高考数学不等式知识点及相关题型

高考数学不等式知识点

及相关题型

Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

不

等式

一、比较大小

作差法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。 【例1】比较61x +和42x x +的大小，其中x R ∈ 【例2】设x R ∈，比较

1

1x

+与1x -的大小 作商法：常用于分数指数幂的代数式。

【例3】设0,0a b >>，且a b ≠，比较a b a b 与b a a b 的大小 二、不等式的性质：

①a b b a >?<； ②,a b b c a c >>?>； ③a b a c b c >?+>+；

④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+；

⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>； ⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >；

⑧

)

0,1a b n n >>>∈N >．

【例4】若,a b R ∈且a b >，则下列不等式恒成立的是 【例5】下列命题中正确的是 三、性质的应用，待定系数法

【例6】不等式组1

24x y x y +≥??-≤?的解集记为D 。有下面四个命题：

其中的真命题是

四、不等式的解法，对题目条件的领悟

【例7】已知函数32()f x x ax bx c =+++且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，则 ≤3 ＜c ≤6 ＜c ≤9 ＞9

【例8】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，2()4f x x x =-，则不等式

()x f x >的解集用区间表示为：

五、不同形式不等式解法

1、一元一次不等式ax>b ，分别对a 、b 的正负情况进行讨论

2、一元二次不等式解法：图像法、因式分解法

（1）化成标准式：

20,(0)ax bx c a ++>>；（2）求出对应的一元二次方程的根； （3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。 解含参数的一元二次不等式时，要把握好分类讨论的顺序 ①根据二次项系数的符号进行讨论

②根据一元二次方程的根是否存在，即?的符号进行讨论 ③在根存在时，根据根的大小进行讨论

【例8】已知不等式210ax bx -->的解集是11

(,)23

-，则不等式20x bx a --≥的解集是

3、简单的一元高次不等式的解法： 标根法步骤

（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；

（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 4、解分式不等式 不能轻意去分母

通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；

[特别关注] 求一个变量的范围时，讨论的也是这个变量，结果要并；讨论的若是另一个变量，结果不能并。

【例9】关于x 的不等式ax-b >0的解集是(1,+∞)，则关于x 的不等式02

ax b

x +>-的解集是（ ）

A ．(-∞,-1)∪(2,+∞)

B ．(-1,2)

C ．(1,2)

D ．(-∞,1)∪(2,+∞) 【例10】解关于x 的不等式：

12

)

1(>--x x a 5、解绝对值不等式：关键是“去绝对值”， ①利用绝对值不等式的性质：若M>0则 |f(x)|>M ?f(x)>M 或f(x)<-M ； ②平方（不等式两边同正）； ③讨论（绝对值内的式子为0）。

方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 方法四：两边平方。

【例11】设p ：x 2

－x －20>0,q ：2

12

--x x <0,则p 是q 的 ( )

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

6、分段函数形成的不等式一般分段解，再取并集；对较为复杂的分段函数问题可以借助于图象解决。

【例12】解不等式|1||1|32

x x +--≥

【例13】已知：函数,0(),0a x x f x a x -≤?=?>?（0>a ）．解不等式：()

12f x x <-．

7、抽象函数的不等式

离不开函数的单调性。抽象函数的不等式反映出的函数值的大小，需借助于函数的单调性化归为自变量的大小，特别注意定义域。画抽象函数的“概念图”是化抽象为形象的有效途径；对某些有具体函数背景的抽象函数，可以从该具体函数中寻找解题线索。

【例12】已知奇函数f(x)在(,0)-∞为减函数，f(2)=0则不等式(x-1)f(x-1)<0的解集为：

【例13】已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式 f （a 2－2a －2）<3的解. 8、含参变量

无理不等式、含参变量的绝对值不等式、含参变量的指（对数）数不等式问题时常用数形结合。

【例14x a +在[-1，1]上恒成立，则a 的取值范围是

【例152(0)x a a <+>的解集是（ ）

A {}a x x <<0

B {}a x x ≤<0

C ??

?

