历年中考数学易错题汇编-圆的综合练习题及答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点, CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC.
(1)若∠B=60°,求证:AP是⊙O的切线;
(2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BE·AB的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)8.
【解析】
(1)求出∠ADC的度数,求出∠P、∠ACO、∠OAC度数,求出∠OAP=90°,根据切线判定推出即可;
(2)求出BD长,求出△DBE和△ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案.
试题解析:连接AD,OA,
∵∠ADC=∠B,∠B=60°,
∴∠ADC=60°,
∵CD是直径,
∴∠DAC=90°,
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°,
∵AP=AC,OA=OC,
∴∠OAC=∠ACD=30°,∠P=∠ACD=30°,
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°,
即OA⊥AP,
∵OA为半径,
∴AP是⊙O切线.
(2)连接AD,BD,
∵CD 是直径,
∴∠DBC=90°,
∵CD=4,B 为弧CD 中点,
∴BD=BC=,
∴∠BDC=∠BCD=45°,
∴∠DAB=∠DCB=45°,
即∠BDE=∠DAB ,
∵∠DBE=∠DBA ,
∴△DBE ∽△ABD , ∴,
∴BE?AB=BD?BD=
. 考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质.
2.如图,AB 为⊙O 的直径,AC 为⊙O 的弦,AD 平分∠BAC ,交⊙O 于点D ,DE ⊥AC ,交AC 的延长线于点E .
(1)判断直线DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
(2)若AE =8,⊙O 的半径为5,求DE 的长.
【答案】(1)直线DE 与⊙O 相切(2)4
【解析】
试题分析:(1)连接OD ,∵AD 平分∠BAC ,∴EAD OAD ∠∠=,∵OA OD =,∴ODA OAD ∠∠=,∴ODA EAD ∠∠=,∴EA ∥OD ,∵DE ⊥EA ,∴DE ⊥OD ,又∵点D 在⊙O 上,∴直线DE 与⊙O 相切
(2)
如图1,作DF ⊥AB ,垂足为F ,∴DFA DEA 90∠∠?==,
∵EAD FAD ∠∠=,AD AD =,∴△EAD ≌△FAD ,∴AF AE 8==,DF DE =,∵OA OD 5==,∴OF 3=,在Rt △DOF 中,22DF 4OD OF -==,∴AF AE 8== 考点:切线的证明,弦心距和半径、弦长的关系
点评:本题难度不大,第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行,再由两直线平行推出同旁内角相等.第二小题通过求出两个三角形全等,从而推出对应边相等,接着用弦心距和弦长、半径的计算公式,求出半弦长.
3.如图,AB 是⊙O 的直径,PA 是⊙O 的切线,点C 在⊙O 上,CB ∥PO .
(1)判断PC 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=6,CB=4,求PC 的长.
【答案】(1)PC 是⊙O 的切线,理由见解析;(2352
【解析】 试题分析:(1)要证PC 是⊙O 的切线,只要连接OC ,再证∠PCO=90°即可.
(2)可以连接AC ,根据已知先证明△ACB ∽△PCO ,再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC 的长.
试题解析:(1)结论:PC 是⊙O 的切线.
证明:连接OC
∵CB ∥PO
∴∠POA=∠B ,∠POC=∠OCB
∵OC=OB
∴∠OCB=∠B
∴∠POA=∠POC
又∵OA=OC ,OP=OP
∴△APO ≌△CPO
∴∠OAP=∠OCP
∵PA是⊙O的切线
∴∠OAP=90°
∴∠OCP=90°
∴PC是⊙O的切线.
(2)连接AC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°(6分)
由(1)知∠PCO=90°,∠B=∠OCB=∠POC
∵∠ACB=∠PCO
∴△ACB∽△PCO
∴
∴.
点睛:本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.同时考查了勾股定理和相似三角形的性质.
4.如图所示,以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点D,E为BC边上的中点,连接DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)连接OE,AE,当∠CAB为何值时,四边形AOED是平行四边形?并在此条件下求sin∠CAE的值.
【答案】(1)见解析;(2)10
.
【解析】
分析:(1)要证DE是⊙O的切线,必须证ED⊥OD,即∠EDB+∠ODB=90°
(2)要证AOED是平行四边形,则DE∥AB,D为AC中点,又BD⊥AC,所以△ABC为等腰直角三角形,所以∠CAB=45°,再由正弦的概念求解即可.
详解:(1)证明:连接O、D与B、D两点,
∵△BDC 是Rt △,且E 为BC 中点,
∴∠EDB=∠EBD .(2分)
又∵OD=OB 且∠EBD+∠DBO=90°,
∴∠EDB+∠ODB=90°.
∴DE 是⊙O 的切线.
(2)解:∵∠EDO=∠B=90°,
若要四边形AOED 是平行四边形,则DE ∥AB ,D 为AC 中点,
又∵BD ⊥AC ,
∴△ABC 为等腰直角三角形.
∴∠C AB=45°.
