勾股定理单元易错题提高题检测

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勾股定理单元易错题难题提高题检测试卷

勾股定理单元易错题难题提高题检测试卷一、选择题1．已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BQ ＝AC ，点F 在CE 的延长线上，CF ＝AB ，下列结论错误的是（）．A ．AF ⊥AQB ．AF=AQC ．AF=AD D ．F BAQ ∠=∠2．如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AC =2AB ,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE 如图放置,连接BE ,EC .下列判断:①△ABE ≌△DCE ;②BE =EC ;③BE ⊥EC ;④EC =3DE .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )A ．8B ．8.8C ．9.8D ．104．如图，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A 出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB 1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n 条棱所在的直线必须既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）A ．0B ．1C ．3D ．25．圆柱形杯子的高为18cm ，底面周长为24cm ，已知蚂蚁在外壁A 处（距杯子上沿2cm ）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm ），则蚂蚁从A 处爬到B 处的最短距离为（）A ．813B ．28C ．20D ．1226．如图，OP ＝1，过点P 作PP 1⊥OP ，且PP 1＝1，得OP 1＝2；再过点P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2＝1，得OP 2＝3；又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3＝1，得OP 3＝2……依此法继续作下去，得OP 2018的值为( )A 2016B 2017C 2018D 20197．以线段a 、b 、c 的长为边长能构成直角三角形的是（） A ．a =3，b=4，c=6B ．a =1，2，3C ．a =5，b=6，c=8D ．a 3b=2，58．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（）A ．1，26B ．3，5，4C ．5，12，13D ．3，2139．下列条件中，不能．．判定ABC 为直角三角形的是（） A ．::5:12:13a b c = B ．A B C ∠+∠=∠C ．::2:3:5A B C ∠∠∠=D ．6a =，12b =，10c = 10．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A ＝90°，BD ＝4，CF ＝6，设正方形ADOF 的边长为x ，则210x x +=（）A ．12B ．16C ．20D ．24二、填空题11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm 、3 dm 和1 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点的最短路程是 dm ．12．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上，点A 1在第一象限，且OA=1，以点A 1为直角顶点，OA 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2，再以点A 2为直角顶点，OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律，则点A 2018的坐标是_____．14．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上．若3AE =，7AD =，则AC 的长为_________15．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．16．若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且2AC BD =，则AD 的长为__________．17．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.18．在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，过点C 作直线l AB ，F 是l 上的一点，且AB AF =，则FC =__________．19．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．20．已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______ 三、解答题21．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）22．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点E 的运动时间为t :（秒）（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）（2）当1t =时，将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设MBN ∆的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．23．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .24．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =；（2）延长BD 与EF 交于点G ．①如图2，求证：60BGE ∠=︒；②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为______________．25．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB的值.26．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E .（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；（2）设,BC m AC n ==①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由.②若线段2AD EC =，求m n的值.27．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．（1）若OA ＝2，求点B 的坐标；（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 122），P 2（2，2），P 3（2，22），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是．（写出你认为正确的点）28．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ．ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数式表示）．29．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．30．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，CD 是边AB 的高线，动点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点F 从点C 出发，以相同的速度沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．（1）AE ＝（用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是度；（2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ；（3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，推导出EBH DCH ∠=∠；再结合题意，可证明FAC AQB △≌△，由此可得F BAQ ∠=∠,AF AQ =；再经90AEF ∠=得90F FAE ∠+∠=，从而证明AF ⊥AQ ；最后由勾股定理得222AQ AD QD =+，从而得到AF AD ≠，即可得到答案．【详解】如图，CE 和BD 相较于H∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高∴CE AB ⊥,BD AC ⊥∴90BEC BDC AEF ADQ ∠=∠=∠=∠=∴90EBH EHB DHC DCH ∠+∠=∠+∠=∵EHB DHC ∠=∠∴EBH DCH ∠=∠又∵BQ ＝AC 且CF ＝AB∴FAC AQB △≌△∴F BAQ ∠=∠,AF AQ =，故B 、D 结论正确；∵90AEF ∠=∴90F FAE ∠+∠=∴90BAQ FAE F FAE ∠+∠=∠+∠=∴AF ⊥AQ 故A 结论正确；∵90ADQ ∠=∴222AQ AD QD =+∵0QD ≠∴AQ AD ≠∴AF AD ≠故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解．2．C解析：C【分析】根据AC=2AB ，点D 是AC 的中点求出AB=CD ，再根据△ADE 是等腰直角三角形求出AE=DE ，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCE 全等，从而判断出①小题正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=EC ，从而判断出②小题正确；根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DEC ，然后推出∠BEC=∠AED ，从而判断出③小题正确；倍，用DE 表示出AD ，然后得到AB 、AC ，再根据勾股定理用DE 与EC 表示出BC ，整理即可得解，从而判断出④小题错误．【详解】解：∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点，∴CD=12AC=AB ， ∵△ADE 是等腰直角三角形，∴AE=DE ，∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°，∴∠BAE=∠CDE ，在△ABE 和△DCE 中，AB CD BAE CDE AE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCE （SAS ），故①小题正确；∴BE=EC ，∠AEB=∠DEC ，故②小题正确；∵∠AEB+∠BED=90°，∴∠DEC+∠BED=90°，∴BE ⊥EC ，故③小题正确；∵△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ，∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点，∴DE ，DE ，在Rt △ABC 中，BC 2=AB 2+AC 2=DE ）2+（DE ）2=10DE 2，∵BE=EC ，BE ⊥EC ，∴BC 2=BE 2+EC 2=2EC 2，∴2EC 2=10DE 2，解得，故④小题错误，综上所述，判断正确的有①②③共3个．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确识图，根据△ADE 是等腰直角三角形推出AE=DE ，∠BAE=∠CDE=135°是解题的关键，也是解决本题的突破口．3．C解析：C【分析】由AP+CP=AC 得到AP BP CP ++=BP+AC ，即计算当BP 最小时即可，此时BP ⊥AC ，根据三角形面积公式求出BP 即可得到答案.【详解】∵AP+CP=AC ，∴AP BP CP ++=BP+AC ，∴BP ⊥AC 时，AP BP CP ++有最小值，设AH ⊥BC ，∵56AB AC BC ===，∴BH=3， ∴224AH AB BH =-=, ∵1122ABC SBC AH AC BP =⋅=⋅， ∴1164522BP ⨯⨯=⨯, ∴BP=4.8，∴AP BP CP ++=AC+BP=5+4.8=9.8，故选：C.【点睛】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解AP BP CP ++时点P 的位置是解题的关键.4．D解析：D【分析】先确定黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点，再根据停止点确定它们之间的距离．【详解】根据题意可知黑甲壳虫爬行一圈的路线是AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C→CB→BA ，回到起点．乙甲壳虫爬行一圈的路线是AB→BB 1→B 1C 1→C 1D 1→D 1A 1→A 1A ．因此可以判断两个甲壳虫爬行一圈都是6条棱，因为2017÷6=336…1，所以黑、白两个甲壳虫各爬行完第2017条棱分别停止的点都是A1，B.所以它们之间的距离是2，故选D．【点睛】此题考查了立体图形的有关知识．注意找到规律：黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径是解此题的关键．5．C解析：C【解析】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.详解：如图所示，将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′，连接A′B,则A′B即为最短距离，A′B2222'++ (cm)A D BD=1216故选C.点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于EF的对称点A′是解题的关键.6．D解析：D【解析】【分析】由勾股定理求出各边，再观察结果的规律.【详解】∵OP=1，OP12OP23OP34=2，∴OP45…，OP20182019故选D【点睛】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键．7．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【详解】A 、222346+≠，C 、222568+≠，D 、2222+≠，故错误；B 、22213+==，能构成直角三角形，本选项正确. 故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识点，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的定理与运算.8．A解析：A【解析】A. 12+22)2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；B. 32+42=52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C. 52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D. 32+222，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选A.9．D解析：D【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90︒即可．【详解】解：A 、22251213+=，ABC ∆∴是直角三角形，故能判定ABC ∆是直角三角形； B 、A B C ∠+∠=∠，90C ∴∠=︒，故能判定ABC ∆是直角三角形；C 、::2:3:5A B C ∠∠∠=，518090235C ∴∠=⨯︒=︒++，故能判定ABC ∆是直角三角形；D 、22261012+≠，ABC ∆∴不是直角三角形，故不能判定ABC ∆是直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．10．D解析：D【分析】设正方形ADOF 的边长为x ，在直角三角形ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，整理方程即可．【详解】解：设正方形ADOF 的边长为x ，由题意得：BE ＝BD ＝4，CE ＝CF ＝6，∴BC ＝BE ＋CE ＝BD ＋CF ＝10，在Rt △ABC 中，AC 2＋AB 2＝BC 2，即（6＋x ）2＋（x ＋4）2＝102，整理得，x 2＋10x ﹣24＝0，∴x 2＋10x ＝24，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．二、填空题11．【解析】试题分析：将台阶展开，如图，331312,5,AC BC =⨯+⨯==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.dm考点：平面展开：最短路径问题．12．48【分析】用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，则()221S AB a b ==+，2222S HE a b ==+，()223S TM a b ==-， ∵123144S S S ++=，∴()()2222144a b a b a b ++++-=22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=2233144a b +=2248a b +=，∴248S =．故答案是：48．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．13．（0，21009）【解析】【分析】本题点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系．【详解】∵∠OAA 1=90°，OA=AA 1=1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，再以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…，∴OA 1=2，OA 2=（2）2，…，OA 2018=（2）2018，∵A 1、A 2、…，每8个一循环，∵2018=252×8+2∴点A 2018的在y 轴正半轴上，OA 2018=()20182=21009，故答案为（0，21009）.【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号． 14．5【分析】由题意可知，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，求出∠ACE ＝∠BCD 可证△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ＝3，∠ADB ＝90°，由勾股定理求出AB 即可得到AC 的长．【详解】解：如图所示，连接BD ，∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，且∠ACE ＝∠BCD ＝90°-∠ACD ，在ACE 和BCD 中，AC=BC ACE=BCD CE=CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ＝3，∠E ＝∠BDC ＝45°， ∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC ＝45°+45°＝90°，∴AB ＝22AD +BD =7+3=10，∵AB=2BC ，∴BC ＝2×AB=52，故答案为：5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．【分析】题中没有指明△ODP 的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P 的坐标．【详解】解：（1）OD 是等腰三角形的底边时，P 就是OD 的垂直平分线与CB 的交点，此时OP ＝PD ≠5；（2）OD 是等腰三角形的一条腰时：①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点，在直角△OPC 中，CP ＝22OP OC -＝2254-＝3，则P 的坐标是（3，4）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以5为半径的弧与CB 的交点，过D 作DM ⊥BC 于点M ，在直角△PDM 中，PM ＝22PD DM -＝3，当P 在M 的左边时，CP ＝5﹣3＝2，则P 的坐标是（2，4）；当P 在M 的右侧时，CP ＝5+3＝8，则P 的坐标是（8，4）．故P 的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.16．5【分析】在直角ABC 中，依据勾股定理求出AC 的长度，再算出BD ，过点B 作BE AC ⊥于点E ，通过等面积法求出BE ，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE ED 、，两者相加即为AD 的长.【详解】解：如图，过点B 作BE AC ⊥于点E ，则90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒,∵直角ABC 中，90B ∠=︒，6AB =，8BC =， ∴22=10AC AB BC +=,又∵2ABC S AB BC AC BE =⋅=⋅，2AC BD =∴6810BE ⨯=，5BD =,∴=4.8BE ,∵90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒ ∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=,∴5AD AE ED =+=.故答案为：5.【点睛】本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.1715【分析】根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案【详解】∵8,AB AC AD BC ==⊥∴点B 与点C 关于AD 对称过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥∴BD=2在Rt △A BC 中， 222282215AD AB BD =-=-= ∵S △ABC=1122BC AD AB CE ⋅⋅=⋅⋅ ∴42158CE ⨯= 得15CE =故此题填15【点睛】此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题18．31+或31- 【解析】如图，l AB ，2AC =，作AD l ⊥于点D ，∴1AD =，∵222AF AB ===，且F 有2个， ∴2212213DF DF ==-=∵1DC AD ==，∴1113CF CD DF =+= 2231CF DF CD =-=．点睛：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答，考查了学生的空间想象能力．19．8或10或12或25 3【详解】解：①如图1：当BC=CD=3m时，AB=AD=5m，AC⊥BD，此时等腰三角形绿地的面积：12×6×4=12（m2）；②如图2：当AC=CD=4m时，AC⊥CB，此时等腰三角形绿地的面积：12×4×4=8（m2）；③如图3：当AD=BD时，设AD=BD=xm，在Rt△ACD中，CD=（x-3）m，AC=4m，由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即(x-3)2+42=x2，解得x=256，此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×256×4=253（m2）；④如图4，延长BC到D，使BD=AB=5m，故CD=2m，此时等腰三角形绿地的面积：12BD·AC=12×5×4=10（m2）；综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m2或12m2或10m2或253m2．点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．20．522,322++【分析】过B作BF⊥CA于F，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到AC的长．【详解】分两种情况：①当∠C为锐角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，由折叠可得，折痕PE垂直平分AB，∴AP=BP=4，∴∠BPC=2∠A=45°，∴△BFP是等腰直角三角形，∴BF=DF=22，又∵BC=3，∴Rt△BFC中，CF=221BC BF-=，∴AC=AP+PF+CF=5+22；②当∠ACB为钝角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，同理可得，△BFP是等腰直角三角形，∴BF=FP=又∵BC=3，∴Rt△BCF中，1=，∴AC=AF-CF=3+故答案为：5+3+【点睛】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题21．（1）见解析；（2）CD AD+BD，理由见解析；（3）CD+BD【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE AD，∵CD＝DE+CE，∴CD AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠DAE ＝120°，AD ＝AE ，∴∠ADH ＝30°，∴AH ＝12AD ， ∴DH 22AD AH -3， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3+BD ，故答案为：CD 3+BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.22．（1）6-t ，t+23；（2）D(1，3)，y=34-x+154；（3）1515215()4215215()2b b S b b ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩【分析】（1）根据点E ，F 的运动轨迹和速度，即可得到答案；（2）由题意得：DF=OF=53，DE=OE=5，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，根据勾股定理得DG=4，进而得D(1，3)，根据待定系数法，即可得到答案；（3）根据题意得直线直线MN 的解析式为：34y x b =-+，从而得M(443b -，3)，分2种情况：①当点M 在线段DB 上时， ②当点M 在DB 的延长线上时，分别求出S 与b 之间的函数关系式，即可．【详解】∵(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，∴OA=6，OC=3，∵AE=t×1= t ， ∴OE =6-t ，OF =(t+23)×1=t+23，故答案是：6-t ，t+23；（2）当1t =时，OE =6-t=5，OF =t+23=53， ∵将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，∴DF=OF=53，DE=OE=5，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，则EG=OC=3，CG=OE=5，∴4=，∴CD=CG-DG=5-4=1，∴D(1，3)，设直线DE 的解析式为：y=kx+b ，把D(1，3)，E(5，0)代入y=kx+b ，得350k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：34154k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线DE 的解析式为：y=34-x+154；（3）∵MN ∥DE ，∴直线直线MN 的解析式为：34y x b =-+，令y=3，代入34y x b =-+，解得：x=443b -， ∴M(443b -，3)． ①当点M 在线段DB 上时，BM=6-(443b -)=4103b -+， ∴1143(10)223S BM AB b =⋅=⨯⨯-+=215b -+， ②当点M 在DB 的延长线上时，BM=443b --6=4103b -， ∴1143(10)223S BM AB b =⋅=⨯⨯-=215b -，综上所述：1515 215()4215215()2b bSb b⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握勾股定理与一次函数的待定系数法，是解题的关键．23．作图见解析，325【分析】作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，连接AN，首先用等积法求出AH的长，易证△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后设NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的长，A'M的长即为AN+MN的最小值．【详解】如图，作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，最小值为A'M的长．连接AN，在Rt△ABC中，AC=4，AB=8，∴2222AB AC=84=45++∵11AB AC=BC AH22⋅⋅∴8545∵CA⊥AB，A'M⊥AB，∴CA∥A'M∴∠C=∠A'NH，由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N在△ACH 和△A'NH 中，∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）∴A'N=AC=4=AN ，设NM=x ，在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x在Rt △AA'M 中，AA'=2AH=5，A 'M=A 'N+NM=4+x∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()224-+⎝⎭x∴()2224=16-+-⎝⎭x x 解得125x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+125=325 【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．24．（1）见解析；（2）①见解析；②2．【分析】（1）当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，然后由等边三角形的性质可得∠CBD 的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F 的度数，于是可得∠CBD 与∠F 的关系，进而可得结论；（2）①过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则易得△AHE 是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF ，∠BHE =∠ECF =120°，BH =EC ，于是可根据SAS 证明△BHE ≌△ECF ，可得∠EBH =∠FEC ，易证△BAE ≌△BCD ，可得∠ABE =∠CBD ，从而有∠FEC =∠CBD ，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE =∠BCD ，进而可得结论； ②易得∠BEG =90°，于是可知△BEF 是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE 和BF 的长，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM 、MC 、CF 、FN 、CN 、GN 的长，进而可得△GCN 也是等腰直角三角形，于是有∠BCG =90°，故所求的△BCG 的面积=12BC CG ⋅，而BC 和CG 可得，问题即得解决．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，∴1302DBC ABC ∠=∠=︒， ∵CF CD =，∴∠F =∠CDF ，∵∠F +∠CDF =∠ACB =60°，∴∠F =30°，∴∠CBD =∠F ，∴BD DF =；（2）①∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，AB=AC ，过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则∠AHE =∠ABC =60°，∠AEH =∠ACB =60°，∴△AHE 是等边三角形，∴AH=AE=HE ，∴BH =EC ，∵AE CD =，CD=CF ，∴EH=CF ，又∵∠BHE =∠ECF =120°，∴△BHE ≌△ECF （SAS ），∴∠EBH =∠FEC ，EB=EF ， ∵BA=BC ，∠A =∠ACB =60°，AE=CD ，∴△BAE ≌△BCD （SAS ），∴∠ABE =∠CBD ，∴∠FEC =∠CBD ，∵∠EDG =∠BDC ，∴∠BGE =∠BCD =60°；②∵∠BGE =60°，∠EBD =30°，∴∠BEG =90°，∵EB=EF ，∴∠F =∠EBF =45°， ∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =2，BE 3∴BF 226BE =232GF =，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，∴6BM ME MF ===∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =266262CF ==∴262312CN FN ===，∴)2323131GN GF FN CN =-=-==， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ，∴62CG CF ==∴△BCG 的面积=()()116262222BC CG ⋅=+-=．故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．25．（1）详见解析；（241；（33【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，3AB ，根据（1）思路得3AB .【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以AE=222AB AC AC +=因为AB AC =所以AE 2AB =又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠=所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以AD=BE=3AB所以33AD AB AB AB==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.26．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512m n = 【分析】（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案；②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.【详解】（1）解：作图，如图所示：（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.理由如下：依题意得， BD BC m ==，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒222BC AC AB ∴=+22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+222AD m AD n ∴+-)()2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-0=；∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ==== 2AD EC =2233AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠= 222BC AC AB ∴+=22223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 22224493m n n mn m +=++25493n mn = 512m n ∴= 【点睛】本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．27．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P （4，2），②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A （a ，a ）（a ＞0），根据AB 2+OB 2=OA 2，构建方程即可解决问题；（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF ，CG=CF 即可解决问题；（3）①如图3中，在BC 的延长线上取点P ，使得CP=DB ，连接AP ．只要证明△ACP ≌△CDB （SAS ），△ABP 是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS 即可判断满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3；【详解】解：（1）∵点A 在射线y ＝x （x ≥0）上，故可以假设A （a ，a ）（a ＞0）， ∵AB ⊥x 轴，∴AB ＝OB ＝a ，即△ABO 是等腰直角三角形，∴AB 2+OB 2＝OA 2，∴a 2+a 2＝（52）2，解得a ＝5，∴点B 坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF ⊥x 轴于F ．∵OC 平分∠AOB ，CH ⊥OE ，∴CH ＝CF ，∵△AOB 是等腰直角三角形，∴∠AOB ＝45°，∵BC ∥OE ，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝12∠DAE＝12（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝12∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP和△CDB中，AC ADACP DB CP DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△CDB（SAS），∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴AP＝AB＝OB＝2，∴P（4，2）．②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．理由：如图4中，。

