2013-2017高考数学全国卷--立体几何汇编
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2013-2017高考数学全国卷理科--立体几何汇编
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一、选择题
I(理)]某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成, 正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 ( )
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
2. [2017·全国新课标卷II(理)]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为 ( )
A. 90π
B. 63π
C. 42π
D. 36π
3. [2017·全国新课标卷II(理)]已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则
异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 ( )
A.
B.
C. D.
4. [2017·全国新课标卷III(理)]已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球
的球面上,则该圆柱的体积为 ( ) A. π B.
C.
D. .
5. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,6]如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()
A. 17π
B. 18π
C. 20π
D. 28π
6. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,11]平面α过正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
的顶点A,α∥平面CB
1
D
1
,α∩
平面ABCD=m,α∩平面ABB
1A
1
=n,则m,n所成角的正弦值为()
A. B. C. D.
7. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,6]如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()
A. 20π
B. 24π
C. 28π
D. 32π
8. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,9]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()
A. 18+36
B. 54+18
C. 90
D. 81
9. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,10]在封闭的直三棱柱ABC-A
1B
1
C
1
内有一个体积为V的球.若
AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA
1
=3,则V的最大值是() A. 4π B. C. 6π D.
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10. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,6]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )
A. 14斛
B. 22斛
C. 36斛
D. 66斛
11. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,11]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )
正视图 俯视图
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
12. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,6]一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.
B.
C.
D.
13. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,9]已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ) A. 36π B. 64π C. 144π D. 256π
14. [2014·高考全国新课标卷Ⅰ，12]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )
A. 6
B. 6
C. 4
D. 4
15. [2014·全国新课标卷Ⅱ,6]如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A. B. C. D.
16. [2014·全国新课标卷Ⅱ,11]直三棱柱ABC-A
1B
1
C
1
中,∠BCA＝90°,M,N分别是
A
1B
1
,A
1
C
1
的中点,BC＝CA＝CC
1
,则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
17. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，6]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，
容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得
水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A. cm3
B. cm3
C. cm3
D. cm3
18. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，8]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. 16＋8π
B. 8＋8π
C. 16＋16π
D. 8＋16π
19. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，4]已知m，n为异面直线，m⊥平面
α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )
A. α∥β且l∥α
B. α⊥β且l⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于l
D. α与β相交，且交线平行l
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20. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，7]一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
I(理)]如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,
得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3
)的最大值为 .
22. [2017·全国新课标卷III(理)]a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成30°角; ②当直线AB 与a 成60°角时,AB 与b 成60°角; ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°; ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.
其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号)
23. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,14]α,β是两个平面,m ,n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果m ⊥n ,m ⊥α,n ∥β,那么α⊥β. ②如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n . ③如果α∥β,m ?α,那么m ∥β.
④如果m ∥n ,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 三、解答题
24. [2017·全国新课标卷I(理)] (本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.
25. [2017·全国新课标卷II(理)] (本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面
ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(1)证明:直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.
26. [2017·全国新课标卷III(理)] (本小题满分12分)
如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.
27. [2016·高考全国新课标卷Ⅰ,18] (本小题满分12分)
如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D -AF-E与二面角C-BE-F都是60°.
(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;
(2)求二面角E-BC-A的余弦值.
28. [2016·高考全国新课标卷Ⅱ,19] (本小题满分12分)
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD
上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'=
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(1)证明:D'H ⊥平面ABCD ; (2)求二面角B -D'A -C 的正弦值.
29. [2016·高考全国新课标卷Ⅲ,19] (本小题满分12分)
如图,四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB =AD =AC =3,PA =BC =4,M 为线段AD 上一点,AM =2MD ,N 为PC 的中点.
(1)证明MN ∥平面PAB ;
(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.
30. [2015·高考全国新课标卷Ⅰ,18](本小题满分12分) 如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.
(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;
(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.
31. [2015·高考全国新课标卷Ⅱ,19](本小题满分12分)
如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F= 4.
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过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.
32. [2014·高考全国新课标卷Ⅰ,19] (本小题满分12分) 如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为菱形,AB ⊥B 1C .
(1)证明：AC ＝AB 1；
(2)若AC ⊥AB 1,∠CBB 1＝60°,AB ＝BC ,求二面角A -A 1B 1-C 1的余弦值.
33. [2014·全国新课标卷Ⅱ，18] (本小题满分12分) 如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点.
(1)证明：PB ∥平面AEC ；
(2)设二面角D -AE -C 为60°,AP ＝1,AD ＝ ,求三棱锥
E -ACD 的体积.
34. [2013·高考全国新课标卷Ⅰ，18](本小题满分12分)
如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平
面BB 1C 1C 所成角的正弦值.
35. [2013·高考全国新课标卷Ⅱ，18](本小题满分12分)
如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝
AB .
(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；
(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值.