专题07 极化恒等式问题-冲刺2019年高考数学压轴题微切口突破(解析版)

专题07 极化恒等式问题

极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及,但在处理一类向量数量积时有奇效,备受师生喜爱. 1. 极化恒等式:221()()4a b a b a b ???=+--?? 2. 极化恒等式三角形模型:在ABC ?中,D 为BC 的中点,则221||||4

AB AC AD BC ?=- 3. 极化恒等式平行四边形模型:在平行四边形ABCD 中,221(||||)4

AB AD AD BD ?=-

类型一 利用极化恒等式求值

典例1.如图在三角形ABC 中,D 是BC 的中点,E,F 是AD 上的两个三等分点,4,1,BA CA BF CF ?=?=-则BE CE ?值为______.

【答案】78

【解析】

设2222,,||||94DC a DF b BA CA AD BD b a ==?=-=-=

2222||||1BF CF FD BD b a ?=-=-=- 解得22513,88

b a == 22227||||48

BE CE ED BD b a ∴?=-=-=

类型二 利用极化恒等式求最值或范围 典例2 在三角形ABC 中,D 为AB 中点,

90,4,3C AC BC ?∠===,E,F 分别为BC,AC 上的动点,且EF=1,

则DE DF ?最小值为______ 【答案】154

【解析】

设EF 的中点为M ,连接CM ,则1||2

CM = 即点M 在如图所示的圆弧上, 则2222

11115||||||||4244DE DF DM EM DM CD ?=-=---=≧

类型三 利用极化恒等式求参数

典例 3 设三角形ABC ,P 0是边AB 上的一定点,满足P 0B=14

AB,且对于边AB 上任一点P ,恒有00PB PC P B PC ?≥?,则三角形ABC 形状为_______.

【答案】C 为顶角的等腰三角形.

【解析】

取BC 的中点D ,连接PD,P 0D.

00PB PC P B PC ??… 2222011||||||44PD BC P b BC ∴--… 0||PD P D ∴…

0P D AB ∴⊥,设O 为BC 的中点,

OC AB AC BC ∴⊥∴=

即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.

1.已知ABC ?是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ?+的最小值是_____ 【答案】32

- 【解析】

设BC 的中点为O ,OC 的中点为M,连接OP,PM,

222133()22||||2||222

PA PB PC PO PA PM AO PM ∴?+=?=-=-≥- 当且仅当M 与P 重合时取等号

2.直线0ax by c ++=与圆22

0:16x y +=相交于两点M,N,若222c a b =+,P 为圆O 上任意一点,则PM PN ?的取值范围为_______

【答案】[6,10]-

【解析】

圆心O 到直线0ax by c ++=的距离为221d a b ==+

设MN 的中点为A ,

222||||||15PM PN PA MA PA ?=-=- ||||||||||OP OA PA OP OA -+剟

23||5,||15[6,10]PA PM PN PA ∴?=-∈-剟

3.如图,已知B,D 是直角C 两边上的动点,1

2,||3,,()6AD BD AD BAD CM CA CB π⊥=∠==+ 1()2

CN CD CA =+,则CM CN ?的最大值为______

【答案】1(134)4

【解析】

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