勾股定理单元易错题难题提高题检测试题

勾股定理单元易错题难题提高题检测试题一、选择题1．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ，其中116S =，245S =，511S =，614S =，则43S S +=（）．A ．86B ．61C ．54D ．482．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．6 3．△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长为（）A ．42B ．32C ．42或32D ．37或334．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（）A ．1cmB ．1.5cmC ．2cmD ．3cm5．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若S 1+S 2+S 3=15，则S 2的值是( )A ．3B ．154C ．5D ．1526．如图所示，有一个高18cm ，底面周长为24cm 的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．24cm7．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ︒∠=，4=AD ，3BC =．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（）A ．2B ．4C ．3D 108．长度分别为9cm 、12cm 、15cm 、36cm 、39cm 五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，25三角形的三边长，能构成直角三角形的是（） A ．② B ．①② C ．①③ D ．②③ 10．下列各组数据，是三角形的三边长能构成直角三角形的是（）A ．2,3,4B ．4,5,6C ．2223,4,5D ．6,8,10二、填空题11．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．12．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A 处出发沿长方体表面爬行到C ＇处，若长方体的长4cm AB =，宽2cm BC =，高1cm BB '=，则蚂蚁爬行的最短路径长是___________．13．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 14．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___ 15．已知x ，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x ﹣6）2=9，y =3，则该三角形的第三边长为_____．16．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿着纸箱的表面爬到点B 处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.17．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________18．如图，Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，D 为斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则EF 的最小值是_____．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，BD 是高，则点BD 的长为_____．20．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P的斜坐标为（1，22），点G的斜坐标为（7，﹣22），连接PG，则线段PG的长度是_____．三、解答题21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．23．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点E 的运动时间为t :（秒）（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）（2）当1t =时，将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设MBN ∆的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．24．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.25．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值.26．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”． 27．（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+；勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝弦25＝（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、24、：第二组：、、37．28．（已知：如图1，矩形OACB 的顶点A ，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y 轴上一点且坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC ﹣CB 方向运动，到达点B 时运动停止．（1）设点P 运动时间为t ，△BPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当点P 运动到线段CB 上时（如图2），将矩形OACB 沿OP 折叠，顶点B 恰好落在边AC 上点B ′位置，求此时点P 坐标；（3）在点P 运动过程中，是否存在△BPD 为等腰三角形的情况？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．29．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．30．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设1S ，2S ，3S 对应的边长为1L ，2L ，3L ，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性质，得23L ，从而计算得到3S ；设4S ，5S ，6S 对应的边长为4L ，5L ，6L ，通过圆形面积和勾股定理性质，得24L ，从而计算得到4S ，即可得到答案．【详解】分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S 则1S ，2S ，3S 对应的边长设为1L ，2L ，3L根据题意得：21111116224S L L L =⨯==22245S L == ∴21L =，22L =∵222132L L L +=∴22232129L L L =-=∴2332929S === 以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6 S 则4S ，5S ，6S 对应的边长设为4L ，5L ，6L 根据题意得：2255511228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭2266614228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭∴25811L π=⨯，26814L π=⨯∵222564L L L +=∴()22245688111425L L L ππ=+=⨯+=⨯∴2448S 252588L πππ==⨯⨯=∴43292554S S +=+= 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算的性质，从而完成求解．2．C解析：C 【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。

