高考数学试题分类汇编专题三角函数理.doc

2011 年高考试题数学（理科）三角函数

一、选择题 :

1. (2011 年高考山东卷理科

3) 若点（ a,9 ）在函数 y 3x

的图象上，则 tan=

的值为

（ A ） 0 (B)

【答案】 D

3 3

【解析】由题意知 :9= 3a

, 解得 a =2, 所以 tan

tan 2 tan

3 , 故选 D.

6 3

2. (2011 年高考山东卷理科 6) 若函数 f ( x)

sin x ( ω >0) 在区间 0, 上单调递增，在

3 区间

, 上单调递减，则 ω =

3 2

（ A ） 3

（ B ） 2

（ C ）

（ D ）

【答案】 C

【解析】由题意知 , 函数在 x

处取得最大值 1, 所以 1=sin , 故选 C.

3. (2011 年高考安徽卷理科 9) 已知函数 f ( x)

sin(2 x

) ，其中

为实数，若

f ( x)

f ( ) 对 x R 恒成立，且 f ( )

f ( ) ，则 f (x) 的单调递增区间是

（A ） k

, k (k Z ) （ B ） k , k (k Z )

3 6

（C ） k

,k 2 （ D ） k , k (k Z) ( k Z )

【答案】 C.

【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性 . 属中等偏难题 .

【解析】若 f ( x) f ( ) 对 x

R 恒成立，则 f ( )

sin(

) 1，所以

, k Z ，

,k Z . 由 f ( )

f ( ) ，（ k Z ），可知

3 2

6 2

(A) 2 3 (B) 2 2 (C) 3 (D) 2

答案： D

解析：由正弦定理得，sin 2AsinB+sinBcos 2A= 2 sinA，即sinB（sin2A+cos2A）= 2 sinA，

故 sinB= 2 sinA，所以b

2 ；

5. (2011 年高考辽宁卷理科

（ + ）= ，则 sin 2 （）7) 设 sin

7 1 3

1 7

(A) (B) (C) (D)

9 9 9 9 答案： A

解析： sin 2 cos 2

2 2sin 2

1 2 1 1 7 .

9 9

6. (2011 年高考浙江卷理科6) 若0＜＜，-＜＜0 ， cos( ) 1 ，

2 2 4 3

cos( ) 3

)

4 2

，则 cos(

3 2

（A）

3 （ B） 3 （ C）5 3 （ D） 6

3 9 9

【答案】 C

【解析】：

2 ( ) (

) cos( ) cos[( ) (

)]

4 2 2 4 2

cos(

4 )cos( ) sin( )sin( )

4 2 4 4 2

1 3

2 2 6

4 3

5 3

3 3 3 3 9 9

故选 C

7. (2011 年高考全国新课标卷理科5) 已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线y 2x 上，则，cos2 （）

4 3 C

2 D

解析：由题知 tan

2 ,

cos2

cos 2 sin 2 1 tan 2

选 B

cos 2 sin 2

1 tan 2

8. (2011 年高考全国新课标理 11) 设函数 f ( x)

sin( x )

cos( x

)(0,

)

的最小正周期为

，且 f (

f (x) ，则

（ A ） f ( x) 在 0,

单调递减（ B ） f ( x) 在

单调递减

4 ,

（ C ） f ( x) 在 0,

单调递增

（ D ） f ( x) 在

, 3

单调递增

解析：

f ( x )

2 s i x (

，所 )以

2 ，又 f(x) 为偶函数，

4 k , k z ， f ( x)

2 sin(2 x

2 )

2 cos2x ，选 A

9. (2011 年高考天津卷理科

6) 如图，在△ ABC 中， D 是边 AC 上的点，且

AB AD, 2 AB

3BD , BC 2BD ，则 sinC 的值为（

）

A ．

3 B ．

3 6

C ．

6 D ．

【答案】 D

【解析】设 BD

a , 则由题意可得 : BC 2a, AB AD

a , 在 ABD 中, 由余弦定

理得：

AB 2

AD 2 BD 2

2 3a 2 a 2 1

2 2

cos A 4 = ，所以 sin A = 1 2

，在△

3 cos A

2 AB AD

2 ( 3

a)2

3 a

ABC 中，由正弦定理得，

，所以

，故选

sin C

，解得 sin C =

sin C

sin A

2 2 a

10．(2011 年高考湖北卷理科 3) 已知函数 f (x )

