导数高考常见题型

导数的应用常见题型

一、常用不等式与常见函数图像

1、1+≥x e x x x ≤+)1ln( 1-ln 1

-1x x x

≤≤

2、常见函数图像

x

e x x

f =

)( x

x x f ln )(= x x

x f ln )(=

二、选择题中的函数图像问题

(一)新型定义问题 对与实数,a b ，定义运算“*”：a *b=

22

,,a ab a b

b

ab a b

,设

()

(21)*(1)f x x x 且关于x 的方程()

()f x m m

R 恰有三个互不相等的实数根

123,,x x x ，则123x x x 的取值围为

（二）利用导数确定函数图像 ①已知函数32()31f x ax x ，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0

0x ，则a 的取值围

为（ ） A 、(2,

) B 、(

,2) C 、(1,) D 、(,1)

②设函数()f x =(21)x

e x ax a ,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()

f x 0，

则a 的取值围是（ ） (A)[-

32e ，1） (B)[-32e ，34） (C)[32e ，34） (D)[3

2e

，1）

三、导数与单调性

实质：导数的正负决定了原函数的单调性 处理思路：①求导,解不等式[0)('0)('<>x f x f 或] ②求解0)('=x f ，分段列表 ③根据)('x f y =的图像确定

(一)分段列表

①已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； ②已知函数x

x

xe e x x f -+-=2)2()(，讨论函数的单调性

③设函数mx x e

x f mx

-+=2)(

（Ⅰ）证明：)(x f 在(-∞，0)单调递减，在(0,+∞+)单调递增；

（Ⅱ）若对于任意]1,0[,21∈x x ，都有1)()(21-≤-e x f x f ，求m 的取值围

（二）根据导函数图像确定

①已知函数x x a ax x f ln )1(2

1)(2

+-+-=，试讨论函数的单调性

②已知函数a a ax x x a x x f +--++-=2

2

22ln )(2)(，其中0>a .设)(x g 是)(x f 的导函数，讨论)(x g 的单调性

③已知函数),(ln )(2

R b a x bx ax x f ∈-+=，0≥a ，求)(x f 的单调区间

（三）已知单调性，求参数取值围

①已知函数ax x x x f -+=ln )(2

在)1,0(∈x 是增函数,求a 的取值围;

②已知函数23)2(2

1

61)(x a x x g -+=

，h （x ）=2alnx ，)()()(x h x g x f -'=。 （1）当a∈R 时，讨论函数()f x 的单调性．

（2）是否存在实数a ，对任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都有2112

()()

f x f x a x x ->-

恒成立，若存在，求出a 的取值围；若不存在，说明理由。

四、极值与零点问题

实质：第一种说法：导函数或原函数对应方程的根 第二种说法：导函数或原函数图像与x 轴的交点 处理方法：

根源：利用讨论导函数和原函数的图像处理极值点与零点问题 ①利用导数对函数图像的三个影响要素，数形结合 I.单调性函数图像大致形状

II.极值函数图像相对位置

III.某些特殊点的函数值，两端的趋势完善函数图像

②代入法

将极值点或零点满足的等式带入求解表达式进行后续处理 代入后目前似乎有三种处理思路

I.保留两个横坐标，利用替换法（通常令2

1

x x t =

）构建新函数 II.保留一个坐标，另一个坐标被替换，构建新函数 III 不保留坐标，坐标全用参数替换构建新函数 ③构建对称函数 ④构建比较函数

⑤利用对数不等式、指数不等式放缩

（一）数形结合

①已知函数),()(2

3

R b a b ax x x f ∈++= (1)试讨论函数的单调性

（2）若a b -=1，函数有三个零点，数a 的取值围

②知函数31

()