勾股定理单元易错题难题测试提优卷

一、选择题1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF =- ④ AC=AFA ．①②③B ．①②③④C ．②③④D ．①③④2．如图，点A 的坐标是(2)2，，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（）A ．（2，0）B ．（4，0）C ．（－22，0）D ．（3，0）3．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和210，则斜边长为（） A ．10B ．410C ．13D ．213 4．已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（） A ．3B ．3C ．5D ．3或5 5．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A ．内角和为360°B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对角线互相垂直6．三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（）A ．6B ．36C ．64D ．87．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30,40,60B．7,12,13C．6,8,10D．3,4,68．下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为 1：2：3 的三角形B．三个边长之比为 3：4：5 的三角形C．三个边长之比为 8：16：17 的三角形D．三个角度之比为 1：1：2 的三角形9．如图，已知数轴上点P表示的数为1-，点A表示的数为1，过点A作直线l垂直于PA，在l上取点B，使1AB=，以点P为圆心，以PB为半径作弧，弧与数轴的交点C 所表示的数为（）A．5B．51-C．51+D．51-+10．如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（）A 33B．4cm C．2cm D．6cm二、填空题11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．12．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD ，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD ＝32，则AB 的长为__________．13．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A 处出发沿长方体表面爬行到C ＇处，若长方体的长4cm AB =，宽2cm BC =，高1cm BB '=，则蚂蚁爬行的最短路径长是___________．14．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________. 15．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,以AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA ，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB 的长为__________.16．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______17．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号) ①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°18．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．20．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB ，且 BD=3，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是____________．三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．（1）则BC =____________cm ；（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________? （3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.（1）求CD 的长.（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.24．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．（1）若OA ＝2，求点B 的坐标；（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P使得△ACP与△BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P1（2，2），P2（2，22），P3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP与△BDC全等的点是．（写出你认为正确的点）25．如图1, △ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a，且点A、D、E在同一直线上，连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°，CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10, 试求AB的长.(3)如图3,若a=120°, CM⊥AE于E, BN⊥AE于N, BN=a, CM=b,直接写出AE的值(用a, b 的代数式表示).26．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．图1 图2 备用图27．2ABCD中，点O是对角线AC的中点，E是线段OA上一动点（不包括两个端点），连接BE.（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G . ①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.28．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．29．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝43，求菱形ABCD 的面积．30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A ．一定是锐角三角形B ．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C ．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠， ∵AF CD ⊥，∴90AGD ∠=︒， ∴90FAB CDA ∠=︒-∠， ∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确； ∵3CG =，1DG =， ∴314CD CG DG =+=+=， ∴4AC CD ==，在Rt ACG 中，221697AG AC CG =-=-=，∴1272ACDSAG CD =⋅=，故②正确； ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒， ∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠，∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确；∴47GF AF AG =-=-，在Rt CGF 中，()2222347272CF CG GF =+=+-=-，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理．2．D解析：D 【详解】解：（1）当点P 在x 轴正半轴上， ①以OA 为腰时，∵A 的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，OA=22，∴P的坐标是（4，0）或（22，0）；②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP；（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA= 22∴OA=AP=2∴P的坐标是（-220）．故选D．3．D解析：D【分析】根据已知设AC＝x，BC＝y，在Rt△ACD和Rt△BCE中，根据勾股定理分别列等式，从而求得AC，BC的长，最后根据勾股定理即可求得AB的长．【详解】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD、BE为△ABC的两条中线，且AD＝10，BE＝5，求AB的长．设AC＝x，BC＝y，根据勾股定理得：在Rt△ACD中，x2+（12y）2＝（10）2，在Rt△BCE中，（12x）2+y2＝52，解之得，x＝6，y＝4，∴在Rt△ABC中，2264213AB+=，故选：D．【点睛】此题考查勾股定理的运用，在直角三角形中，已知两条边长时，可利用勾股定理求第三条边的长度.4．D解析：D【解析】当一直角边、斜边为1和2时，第三边==；当两直角边长为1和2时，第三边==；故选：D．5．C解析：C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键. 6．B解析：B【分析】根据直角三角形的勾股定理，得：两条直角边的平方等于斜边的平方．再根据正方形的面积公式，知：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．【详解】解：A的面积等于100-64=36；故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理的证明：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．7．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【详解】A 、∵222304060+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；B 、∵22271213+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；C 、∵2226810+=，∴该选项的三条线段能构成直角三角形；D 、∵222346+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；故选：C .【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理的计算法则及正确计算是解题的关键.8．C解析：C【分析】三角形内角和180°，根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.【详解】A 中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形； D 中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；B 中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x 、4x 、5x ，满足：()()()222345x x x +=，是直角三角形；C 中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x 、16x 、17x ，()()()22281617x x x +≠，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形故选：C【点睛】本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种；（1）有一个角是直角的三角形；（2）三边长满足勾股定理逆定理. 9．B解析：B【分析】由数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，得PA=2，根据勾股定理得PB 而即可得到答案．【详解】∵数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，∴PA=2，又∵l⊥PA，1AB=，∴PB=∵∴数轴上点C1．故选B．【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理，掌握数轴上两点之间的距离求法，是解题的关键．10．A解析：A【分析】先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长.【详解】∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由AD＝AD，所以，Rt△ACD≌Rt△AED，所以，AC=AE.∵E为AB中点，∴AC=AE=12AB，所以，∠B=30° .∵DE为AB中线且DE⊥AB，∴AD=BD=3cm ，∴DE=12BD=32,∴=故选A.【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.二、填空题11．103．【解析】试题解析：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， ∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=10， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=10，故3x+12y=10， x+4y=103，所以S 2=x+4y=103．考点：勾股定理的证明．12．【分析】利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到12BC AB =，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB .【详解】在Rt △ACD 中，CD=AD=∴6=，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴12BC AB =， ∵222AC BC AB +=， ∴22216()2AB AB +=,解得AB=故答案为：【点睛】此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键. 13．5cm【分析】连接AC ＇，分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AC ＇长，再比较大小即可得出结果．【详解】解：如图展开成平面图，连接AC ＇，分三种情况讨论：如图1，AB=4，BC ＇=1+2=3，∴在Rt △ABC ＇中，由勾股定理得AC ＇=2243+=5（cm ），如图2，AC=4+2=6，CC ＇=1∴在Rt △ACC ＇中，由勾股定理得AC ＇=2261+=37（cm ），如图3，AD =2，DC ＇=1+4=5，∴在Rt △ADC ＇中，由勾股定理得AC ＇=2225+=29（cm ）∵5<29<37，∴蚂蚁爬行的最短路径长是5cm ，故答案为：5cm ．【点睛】本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意要分类讨论．14．1425+或825+【分析】分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长．【详解】解：分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，∴BC=253+， ∴△ABC 的周长为：652531425+++=+；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22226425AB AD -=-=，在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=2222543AC AD -=-=，∴BC=253-， ∴△ABC 的周长为：65253825++-=+；综合上述，△ABC 的周长为：1425+或825+；故答案为：1425+或825+.【点睛】此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 15．12【分析】延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证∆BCO ≅∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得BE=()()222210210220BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.【详解】如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.因为三角形COA 是等腰直角三角形所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°因为∠ABC=90°，∠AOC=90°，所以∠BAO+∠BCO=180°,又∠BAO+∠OAE=180°所以∠BCO=∠OAE所以∆BCO ≅∠EAO所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90°所以三角形BOE 是等腰直角三角形所以BE=()()222210210220BO EO +=+=所以AB=BE-AE=20-8=12故答案为：12【点睛】考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.16．322或11或5或1095 【分析】分别就E ，F 在AC,BC 上和延长线上，分别画出图形，过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H ，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.【详解】解：①过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D 是AB 的中点，∴DG=12BC 同理：DH=12AC 又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE 和Rt△DHF 中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG =HC∴CE=GC -GE=CH-HF=CF=AB-BF=3223332+=②过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D 是AB 的中点， ∴DG=12BC 同理：DH=12AC 又∵BC=AC∴DG=DH 在Rt△DGE 和Rt△DHF 中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11∴EF=221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直角三角形，∴∠1+∠2=45°∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°∴△EDF 为等腰直角三角形可证AED CFD △△≌∴AE=CF=3,CE=BF=4∴2222435EF CE CF =+=+=④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形，∴ED=DF=522,可证△E CF E DE ''∆∽,2223y x +=525222x =+综上可得：25x =∴2222E F DE DF DE '''''=+=1095E F ''= 【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.17．①②③【解析】【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，60ABC ∴∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ， 60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，∴△BPQ 是等边三角形，①正确.∴PQ =BP =4，2222224325,525PQ QC PC +=+===，222PQ QC PC ∴+=，90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确. ∵△BPQ 是等边三角形，60PBQ BQP ∴∠=∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠APB =∠B QC ，6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，90PQC PQ QC ∠=≠，，45QPC ∴∠≠，即135APC ∠≠，④错误.故答案为①②③.18．等腰直角三角形【解析】根据非负数的意义，由()22220c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角形是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形.点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.19．2-【分析】根据已知条件，添加辅助线可得△EAC ≌△DAM （SAS ），进而得出当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，转化成求DM 的最小值，通过已知值计算即可．【详解】解：如图所示，在AB 上取AM=AC=2，∵90ACB ∠=，2AC BC ==，∴∠CAB=45°，又∵45EAD ∠=，∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD=45°，∴∠EAC =∠DAB ，∴在△EAC 与△DAB 中AE=AD ，∠EAF =∠DAB ，AC =AM ，∴△EAC ≌△DAM （SAS ）∴CE=MD ，∴当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，∵AC=BC=2，由勾股定理可得2222AB AC BC=+=，∴222=-BM，∵∠B=45°，∴△BDM为等腰直角三角形，∴DM=BD，由勾股定理可得222+BD DM=BM∴DM=BD=22-∴CE=DM=22-故答案为：22-【点睛】本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到CE最小时的状态，化动为静．20．3或3或15【分析】根据直角三角形的性质求出BC，勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质列式计算即可．【详解】解：如图∵∠B=90°，∠A=30°，∴BC=12AC=12×8=4，由勾股定理得，22228443AC BC-=-=43333AD∴==当点P在AC上时，∠A=30°，AP=2PD，∴∠ADP=90°，则AD 2+PD 2=AP 2，即（2=（2PD ）2-PD 2，解得，PD=3，当点P 在AB 上时，AP=2PD ，∴当点P 在BC 上时，AP=2PD ，设PD=x ，则AP=2x ，由勾股定理得，BP 2=PD 2-BD 2=x 2-3，()(22223x x ∴-=-解得，故答案为：3【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．三、解答题21．（12）150°；（3【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD（2）在△ADE 中，∵2AD AE DE ===，∴DE 2+AE 2＝2222+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，∴AE ＝CP ，在△AEG 与△CPG 中，∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，∴△AEG ≌△CPG ，∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12， ∴AG ()2222113322AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG 13【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【详解】（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =-=-=(cm )．故答案为：12；（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，∴PC = PA =t ，PB =16-t ．在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +-=（，解得：t =252． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132⨯-=(cm )；（3）分三种情况讨论：①当CQ =BQ 时，如图1所示，则∠C =∠CBQ ．∵∠ABC =90°，∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，∴∠A =∠ABQ ，∴BQ =AQ ，∴CQ =AQ =10，∴BC +CQ =22，∴t =22÷2=11(s )．②当CQ =BC 时，如图2所示，则BC +CQ =24，∴t =24÷2=12(s )．③当BC =BQ 时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯===， ∴CE 2222483612()55BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，∴CQ =2CE =14.4，∴BC +CQ =26.4，∴t =26.4÷2=13.2(s )．综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．23．（1）CD=8；（2）t=4；（3）12-=t v t (26t ≤<) 【分析】（1）作AE ⊥BC 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=12BC ，然后利用勾股定理求出AE ，再用等面积法可求出CD 的长；（2）①过B 作BF ⊥AC 于F ，易得BF=CD ，分别讨论Q 点在AF 和FC 之间时，根据△BQF ≌△CPD ，得到PD=QF ，建立方程即可求出t 的值；（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q 在FC 之间求出t 的取值范围即可.【详解】解：（1）如图，作AE ⊥BC 于E ，∵AB=AC ，∴BE=12BC=25在Rt△ABE中，()2222AE=AB BE=1025=45--∵△ABC的面积=11BC AE=AB CD 22⋅⋅∴BC AE4545 CD===8AB⋅⨯（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，∵△ABC的面积=11AC BF=AB CD22⋅⋅，AB=AC∴BF=CD在Rt△CPD和Rt△BQF中∵CP=BQ，CD=BF，∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）∴PD=QF在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10∴22AD=AC CD=6-同理可得AF=6∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t 由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，∵t＞0，∴此种情况不符合题意，舍去；当Q点在FC之间时，如图所示，此时PD=6-t ，QF=2t-6由PD=QF 得6-t=2t-6，解得t=4，综上得t 的值为4.（3）同（2）可知v ＞1时，Q 在AF 之间不存在CP=BQ ，Q 在FC 之间存在CP=BQ ，Q 在F 点时，显然CP ≠BQ ，∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ，∴PD=6-t ，QF=vt-6，由PD=QF 得6-t=vt-6，整理得12-=t v t， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC∴610<≤vt ，代入12-=t v t得 61210<-≤t ，解得26t ≤< 所以答案为12-=t v t (26t ≤<) 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.24．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P （4，2），②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A （a ，a ）（a ＞0），根据AB 2+OB 2=OA 2，构建方程即可解决问题；（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF ，CG=CF 即可解决问题；（3）①如图3中，在BC 的延长线上取点P ，使得CP=DB ，连接AP ．只要证明△ACP ≌△CDB （SAS ），△ABP 是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS 即可判断满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3；【详解】解：（1）∵点A 在射线y ＝x （x ≥0）上，故可以假设A （a ，a ）（a ＞0），∵AB⊥x轴，∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，∴AB2+OB2＝OA2，∴a2+a2＝（52）2，解得a＝5，∴点B坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝12∠DAE＝12（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝12∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP和△CDB中，AC ADACP DB CP DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△CDB（SAS），∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴AP＝AB＝OB＝2，∴P（4，2）．②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．理由：如图4中，由题意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根据SAS可得△CAP1≌△CDB；AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根据SAS可得△CAP2≌△CDB；AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB；故答案为P1、P2，P3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．25．（1）见解析；（2）26；（3）3a+ 【分析】（1）由∠ACB=∠DCE 可得出∠ACD=∠BCE ，再利用SAS 判定△ACD ≌△BCE ，即可得到AD=BE ；（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=12DE ，同（1）可证△ACD ≌△BCE ，得到AD=BE ，然后可求AE 的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB 的长；（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt △BEN 中即可求出BE ，由于BE=AD ，所以利用AE=AD+DE 即可得出答案.【详解】证明：（1）∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE（2）∵∠DCE=90°，CD=CE ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∵CM ⊥DE ，∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点∴CM=12DE ， ∴DE=2CM=14，∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE∴AE=AD+DE=24如图，设AE ，BC 交于点H ，在△ACH和△BEH中，∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH，而∠CAH=∠EBH，∴∠BEH=∠ACH=90°，∴△ABE为直角三角形由勾股定理得2222AB=AE BE=2410=26++（3）由（1）（2）可得△ACD≌△BCE，∴∠DAC=∠EBC，∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=120°∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM，∴CD=CE=2CM，3CM∴33∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°，∴∠NBE=30°，∴BE=2EN，3EN∵BN=a∴23=AD∴2323+b【点睛】本题考查全等三角形的旋转模型，掌握此模型的特点得到全等三角形是关键，其中还需要用到等腰三角形三线合一与30度所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本知识点是关键.26．（1）见详解；（2）①t值为：103s或6s；②t值为：4.5或5或4912．【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；②根据题意得出当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，在Rt△ACD中，AC=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，∴S△ABC=12×5x×4x=40cm2，而x＞0，∴x=2cm，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．由运动知，AM=10-2t，AN=t，①当MN∥BC时，AM=AN，即10-2t=t，∴103t ；当DN∥BC时，AD=AN，∴6=t，得：t=6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为103s或6s．②存在，理由：Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形Ⅲ、当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，∴DE=12AC=5当DE=DM，则2t-4=5，∴t=4.5s；当ED=EM，则点M运动到点A，∴t=5s；当MD=ME=2t-4，如图，过点E作EF垂直AB于F，∵ED=EA，∴DF=AF=12AD=3，在Rt △AEF 中，EF=4；∵BM=2t ，BF=BD+DF=4+3=7，∴FM=2t-7在Rt △EFM 中，（2t-4）2-（2t-7）2=42，∴t=4912．综上所述，符合要求的t 值为4.5或5或4912．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．27．(1)①见解析；②()22012x y x x-=<<-；（2）见解析【解析】【分析】（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED ，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE 交AD 于点M ，再连接MO 并延长交BC 于点N ，再连接DN 交AC 于点Q ，问题即得解决.【详解】（1）①证明：如图1，连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴CB=CD ，∠BCE =∠DCE =45°，又∵CE=CE ，∴△CBE ≌△CDE （SAS ），∴EB=ED ，∠CBE =∠1，∵∠BEC =90°，∠BCF =90°，∴∠EBC +∠EFC =180°，∵∠EFC +∠2=180°，∴∠EBC =∠2，∴∠1=∠2.∴ED=EF ，∴BE=EF .。