3 sin x cos x , x

R ，若 f ( x ) 1 ，则 x 的取

值范围为

A. { | k

x k ,

}

B. { x | 2k

2k , k z }

k z

3 3

C. { x |k

x k 5

, k z }

D. { x |2k

x 2k 5

, k z }

答案： B

解析：由 3sin x cos x

，即

sin( x

) 1 ，解得 2k

x 2 k 5

, k z ，

6 2

即 2k

x 2k , k z ，所以选 B.

11． (2011 年高考陕西卷理科 6) 函数 f (x)

x cosx 在 [0, ) 内

（A ）没有零点

（B ）有且仅有一个零点

（C ）有且仅有两一个零点（

D ）有无穷个零点

【答案】 B

【解析】：令 y 1 x ， y 2

cos x ，则它们的图像如图故选

12. (2011 年高考重庆卷理科 6) 若 ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a,b,c 满足

(a b)2 c 2 4 ，且 C 600 ，则 ab 的值为

（ A ）

(B)

8 4 3

解析：选 A 。由 (a b)2

c 2 4 得 a 2 b 2

2ab c 2 4 ，由 C 600 得

a 2

b 2

c 2

4 2ab 1 4 cosC

2ab

，解得 ab

13. (2011 年高考四川卷理科 6) 在 ABC 中． sin 2

sin 2 B sin 2 C sin Bsin C . 则 A 的取

值范围是 (

)

(A)(0 ，

]

(B)[

， ) (c)(0 ， ] (D) [

， )

答案： C

解

析

：

由题意

正

弦

定理

a 2

b 2 2

c a

2 2

b c bc b c a

A c

14． (2011 年高考全国卷理科 5) （ 5）设函数 f (x) cos x( ＞0) ，将 y

f ( x) 的图像向

右平移

个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于

（ A ） 1

（ B ） 3

（ C ） 6

（ D ） 9

【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将

f ( x) 的图像向右平移

个

单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了

是此函数周期的整数倍。

【精讲精析】选 C. 由题

k(k Z ) , 解得

6k ，令 k

1 ，即得

min

=3，则

sin 2

15． (2011 年高考福建卷理科 3) 若 tan

的值等于

cos 2 a

A ． 2

B ． 3

C ． 4

D ．6

【答案】 D

16． (2011 年高考福建卷理科

10) 已知函数 f （ x ）=e+x ，对于曲线 y=f （ x ）上横坐标成等

差数列的三个点 A,B,C ，给出以下判断：

①△ ABC 一定是钝角三角形

②△ ABC 可能是直角三角形

③△ ABC 可能是等腰三角形

④△ ABC 不可能是等腰三角形

其中，正确的判断是

A ．①③

B ．①④

C ． ②③

D ．②④

【答案】 B

二、填空题 :

1. (2011 年高考辽宁卷理科

16) 已知函数 f （ x ） =Atan （ x+ ）（＞0，

＜π ），y=f

f （

） =____________.

（x ）的部分图像如下图，则

答案：

的周期是 2

A tan 1,

解析：函数 f(x)

2 ，故

2 ，由

3 得

A tan 2

, A

1 . 所以 f ( x) tan 2x

，故 f

tan 2

4 3 .

2. (2011 年高考安徽卷理科 14) 已知

ABC 的一个内角为

120o ，并且三边长构成公差为 4

的等差数列，则

ABC 的面积为 _______________

【答案】 15 3

【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积 . 【解析】设三角形的三边长分别为

a 4, a, a 4 ，最大角为

，由余弦定理得

(a 4) 2

a 2 (a 4) 2 2a(a 4)cos120 ，则 a 10 ，所以三边长为

6,10,14. △ABC

的

面积为 S

1 6 10 sin120 15 3 .