,()ln 4

f x x ax

g x x

（1）当a 为何值时，x 轴为()y f x 的切线；

（2）用min{,}m n 表示m,n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x ，讨论

()h x 的零点个数

（二）代入法

①a x x x f -3

4)(3

4

-

=有两个零点21,x x (1)数a 的取值围 (2)证明221<+x x ②已知常数0>a ,函数2

2)1ln()(+-

+=x x

ax x f （1）讨论)(x f 在(∞+，0)上的单调性

（2）若)(x f 存在两个极值点21,x x ，且0)()(21>+x f x f ，数a 的取值围 ③设函数x a x

x x f ln 1

)(--

=(R a ∈) (I)讨论)(x f 的单调性；（II ）若)(x f 有两个极值点1x 和2x ，记过点

的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得a k -2=若存在，求

出a 的值，若不存在，请说明理由．

（三）构建比较函数

已知函数ax e x f x

-=)(有两个零点21,x x (1)数a 的取值围 (2)证明:a x x ln 221<+ (3)证明：221>+x x ，121

（四）构建对称函数

已知函数x x a ax x f ln )1(2

1

)(2

+-+-=，若函数有两个零点21,x x （1）数a 的取值围 （2）比较)2

(

'2

1x x f +与0的大小，并证明你的结论 （五）利用对数不等式、指数不等式放缩 ①已知函数x xe x f -=)(

1122(,()),(,())

A x f x

B x f x

（1）求函数的单调性及极值 （2）如果21x x ≠，且)()(21x f x f =，证明221>+x x ②设函数)()(R a a ax e x f x

∈+-=，其图像与x 轴交于A(0,1x ),B(0,2x )两点，且

21x x <

（1）数a 的取值围 （2）证明：a x x ln 221<+ （3）证明：0)('21

③已知函数x a ax x x f )2(ln )(2

-+-=

（1）讨论)(x f 的单调性 （2）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A 、B 两点，线段 AB 的中点的横坐标为0x ，求证：0)('0

四、导数与最值、恒成立、存在问题 实质：恒成立问题

存在问题

处理思路：①数形结合 ②分离函数 ③分离参数 ④主元思想

例：的最大值恒成立，求对于b a b a a b 1032-≤?≥--?）

（一）不含参数类

1.直接翻译成最值

①已知函数()x

f x e ax b =--，若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值 ②已知函数，求证：在区间上，函数的图象在函数图象的下方 2、分离函数，数形结合分别讨论

设函数1

()ln x x

be f x ae x x

，曲线()y

f x 在(1,(1))f 处的切线为(1)2y

e x

（1）求,a b （2）证明()1f x

2

1()ln 2

f x x x =

+[1,)+∞()f x 3

2()3

g x x =

3、某点处函数值相等，利用函数变化快慢 ①已知函数f()ln(1)x x ，(),(k ),g x kx R

(Ⅰ)证明：当0x x x 时，f()；

(Ⅱ)证明：当1k 时，存在00x ,使得对0(0),x x 任意，恒有f()()x g x ；

②已知函数1ln 1x

f x x

． （Ⅰ）求曲线y f x 在点0,0f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当0,1x

时，3

23

x f x

x

； （Ⅲ）设实数k 使得3

3

x f x

k x

对0,1x 恒成立，求k 的最大值

③已知函数2

()

1

ax b

f x x 在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y （1）求函数()f x 的解析式

（2）设()ln g x x ，求证：()()g x f x 在[1,

)x 恒成立

4、利用常用函数、基本不等式放缩 已知函数2()

1

ax b

f x x 在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y （1）求函数()f x 的解析式（2）设()ln

g x x ，求证：()

()g x f x 在[1,

)x 恒成立

5、构建关于最值点的新函数 ①讨论函数x

x 2f (x)x 2

-=

+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2

x =(0)x e ax a g x x

-->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.

（二）含参数类

1.直接讨论最值

①]1,0(,ln (2

∈-=x ax x x f ）

，求)(x f 在区间（0,1]上的最大值． ②设函数)1ln(2)1((2x x x f +-+=）

，若定义域存在0x ，使得不等式0-)(0≤m x f 成 立，数m 的最小值；

③已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ，若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ?∈

),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，数b 的取值围；

④已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).a

g x a x

+=-

∈ （1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区