人教版八年级初二数学第二学期勾股定理单元易错题提高题学能测试

一、选择题1．在ABC ∆中，D 是直线BC 上一点，已知15AB =，12AD =，13AC =，5CD =，则BC 的长为（）A ．4或14B ．10或14C ．14D ．102．如图钢架中，∠A ＝15°，现焊上与AP 1等长的钢条P 1P 2，P 2P 3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（）A ．16B ．15C ．12D ．103．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A ．20B ．24C ．994D ．5324．一个直角三角形两边长分别是12和 5，则第三边的长是（）A ．13B ．13或15C ．13或119D ．155．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，∠C=90°，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，若CE=1，AB=42，则下列结论一定正确的个数是（）①2CD ；②BD>CE ；③∠CED+∠DFB=2∠EDF ；④△DCE 与△BDF 的周长相等； A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个 6．已知,,a b c 是ABC ∆的三边，且满足222()()0a b a b c ---=，则ABC ∆是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)( )A ．3B ．5C ．4.2D ．4 8．在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（）A ．8B ．9.6C ．10D ．12 9．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（） A ．如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形C ．如果 a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形D ．如果 a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°10．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米二、填空题11．如图，点E 在DBC △边DB 上，点A 在DBC △内部，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ，给出下列结论，其中正确的是_____（填序号）①BD ＝CE ；②∠DCB ＝∠ABD ＝45°；③BD ⊥CE ；④BE 2＝2（AD 2+AB 2）．12．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD ，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD ＝32，则AB 的长为__________．13．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD+等于_________.⊥，则AD BC∆的周长为_______________．14．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC15．如图，长方形ABCD中，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=CD=6，AD=BC=10，点E为射线AD上的一个动点，若△ABE与△A′BE关于直线BE对称，当△A′BC为直角三角形时，AE 的长为______．16．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，斜边AB的垂直平分线DE交边BC于点D，连接AD，线段CD的长为_________．17．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝5，AC＝2，D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是_____．18．如图，E为等腰直角△ABC的边AB上的一点，要使AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，则PB＋PE的最小值为____________．19．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，若点A 在x 轴上对应的实数为a ，点B 在y 轴上对应的实数为b ，则称有序实数对（a ，b ）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P 的斜坐标为（1，22），点G 的斜坐标为（7，﹣22），连接PG ，则线段PG 的长度是_____．20．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，7AD =，则EF =__________.三、解答题21．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为AC 边上一动点，且不与点A 点C 重合，连接BD 并延长，在BD 延长线上取一点E ，使AE ＝AB ，连接CE ．（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝度；（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．22．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）23．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长；（2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=︒，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转90︒）；（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=︒，1AM =，求BM 的长．24．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点E 的运动时间为t :（秒）（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）（2）当1t =时，将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设MBN ∆的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．25．如图，ABC ∆是等边三角形，,D E 为AC 上两点，且AE CD =，延长BC 至点F ，使CF CD =，连接BD ．（1）如图1，当,D E 两点重合时，求证：BD DF =；（2）延长BD 与EF 交于点G ．①如图2，求证：60BGE ∠=︒；②如图3，连接,BE CG ，若30,4EBD BG ∠=︒=，则BCG ∆的面积为______________．26．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在 ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==，当E 、P 、D 三点共线时，7BP =．下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 的距离为5；②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+=+；=532ABD S ∆+③； ④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232-；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．27．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)28．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.（1）求CD 的长.（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.29．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).30．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝43，求菱形ABCD 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据AC =13，AD =12，CD =5，可判断出△ADC 是直角三角形，在Rt △ADB 中求出BD ，继而可得出BC 的长度．【详解】∵AC =13，AD =12，CD =5，∴222AD CD AC +=，∴△ABD 是直角三角形，AD ⊥BC ，由于点D 在直线BC 上，分两种情况讨论：当点D 在线段BC 上时，如图所示，在Rt △ADB 中，229BD AB AD =-=，则14BC BD CD =+=；②当点D 在BC 延长线上时，如图所示，在Rt △ADB 中，229BD AB AD =-=，则4BC BD CD =-=．故答案为：Ａ．【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，需要分类讨论，掌握勾股定理和逆定理的应用为解题关键．2．D解析：D【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，求出钢条的根数，然后根据最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离即AP 5为4+23，设AP 1＝a ，作P 2D ⊥AB 于点D ，再用含a 的式子表示出P 1P 3，P 3P 5，从而可求出a 的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．【详解】解：如图，∵AP 1与各钢条的长度相等，∴∠A=∠P 1P 2A=15°，∴∠P 2P 1P 3=30°，∴∠P 1P 3P 2=30°，∴∠P 3P 2P 4=45°，∴∠P 3P 4P 2=45°，∴∠P 4P 3P 5=60°，∴∠P 3P 5P 4=60°，∴∠P 5P 4P 6=75°，∴∠P 4P 6P 5=75°，∴∠P 6P 5B=90°，此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条．设AP 1＝a ，作P 2D ⊥AB 于点D ，∵∠P 2P 1D ＝30°，∴P 2D=12P 1P 2，∴P 1D ＝3a ， ∵P 1P 2=P 2P 3，∴P 1P 3＝2P 1D =3a ，∵∠P 4P 3P 5=60°，P 3P 4=P 4P 5，∴△P 4P 3P 5是等边三角形，∴P 3P 5＝a ，∵最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为4+23，∴AP 5=a +3a +a ＝4+23，解得，a ＝2，∴所有钢条的总长为2×5＝10，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键．3．B解析：B【分析】设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和，也等于长乘以宽，列出方程，化简再代入a,b的值，得出x2＋7x=12，再根据矩形的面积公式，整体代入即可.【详解】设小正方形的边长为x，则矩形的一边长为（a+x）,另一边为（b+x）,根据题意得：2（ax+x2+bx）=（a+x）（b+x）,化简得：ax+x2+bx-ab=0，又∵ a = 3 ， b = 4 ，∴x2＋7x=12;∴该矩形的面积为=（a+x）（b+x）=（3+x）（4+x）=x2＋7x+12=24.故答案为B.【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.4．C解析：C【分析】记第三边为c，然后分c为直角三角形的斜边和直角边两种情况，利用勾股定理求解即可．【详解】解：记第三边为c，若c为直角三角形的斜边，则13c==；若c为直角三角形的直角边，则c=故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，属于基本题目，正确分类、熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．D解析：D【分析】利用等腰直角三角形的相关性质运用勾股定理以及对应角度的关系来推导对应选项的结论即可.【详解】解：由AC=BC=4，则AE=3=DE，由勾股定理可得，①正确；BD=4-221，②正确；由∠A=∠EDF=45°，则2∠EDF=90°，∠CED=90°-∠CDE=90°-（∠CDF-45°）= 135°-∠CDF=135°-（∠DFB+45°）= 90°-∠DFB，故∠CED+∠DFB=90°=2∠EDF，③正确；△DCE的周长=CD+CE+DE=22+4，△BDF的周长=BD+BF+DF=BD+AB=42+4-22=4+22，④正确；故正确的选项有4个，故选：D.【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的相关性质以及勾股定理的运用,本题涉及的等腰直角三角形、翻折、勾股定理以及边角关系，需要熟练地掌握对应性质以及灵活的运用.6．D解析：D【分析】由（a-b）（a2-b2-c2）=0，可得：a-b=0，或a2-b2-c2=0，进而可得a=b或a2=b2+c2，进而判断△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．【详解】解：∵（a-b）（a2-b2-c2）=0，∴a-b=0，或a2-b2-c2=0，即a=b或a2=b2+c2，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定，解题时注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，满足a2+b2=c2的三角形是直角三角形．7．C解析：C【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+42=（10-x）2，解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．故选C．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．8．B解析：B【分析】如图，作CE AB ⊥与E,利用勾股定理的逆定理证明AD BC ⊥,再利用面积法求出EC 即可.【详解】如图，作CE AB ⊥与E.AD 是ABC ∆的中线,BC =12,∴BD=6,10,8,6,AB AD BD ===∴ 222AB AD BD =+,90,ADB ∴∠=,AD BC ∴⊥ 11,22ABC S BC AD AB CE ∆== 1289.6.10CE ⨯∴== 故选B.【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.9．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【详解】选项A 中如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，由∠A+∠B+∠C ＝180°，可得∠A ＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；选项B 中如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C ＝180°，可得∠A ＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；选项C 中如果 a 2：b 2：c 2＝9：16：25，满足a 2+b 2＝c 2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；选项D 中如果 a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠B ＝90°，选项错误；故选D ．【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题．10．A解析：A【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．详解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：12×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故选A ．点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．二、填空题11．①③【分析】①由已知条件证明DAB ≌EAC 即可；②由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°；③由∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°可判断③； ④由BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2可判断④．【详解】解：∵∠DAE ＝∠BAC ＝90°，∴∠DAB ＝∠EAC ，∵AD ＝AE ，AB ＝AC ，∴∠AED=∠ADE=∠ABC=∠ACB=45°， ∵在DAB 和EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴DAB ≌EAC ，∴BD ＝CE ，∠ABD ＝∠ECA ，故①正确；由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°故②错误；∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°，∴∠CEB ＝90°，即CE ⊥BD ，故③正确；∴BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2．∴BE 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2，故④错误．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定理公式是解题关键．12．【分析】利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到12BC AB =，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB .【详解】在Rt △ACD 中，CD=AD=∴6=，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴12BC AB =， ∵222AC BC AB +=， ∴22216()2AB AB +=,解得AB=故答案为：【点睛】此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键.13．3【分析】由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.【详解】解：∵//AD BC ，AB DC =，∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴1AD AB ==，∴2C DBC ∠=∠，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵三角形内角和为180°，∴90DBC C ∠+∠=︒，∴260C DBC ∠=∠=︒，∴2212BC CD ==⨯=，∴123AD BC +=+=.故答案为：3．【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．14．32或42【分析】根据题意画出图形，分两种情况：△ABC 是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC ，即可得到答案【详解】当△ABC 是钝角三角形时，∵∠D=90°，AC=13，AD=12， ∴222213125CD AC AD =-=-=,∵∠D=90°，AB=15，AD=12， ∴222215129BD AB AD =-=-=,∴BC=BD-CD=9-5=4，∴△ABC 的周长=4+15+13=32；当△ABC 是锐角三角形时，∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，∴222213125CD AC AD -=-=，∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，∴222215129BD AB AD =-=-，∴BC=BD-CD=9+5=14，∴△ABC 的周长=14+15+13=42；综上，△ABC 的周长是32或42，故答案为：32或42.【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键. 15．2或18【分析】分两种情况:点E 在AD 线段上,点E 为AD 延长线上的一点,进一步分析探讨得出答案即可.【详解】解：①如图点E 在AD 线段上，△ABE 与△A ′B E 关于直线BE 对称，∴△A ′BE ≌△ABE,∴∠B A′E=∠A=90o ,AB=A ′B∠B A′C =90o ,∴E 、A',C 三点共线,在△ECD 与△CB A′中，{CD A BD BA C DEC ECB='∠=∠'∠=∠,∴△ECD ≌△CB A′,∴CE=BC=10,在RT △CB A′中，A′C=22BC BA -'=22106-=8,∴AE= A′E=CE - A′C=10-8=2;②如图点E 为AD 延长线上,由题意得：∠A"BC+∠A"CB=∠DCE+∠A"CB=90o∴∠A"BC=∠DCE,在△A"BC 与△DCE 中，"={""A CDECD A B A BC DCE∠∠=∠=∠∴△A"BC ≌△DCE,DE= A"C,在RT △ A"BC 中，∴AE=AD+DE=AD+ A"C=10+8=18;综上所知,AE=2或18.故答案为:2或18.【点睛】此题考查翻折的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理,掌握翻折的性质,分类探讨的思想方法是解决问题的关键.16．78．【解析】 ∵∠C =90°，AB =5，BC =4，∴AC．∵AB 的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，∴BD =AD ．设CD =x ，则AD =BD =4-x ，在Rt △ACD 中，2223(4)x x +=- ，解得：78x =．故答案为：78． 17【解析】试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA ＝90°，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，证得四边形CEDF 是矩形，连接CD ，则CD=EF ，当CD⊥AB 时，CD 最短，即.点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．18．5【解析】试题分析：作点B 关于AC 的对称点F ，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB +PE 的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF 的长即可，因此要先求AF 的长，证明△ADF ≌△CDB ，可以解决这个问题，从而得出EF =5，则PB +PE 的最小值为5．解：如图，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，并截取DF =BD ，连接EF 交AC 于P ，连接PB 、AF ，则此时PB +PE 的值最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =CB ,∠ABC =90°，AD =DC ，∴∠BAC =∠C =45°，∵∠ADF =∠CDB ，∴△ADF ≌△CDB ，∴AF =BC ,∠FAD =∠C =45°，∵AE =3，BE =1，∴AB =BC =4，∴AF =4，∵∠BAF =∠BAC +∠FAD =45°+45°=90°,∴由勾股定理得：EF 22AF AE +2243+，∵AC 是BF 的垂直平分线，∴BP =PF ，∴PB +PE =PF +PE =EF =5，故答案为5.点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.19．5【分析】如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ，先证明△ANP ≌△MNG （AAS ），再根据勾股定理求出PN 的值，即可得到线段PG 的长度．【详解】如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ．∵P （1，2），G （7．﹣2），∴OA ＝1，PA ＝GM ＝2，OM ＝7，AM ＝6，∵PA ∥GM ，∴∠PAN ＝∠GMN ，∵∠ANP ＝∠MNG ，∴△ANP ≌△MNG （AAS ），∴AN ＝MN ＝3，PN ＝NG ，∵∠PAH ＝45°，∴PH ＝AH ＝2，∴HN ＝1， ∴2222215PN PH NH =+=+=∴PG ＝2PN ＝5．故答案为5【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．20．4913【解析】【分析】如图（见解析），延长AD ，交BC 于点G ，先根据等腰三角形的三线合一性得出AG BC ⊥，再根据折叠的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）得出2345∠+∠=︒，从而得出CDG ∆是等腰直角三角形，然后根据勾股定理、面积公式可求出AC 、CE 、CF 的长，最后根据线段的和差即可得．【详解】如图，延长AD ，交BC 于点G AD 平分BAC ∠，,10AB AC BC ==,B ACB AG BC ∴∠=∠⊥，且AG 是BC 边上的中线1123,52B CG BC ∴∠=∠+∠+∠== 由折叠的性质得12,CE AC ∠=∠=123223B ∠=∠+∠+∠=∠+∠∴CE AB ⊥，即90BFC ∠=︒390B ∴∠+∠=︒230239+∴∠∠=∠+︒，即2345∠+∠=︒CDG ∴∆是等腰直角三角形，且5DG CG ==7512AG AD DG ∴=+=+=在Rt ACG ∆中，222251213AC CG AG =+=+=13CE AB AC ==∴=由三角形的面积公式得1122ABC S BC AG AB CF ∆=⋅=⋅ 即1110121322CF ⨯⨯=⨯⋅，解得12013CF = 12049131313EF CE CF ∴=-=-= 故答案为：4913．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造一个等腰直角三角形是解题关键．三、解答题21．（1）45度；（2）∠AEC ﹣∠AED ＝45°，理由见解析；（3）见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝140°，可得∠CAE ＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝65°，即可求解；（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝180°﹣2α，可得∠CAE ＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC＝∠ACE＝45°+α，可得结论；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，由等腰直角三角形的性质可得EH＝2EF，CH＝2CG，由“AAS”可证△AFB≌△CGA，可得AF＝CG，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）∵AB＝AC，AE＝AB，∴AB＝AC＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，∵∠AED＝20°，∴∠ABE＝∠AED＝20°，∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°∴∠CAE＝50°，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，故答案为：45；（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，∴∠BAE＝180°﹣2α，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，∴∠AEC﹣∠AED＝45°；（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，∵∠AEC﹣∠AED＝45°，∴∠FEH＝45°，∵AH⊥BE，∴∠FHE＝∠FEH＝45°，∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，∴EH2EF，∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，∴∠GCH＝∠FHE＝45°，∴GC＝GH，∴CH2CG，∵∠BAC＝∠CGA＝90°，∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）∴AF＝CG，∴CH AF，∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，AF）2+EF）2＝2AE2，∴EH2+CH2＝2AE2．【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.22．（1）见解析；（2）CD AD+BD，理由见解析；（3）CD+BD【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE AD，∵CD＝DE+CE，∴CD AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD ＝CE ，∵∠DAE ＝120°，AD ＝AE ，∴∠ADH ＝30°，∴AH ＝12AD ， ∴DH 22AD AH -3， ∵AD ＝AE ，AH ⊥DE ，∴DH ＝HE ，∴CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3+BD ，故答案为：CD 3+BD ．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.23．（15132）见解析；（3）23【分析】（1）分两种分割法利用勾股定理即可解决问题；（2）如图，过点A 作AD ⊥AB ，且AD=BN ．只要证明△ADC ≌△BNC ，推出CD=CN ，∠ACD=∠BCN ，再证明△MDC ≌△MNC ，可得MD=MN ，由此即可解决问题；（3）过点B 作BP ⊥AB ，使得BP=AM=1，根据题意可得△CPB ≌△CMA ，△CMN ≌△CPN ，利用全等性质推出∠BNP=30°，从而得到NB 和NP 的长，即得BM.【详解】解：（1）当MN 最长时，225MN AM -，当BN 最长时，2213AM MN +（2）证明：如图，过点A 作AD ⊥AB ，且AD=BN ，在△ADC 和△BNC 中，AD BN DAC B AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△BNC （SAS ），∴CD=CN ，∠ACD=∠BCN ，∵∠MCN=45°，∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°，∴∠MCD=∠MCN ，在△MDC 和△MNC 中，CD CN MCD MCN CM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDC ≌△MNC （SAS ），∴MD=MN在Rt △MDA 中，AD 2+AM 2=DM 2，∴BN 2+AM 2=MN 2，∴点M ，N 是线段AB 的勾股分割点；（3）过点B 作BP ⊥AB ，使得BP=AM=1，根据（2）中过程可得：△CPB ≌△CMA ，△CMN ≌△CPN ，∴∠AMC=∠BPC=120°，AM=PB=1，∠CMN=∠CPN=∠A+∠ACM=45°+15°=60°，∴∠BPN=120°-60°=60°，∴∠BNP=30°，∴NP=2BP=2=MN ，∴BN=22213-=，∴BM=MN+BN=23+.【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（1）6-t ，t+23；（2）D(1，3)，y=34-x+154；（3）1515215()4215215()2b b S b b ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩【分析】（1）根据点E ，F 的运动轨迹和速度，即可得到答案；（2）由题意得：DF=OF=53，DE=OE=5，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，根据勾股定理得DG=4，进而得D(1，3)，根据待定系数法，即可得到答案；（3）根据题意得直线直线MN 的解析式为：34y x b =-+，从而得M(443b -，3)，分2种情况：①当点M 在线段DB 上时， ②当点M 在DB 的延长线上时，分别求出S 与b 之间的函数关系式，即可．【详解】∵(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，∴OA=6，OC=3，∵AE=t×1= t ， ∴OE =6-t ，OF =(t+23)×1=t+23，故答案是：6-t ，t+23；（2）当1t =时，OE =6-t=5，OF =t+23=53， ∵将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，∴DF=OF=53，DE=OE=5，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，则EG=OC=3，CG=OE=5，∴4=，∴CD=CG-DG=5-4=1，∴D(1，3)，设直线DE 的解析式为：y=kx+b ，把D(1，3)，E(5，0)代入y=kx+b ，得350k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：34154k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线DE 的解析式为：y=34-x+154；（3）∵MN ∥DE ，∴直线直线MN的解析式为：34y x b =-+，令y=3，代入34 yx b=-+，解得：x=443b-，∴M(443b-，3)．①当点M在线段DB上时，BM=6-(443b-)=4103b-+，∴1143(10)223S BM AB b=⋅=⨯⨯-+=215b-+，②当点M在DB的延长线上时，BM=443b--6=4103b-，∴1143(10)223S BM AB b=⋅=⨯⨯-=215b-，综上所述：1515215()4215215()2b bSb b⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握勾股定理与一次函数的待定系数法，是解题的关键．25．（1）见解析；（2）①见解析；②2．【分析】（1）当D、E两点重合时，则AD=CD，然后由等边三角形的性质可得∠CBD的度数，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得∠F的度数，于是可得∠CBD与∠F的关系，进而可得结论；（2）①过点E作EH∥BC交AB于点H，连接BE，如图4，则易得△AHE是等边三角形，根据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF，∠BHE=∠ECF=120°，BH=EC，于是可根据SAS 证明△BHE≌△ECF，可得∠EBH=∠FEC，易证△BAE≌△BCD，可得∠ABE=∠CBD，从而有∠FEC=∠CBD，然后根据三角形的内角和定理可得∠BGE=∠BCD，进而可得结论；②易得∠BEG=90°，于是可知△BEF是等腰直角三角形，由30°角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质易求得BE和BF的长，过点E作EM⊥BF于点F，过点C作CN⊥EF于点N，如图5，则△BEM、△EMF和△CFN都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求出BM 、MC 、CF 、FN 、CN 、GN 的长，进而可得△GCN 也是等腰直角三角形，于是有∠BCG =90°，故所求的△BCG 的面积=12BC CG ⋅，而BC 和CG 可得，问题即得解决．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，当D 、E 两点重合时，则AD=CD ，∴1302DBC ABC ∠=∠=︒， ∵CF CD =，∴∠F =∠CDF ， ∵∠F +∠CDF =∠ACB =60°，∴∠F =30°，∴∠CBD =∠F ，∴BD DF =；（2）①∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，AB=AC ，过点E 作EH ∥BC 交AB 于点H ，连接BE ，如图4，则∠AHE =∠ABC =60°，∠AEH =∠ACB =60°，∴△AHE 是等边三角形，∴AH=AE=HE ，∴BH =EC ，∵AE CD =，CD=CF ，∴EH=CF ，又∵∠BHE =∠ECF =120°，∴△BHE ≌△ECF （SAS ），∴∠EBH =∠FEC ，EB=EF ，∵BA=BC ，∠A =∠ACB =60°，AE=CD ，∴△BAE ≌△BCD （SAS ），∴∠ABE =∠CBD ，∴∠FEC =∠CBD ，∵∠EDG =∠BDC ，∴∠BGE =∠BCD =60°；②∵∠BGE =60°，∠EBD =30°，∴∠BEG =90°，∵EB=EF ，∴∠F =∠EBF =45°，∵∠EBG =30°，BG =4，∴EG =2，BE 3∴BF 226BE =232GF =，过点E 作EM ⊥BF 于点F ，过点C 作CN ⊥EF 于点N ，如图5，则△BEM 、△EMF 和△CFN 都是等腰直角三角形，∴6BM ME MF ===∵∠ACB =60°，∴∠MEC =30°，∴2MC =， ∴62BC =266262CF ==∴()262312CN FN ==⨯-=-，∴()2323131GN GF FN CN =-=---=-=， ∴45GCN CGN ∠=∠=︒，∴∠GCF =90°=∠GCB ， ∴62CG CF ==-，∴△BCG 的面积=()()116262222BC CG ⋅=+-=．故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定与性质是解①题的关键，灵活应用等腰直角三角形的性质和30°角的直角三角形的性质解②题的关键．26．②③⑤【分析】 ①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=， ∵2AE AP ==，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE ==，∴()22227BE +=，解得：3BE =，作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒，∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴26sin 45322HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 6，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE = ∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯ 11222322=⨯ 13=，故②正确；③在Rt AHB 中，由①知：62EH HB ==， ∴622AH AE EH =+=， 22222256623AB AH BH =+=+=+⎭⎝⎭， 21153222ABD S AB AD AB ∆=⋅==+ ④因为AC 是定值，所以当A P C 、、共线时，PC 最小，如图，连接BC ，∵A C 、关于 BD 的对称， ∴523AB BC ==+，∴225231043AC BC ==+=+， ∴ min PC AC AP =-，10432=+-，故④错误；⑤∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，在ABP 和ADE 中，AB AD BAP DAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS ≅，∴ABP ADE ∠=∠，∵AN BN =，∴ABP NAB ∠=∠，∴EAN ADE ∠=∠，∵90EAN DAN ∠+∠=︒，∴90ADE DAN ∠+∠=︒，∴AN DE ⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．27．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD的周长为m+2【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得11 2AC CB m=+，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x= 74，AD=8-74=164；（3）∵△ABC 的面积为m+1，∴12AC•BC=m+1，∴AC•BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，。