???-<>a x x x 540或 D φ 9、含参不等式恒成立

通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）

具体地：g(a)>f(x)在x ∈A 上恒成立? g(a)>f(x)max ，g(a)

当参变量难以分离时，也可以用：f(a,x)>0在x∈A上恒成立?f(a,x)min>0, (x∈A)及f(a,x)<0在x∈A上恒成立?f(a,x)max>0, (x∈A)来转化；

还可以借助于函数图象解决问题。

特别关注：“不等式f(a,x)≥0对所有x∈M恒成立”与“不等式f(a,x)≥0对所有a∈M恒成立”是两个不同的问题，前者是关于x的不等式，而后者则应视为是关于a的不等式。

特别提醒：“判别式”只能用于“二次函数对一切实数恒成立”的问题，其它场合，概不适用。

【例16】定义在R上的函数f(x)为奇函数，且在[0,)

+∞为增函数，对任意θ∈R，不等式f(cos2θ-3)+f(2m-sinθ)>0恒成立，则实数m的取值范围是

【例17】设奇函数()

f x在[-1，1]上是增函数，且(1)1

f-=-，若函数

2

()21

f x t at

≤-+对所有的[1,1]

x∈-及所有的[1,1]

a∈-都成立，则t的取值范围

是；

不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

1).恒成立问题

若不等式

()A

x

f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上()min

f x A

>

若不等式

()B

x

f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上()max

f x B

<

2).能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式

()A

x

f>成立,则等价于在区间D上()max

f x A

>

；

若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B

<.如 已知不等式

a

x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____

（答：1a >） 3). 恰成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .

【例18】已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ?-+≤=?+>?，若()f x ax ≥，则a 的取值范围是

六、重要不等式

1.（1）若,a b R ∈，则2

2

2a b ab +≥ (2)若,a b R ∈，则22

2

a b ab +≤（当且仅当b a =时

取“=”）

2. (1)若*,a b R ∈，则2

a b

+≥ (2)若*,a b R ∈，则a b +≥（当且仅当b a =时取“=”）

(3)若*

,a b R ∈，则2

2a b ab +??≤ ???

(当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1

2x x

+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则111

22-2x x x x x x

+

≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2a b

b a

+≥ (当且仅当b a =时取“=”）

若0ab ≠，则

22-2a b a b a b

b a b a b a

+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）

4.若R b a ∈,，则222()22

a b a b ++≤（当且仅当b a =时取“=”） 注：

（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 一正：各项都是正数 二定：和或积为定值 三相等：等号能取到

（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．

+b 3

+c 3

≥3abc （a,b,c ? R +

）, a +b +c 3 ≥3abc

（当且仅当a =b =c 时取等号）；

6. 1n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n

a a a (a i ? R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号；

变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ? R +) ; abc ≤( a +b +c

3 )3(a,b,c ? R +)

a ≤ 2a

b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2

2 ≤b.(0

7.浓度不等式：b －n a －n < b a < b +m

a +m ,a>b>n>0,m>0;

解题技巧： 技巧一：凑项 已知 54x <

，求函数14245

y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 当

时，求(82)y x x =-的最大值。

技巧三： 分离

求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。 技巧四：换元

求函数2710

1

x x y x ++=+的最值

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数

()a

f x x x

=+

的单调性。

求函数2y =

的值域。

七、线性规划 常见的目标函数

（1） 截距型：形如z ax by =+，可以转化为a

z y x b b

=-+，利用直线在y 轴上的

截距大小确定目标函数的最值

【例】1、不等式组124x y x y +≥??-≤?的解集记为D 。有下面四个命题：

其中的真命题是

2、已知x ，y 满足约束条件0

20

x y x y y -≥+≤≥，若z ax y =+的最大值为4，则a=

（2） 点到点的距离型：形如22()()z x a y b =-+-，表示区域内的动点（x ，y ）

到定点（a ，b ）的距离的平方

【例】若变量x ，y 满足2

2390x y x y x +≤??

-≤??≥?

，则22x y +的最大值是

（3） 斜率型：形如y b

z x a

-=

-，表示区域内的动点（x ，y ）与定点（a ，b ）连线的斜率

【例】已知x，y满足

20

30

10

y

x

x y

-≤

?

?

+≥

?

?--≤

?

，则

6

4

x y

x

+-

-

的取值范围是

（4）点到直线的距离型：形如z Ax By C

=++，表示区域内的动点（x，y）到

直线0

Ax By C

++=

倍

补充：

1、x，y满足约束条件

20

220

220

x y

x y

x y

+-≤

?

?

--≤

?

?-+≥

?

，若z y ax

=-取得最大值的最优解不唯一，则实

数a的值

2、已知区域

10

10

330

x y

D x y

x y

-+≥

?

?

+-≥

?

?--≤

?

：的面积为S，点集{}

(,)|1

T x y D y kx

=∈≥+在坐标系中对

应区域的面积为，则k的值为

3、若不等式组

22

x y

x y

y

x y a

-≥

?

?+≤

?

?

≥

?

?+≤

?

表示的平面区域的形状为三角形，则a的取值范围是