-≤-==时，当秩时，当秩时 ，当秩2011n A n A n A n .证明：（1）当秩A=n 时，则,0≠A A 是可逆的，即有1-A 存在，所以 1*-=A A A .可见，秩*A =n 。
反之，当秩*A =n 时，*A 可逆时，则有1*)(-A 存在，所以A =A 1*)(-A ,有A ≠0，因A=0，从而*A =0，这与秩*A =n 矛盾，所以A ≠0，于是秩（A ）=n ；（2）当秩（A ）=1-n 时，则A 必有一个1-n 阶子式不为0，即*A 中至少有一个元素不为0，所以，秩（*A ）1≥，另外秩（A ）=1-n .则A =0，于是，.0*==E A AA从而，秩（A ）+秩（*A ）.1.1),**=≤≤）这便知秩（故秩（A A n 反之，若秩（*A ）=1，则*A 中必有一个ij 0A ≠，即是说A 必有一个n-1阶子式不为零，故秩n-1A ≥但不能有秩（A ）=n ，否则，有秩*A =n ，而n ，2≥这样与秩1)(*=A 矛盾，所以秩（A ）≠n ，则（A ）≤1-n ，因此,秩（A ）=1-n .（3）当秩（A ）<1-n 时，则A 中一切1-n 阶子式均为0，于是一切,0=ij A 0*=A 所以，这时有秩,0)(*=A 反之，若秩,0)(*=A 则，即一切0,0ij *==A A 亦即A 的一切1-n 阶子式为0，所以秩（A ）<1-n .该性质可以用来求A 的伴随矩阵的秩，A 的秩可以直接求出，通过A 的秩可以直接求出A 的伴随矩阵.性质4.秩A A 秩≤*. 性质5.*A =A1-n ，其中A 是n 阶方阵（n ≥2）.证明：若A ≠0， AA *=A E ，∴ *AA =A n⇒A *A =An⇒*A =A1-n若A =0，这时秩A *≤1，∴*A =0，而也有*A =A 1-n综合得*A =A1-n .性质6.若A 是n 阶非零实矩阵，0,*≠='A A A 则.证明：用反证法，若，，则00*==='=E A AA A A A 令一方面，设A=n n ij a ⨯∈R ）（AA '=*AA =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∑∑∑===ni ni ni ia a 12122n1i 2i 1a=0 （2） 由（2）式主对角元素均等于0，可得),,,2,1,(,0n j i a ij ==此即A=0，这与非零矩阵的假设矛盾，0≠∴A .条件A 是实方阵中“实”字不能少，否则，比如设A=,11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-i i 则0,*=='A A A 但 性质7. 令A,B 为n 阶矩阵，则 （1）A 对称⇒对称；*A（2）A 正交正交；*A ⇔（3）若A 与B 等价，则也等价；与**B A （4）若A 与B 相似，则也相似；与**B A （5）若A 与B 合同，则也合同；与**B A （6）A=B **B A =⇒； （7）A 正定⇒正定；*A（8）A 为可逆矩阵⇒为可逆矩阵；*A（9）如果A 是可逆矩阵，那么A 为反对称⇒.*为反对称A 证明：这里只证（1），（2），其余的这里就不再证明了。
(1) 为对称矩阵****,)()(A A A A T T ∴== ;(2) 因为A 是正交矩阵， 故E E A A A A A A E AA T T T T =====******)()()(,⇔*A 是正交矩阵.从该性质我们看到方阵有很多的性质是能“遗传”给它的伴随矩阵的，因此我们在不求矩阵伴随的时候就能通过原矩阵的性质去判断伴随矩阵的性质了。
性质8.T A A )()(***=.性质9. 一切n n A ⨯（不一定A 非奇异）都有.)(2**A A A n -=证明：,1*-=n AA（i ）当秩A=n 时，可逆，A A ,0≠用1-A 左乘式子A E A A =*两边得，1*-=A A A 用A 换A *得，A A AA AA A A n n 211****)()()(---=== (ii)当秩A ≤n-1时，则秩,1*≤A ，从而秩（0),0**==A A 则A AA 2-n **0)(==,综合即证.)(2**A AA n -=该性质讨论了A 的伴随矩阵的伴随矩阵和A 的关系，一些问题会涉及此性质，应多加注意. 性质10.若A 为n 阶矩阵，则*)(aA =a 1-n A * . (a 为实数) 证明：设A=n n ij a ⨯)(再设()*aA =n n ij b ⨯)(，那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式（n-1阶行列式），其中每行提出公因子a 后，可得),....,2,1,(1n j i A a b ji n ij ==-，由此即证*)(aA =a 1-n A *.数乘矩阵的伴随矩阵可以用该性质很好的得出，本性质是一些选择、填空常考点.性质11.设A,B 均为n 阶方阵，则***)A B AB =（. 证明：当，，时，这时000≠≠≠B A AB 由公式，1*-=A A A 可得,)()**111*A B A A B B AB AB AB ===---（当,)(,0E B B E A A AB λλλλ-===—）（时，考虑矩阵由于A 和B 都最多只有 限个特征值，因为存在无穷多个λ使0)(,0)(≠≠λλB A （3） 那么由上面的结论有（A(λ)B(λ)）*=)()(**λλA B （4） 令（A(λ)B(λ)*=*,))((B f n n ij ⨯λ（λ）A =)(*λn n ij g ⨯))((λ，则有),,2,1,(),()(n j i g f ij ij ==λλ （5）由于有无穷多个λ使（5）式成立，从而有无穷多个λ使（5）式成立，但 )(),(λλij ij g f 都是多项式，从而（3）式对一切λ都成立，特别令λ=0，这时有*******)0()0())0()0(()(A B A B B A AB ===.