期末复习《勾股定理》常考题与易错题精选(35题)(原卷版)

期末复习- 《勾股定理》常考题与易错题精选（35题）一．勾股定理（共11小题）1．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．10B．13C．15D．262．如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示﹣1，AB＝3，AD＝1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝5，BC＝12，则S△ACD ：S△ABD为（）A．12：5B．12：13C．5：1 3D．13：54．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝2，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（）A．B．C．4D．5．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为（）A．5B．7C．5或7D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（）A．B．3C．D．27．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°（1）若AB＝，AC＝，求BC2（2）若AB＝4，AC＝1，求AB边上高．9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，DA＝1，CD＝3．求四边形ABCD 的面积．10．如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．11．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．（1）求AB的长；（2）求△ACB的面积．二．勾股定理的证明（共3小题）12．如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．13．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．14．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD）三．勾股定理的逆定理（共8小题）15．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（）A．7，20，24B．，，C．3，4，5D．4，5，616．三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝8，b＝15，c＝17C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝12，b＝15，c＝1817．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．18．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．（1）求∠DAB的度数；（2）求四边形ABCD的面积．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．21．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．22．如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求∠ACB的度数．四．勾股数（共3小题）23．下列四组数中不是勾股数的是（）A．3，4，5B．2，3，4C．5，12，13D．8，15，1724．下列各组数中，是勾股数的为（）A．，2，B．8，15，17C．，D．32，42，5225．观察下列各组勾股数有哪些规律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．请解答：（1）当a＝11时，求b，c的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．五．勾股定理的应用（共10小题）26．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面积；（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？27．由四条线段AB、BC、CD、DA所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m、AD＝4m、BC＝12m、AB＝13m．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？28．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC＝8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度．29．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？30．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？31．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？32．一架云梯长25m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7m．（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？33．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C 到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．34．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？35．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）。

八年级初二数学第二学期勾股定理单元易错题难题提高题检测

八年级初二数学第二学期勾股定理单元易错题难题提高题检测一、选择题1．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm ，则该圆柱底面周长为（）A ．20cmB ．18cmC ．25cmD ．40cm2．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF=- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④3．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BC =5,AC =53，CB 的反向延长线上有一动点D ，以AD 为边在右侧作等边三角形，连CE ，CE 最短长为（）A ．5B ．53C ．53D ．5344．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( )A ．2n ﹣2B ．2n ﹣1C ．2nD ．2n+15．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值是（）A ．8B ．9C ．10D ．126．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC =，3BC =．设AB 长是m ，下列关于m 的四种说法：①m 是无理数；②m 可以用数轴上的一个点来表示；③m 是13的算术平方根；④23m <<．其中所有正确说法的序号是（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③④7．下列命题中，是假命题的是( ) A ．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形B ．在△ABC 中，若a 2＝(b ＋c) (b －c)，则△AB C 是直角三角形C ．在△ABC 中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC 是直角三角形D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝5：4：3，则△ABC 是直角三角形8．如图，正方体的棱长为4cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（）A ．9B ．10C ．326+D ．12 9．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是( ) A ．5 B ．4 C 34D ．43410．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长. AC 的长为（）A ．3尺B ．4.2尺C ．5尺D ．4尺二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90o ，AC ＝12，BC ＝5，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边上的动点，则BE ＋ED 的最小值为．12．如图，点E 在DBC △边DB 上，点A 在DBC △内部，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ，给出下列结论，其中正确的是_____（填序号）①BD ＝CE ；②∠DCB ＝∠ABD ＝45°；③BD ⊥CE ；④BE 2＝2（AD 2+AB 2）．13．如图所示的网格是正方形网格，则ABC ACB ∠+∠=__________°（点A ，B ，C 是网格线交点）．14．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________.15．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______16．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为________________．17．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝30°，点D在BC上，点E在△ABC外，且AD＝AE＝CE，AD⊥AE，则ABBD的值为____________．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，D是BC边上的一点，BD=2，将△ACD沿直线AD翻折，点C刚好落在AB边上的点E处.若P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是________．19．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB=150°④∠APC=135°20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，BD是高，则点BD的长为_____．三、解答题21．（1）计算：1312248233⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．22．如图，在两个等腰直角ABC 和CDE △中，∠ACB = ∠DCE=90°．（1）观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A 、E 、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．23．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD 中，∠ABC =70°，∠BAC =40°，∠ACD =∠ADC =80°，求证：四边形ABCD 是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A 、B 、C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D ．，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，若存在一点D ，使四边形ABCD 是邻和四边形，求邻和四边形ABCD 的面积．24．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．25．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）26．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点E 的运动时间为t :（秒）（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）（2）当1t =时，将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设MBN ∆的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．27．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．（1）若OA ＝52，求点B 的坐标；（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 1（2，2），P 2（2，22），P 3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是．（写出你认为正确的点）28．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.29．（知识背景）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数．（应用举例）观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时，股14(91)2=-，弦15(91)2=+；勾为5时，股112(251)2=-，弦113(251)2=+；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股24＝弦25＝（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝，弦＝．（解决问题）观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空：（3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则b = ，c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组：、24、：第二组：、、37．30．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ＝()()()()a b c a b c a c b b c a +++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB ＝（26+42）m ，BC ＝5m ，CD ＝7m ，AD ＝46m ，∠A ＝60°，求该块草地的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】将容器侧面展开，建立A 关于EG 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为最短路径，由勾股定理求出A ′D 即圆柱底面周长的一半，由此即可解题．【详解】解：如图，将圆柱展开，EG 为上底面圆周长的一半，作A 关于E 的对称点A '，连接A B '交EG 于F ，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF BF +的长，即 25cm AF BF A B '+==，延长BG ，过A '作A D BG '⊥于D ，3cm AE A E '==，153315cm BD BG DG BG AE ∴=+=+=-+=，Rt A DB '∴△中，由勾股定理得：2222251520cm A D A B BD ''=--=， ∴该圆柱底面周长为：20240cm ⨯=，故选D ．【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．2．B解析：B【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠，∵AF CD ⊥，∴90AGD ∠=︒，∴90FAB CDA ∠=︒-∠，∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确；∵3CG =，1DG =，∴314CD CG DG =+=+=，∴4AC CD ==，在Rt ACG 中，221697AG AC CG =--=， ∴1272ACD S AG CD =⋅= ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒，∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠， ∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确； ∴47GF AF AG =-=-在Rt CGF 中，()2222347272CF CG GF =+=+-=，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理． 3．C【分析】在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，易证△AB’D≌△ABE，可得∠ABE=∠B’=60°，因此点E的轨迹是一条直线，过点C作CH⊥BE，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，然后根据直角三角形的性质和勾股定理即可得出答案．【详解】解：在CB的反向延长线上取一点B’，使得BC=B’C，连接AB’，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴△AB’B是等边三角形，∴∠B’=∠B’AB=60°，AB’=AB，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠B’AD+∠DAB=∠DAB+∠BAE，∴∠B’AD=∠BAE，∴△AB’D≌△ABE（SAS），∴∠ABE=∠B’=60°，∴点E在直线BE上运动，过点C作CH⊥BE于点H，则点H即为使得BE最小时的E点的位置，∠CBH=180°-∠ABC-∠ABE=60°，∴∠BCH=30°，∴BH=12BC=52，∴CH=22BC BH=53．即BE的最小值是53．故选C．【点睛】本题是一道动点问题，综合考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理等知识，将△ACB构造成等边三角形，通过全等证出∠ABC 是定值，即点E的运动轨迹是直线是解决此题的关键．4．A【分析】连续使用勾股定理求直角边和斜边，然后再求面积，观察发现规律，即可正确作答.【详解】解：∵△ABC 是边长为1的等腰直角三角形121111222ABCS -∆∴=⨯⨯== ， ∴2222AC 112,AD (2)(2)2=+==+=223212212:2122122AACD ADE S S --∆∴=⨯⨯===⨯⨯== ∴第n 个等腰直角三角形的面积是22n - ，故答案为A.【点睛】本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边，同时观察、发现也是解答本题的关键.5．C解析：C【解析】【分析】要求DN ＋MN 的最小值，DN ，MN 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN ，MN 的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B 与点D 是关于直线AC 为对称轴的对称点，∴连接BN ，BD ，则直线AC 即为BD 的垂直平分线，∴BN ＝ND ∴DN ＋MN ＝BN ＋MN 连接BM 交AC 于点P ，∵点 N 为AC 上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N 运动到点P 时，BN ＋MN ＝BP ＋PM ＝BM ，BN ＋MN 的最小值为BM 的长度，∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ＝CD ＝8，CM ＝8−2＝6，BCM ＝90°，∴BM ＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．6．C解析：C【分析】根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∴在Rt ABC中，m＝AB＝22＝13，AC BC故①②③正确，∵m2＝13，9＜13＜16，∴3＜m＜4，故④错误，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理及算术平方根、无理数的估算，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．7．C解析：C【分析】一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.【详解】A. △ABC中，若∠B=∠C－∠A，则∠C =∠A+∠B，则△ABC是直角三角形，本选项正确；B. △ABC中，若a2=(b+c)(b－c)，则a2=b2－c2，b2= a2+c2，则△ABC是直角三角形，本选项正确；C. △ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误；D. △ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形，本选项正确；故选C.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形．8．B解析：B【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．【详解】解：如图，AB ＝22(24)2210++=．故选：B ．【点睛】此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．9．D解析：D【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和5，∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x ，则由勾股定理得到：x 2253-；②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x ，则由勾股定理得到：x 2253+34故选：D10．B解析：B【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，根据勾股定理得：2224(10)x x +=-．解得： 4.2x =，∴折断处离地面的高度为4.2尺，故选：B ．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．二、填空题11．【解析】试题分析：作点B 关于AC 的对称点B′，过B′点作B′D ⊥AB 于D ，交AC 于E ，连接AB′、BE ，则BE+ED=B′E+ED=B′D 的值最小．∵点B 关于AC 的对称点是B′，BC=5，∴B′C=5，BB′=10．∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴22AC BC +，∵S △ABB′=12•AB•B′D=12•BB′•AC ，∴B′D=B 10121201313B AC AB '⋅⨯==,∴BE+ED= B′D=12013. 考点：轴对称-最短路线问题.12．①③【分析】①由已知条件证明DAB ≌EAC 即可；②由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°；③由∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°可判断③； ④由BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2可判断④．【详解】解：∵∠DAE ＝∠BAC ＝90°，∴∠DAB ＝∠EAC ，∵AD ＝AE ，AB ＝AC ，∴∠AED=∠ADE=∠ABC=∠ACB=45°， ∵在DAB 和EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴DAB ≌EAC ，∴BD ＝CE ，∠ABD ＝∠ECA ，故①正确；由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°故②错误；∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°，∴∠CEB ＝90°，即CE ⊥BD ，故③正确；∴BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2． ∴BE 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2，故④错误．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定理公式是解题关键．13．45【分析】如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD. ABC ACB DAC ∠+∠=∠，只需证△ADC 是等腰直角三角形即可【详解】如下图,延长BA 至网络中的点D 处,连接CD设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络，555BC=5，∴5其中BD 、DC 、BC 边长满足勾股定理逆定理∴∠CDA=90°∵AD=DC∴△ADC 是等腰直角三角形∴∠DAC=45°故答案为：45°【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA ，构造处△ABC 的外角∠CAD14．232【分析】先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可.【详解】在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，∴AB=2BC=4，∴22224223AC AB BC=-=-=,当AC为腰时，则该三角形的腰长为23；当AC为底时，作AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如图，此时△ACD是等腰三角形，则AE=3,设DE=x，则AD=2x，∵222AE DE AD+=,∴222(3)(2)x x+=∴x=1（负值舍去），∴腰长AD=2x=2，故答案为：23或2【点睛】此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC为一边的等腰三角形”没有明确AC是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.15．322或11或5或109 5【分析】分别就E，F在AC,BC上和延长线上，分别画出图形，过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.【详解】解：①过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D是AB的中点，∴DG=12 BC同理：DH=12AC 又∵BC =AC∴DG=DH 在Rt△DGE 和Rt△DHF 中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=GC -GE=CH-HF=CF=AB-BF=3∴EF=223332+=②过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D 是AB 的中点，∴DG=12BC 同理：DH=12AC 又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE 和Rt△DHF 中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF 又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直∴∠1+∠2=45°∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°∴△EDF 为等腰直角三角形可证AED CFD △△≌∴AE=CF=3,CE=BF=4 ∴2222435EF CE CF =+=+=④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形，∴ED=DF=522,可证△E CF E DE ''∆∽,2223y x +=525222x =+综上可得：422x =∴2222E F DE DF DE '''''=+=1095E F ''= 【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本16．71-【分析】分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--，∴AP 的最大值为A P 1=AB=3如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--， ∴AP 的最小值为AD PD=47-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=347=71--71【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索. 17．622【解析】【分析】过A 点作BC 的垂线，E 点作AC 的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出∠DAM=15°，在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a ，332)a ，31)a ，231)a ,代入计算即可.【详解】过A 点作AM ⊥BC 于M 点，过E 点EN ⊥AC 于N 点.∵∠BCA ＝30°，AE=EC∴AM=12AC ，AN=12AC ∴AM=AN 又∵AD=AE∴R t∆ADM ≅ R t∆AEN (HL)∴∠DAM=∠EAN 又∵∠MAC=60°，AD ⊥AE∴∠DAM=∠EAN=15°在AM 上截取AG=DG ，则∠DGM=30°设DM=a,则 DG=AG=2a ，根据勾股定理得：GM=3a,∵∠ABC ＝45°∴AM=BM=(32)a +∴BD=(31)a +，AB=2(32)a +,∴()()6226231a AB BD a++==+ 故答案为：622+【点睛】本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.18．222【分析】连接CE ，交AD 于M ，根据折叠和等腰三角形性质得出当P 和D 重合时，PE+BP 的值最小，此时△BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE ，先求出BC 和BE 长，代入求出即可．【详解】如图，连接CE，交AD于M，∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，BD=2，∴2，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠ABC=45°，∴∠B=45°，∵2，∴2即2，∴△PEB的周长的最小值是222．故答案为2【点睛】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置．19．①②③【解析】【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠=，ABC60∵△BQC≌△BPA，∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC60∴△BPQ是等边三角形，①正确.∴PQ=BP=4，222222+=+===，4325,525PQ QC PC222PQ QC PC ∴+=，90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.∵△BPQ 是等边三角形，60PBQ BQP ∴∠=∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠APB =∠B QC ，6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，90PQC PQ QC ∠=≠，，45QPC ∴∠≠，即135APC ∠≠，④错误.故答案为①②③.20．485【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC 边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得111012822BD ⨯⨯=⨯⨯，解得BD=485. 三、解答题21．（1）423；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】解：（1）⎛÷ ⎝=÷=÷ ＝423；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：∵a 、b 、c 满足2|a (c 0-=，∴a ﹣＝0，﹣b ＝0，c 0，∴a ＝，b ＝，c∵，，∴以a 、b 、c 为边能组成三角形，∵a ＝，b ＝，c∴a 2+b 2＝c 2，∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，则此三角形的面积是12⨯. 【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.22．（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）14或2．【分析】（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒，由此即可得；（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒，由此即可得；（3）先利用勾股定理求出AB =，再分①点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，②点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得．【详解】（1）AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：如图1，延长AE 交BD 于H ，由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90DBC BDC ∠+∠=︒，∴90EAC BDC ∠+∠=︒，∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，即AE BD ⊥，故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由如下：如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，∵90ACB ECD ∠=∠=︒，∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，在ACE △和BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90EAC AOC ∠+∠=︒，∵AOC BOH ∠=∠，∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，即AE BD ⊥；（3）设AD x =，10,90AC BC ACB ==∠=︒，2102AB AC ∴==，由题意，分以下两种情况：①如图3-1，点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==-=-，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x +-=，解得14x =或2x =-（不符题意，舍去），即14AD =，②如图3-2，点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==+=+，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x ++=，解得2x =或14x =-（不符题意，舍去），即2AD =，综上，AD 的长为14或2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）363【分析】（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ，按照邻和四边形的定义即可得出结论．（2）以点A 为圆心，AB 长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求．（3）先根据勾股定理求得AC 的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC 时；②当CD=CB=BD 时；③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时．【详解】（1）∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°，∴∠ACB =∠ABC ，∴AB =AC ．∵∠ACD =∠ADC ，∴AC =AD ，∴AB =AC =AD ．∴四边形ABCD 是邻和四边形；（2）如图，格点D 、D'、D''即为所求作的点；（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23，∴AC =()22222234AB BC +=+=，显然AB ，BC ，AC 互不相等．分两种情况讨论：①当DA =DC =AC=4时，如图所示：∴△ADC 为等边三角形，过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =160302⨯︒=︒， ∴122AG AD ==， 22224223DG AD AG =-=-= ∴S △ADC =1423432⨯⨯=S △ABC =12AB×BC =3， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =3②当CD =CB =BD =3∴△BDC 为等边三角形，过D 作DE ⊥BC 于E ，则∠BDE =160302⨯︒=︒， ∴132BE BD == ()()22222333DE BD BE =-=-=， ∴S △BDC =1233332⨯= 过D 作DF ⊥AB 交AB 延长线于F ，∵∠FBD=∠FBC -∠DBC =90︒-60︒=30︒，∴DF=123 S △ADB =12332⨯=， ∴S 四边形ABCD =S △BDC +S △ADB =3；③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时，邻和四边形ABCD 不存在．∴邻和四边形ABCD 的面积是3或3【点睛】本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．24．（1）132）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可；（2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．【详解】（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，8216BP AB AP cm =-=-⨯=，90B ∠=︒， 222246213()PQ BQ BP cm =+=+=；（2）解：根据题意得：BQ BP =，即28t t =-，解得：83t =；即出发时间为83秒时，PQB ∆是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ BQ =时，如图1所示：则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒， 90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=，5CQ AQ ∴==，11BC CQ ∴+=，112 5.5t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示：则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示：过B点作BE AC⊥于点E，则684.8()10AB BCBE cmAC⨯===22 3.6CE BC BE cm∴=-=，27.2CQ CE cm∴==，13.2BC CQ cm∴+=，13.22 6.6t∴=÷=秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．25．（1）见解析；（2）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3+BD【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE2AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝32AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD2AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH＝12 AD，∴DH22AD AH-32AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，故答案为：CD3+BD．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.26．（1）6-t，t+23；（2）D(1，3)，y=34-x+154；（3）1515215()4215215()2b bSb b⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩【分析】（1）根据点E，F的运动轨迹和速度，即可得到答案；（2）由题意得：DF=OF=53，DE=OE=5，过点E作EG⊥BC于点G，根据勾股定理得DG=4，进而得D(1，3)，根据待定系数法，即可得到答案；（3）根据题意得直线直线MN的解析式为：34y x b=-+，从而得M(443b-，3)，分2种情况：①当点M在线段DB上时，②当点M在DB的延长线上时，分别求出S与b之间的函数关系式，即可．。