3. (2011 年高考全国新课标卷理科 16) 在

ABC 中， B

60 , AC

3 ，则 AB 2BC 的

最大值为。

解析： A

C 1200

A , A (0,120 0 ) , BC AC 2 BC 2sin A

sin A sin B

2 AB 2sin C 2sin(1200 A) 3cos A sin A ；

sinC

sin B

AB 2BC 3 cos A 5sin A 28 sin( A

) 2 7 sin( A

) ，故最大值是 2 7

4. (2011 年高考重庆卷理科 14) 已知 sin 1 cos ，且

，则 cos2

的

sin(

)

值为

解析：

14 。由题设条件易得：

sin

cos

，故

sin(

)

2 sin cos

2 ， 4 2

cos2

sin

cos

sin

cos

，所以 cos2

sin(

)

5. (2011 年高考全国卷理科 14) 已知 a ∈(

， ) ， sin α =

，则 tan2 α =

【答案】

【解析】

a ∈ ( ， ) ， sin α=

cosa

1 sin 2

1 ( 5

)

2 5

则 tan α =

sin a

5 1

2tan a

2 ( 1)

5 5

故 tan2 α =

cosa

2 2 1 tan 2 a 1 ( 1 2

)

6. (2011 年高考安徽卷江苏

7) 已知 tan(x)

2, tan x

则

tan 2x

【答案】

的值为 __________

2 tan(x

)

2 2 4

【解析】因为 tan2( x

)

) =-cot2x, 所以 1 22

, 而 tan(2 x

4 1 2

) 3

tan ( x

tan2x

tan x 1

1 , 所以 tan x 的值为 4

. 又因为 tan(x

) 2 , 所以解得 tan x

4 1 tan x 3 tan2x

7. (2011 年高考安徽卷江苏

9) 函数 f ( x)

Asin( wx ), ( A, w, 是常数， A 0, w 0) 的

部分图象如图所示，则

f (0) ____

7 3 12

【答案】

【解析】由图象知：函数 f ( x)

Asin( wx

) 的周期为 4(

) ，而周期 T

2 ，

所以 w 2 ，

由五点作图法知：

，解得

，又 A= 2 ，所以函数 f ( x) 2 sin(2 x

3 ) ，

所以

f (0)

2 sin

8 ． (2011 年高考北京卷理科 9) 在

ABC 中。若 b=5 ， B

， tanA=2 ，则

sinA=____________ ； a=_______________ 。

【答案】

2 5

2 10

【解析】由 tan A

2 5 a 2 10 。

sin A

，正弦定理可得 5

9. (2011 年高考福建卷理科 14) 如图，△ ABC 中， AB=AC=2， BC=2 3 ，点 D 在 BC 边上，∠ ADC=45°，则 AD 的长度等于 ______。

【命题意图】本题考查运用正余弦定理解三角形，是中档题 .

【答案】

【解析】（法 1）过 A 作 AE ⊥ BC,垂足为 E ，∵ AB=AC=2，BC=2 3 , ∴E 是 BC 的中点，且 EC= 3 ，

Rt AEC

2 2

又∵∠

°，∴ ，∴

在中， AE=

EC =1,

ADE=45 DE=1

AD= 2 ;

( 法 2) ∵ AB=AC=2，BC=2 3 , 由余弦定理知，

cosC =

BC 2 AB 2

= 22 (2 3) 2 22 = 3 , ∴C=30°，

2 AC BC 2 2 2

3 2 在△ ADC 中，∠ ADE=45°，由正弦定理得，

AD AC

sin C

sin ，

ADC

∴AD= AD sin C =

2 =

2 .

sin

ADC

10．(2011 年高考上海卷理科 6) 在相距 2 千米的 A ．B 两点处测量目标

C ，若

CAB 750 , CBA 600 ，则 A ． C 两点之间的距离是

千米。

【命题意图】本题考查正弦定理及其应用，是简单题

【答案】

【解析】如图所示，∠ C=45°，由正弦定理得

2sin 60 0

sin 60 0 sin 45 0 ，∴ AC= sin 45 0 = 6 .

11． (2011 年高考上海卷理科

8) 函数

sin(

)cos(

) 的最大值

为

。

【答案】

【解析】将原函数解析式展开得

cos 2

cos x sin x =

(1 cos 2x) 1

sin 2 x ,

故最大值为

3 3 1

3 .

16 =

三、解答题 :

1. (2011 年高考山东卷理科

17) （本小题满分 12 分）

在 ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c. 已知

cosA-2cosC

2c-a

cos B

sin C

（I ）求的值；

（II ）

若 cosB= 1

， b

2 , 求 ABC 的面积 .