该性质是一些题目的常考点，把求AB 的伴随矩阵转化为求A 的伴随矩阵和B 的伴随矩阵的问题，可以很有效的解决问题.性质12.如果矩阵A 可逆，令λ为它的特征值，α是A 的属于λ的特征向量，则*A 的特征值是λ1-A ,α是*A 的属于λ1-A 的特征向量.证明： 由于A 可逆，所以λ≠0，由于A α=λα，左边乘以*A 得，*A A α=λ*A α，故*A α=αλ1-.性质13.若A 为n 阶方阵且矩阵的行列式不为零，那么*A 可表示为A 的多项式形式.证明：A 的特征多项式是.)(0111a a L a f n n n ++++=--λλλλ因为A 可逆，所以.0)1(0≠-=A a n 由哈密顿-凯莱定理知,0)(=A f 即00111=++++--E a A a L A a A n n nE A E a L A a A a n n n =+++----)(112110右乘,*A 得：*12110)(A E a L A a A a A n n n =+++----故)()1(12111*E a L A a A A n n n n +++-=----.该性质把A 的伴随矩阵转化为A 的多项式形式，这是求A 的伴随矩阵的简单有效方法.3.伴随矩阵性质的应用例1 设*11*1)()(,300220111---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A A A A 的伴随矩阵，则求是. 解 ： 由性质1， 因为.),1*11*1AAA A A E A A A ===⨯----有（ 本题，6=A 所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-21003131061616130022011161)*1A （. 此题是求 A 的逆矩阵的伴随矩阵，若用伴随矩阵的定义求解则太复杂，可用性质1方便简捷的求出.例2 若1,100110111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A A 求. ，，，解：1100110011100110111*=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-1001100112*1A A A 得，由性质. 此题比较常见，求A 的逆矩阵问题，可以根据性质2的公式求出.例3已知3阶矩阵A 的逆矩阵为,3111211111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-A 试求伴随矩阵*A 的逆矩阵. 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3111211111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=∴-101022525)(*1A ,由性质3得，*11*)()(--=A A ,所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-101022525)(1*A . 此题把求A 的伴随矩阵的逆矩阵问题转化为求A 的逆矩阵的伴随矩阵问题，这样根据性质3可以很容易的得出.例4 若 *,52031000221A A 则求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=. 解 ： 1616,41520310002)21(2*3==-==A A A 得，由性质. 例5 已知A=**),200110121A 求（⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡. 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200110121,A ， A =200110121,由性质10知 **)A （=400220242213==-A A A . 例6 若已知A *=*2,100110011）求（A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--. 解 ： 由性质11可直接得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==⨯=40044004442)2(**2*A A A . 此题考查的是数与矩阵的乘积的伴随矩阵问题，用性质10可以很方便的得出.例7 设A 为三阶矩阵，A 的特征值为1，5，7.试求行列式E A 2*-.解 ： 因为A =,35751=⨯⨯由性质13知，*A 的特征值分别为35,7,5.于是E A 2*-的特征值为35-2=33,7-2=5,5-2=3.故49535332*=⨯⨯=-E A .例8 求矩阵A 的伴随矩阵*A .A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201034011. 解 :矩阵A 的特征多项式为：)(λf =25423-+-=-λλλλA E ,因,020≠-=a 所以A 可逆，由性质14知)54()1(213*E A A A +--=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---113028026. 以上在伴随矩阵的基本性质的基础上，较为详细地归纳并讨论了伴随矩阵的性质；并在此基础上讨论了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。