勾股定理(易错必刷30题6种题型专项训练)(原卷版)

第1章勾股定理（易错必刷30题6种题型专项训练）一．勾股定理（共12小题）1．（2022春•潮安区校级月考）如图，以直角三角形一边向外作正方形，其中两个正方形的面积为100和64，则正方形A的面积为．2．（2021秋•莱西市期中）如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC的长为．3．（2023春•荔城区期末）若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为．4．（2023春•中宁县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长．5．（2022春•大荔县期末）如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？6．（2021•中原区开学）在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，高AD＝12cm，则BC的长为cm．7．（2022•鄂尔多斯）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE ＝，则AB的长是．8．（2023春•宣城月考）如图，等腰△ABC的底边长为16cm，腰长为10cm，D是BC上一动点，当DA与腰垂直时，则AD＝cm．9．（2023春•南宁月考）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为时，能使DE＝CD？10．（2023春•抚顺月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝20，D是AB上一点，且CD＝16，BD＝12．（1）求证：CD⊥AB；（2）求AC的长．11．（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝3，则BD的长是．12．（2022秋•平湖市期末）已知直角三角形的一直角边长为17，另两边的长为自然数，则满足条件的所有三角形的面积之和为．二．勾股定理的证明（共2小题）13．（2022春•连城县校级月考）观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＞b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（）A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b214．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（）A．B．C．D．三．勾股定理的逆定理（共10小题）15．（2023春•滑县月考）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．3，4，5B．2，3，4C．6，8，11D．7，23，2516．（2020秋•平山区校级月考）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2＝c2﹣a2B．a：b：c＝5：12：13C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：517．（2022秋•高陵区月考）如图，在4×4的正方形网格中（每个小正方形边长均为1），点A，B，C在格点上，连接AB，AC，BC，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定18．（2022秋•南城县校级月考）以下列三条线段为边能够组成直角三角形的有（）个．（1）3，4，5（2）6.5，2.5，3（3）2.6，2.4，2（4）5，6，7A．1B．2C．3D．419．（2022秋•萍乡月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．在△ABC中，a＝m2+n2，b＝m2﹣n2，c＝2mn，且m＞n＞0B．三边长的平方之比为1：2：3C．三内角的度数之比为3：4：5D．三边长分别为a，b，c，c＝1+n2，b＝n2﹣1，a＝2n（n＞1）20．（2022秋•南海区校级月考）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系（a2﹣c2+b2）2+|a﹣b|＝0，则△ABC的形状为．21．（2022秋•高陵区月考）已知△ABC的三边a，b，c满足（a﹣9）2+（b﹣12）2+|c﹣15|＝0，试判断△ABC的形状．22．（2022秋•浑南区月考）如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝2，BC＝1.5，DB＝0.9．（1）求CD的长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．23．（2022秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB，AB＝5，BC＝，CD＝2．（1）求DB的长；（2）求证：AC⊥BC．24．（2022秋•和平区校级期末）如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC，经测得AB＝3dm，BC＝4dm，CD＝2dm，AD＝dm，求这张纸片的面积S．四．勾股数（共2小题）25．（2022秋•浑南区月考）下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．6，7，8B．5，12，13C．0.6，0.8，1D．2，4，526．（2022春•郾城区期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A．47B．62C．79D．98五．勾股定理的应用（共1小题）27．（2021秋•牡丹区期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A 处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．六．平面展开-最短路径问题（共3小题）28．（2022秋•中原区校级月考）如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm．A．25B．20C．24D．1029．（2022秋•铁岭月考）如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是．30．（2022秋•钦南区校级月考）如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形．一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（）A．10dm B．12dm C．15dm D．20dm。

