重点高中数学公式大全(文科)

重点高中数学公式大全(文科)

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高中数学常用公式及结论

1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠??

2 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n

个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集

有22n

-个.

3 二次函数的解析式的三种形式：

(1) 一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠;

(2) 顶点式2

()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)

x x 时，设为此式）

（4）切线式：02

()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点

的横坐标为0x 时，设为此式）

4 真值表： 同真且真，同假或假

5 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）

原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互

互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否

否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

充要条件： (1)、p q ?，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；

（2）、p q ?，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ?，则P 是q 的必要不充分条件；

4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。

6 函数单调性:

增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的

1212

,,x x D x x ∈<且，都有

12()()

f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增

区间。

减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的

1212

,,x x D x x ∈<且，都有

12()()

f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性： 函数 单调 单调性 内层函数 ↓ ↑ ↑ ↓ 外层函数 ↓ ↑ ↓ ↑ 复合函数 ↑

↑

↓

↓

等价关系：

(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

7函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：

定义：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或， 则f （x ）就是奇函数。 性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x >0和x <0上具有相同的单调区间； （3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 . 偶函数：

定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。

性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；

（2）、偶函数在x >0和x <0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

8函数的周期性： 定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ），则就叫f （x ）是周期函数，其中，T 是f （x ）

的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ；

9常见函数的图像：

k<0

k>0

y=kx+b

o

y

x

a<0

a>0

y=ax 2

+bx+c o

y

x

0

a>1

1

y=a x

o

y

x

0

a>1

1y=log a x

o

y

x

10对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2

b

a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x

b f y -= 的图象关于直线2

b a

x -=对称. 11分数指数幂与根式的性质： (1)m n m n

a

a =（0,,a m n N *>∈，且1n >）.

（2）1

1

m n

m n

m

n

a

a a -

=

=

（0,,a m n N *

>∈，且1n >）.

（3）()n

n a a =.

（4）当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时，,0

||,0n

n a a a a a a ≥?==?

-

.

12 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.

指数性质： (1)1、1p

p

a

a

-=

； （2）、0

1a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)r

s

r s

a a a a r s Q +?=>∈ ； (5)、m n m n

a a = ；

指数函数：

(1)、 (1)x

y a a =>在定义域内是单调递增函数；

（2）、 (01)x

y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注：指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质：

(1) log log log ()a a a M N MN += ；（2） log log log a a a

M

M N N

-= ； (3) log log m a a b m b =? ； (4) log log m n a a n

b b m =

? ； (5) log 10a = ; (6) log 1a a = ； (7) log a b

a b =

对数函数：

(1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数；

（2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0） (3)、 log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >?∈∈+∞或

(4)、log 0(0,1)(1,)a x a x

N a

=

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

对数恒等式：log a N

a

N =(0a >,且1a ≠, 0N >).

推论 log log m n

a a n

b b m

=

(0a >,且1a ≠, 0N >). 14对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a

a a M

M N N

=-; (3)log log ()n

a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m

n a a n

N N n m R m

=∈。

15 等差数列：

通项公式： （1） 1(1)n a a n d =+- ，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为末项。

（2）推广： ()n k a a n k d =+-

（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）

前n 项和： （1）1()

2n n n a a S +=

；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。 （2）1(1)

2

n n n S na d -=+ （3）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） （4）12n n S a a a =+++L （注：该公式对任意数列都适用）

（5） 1+2+3+…+n=

2

)

1(+n n

等比数列：

通项公式：（1） 1

*11()n n

n a a a q

q n N q

-==

?∈ ，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比。

（2）推广：n k

n k a a q -=?

（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）

前n 项和：（1）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）

（2）12n n S a a a =+++L （注：该公式对任意数列都适用）

（3）1

1(1)(1)

(1)

1n n na q S a q q q =??

=-?≠?-?

16 同角三角函数的基本关系式 ：2

2

sin cos 1θθ+=，tan θ=θ

θ

cos sin ， 17 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 18和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;

cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=m .

19 二倍角公式及降幂公式

sin 22sin cos ααα=22tan 1tan α

α

=

+.