【解析】（Ⅰ）由正弦定理得 a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C , 所以

cos A-2cosC = 2c-a = 2sin C sin A , 即

cosB b

sin B sin B cos A 2sin B cosC 2sin C cosB sin A cosB , 即有 sin( A B) 2sin( B C ),

即 sinC

2sin A , 所以

sin C

=2.

sin A

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 :

sin C a sin A

=2, 即 c=2a, 又因为 b 2 , 所以由余弦定理得：

b 2

c 2 a 2 2ac cos B ，即 22 4a 2 a 2 2a 2a

1 , 解得 a 1 , 所以 c=2, 又因为

cosB=

，所以 sinB=

15 ，故 ABC 的面积为 1

ac sin B 1 1 2

15 = 15 .

4 2 2

2. (2011 年高考浙江卷理科 18) （本题满分 14 分）在

ABC 中，角 A.B.C 所对的边分别为

a,b,c 已知 sin A sin C

p sin B p R , 且 ac 1 b 2 .（Ⅰ）当 p

, b 1 时，求 a, c 的

值； ( Ⅱ ) 若角 B 为锐角，求 p 的取值范围；

a c （Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理，得

1 4

a 1 a

解得

或

1 c 1

（Ⅱ）解：由余弦定理，

b 2=a 2+

c 2-2ac cosB

=(a+c)

-2ac cosB

b 2

1 2

cos B, 即 p 2

3 1 cosB,

b - 2

2 2

因为 0

cos B 1, 得 p

( 3

, 2) ，由题设知 p 0 ，所以 6

2 3. (2011 年高考天津卷理科 15) （本小题满分 1

3 分）

已知函数 f (x)

tan(2x

), ，

（Ⅰ）求 f ( x) 的定义域与最小正周期；

（Ⅱ）设

，若 f (

) 2cos2 , 求的大小．

【解析】本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系、二

倍角的正弦、余弦公式、正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力 .

（Ⅰ）由 2x

4 k , k Z , 得 x

8 k

, k

Z, 所以 f ( x) 的定义域为

x R | x

k , k Z

. f (x) 的最小正周期为.

sin(

)

（Ⅱ）由 f (

) 2cos 2 , 得 tan( ) 2cos 2 , 即 4

2(cos 2

sin 2 ) ,

cos(

)

sin

cos

整理得 :

2(cos

sin )(cos

sin ) , 因为 sin cos

0 , 所以可

cos

sin

得

(cos

sin ) 2 1 , 解得 sin 2

1 , 由

0, 得 2

0, , 所以

4. (2011 年高考江西卷理科 17) （本小题满分 12 分）

在△ ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 已知 sinC+cosC=1-sin

（ 1）求 sinC 的值

（ 2）若 a 2+b 2=4(a+b)-8 ，求边 c 的值

解析：由 2sin

cos C

1 2sin 2

C 1 sin

C ，即 sin C (2cos C

2sin

1) 0 ，

2 2 2 2 2 2

因为 sin

0 ，所以 sin

cos

，两边平方得 sin C 3 ．

2 2

（2）由 sin

cos

1 得 sin C

cos C

，所以 C

，所以

C ，

2 2 4 2 2

由 sin C

3 得 cosC 7

，由余弦定理得 c 2

a 2

b 2 2ab (

7 ) ，

又 a 2 b 2 4(a b) 8 ，即 ( a 2) 2 (b 2) 2 0 ，所以 a

2, b

2 ，

所以 c 2

8 2 7 ，所以 c

1．

本题考查三角形、同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及余弦定

理．

5. (2011 年高考湖南卷理科

17) （本小题满分 12 分）在

ABC 中，角 A ， B ，C 所对的

边分别为 a ，b ，c ，且满足 csin A acosC .

求角 C 的大小；

求

3sin A cos B

的最大值，并求取得最大值时角

A ，

B 的大小 .

解：由正弦定理得 sinC sin A sin AcosC

因为 0

A ，所以 sin A 0. 从而 sinC cosC . 又 cosC 0，所以 tanC 1，

则 C

3 A ，于是 3 sin A cos B

= 3 sin A cosA

由

知， B

= 3 sin A

cosA = 2sin A

因为 0 A

，即 A

，所以

. 从而当 A

时，

4 6

2sin A

取最大值 2.