人教版勾股定理单元易错题提高题检测

人教版勾股定理单元易错题提高题检测一、解答题1．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E .（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；（2）设,BC m AC n ==①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由.②若线段2AD EC =，求m n的值.2．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ．ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数式表示）．3．菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE ＝DF ，连接BF 与DE 相交于点G ．（1）如图1，求∠BGD 的度数；（2）如图2，作CH ⊥BG 于H 点，求证：2GH ＝GB +DG ；（3）在满足（2）的条件下，且点H 在菱形内部，若GB ＝6，CH ＝3ABCD 的面积．4．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.5．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．6．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．7．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点C （a ，a ），且交x 轴于点A （m ，0），交y 轴于点B （0，n ），且m ，n 满足6m -＋（n ﹣12）2＝0．（1）求直线AB 的解析式及C 点坐标；（2）过点C 作CD ⊥AB 交x 轴于点D ，请在图1中画出图形，并求D 点的坐标；（3）如图2，点E （0，﹣2），点P 为射线AB 上一点，且∠CEP ＝45°，求点P 的坐标．8．如图，点A 是射线OE ：y ＝x （x ≥0）上的一个动点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过点B 作OA 的平行线交∠AOB 的平分线于点C ．（1）若OA ＝52，求点B 的坐标；（2）如图2，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥OE 于点H ，求证：CG ＝CH ．（3）①若点A 的坐标为（2，2），射线OC 与AB 交于点D ，在射线BC 上是否存在一点P 使得△ACP 与△BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P 1（2，2），P 2（2，22），P 3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP 与△BDC 全等的点是．（写出你认为正确的点）9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，CD 是边AB 的高线，动点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点F 从点C 出发，以相同的速度沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．（1）AE ＝（用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是度；（2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ；（3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．10．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________；（2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长. 11．如图，,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ︒∆∠===是边上的两点，点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 沿B C A →→运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求线段PQ 的长；（2）求点Q 在BC 上运动时，出发几秒后，PQB 是等腰三角形；（3）点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．12．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB 的值.13．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .14．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：2，CD 36，求线段AB 的长．15．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ，（1）求证：ABD ACE ≅；（2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；②若3BD =，4CF =，求AD 的长，16．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．17．如图，在两个等腰直角ABC 和CDE △中，∠ACB = ∠DCE=90°．（1）观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A 、E 、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．18．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,5AB BC ==.（1）求CD 的长.（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.19．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是；（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是；（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．20．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512m n = 【分析】（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案；②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.【详解】（1）解：作图，如图所示：（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.理由如下：依题意得， BD BC m ==，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒222BC AC AB ∴=+AB =AD AB BD m ∴=-=222AD m AD n ∴+-)()22222m m m n m n =++-22222222m n m m n =+-+-0=；∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ==== 2AD EC =2233AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=222BC AC AB ∴+=22223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭22224493m n n mn m +=++ 25493n mn = 512m n ∴= 【点睛】本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．2．（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）233k k ++. 【解析】【分析】（1）只要证明△BAE ≌△ACD ；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，只要证明BG=AE ，BG ∥AE 即可；ⅱ）求出四边形BGAE 的周长，△ABC 的周长即可；【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAE＝∠C＝60°，∵AE＝CD，∴△BAE≌△ACD，∴∠ABE＝∠CAD．（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE是平行四边形．理由：∵△ADG，△ABC都是等边三角形，∴AG＝AD，AB＝AC，∴∠GAD＝∠BAC＝60°，∴△GAB≌△DAC，∴BG＝CD，∠ABG＝∠C，∵CD＝AE，∠C＝∠BAE，∴BG＝AE，∠ABG＝∠BAE，∴BG∥AE，∴四边形AGBE是平行四边形，ⅱ）如图2中，作AH⊥BC于H．∵BH＝CH＝1 (1) 2k+∴1113 1(1),31) 222DH k k AH BH k =-+=-==+∴222AH DH k k1AD=+=++∴四边形BGAE的周长＝22k k1k+++,△ABC的周长＝3（k+1），∴四边形AGBE与△ABC2221 k k k+++【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（1）∠BGD ＝120°；（2）见解析；（3）S 四边形ABCD ＝263．【解析】【分析】（1）只要证明△DAE ≌△BDF ，推出∠ADE=∠DBF ，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；（2）如图3中，延长GE 到M ，使得GM=GB ，连接BD 、CG ．由△MBD ≌△GBC ，推出DM=GC ，∠M=∠CGB=60°，由CH ⊥BG ，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH ，由CG=DM=DG+GM=DG+GB ，即可证明2GH=DG+GB ；（3）解直角三角形求出BC 即可解决问题；【详解】（1）解：如图1﹣1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝DB ，∠A ＝∠FDB ＝60°，在△DAE 和△BDF 中，AD BD A BDF AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAE ≌△BDF ，∴∠ADE ＝∠DBF ，∵∠EGB ＝∠GDB+∠GBD ＝∠GDB+∠ADE ＝60°，∴∠BGD ＝180°﹣∠BGE ＝120°．（2）证明：如图1﹣2中，延长GE 到M ，使得GM ＝GB ，连接CG ．∵∠MGB ＝60°，GM ＝GB ，∴△GMB 是等边三角形，∴∠MBG ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠GBC ，在△MBD 和△GBC 中，MB GB MBD GBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBD ≌△GBC ，∴DM ＝GC ，∠M ＝∠CGB ＝60°，∵CH ⊥BG ，∴∠GCH ＝30°，∴CG ＝2GH ，∵CG ＝DM ＝DG+GM ＝DG+GB ，∴2GH ＝DG+GB ．（3）如图1﹣2中，由（2）可知，在Rt △CGH 中，CH ＝3GCH ＝30°， ∴tan30°＝GH CH， ∴GH ＝4，∵BG ＝6，∴BH ＝2，在Rt △BCH 中，BC 22213BH CH +=∵△ABD ，△BDC 都是等边三角形，∴S 四边形ABCD ＝2•S △BCD ＝3×（2132＝3．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．4．(1)①见解析；②()22012x y x x-=<<-；（2）见解析【解析】【分析】（1）①连接DE，如图1，先用SAS证明△CBE≌△CDE，得EB=ED，∠CBE=∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC=∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；②将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点E落在点P处，如图2，用SAS可证△PBG≌△EBG，所以PG=EG=2－x－y，在直角三角形PCG中，根据勾股定理整理即得y与x的函数关系式，再根据题意写出x的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE交AD于点M，再连接MO并延长交BC于点N，再连接DN交AC于点Q，问题即得解决.【详解】（1）①证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），∴EB=ED，∠CBE=∠1，∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，∴∠EBC+∠EFC=180°，∵∠EFC+∠2=180°，∴∠EBC=∠2，∴∠1=∠2.∴ED=EF，∴BE=EF.②解：∵正方形ABCD2，∴对角线AC=2.将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点E落在点P处，如图2，则△BAE≌△BCP，∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，由①可得，∠EBF =45°，∴∠PBG =45°=∠EBG ，在△PBG 与△EBG 中，PB EB PBG EBG BG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBG ≌△EBG （SAS ）.∴PG=EG =2－x －y ，∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2222x y x y +=--，化简，得()22012x y x x-=<<-. （2）如图3，作法如下：①延长BE 交AD 于点M ，②连接MO 并延长交BC 于点N ，③连接DN 交AC 于点Q ，④连接DE 、BQ ，则四边形BEDQ 为菱形.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q 的位置是解决（2）题的关键.5．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P 的坐标为（1304，）时，PD+PF 的长度最短，最短长度为73. 【解析】【分析】（1）根据阅读材料中A 和B 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M 、N 在平行于y 轴的直线上，根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离; （2）由三个顶点的坐标分别求出DE ，DF ，EF 的长，即可判定此三角形的形状；（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时PD PF +最短，最短距离为DF'，P 的坐标即为直线DF'与x 轴的交点.【详解】解：（1）∵()2, 4A 、()3, 8B --∴()()22AB 234813=+++=故A 、B 两点间的距离为：13.∵M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1∴()MN 415=--=故M 、N 两点的距离为5.（2）∵()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F∴()()22DE 13635=++-= ()()22DF 14625=-+-= ()()22EF 343252=--+-=∴DE=DF ，222DE DF EF +=∴△DEF 为等腰直角三角形（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时DP+PF 最短设直线DF'的解析式为y=kx+b将D （1,6），F'（4，-2）代入得：642k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得83263k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DF'的解析式为：826y 33x =-+ 令y=0，解得13x 4=，即P 的坐标为（1304，） ∵PF=PF'∴PD+PF=PD+ PF'= DF'=故当P 的坐标为（1304，）时，PD+PF 【点睛】本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x 轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.6．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为3．理由见解析. 【分析】（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．【详解】（1）CF FH =证明：延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，∴135CEF FGH ∠=∠=︒，∵点D 是AC 的中点，∴132CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG =∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH ≌∴CF FH =；（2）依然成立理由：设AH ，DF 交于点G ，由题意可得出：DF=DE ，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC ，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF ∥BC ，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D 为AC 的中点,DF ∥BC ，∴DG=12BC,DC=12AC ， ∴DG=DC ，∴EC=GF ，∵∠DFC=∠FCB ，∴∠GFH=∠FCE ，在△FCE 和△HFG 中 CEF FGH EC GFECF GFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FCE ≌△HFG(ASA)，∴HF=FC.由（1）可知ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==． ∴2233DE DF CF CD =-= ∴333CE DE DC =-=∴点E 与点C 之间的距离为333．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.7．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，0）；（3）点P的坐标（143-，643）【分析】（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；（2）画出图象，由CD⊥AB知1AB CDk k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.【详解】解：（16m-n﹣12）2＝0，∴m＝6，n＝12，∴A（6，0），B（0，12），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则有1260bk b=⎧⎨+=⎩，解得212kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，∵直线AB过点C（a，a），∴a＝－2a＋12，∴a＝4，∴点C坐标（4，4）．（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，设直线CD解析式为y＝12x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，∴直线CD解析式为y＝12x＋2，∴点D坐标（－4，0）．（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，图2∵直线EC解析式为y＝32x－2，直线CF解析式为y＝－23x＋203，∵32×（－23）＝－1，∴直线CE⊥CF，∵EC＝13CF＝13∴EC＝CF，∴△FCE是等腰直角三角形，∴∠FEC＝45°，∵直线FE解析式为y＝－5x－2，由21252y xy x=-+⎧⎨=--⎩解得143643xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P的坐标为（1464,33 -）.【点睛】本题是一次函数的综合题，综合考查了坐标系中两直线的垂直问题、两条直线的交点问题和求特殊角度下的直线解析式，并综合了勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟知坐标系中两直线垂直满足121k k=-，一次函数的交点与对应方程组的解的关系.其中，第（3）小题是本题的难点，寻找到点F（－2，8）是解题的突破口. 8．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P（4，2），②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A（a，a）（a＞0），根据AB2+OB2=OA2，构建方程即可解决问题；（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF，CG=CF即可解决问题；（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP=DB，连接AP．只要证明△ACP≌△CDB（SAS），△ABP是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS即可判断满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3；【详解】解：（1）∵点A在射线y＝x（x≥0）上，故可以假设A（a，a）（a＞0），∵AB⊥x轴，∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，∴AB2+OB2＝OA2，∴a2+a2＝（52）2，解得a＝5，∴点B坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝12∠DAE＝12（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝12∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP和△CDB中，AC ADACP DB CP DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△CDB（SAS），∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴AP＝AB＝OB＝2，∴P（4，2）．②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．理由：如图4中，由题意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根据SAS可得△CAP1≌△CDB；AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根据SAS可得△CAP2≌△CDB；AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB；故答案为P1、P2，P3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．9．（1）t，45；（2）详见解析；（3）90°；（4）t的值为2﹣1或2+1，BE=3．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）根据SAS即可证明△ADE≌△CDF；（3）由△ADE≌△CDF，即可推出∠ADE=∠CDF，推出∠EDF=∠ADC=90°；（4）分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】（1）由题意：AE=t．∵CA=CB，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD=∠ACD=45°．故答案为t，45．（2）∵∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB，∴CD=AD=BD，∴∠A=∠DCB=45°．∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）．（3）∵点E在边AC上运动时，△ADE≌△CDF，∴∠ADE=∠CDF，∴∠EDF=∠ADC=90°．（4）①当点E在AC边上时，如图1．在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AC=CB，AB=2，CD⊥AB，∴CD=AD=DB=1，AC=BC2∵CE =CD =1，∴AE =AC ﹣CE 2=-1，∴t 2=-1． ∵BC =22112+=，∴BE =22EC BC +=12+=3；②当点E 在AC 的延长线上时，如图2，AE =AC +EC 2=+1，∴t 2=+1． ∵BC =22112+=，∴BE =22EC BC +=12+=3；综上所述：满足条件的t 2121，BE 3【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．（1）2，232）证明见解析（3221（423221【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长；（2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；（3）由（1）（2）可知，=23AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，∴122BC AB ==，∴22=23AC AB BC =- （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，在Rt △BDE 中，∵122BE AE AB ===，23DE = ∴22=4BD BE DE =+，∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，∴ABD ∆为等边三角形；（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4， ∴22=27CD AC AD =+，∵BCD ACD ACBD S SS =+四边形， ∴111()222BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴2217BF =；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1， ∵=23AC ，∴=3CQ QA =，①若点P 在线段AC 上，则23=3333PQ CQ CP =-=， ∴22233PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上，则253333PQ CQ CP =+=， ∴22221=3PE PQ EQ =+；综上，PE 的长为33221. 【点睛】本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF 的长，二是对点P 的位置要分情况进行讨论.11．（1）出发2秒后，线段PQ 的长为2132）当点Q 在边BC 上运动时，出发83秒后，△PQB 是等腰三角形；（3）当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形.【分析】（1）由题意可以求出出发2秒后，BQ 和PB 的长度，再由勾股定理可以求得PQ 的长度；（2）设所求时间为t ，则可由题意得到关于t 的方程，解方程可以得到解答；（3）点Q 在边CA 上运动时，ΔBCQ 为等腰三角形有三种情况存在，对每种情况进行讨论可以得到解答．【详解】(1)BQ=2×2=4cm ，BP=AB−AP=8−2×1=6cm ，∵∠B=90°，由勾股定理得：PQ=22224652213BQ BP +=+==∴出发2秒后，线段PQ 的长为213；(2)BQ=2t ，BP=8−t由题意得：2t=8−t解得：t=83∴当点Q 在边BC 上运动时，出发83秒后，△PQB 是等腰三角形； (3) ∵∠ABC=90°，BC=6，AB=8，∴AC=2268+=10.①当CQ=BQ 时(图1)，则∠C=∠CBQ ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ ，∴BQ=AQ ，∴CQ=AQ=5，∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒；②当CQ=BC 时(如图2)，则BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒③当BC=BQ 时(如图3)，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，∴BE=6824105AB BC AC ⋅⨯==，所以CE=22BC BE -=185=3.6，故CQ=2CE=7.2，所以BC+CQ=13.2，∴t=13.2÷2=6.6秒. 由上可知，当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ 为等腰三角形.【点睛】本题考查三角形的动点问题，利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键．12．（1）详见解析；（241；（33【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，3AB ，根据（1）思路得3AB .【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以BE=22225441BD DE +=+=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以222AB AC AC +因为AB AC =所以AE 2=又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠=所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以AD=BE=3AB所以33 AD ABAB AB==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.13．作图见解析，32 5【分析】作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，连接AN，首先用等积法求出AH的长，易证△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后设NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的长，A'M的长即为AN+MN的最小值．【详解】如图，作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，最小值为A'M的长．连接AN，在Rt△ABC中，AC=4，AB=8，∴2222AB AC=84=45++∵11AB AC=BC AH 22⋅⋅∴85 45∵CA⊥AB，A'M⊥AB，∴CA∥A'M∴∠C=∠A'NH，由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N在△ACH 和△A'NH 中，∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）∴A'N=AC=4=AN ，设NM=x ，在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x在Rt △AA'M 中，AA'=2AH=5，A 'M=A 'N+NM=4+x∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()224-+⎝⎭x∴()2224=16-+-⎝⎭x x 解得125x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+125=325 【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．14．（1）见解析；（2）BD 2+AD 2＝2CD 2；（3）AB ＝+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE ≌△BCD 即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF ，设BD ＝x ，利用（1）、（2）求出EF=3x ，再利用勾股定理求出x ，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形∴AC ＝BC ，EC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠ECD ﹣∠ACD∴∠ACE ＝∠BCD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ．（2）解：由（1）得△ACE ≌△BCD ，∴∠CAE ＝∠CBD ，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝∠CBA ＝∠CAE ＝45°，∴∠EAD ＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED ＝2CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由（1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ， ∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.15．（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【分析】（1）根据SAS ，只要证明BAD CAE ∠=∠即可解决问题；（2）①结论：222BD FC DF +=．连接EF ，进一步证明90ECF ∠=︒，DF EF =，再利用勾股定理即可得证；②过点A 作AG BC ⊥于点G ，在Rt ADG 中求出AG 、DG 即可求解．【详解】解：（1）∵AE AD ⊥∴90DAC CAE ∠+∠=︒∵90BAC ∠=︒∴90DAC BAD ∠+∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∴在ABD △和ACE △中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACE △()SAS（2）①结论：222BD FC DF +=证明：连接EF ，如图：∵ABD △≌ACE △∴B ACE ∠=∠，BD CE =∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴222FC CE EF +=∴222FC BD EF +=∵AF 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴在DAF △和EAF △中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌EAF △()SAS∴DF EF =∴222FC BD DF +=即222BD FC DF +=②过点A 作AG BC ⊥于点G ，如图：∵由①可知222223425DF BD FC =+=+=∴5DF =∴35412BC BD DF FC =++=++=∵AB AC =，AG BC ⊥ ∴1112622BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=∴在Rt ADG 中，22223635AD DG AG =+=+=故答案是：（1）见详解（2）①结论：222BD FC DF +=，证明见详解②35【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质．综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明．16．BF 的长为32【分析】先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．【详解】解：连接BF ．∵CA=CB ，E 为AB 中点∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ，∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3∴BF ===【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．17．（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）14或2．【分析】（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒，由此即可得；（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒，由此即可得；（3）先利用勾股定理求出AB =，再分①点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，②点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得．【详解】（1）AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：如图1，延长AE 交BD 于H ，由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90DBC BDC ∠+∠=︒，∴90EAC BDC ∠+∠=︒，∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，即AE BD ⊥，故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由如下：如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，∵90ACB ECD ∠=∠=︒，∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，在ACE △和BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90EAC AOC ∠+∠=︒，∵AOC BOH ∠=∠，∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，即AE BD ⊥；（3）设AD x =，10,90AC BC ACB ==∠=︒，2102AB AC ∴==，由题意，分以下两种情况：①如图3-1，点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==-=-，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x +-=，解得14x =或2x =-（不符题意，舍去），即14AD =，②如图3-2，点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥， 12DE =，12BD AE AD DE x ∴==+=+，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x ++=，解得2x =或14x =-（不符题意，舍去），即2AD =，综上，AD 的长为14或2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键．18．（1）CD=8；（2）t=4；（3）12-=t v t (26t ≤<) 【分析】（1）作AE ⊥BC 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=12BC ，然后利用勾股定理求出AE ，再用等面积法可求出CD 的长；（2）①过B 作BF ⊥AC 于F ，易得BF=CD ，分别讨论Q 点在AF 和FC 之间时，根据△BQF ≌△CPD ，得到PD=QF ，建立方程即可求出t 的值；（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q 在FC 之间求出t 的取值范围即可.【详解】解：（1）如图，作AE ⊥BC 于E ，∵AB=AC，∴BE=12BC=25在Rt△ABE中，()2222AE=AB BE=1025=45--∵△ABC的面积=11BC AE=AB CD 22⋅⋅∴BC AE4545 CD===8AB10⋅⨯（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，∵△ABC的面积=11AC BF=AB CD22⋅⋅，AB=AC∴BF=CD在Rt△CPD和Rt△BQF中∵CP=BQ，CD=BF，∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）∴PD=QF在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10∴22AD=AC CD=6-同理可得AF=6∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t 由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，∵t＞0，。