2

2

2

2

cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22

1tan 1tan α

α

-=+. 22tan tan 21tan ααα=-. sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα

ααα-==

+ 221cos 21cos 2sin ,cos 22

αα

αα-+==

20三角函数的周期公式

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期

2||T πω=

；函数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||T πω=.

三角函数的图像：

-1

1

y=sinx

-2π2π

3π/2

π

π/2

-3π/2

-π

-π/2

o

y

x

-1

1

y=cosx

-2π2π

3π/2π

π/2

-3π/2

-π

-π/2

o

y

x

21 正弦定理 ：

2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ?外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin a b c A B C ?=

22余弦定理：

2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.

23面积定理：

（1）111

222a b c S ah bh ch =

==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B ===.

24三角形内角和定理 ：

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+

222

C A B

π+?

=-

222()C A B π?=-+. 25实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：

(1) 结合律：λ(μa r )=(λμ) a r

;

(2)第一分配律：(λ+μ) a r =λa r +μa r

;

(3)第二分配律：λ(a r +b r )=λa r

+λb r . 26a r 与b r 的数量积(或内积)：a r ·b r =|a r ||b r

|cos θ。

27平面向量的坐标运算：

(1)设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则a r +b r

=1212(,)x x y y ++.

(2)设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则a r -b r

=1212(,)x x y y --.

(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r

.

(4)设a r =(,),x y R λ∈，则λa r

=(,)x y λλ.

(5)设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，则a r ·b r

=1212()x x y y +.

28 两向量的夹角公式：

1212

2222

1122

cos ||||

x x y y a b

a b x y x y θ+?==

?+?+r r r r (a r

=11(,)x y ,b r =22(,)x y ).

29 平面两点间的距离公式：

,A B d 22

2121()()x x y y =-+- (A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).

30向量的平行与垂直 ：设a r

=11(,)x y ,b r =22(,)x y ，且b r ≠0r ，则：

a r ||

b r ?b r =λa r

12210x y x y ?-=.（交叉相乘差为零） a r ⊥b r (a r ≠0r )? a r ·b r

=012120x x y y ?+=.（对应相乘和为零）

31三角形的重心坐标公式： △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC

的重心的坐标是1

23123

(,)33

x x x y y y G ++++.

32常用不等式：

（1）,a b R ∈?2

2

2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（2）,a b R +

∈?

2

a b

ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）b a b a b a +≤+≤-. 33极值定理:已知y x ,都是正数，则有

（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值24

1s .

34 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有

22x a x a a x a

22x a x a x a >?>?>或x a <-.

35斜率公式 ：

21

21

y y k x x -=

-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.

36 直线的五种方程：

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．

（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式

11

2121

y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠)).

两点式的推广：211211()()()()0x x y y y y x x -----=（无任何限制条件！） (4)截距式 1x y

a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、) 37夹角公式：

(1)21

21

tan |

|1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)

(2)12

21

1212

tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是

2

π. 381l 到2l 的角公式：

(1)21

21

tan 1k k k k α-=

+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)

(2)1221

1212

tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).

直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2

π.

d

d

d

相离外切相交

内切内含r 1+r 2

r 2-r 1

o

d

39点到直线的距离 ：0022

||

Ax By C d A B

++=+(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

40圆的四种方程：

（1）圆的标准方程 2

2

2

()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 2

2

0x y Dx Ey F ++++=(22

4D E F +-＞0).

41点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：

若2

2

00()()d a x b y =-+-，则d r >?点P 在圆外;

d r =?点P 在圆上; d r

42直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

(22B

A C Bb Aa d +++=):

0相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d .

43 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，则：

条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

条公切线相交22121??+<<-r r d r r ;

条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d .

44椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?

. 离心率2

21c b e a a ==-，

准线到中心的距离为2a c ，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c

=。

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为：2

2b a

g .

45椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a ex c =-=-；1221||tan 2

F PF P F PF

S c y b ?∠==。

46椭圆的的内外部:

（1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部22

00

221x y a b ?

+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的外部2200

22

1x y a b ?

+>.

47双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率2

21c b e a a

==+，准线到中心的距离为2a c ，焦点到对应准

线的距离(焦准距)2b p c =。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2

2b a

g .