3 sin A cos B

2，此时 A

， B

综上所述，

的最大值 .

3 12

评析：本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，

以及运用三角公式进行三

角变换的能力以及三角函数的最值、求角问题

6. (2011 年高考广东卷理科 16) （本小题满分 12分）

已知函数 f ( x) 2sin( 1

), x R （1）求 f (

) 的值；

（2）设 ,

0, , f (3 ) 10

6 ) 的值 .

, f (3 2 ), 求 cos(

2 2 5

【解析】解：（ 1）

5 ) 2sin(

f ( )

4 3 4

2sin

2 ；

10 f 3

1 3

2sin ,

（ 2）

2sin

2 6

6 2 1 (3

2 ) 2sin

2cos , f (3

) 2sin

2 5

sin

,cos

3 , 13

cos

1 sin 2

5 12 , 13

4 ,

sin

1 cos 2

故 cos(

) cos

cos sin sin

3 12 5

4 56 .

5 13 13 5

7. (2011 年高考湖北卷理科 16) （本小题满分

10 分）

设△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为

a ,

b ,

c ，已知 . a 1,b 2,cos C

1 4

( Ⅰ ) 求△ ABC 的周长； ( Ⅱ ) 求 cos(A —C.)

本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，

同时考查基本运算能力

解析：

（Ⅰ）

2ab cos C 1 4

4 c

2. ABC 的周长为

a b c 1 2 2 5.

（Ⅱ） cos C

1 , sin C

1 cos

2 C

( 1)2

4 4

a sin C 15 15

sin A

4 c , A

C 故 A 为锐角 .

cos A

1 2

c 2

8 . a

sin

1 ( 15 )

2 7 .

cos(A C )

cos A cos C sin A sin C 7 1

15 11 .

8 4 8 4

8． (2011 年高考陕西卷理科

18) （本小题满分 12 分）叙述并证明余弦定理

【解析】：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角

的余弦的两倍积。或

a 2

b 2

c 2 2bc cos A ， b 2 a 2 c 2 2ac cos B ，

c 2 a 2 b 2 2ab cosC

证法一，如图 a

BC BC

( AC AB) ( AC

AB )

2AC AB AB 2

2bc cos A c 2 即

AC AC 2 AC

AB cos A AB b 2 a 2 b 2

c 2 2bc cos A

同理可证 b 2 a 2 c 2

2ac cos B ， c 2 a 2 b 2

2ab cosC

证法二：已知

ABC 中 A, B,C 所对边分别为 a, b,c, 以 A 为原点 ,

AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则

C (b cos A, b sin A), B(a,0),

a 2

(b cosA c)2 (b sin A)2

b 2 cos 2 A 2b

c cos A c 2

b 2 sin 2 A b 2

c 2 2bc cos A

同理可证 b 2

c 2 a 2 2ca cos B, c 2 a 2 b 2 2ab cosC

9. (2011 年高考重庆卷理科 16) （本小题满分 13 分）

设 a

R, f x

cos x a sin x cos x

cos 2

2 x 满足 f ( ) f (0) ，求函数 f ( x)

在

, 11

上的最大值和最小值 4 24

解析： f

x a sin x cosx cos 2 x sin 2 x

sin 2x cos2x

由 f (

) f (0) 3 a 1

得 2

1 ，解得： a 2

2 2

因此 f x

3 sin 2x cos 2x 2sin 2x

当 x

, 3 时， 2 x

3 , ， f x 为增函数，

当 x

,11

时， 2x

, 3

， f

x 为减函数，

3 24

2 4

所以 f

x 在

11 上的最大值为 f ( )

4 ,

又因为 f (

)

3 ， f 11

所以 f x 在 11

上的最小值为 f

4 24

10. (2011 年高考四川卷理科 17) （本小题共 12 分）已知函数 f ( x)

sin

7 cos x

3 , x

（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期和最小值；

（Ⅱ）已知 cos

,cos

4 ， 0

，求证： f ( )

2 0 .