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一、选择题1．图中不能证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A ．600mB ．500mC ．400mD ．300m3．如图钢架中，∠A ＝15°，现焊上与AP 1等长的钢条P 1P 2，P 2P 3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（）A ．16B ．15C ．12D ．104．如图，已知45∠=MON ，点A B 、在边ON 上，3OA =，点C 是边OM 上一个动点，若ABC ∆周长的最小值是6，则AB 的长是（）A ．12B ．34C ．56D ．15．如图，□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为（）A ．1B ．2C ．32D ．36．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2a b （）+的值为（）A ．13B ．19C ．25D ．1697．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A．200m B．300m C．400m D．500m8．如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，B C'交AD于点E，则线段DE的长为（）A．3 B．154C．5 D．1529．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（）A．217B．25C．42D．710．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2018A2019，则点A 2019的坐标为________．12．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 13．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上．若3AE =，7AD =，则AC 的长为_________14．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.15．在△ABC 中，若222225,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____． 16．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.17．在等腰Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，过点C 作直线lAB ，F 是l 上的一点，且AB AF =，则FC =__________．18．如图，在四边形ABCD 中，AD =4，CD =3，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°，则2________BD =．19．如图所示，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．20．已知,在△ABC中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC翻折使得点B与点A重合,折痕与边AC交于点P,如果AP=4,那么AC的长为_______三、解答题21．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E是AB的中点，连接CE交AD于点F，BD=3，求BF的长．22．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．23．定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长；（2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=︒，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转90︒）；（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=︒，1AM =，求BM 的长．24．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.25．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________； (2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示) 26．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________；（2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长. 27．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG ∆的周长.29．已知：四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD 的顶点A 重合，两边分别射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAP ＝60°．（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，请直接判断△AEF 的形状是．（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B 、C 重合），求证：BE ＝CF ；（3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB ＝15°时，求点F 到BC 的距离．30．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论222+=a b c ，找出不能证明的那个选项．【详解】解：A 选项不能证明勾股定理；B 选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式()22142a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ；C 选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式()22112222a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ；D 选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式222112222c ab a b ab +⨯=++⨯，可得222+=a b c ．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．2．B解析：B 【分析】由于BC ∥AD ，那么有∠DAE=∠ACB ，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED ，利用AAS 可证△ABC ≌△DEA ，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC ，即可求CE ，根据图可知从B 到E 的走法有两种，分别计算比较即可．【详解】解：如右图所示， ∵BC ∥AD ， ∴∠DAE=∠ACB ，又∵BC ⊥AB ，DE ⊥AC ， ∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m ， ∴△ABC ≌△DEA ， ∴EA=BC=300m ，在Rt △ABC 中，AC=22AB BC +=500m ，∴CE=AC-AE=200，从B 到E 有两种走法：①BA+AE=700m ；②BC+CE=500m ， ∴最近的路程是500m ．故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC ≌△DEA ，并能比较从B 到E 有两种走法．3．D解析：D【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，求出钢条的根数，然后根据最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离即AP5为4+23，设AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，再用含a的式子表示出P1P3，P3P5，从而可求出a的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．【详解】解：如图，∵AP1与各钢条的长度相等，∴∠A=∠P1P2A=15°，∴∠P2P1P3=30°，∴∠P1P3P2=30°，∴∠P3P2P4=45°，∴∠P3P4P2=45°，∴∠P4P3P5=60°，∴∠P3P5P4=60°，∴∠P5P4P6=75°，∴∠P4P6P5=75°，∴∠P6P5B=90°，此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条．设AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，∵∠P2P1D＝30°，∴P2D=12P1P2，∴P1D＝3a，∵P1P2=P2P3，∴P1P3＝2P1D =3a，∵∠P4P3P5=60°，P3P4=P4P5，∴△P4P3P5是等边三角形，∴P3P5＝a，∵最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，∴AP5=a+3a+a＝4+23，解得，a＝2，∴所有钢条的总长为2×5＝10，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键．4．D解析：D【分析】作点A关于OM的对称点E，AE交OM于点D，连接BE、OE，BE交OM于点C，此时△ABC周长最小，根据题意及作图可得出△OAD是等腰直角三角形，OA=OE=3，，所以∠OAE=∠OEA=45°，从而证明△BOE是直角三角形，然后设AB=x，则OB=3+x，根据周长最小值可表示出BE=6－x，最后在Rt△OBE中，利用勾股定理建立方程求解即可.【详解】解：作点A 关于OM 的对称点E ，AE 交OM 于点D ，连接BE 、OE ，BE 交OM 于点C ，此时△ABC 周长最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE ，∵△ABC 周长的最小值是6，∴AB+BE=6，∵∠MON=45°，AD ⊥OM ，∴△OAD 是等腰直角三角形，∠OAD=45°，由作图可知OM 垂直平分AE ，∴OA=OE=3，∴∠OAE=∠OEA=45°，∴∠AOE=90°，∴△BOE 是直角三角形，设AB=x ，则OB=3+x ，BE=6－x ，在Rt △OBE 中，()()2223+3+6x x =-，解得：x=1，∴AB=1.故选D.【点睛】本题考查了利用轴对称求最值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握作图技巧，正确利用勾股定理建立出方程是解题的关键.5．B解析：B【解析】【分析】如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E 是等腰直角三角形，则2．又B′E 是BD 的中垂线，则DB′=BB′．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，BD=2，∴BE=12BD=1．如图2，连接BB′．根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E ．∴∠BEB′=90°，∴△BB′E 是等腰直角三角形，则22,∴DB′=BB′=2．故选B．【点睛】考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．6．C解析：C【解析】试题分析：根据题意得：222c a b=+=13，4×12ab=13﹣1=12，即2ab=12，则2()a b+=222a ab b++=13+12=25，故选C．考点：勾股定理的证明；数学建模思想；构造法；等腰三角形与直角三角形．7．D解析：D【分析】由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．【详解】解：如图所示，∵BC∥AD，∴∠DAE=∠ACB，∴∠ABC=∠DEA=90°，又∵AB=DE=400m，∴△ABC≌△DEA，∴EA=BC=300m，在Rt△ABC中，500m=∴CE=AC-AE=200，从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，∴最近的路程是500m．故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC≌△DEA，并能比较从B到E有两种走法．8．B解析：B【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．【详解】解：设ED=x，则AE=6-x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC；由题意得：∠EBD=∠DBC，∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED=x；由勾股定理得：BE2=AB2+AE2，即x2=9+（6-x）2，解得：x=154，∴ED=154．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．9．A解析：A【解析】试题解析：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE，{BAD CBE AB BCADB BEC∠=∠=∠=∠，∴△ABD≌△BCE∴BE=AD=3在Rt△BCE中，根据勾股定理，得25+9=34，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得342=217.故选A．考点：1.勾股定理；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．10．C解析：C【分析】根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD的长，即可得出BC 的长.【详解】在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BC=2BD.∴∠ADB=90°在Rt△ABD中，根据勾股定理得：22-AB AD225-3=4∴BC=2BD=2×4=8.故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.二、填空题11．(21009，0)．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA 1=1，OA 2=()12，OA 3=()22，OA 4=()32，…OA 2019=()20182，再利用1A 、2A 、3A …，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴的特点可得到点A 2019在x 轴的正半轴上，即可确定点A 2019的坐标．【详解】∵等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，∴OA 1=1，OA 2=2，OA 3=（2）2，…，OA 2019=（2）2018，∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴，∴2019÷8=252…3，∴点A 2019在x 轴正半轴上．∵OA 2019=（2）2018，∴点A 2019的坐标为（()20182,0）即(21009，0)．故答案为：(21009，0)．【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 12．310或10【详解】分两种情况：（1）顶角是钝角时，如图1所示：在Rt △ACO 中，由勾股定理，得AO 2=AC 2-OC 2=52-32=16，∴AO=4，OB=AB+AO=5+4=9，在Rt △BCO 中，由勾股定理，得BC 2=OB 2+OC 2=92+32=90，∴10；（2）顶角是锐角时，如图2所示：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-DC2=52-32=16，∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=12+32=10，∴BC=10；综上可知，这个等腰三角形的底的长度为310或10．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．13．5【分析】由题意可知，AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠E＝45°，求出∠ACE＝∠BCD可证△ACE≌△BCD，可得AE＝BD＝3，∠ADB＝90°，由勾股定理求出AB即可得到AC的长．【详解】解：如图所示，连接BD，∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠E＝45°，且∠ACE＝∠BCD＝90°-∠ACD，在ACE和BCD中，AC=BCACE=BCDCE=CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD3E＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝45°+45°＝90°，∴AB22AD+BD=7+3=10，∵AB=2BC，∴BC ＝2【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．14．3【分析】由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.【详解】解：∵//AD BC ，AB DC =，∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴1AD AB ==，∴2C DBC ∠=∠，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵三角形内角和为180°，∴90DBC C ∠+∠=︒，∴260C DBC ∠=∠=︒，∴2212BC CD ==⨯=，∴123AD BC +=+=.故答案为：3．【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．15．125【分析】解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.【详解】解：∵222225,7a b a b +=-=，将两个方程相加得：2232a =，∵a ＞0，∴a=4代入得：22425b +=，∵b ＞0，∴b=3，∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，∴△ABC 是直角三角形，如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，1122ABC SAC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ ，即：1134522CD ⋅⋅=⋅⋅，解得：CD=125，故答案为：125. 【点睛】本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.163【分析】作点B 关于AD 的对称点B′，过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ，根据轴对称确定最短路线问题，B′N 的长度即为BM+MN 的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．【详解】如图，作点B 关于AD 的对称点B′，由垂线段最短，过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ，B′N 最短，由轴对称性质，BM=B′M ，∴BM+MN=B′M+MN=B′N ，由轴对称的性质，AD 垂直平分BB′，∴AB=AB′，∵∠BAC=60°，∴△ABB′是等边三角形，∵AB=2，∴B′N=2×32=3，即BM+MN 的最小值是3．故答案为3．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M 、N 的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．17．31+或31-【解析】如图，l AB ，2AC =，作AD l ⊥于点D ，∴1AD =，∵222AF AB ===，且F 有2个， ∴2212213DF DF ==-=∵1DC AD ==，∴1113CF CD DF =+= 2231CF DF CD =-=．点睛：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答，考查了学生的空间想象能力．18．41【解析】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD ′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD ′中，;BA CA BAD CAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩∴△BAD ≌△CAD′（SAS ）， ∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得22AD AD +' ，∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得22DC DD +' 41BD 2=41．故答案是：41．19．78【解析】试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD ∥BC ，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC ，而∠DAC=∠ACB ，则∠D′AC=∠ACB ，所以AE=EC ，设BE=x ，则EC=4-x ，AE=4-x ，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理可计算出BE 的长即可．试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，∵△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点E ，∴∠DAC=∠D′AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，设BE=x，则EC=4﹣x，AE=4﹣x，在Rt△ABE中，∵AB2+BE2=AE2，∴32+x2=（4﹣x）2，解得x=78，即BE的长为78．20．522,322++【分析】过B作BF⊥CA于F，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到AC的长．【详解】分两种情况：①当∠C为锐角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，由折叠可得，折痕PE垂直平分AB，∴AP=BP=4，∴∠BPC=2∠A=45°，∴△BFP是等腰直角三角形，∴BF=DF=22，又∵BC=3，∴Rt△BFC中，CF=221BC BF-=，∴AC=AP+PF+CF=5+22；②当∠ACB为钝角时，如图所示，过B作BF⊥AC于F，同理可得，△BFP是等腰直角三角形，∴BF=FP=22又∵BC=3，∴Rt△BCF中，221BC BF-=，∴AC=AF-CF=3+22故答案为：5+22或3+22．【点睛】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题21．BF 的长为32【分析】先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．【详解】解：连接BF ．∵CA=CB ，E 为AB 中点∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ，∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3∴BF===【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．22．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2+CE2＝BC2，证明见解析．【分析】（1）先判断出∠BAE=∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论．（2）先求出∠CDA=12∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论．（3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判断出CD2+CE2=2AC2．即可得出结论．【详解】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）如图2，连结BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA＝12∠ADE＝12×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，∴BD5．（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：如图3，连结BE．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC2＝CD2+CE2．解法二：如图4，过点A作AP⊥DE于点P．∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，∴CD2+CE2＝2AC2．∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，∴CD2+CE2＝BC2．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD，解（2）（3）的关键是判断出BE⊥DE，是一道中等难度的中考常考题．23．（15132）见解析；（3）23【分析】（1）分两种分割法利用勾股定理即可解决问题；（2）如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN．只要证明△ADC≌△BNC，推出CD=CN，∠ACD=∠BCN，再证明△MDC≌△MNC，可得MD=MN，由此即可解决问题；（3）过点B作BP⊥AB，使得BP=AM=1，根据题意可得△CPB≌△CMA，△CMN≌△CPN，利用全等性质推出∠BNP=30°，从而得到NB和NP的长，即得BM.【详解】解：（1）当MN 最长时，BN=225MN AM -=，当BN 最长时，BN=2213AM MN +=；（2）证明：如图，过点A 作AD ⊥AB ，且AD=BN ，在△ADC 和△BNC 中，AD BN DAC B AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△BNC （SAS ），∴CD=CN ，∠ACD=∠BCN ，∵∠MCN=45°，∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°，∴∠MCD=∠MCN ，在△MDC 和△MNC 中，CD CN MCD MCN CM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDC ≌△MNC （SAS ），∴MD=MN在Rt △MDA 中，AD 2+AM 2=DM 2，∴BN 2+AM 2=MN 2，∴点M ，N 是线段AB 的勾股分割点；（3）过点B 作BP ⊥AB ，使得BP=AM=1，根据（2）中过程可得：△CPB ≌△CMA ，△CMN ≌△CPN ，∴∠AMC=∠BPC=120°，AM=PB=1，∠CMN=∠CPN=∠A+∠ACM=45°+15°=60°，∴∠BPN=120°-60°=60°，∴∠BNP=30°，∴NP=2BP=2=MN ，∴22213-=，∴BM=MN+BN=23+.【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，∵CD 平分∠ACB ，∴A′点落在CB 上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，∴A′D=A′B ，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC 平分∠BAD ，∴D′点落在AB上，∵BC=10，∴D′C=BC，过点C作CE⊥AB于点E，则D′E=BE，设D′E=BE=x，在Rt△CEB中，CE2=CB2-BE2=102-x2，在Rt△CEA中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）2．∴102-x2=172-（9+x）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.25．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD的周长为m+2【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得11 2AC CB m=+，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x ，则AD=BD=8-x ，在Rt △CDB 中，CD 2+CB 2=BD 2，x 2+62=（8-x ）2，解得：x=74， AD=8-74=164；（3）∵△ABC 的面积为m+1， ∴12AC •BC=m+1， ∴AC •BC=2m+2， ∵在Rt △CAB 中，CA 2+CB 2=BA 2，∴CA 2+CB 2+2AC •BC=BA 2+2AC •BC ，∴（CA+BC ）2=m 2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB ，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD 的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．26．（1）2，2）证明见解析（3）7（4【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长；（2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；（3）由（1）（2）可知，AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，∴122BC AB ==，∴AC = （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，在Rt △BDE 中，∵122BE AE AB ===，DE =∴22=4BD BE DE =+，∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，∴ABD ∆为等边三角形；（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4， ∴22=27CD AC AD =+， ∵BCD ACD ACBD S SS =+四边形， ∴111()222BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴2217BF =；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1， ∵=23AC ，∴=3CQ QA =，①若点P 在线段AC 上，则23=333PQ CQ CP =-=， ∴2223PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上，则253333PQ CQ CP =+=， ∴22221=3PE PQ EQ =+；综上，PE 23221. 【点睛】本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF 的长，二是对点P 的位置要分情况进行讨论.27．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333-．理由见解析.【分析】（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．【详解】（1）CF FH =证明：延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，∴135CEF FGH ∠=∠=︒，∵点D 是AC 的中点，∴132CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG =∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH ≌∴CF FH =；（2）依然成立理由：设AH ，DF 交于点G ，由题意可得出：DF=DE ，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC ，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF∥BC，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D为AC的中点,DF∥BC，∴DG=12BC,DC=12AC，∴DG=DC，∴EC=GF，∵∠DFC=∠FCB，∴∠GFH=∠FCE，在△FCE和△HFG中CEF FGHEC GFECF GFH∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△FCE≌△HFG(ASA)，∴HF=FC.由（1）可知ABC△和CFH△均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC==．∴2233DE DF CF CD==-=∴333CE DE DC=-=-∴点E与点C之间的距离为333-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.28．（1）(0，3)；（2）DF OE=；（3）93233+【分析】（1）由等边三角形的性质得出6OB=，12AB AC BC===，由勾股定理得出2263OA AB OB=-=A的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE=，AF AO=，60FAO DAE∠=∠=︒，证出FAD OAE ∠=∠，由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆，即可得出DF OE =；（3）证出90AGO ∠=︒，求出9AG =，由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠，证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒，由等边三角形的性质得12DG OF ==即可得出答案．【详解】解：（1）ABC ∆是等边三角形，点0()6,B -，点(6,0)C ，6OB ∴=，12AB AC BC ===，OA === ∴点A 的坐标为(0，；（2）DF OE =；理由如下：ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，AD AE ∴=，AF AO =，60FAO DAE ∠=∠=︒，FAD OAE ∴∠=∠，在FAD ∆和OAE ∆中，AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FAD OAE SAS ∴∆≅∆，DF OE ∴=；（3）60AOF ∠=︒，30FOB ∴∠=︒，60ABO ∠=︒，90AGO ∴∠=︒，AFO ∆是等边三角形，AO =·sin 609AG OA ∴=︒==， FAD OAE ∆≅∆，AOE AFD ∴∠=∠，30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠，30AOD AFD ∴∠+∠=︒，FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠，60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒，AG OF ⊥，AOF ∆为等边三角形，G ∴为斜边OF 的中点，1122DG OF ∴==⨯= ADG ∴∆的周长9AG AD DG =++=+【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．29．（1）△AEF是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F到BC的距离为3﹣．【解析】【分析】（1）连接AC，证明△ABC是等边三角形，得出AC＝AB，再证明△BAE≌△DAF，得出AE ＝AF，即可得出结论；（2）连接AC，同（1）得：△ABC是等边三角形，得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再证明△BAE≌△CAF，即可得出结论；（3）同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，得出AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，证明△BAE≌△CAF，得出BE＝CF，AE＝AF，证出△AEF是等边三角形，得出∠AEF ＝60°，证出∠AEB＝45°，得出∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，作FH⊥BC于H，在△CEF 内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，则GE＝GF，∠FGH＝30°，由直角三角形的性质得出FG＝2FH，GH＝FH，CF＝2CH，FH＝CH，设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，得出EH＝4+x＝2x+3x，解得：x＝﹣1，求出FH＝x ＝3﹣即可．【详解】（1）解：△AEF是等边三角形，理由如下：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD，∠B＝∠D，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∵点E是线段CB的中点，∴AE⊥BC，∴∠BAE＝30°，∵∠EAF＝60°，∴∠DAF＝120°﹣30°﹣60°＝30°＝∠BAE，在△BAE和△DAF中，，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形；故答案为：等边三角形；。

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