解析：（Ⅰ）∵ f x

2 cos x

2 2

sin x

2 sin x cos x

2sin x

，

∴ f x

的最小正周期是

，当

，

2 x

k 2 k

即 x

k 时，函数取得最小值 -2.

（Ⅱ）

，

0 ，

4 , 2 3

, sin

cos

sin

. cos .

sin 2 sin

sin

cos

sin

3 4 4 3

0 ，

5 5

2sin

4sin 2

2 1 cos 2

2 2sin 2

0 ，

所以，结论成立 .

11. (2011 年高考全国卷理科 17) ( 本小题满分 l0 分 )( 注意：在试题卷上作答无效 )

．．．．．．．．．

△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c. 己知 A — C =90°， a+c= 2 b ，求 C.

【解析】：由正弦定理得 a 2R sin A, b 2R sin B,c

2R sin C ，

由 a

2b 得 2R sin A 2R sin C

2 2R sin B ，即 sin A sin C

2 sin B

， B [1800

( A C )] ， sin A sin C2 sin[180

( A C )]

A+B+C=180

即

sin A sin C

2 sin( A C ) ，由 A-C=900 得 A=900+C

sin(90 0 c) sin c

2 sin(900 2c) 即

cosc sin c 2 2 sin(45 0 c) cos(45 0 c)

2 2 sin( c 450 ) 2 2 sin(45 0 c) cos(450 c)cos(450

c) 1

2 450 c 600 c 150

12. (2011 年高考安徽卷江苏 15) 在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对应的边为 a,b, c

（ 1）若

（ 2）若

sin( A ) 2 cos , 求 A 的值；

6 A

cos A

, b 3c ，求 sin C 的值 .

【解析】（ 1）因为

sin( A

) sin A coscos A sin

sin( A) 3

sin A

cos A 2cos A,

6 6

所以 3sin A

3cos A,解得 tan A

3 , 即 A 的值为 60 .

（2）因为 cos A

,所以 sin A

2 2

, 所以在△ ABC 中，由正弦定理得 : c b ,

sin C sin B 因为 b

3c , 所以

, 所以 3sin C sin( A C ) = sin(60 C ) =

cosC

sin C , 解得

sin C sin( A C )

5sin C

3 cos C, 又因为 sin 2 C cos 2 C

1, 所以 sin 2 C

sin 2 C 1 , 解得 sin C 的

21 值为

13． (2011 年高考北京卷理科 15) （本小题共 13 分）

已知函数

( ) 4cos sin() 1。 f x x

（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期：

（Ⅱ）求

f ( x)

在区间

上的最大值和最小值。

6 4

解：（Ⅰ）因为 f ( x) 4 cosxsin( x

) 1

4 cos x(

sin x

cos x)

2 2

3 sin 2 x 2 cos 2 x 1

3 sin 2x cos 2x

2 sin(2x

) 6

所以 f ( x) 的最小正周期为

（Ⅱ）因为

x , 所以 2x

6 2 .

6 3 于是，当 2x

6 ,即x 时， f (x) 取得最大值 2；

2 6 当 2x

6 ,即 x 时, f ( x) 取得最小值— 1. 6

14． (2011 年高考福建卷理科

16) （本小题满分 13 分）

已知等比数列 {a n } 的公比 q=3，前 3 项和 S 3=

。

（ I ）求数列 {a n } 的通项公式；

（ II ）若函数 f ( x)

Asin(2 x )( A 0,0 p ) 在 x

处取得最大值，且最

大值为 a 3，求函数 f （ x ）的解析式。

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式以及三角函数的最值问题，

考查

函数与方程思想和运算求解能力，是简单题.

【解析】（ I ）由 q =3， S 3 = 13 得， a 1(1

33 ) =

，解得 a 1 = 1 ，

3 1

∴数列 { a n } 的通项公式 a n =3n 2 .

（II ）由（ I ）可知

a n =3 n

，∴

，

∴函数 f ( x) 的最大值为

， ∴ ，

a 3 =3

A =3

∵ f (x) 在x 处取得最大值，∴ sin(2 ) =1，又∵ 0＜＜，∴= ，

6 6 6 ∴ f (x) =3sin(2 x ) .

【点评】本题题目简单，但将等比数列与三角函数结合给人以耳目一新的感觉.