过E 作EH ⊥AC 于H ,
设BC=2k ,则EH=22k ,AE=5k , ∴sin ∠CAE=1010
EH AE .
点睛:本题考查的是切线的判定,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再证垂直即可.
5.如图,A 是以BC 为直径的⊙O 上一点,AD ⊥BC 于点D ,过点B 作⊙O 的切线,与CA 的延长线相交于点E ,G 是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F ,延长AF 与CB 的延长线相交于点P .
(1)求证:BF =EF :
(2)求证:PA 是⊙O 的切线;
(3)若FG =BF ,且⊙O 的半径长为32,求BD 的长度.
【答案】(1)证明见解析;(2) 证明见解析;(3)22
【解析】
分析:(1)利用平行线截三角形得相似三角形,得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC,得到对应线段成比例,再结合已知条件可得BF=EF;
(2)利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角,得到∠FAO=∠EBO,结合BE是圆的切线,得到PA⊥OA,从而得到PA是圆O的切线;
(3)点F作FH⊥AD于点H,根据前两问的结论,利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度.
详解:证明:(1)∵BC是圆O的直径,BE是圆O的切线,
∴EB⊥BC.
又∵AD⊥BC,
∴AD∥BE.
∴△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC,
∴BF
DG
=
CF
CG
,
EF
AG
=
CF
CG
,
∴BF
DG
=
EF
AG
,
∵G是AD的中点,
∴DG=AG,
∴BF=EF;
(2)连接AO,AB.
∵BC是圆O的直径,
∴∠BAC=90°,
由(1)得:在Rt△BAE中,F是斜边BE的中点,∴AF=FB=EF,可得∠FBA=∠FAB,
又∵OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO,
∵BE是圆O的切线,
∴∠EBO=90°,
∴∠FBA+∠ABO=90°,
∴∠FAB+∠BAO=90°,
即∠FAO=90°,
∴PA⊥OA,
∴PA 是圆O 的切线;
(3)过点F 作FH ⊥AD 于点H ,
∵BD ⊥AD ,FH ⊥AD ,
∴FH ∥BC ,
由(2),知∠FBA =∠BAF ,
∴BF =AF .
∵BF =FG ,
∴AF =FG ,
∴△AFG 是等腰三角形.
∵FH ⊥AD ,
∴AH =GH ,
∵DG =AG ,
∴DG =2HG . 即12
HG DG =, ∵FH ∥BD ,BF ∥AD ,∠FBD =90°,
∴四边形BDHF 是矩形,
∴BD =FH ,
∵FH ∥BC
∴△HFG ∽△DCG , ∴
12FH HG CD DG ==, 即
12BD CD =, ∴23 2.153
≈, ∵O 的半径长为2,
∴BC 2,
∴BD =13
BC =2. 点睛:本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.
6.如图1,四边形ABCD为⊙O内接四边形,连接AC、CO、BO,点C为弧BD的中点.(1)求证:∠DAC=∠ACO+∠ABO;
(2)如图2,点E在OC上,连接EB,延长CO交AB于点F,若∠DAB=∠OBA+∠EBA.求证:EF=EB;
(3)在(2)的条件下,如图3,若OE+EB=AB,CE=2,AB=13,求AD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)AD=7.
【解析】
试题分析:(1)如图1中,连接OA,只要证明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO,由点C是=,推出∠BAC=∠DAC,即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO;
BD中点,推出CD CB
(2)想办法证明∠EFB=∠EBF即可;
(3)如图3中,过点O作OH⊥AB,垂足为H,延长BE交HO的延长线于G,作BN⊥CF 于N,作CK⊥AD于K,连接OA.作CT∠⊥AB于T.首先证明△EFB是等边三角形,再证明△ACK≌△ACT,Rt△DKC≌Rt△BTC,延长即可解决问题;
试题解析:(1)如图1中,连接OA,
∵OA=OC,∴∠1=∠ACO,
∵OA=OB,∴∠2=∠ABO,∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO,
∵点C是BD中点,∴CD CB
=,∴∠BAC=∠DAC,
∴∠DAC=∠ACO+∠ABO.
(2)如图2中,
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB,∠COB=2∠BAC,∴∠BAD=∠BOC,
∵∠DAB=∠OBA+∠EBA,∴∠BOC=∠OBA+∠EBA,
∴∠EFB=∠EBF,∴EF=EB.
(3)如图3中,过点O 作OH ⊥AB ,垂足为H ,延长BE 交HO 的延长线于G ,作BN ⊥CF 于N ,作CK ⊥AD 于K ,连接OA .作CT ∠⊥AB 于T .
∵∠EBA+∠G=90°,∠CFB+∠HOF=90°,
∵∠EFB=∠EBF ,∴∠G=∠HOF ,
∵∠HOF=∠EOG ,∴∠G=∠EOG ,∴EG=EO ,
∵OH ⊥AB ,∴AB=2HB ,
∵OE+EB=AB ,∴GE+EB=2HB ,∴GB=2HB ,
∴cos ∠GBA=
12
HB GB ,∴∠GBA=60°, ∴△EFB 是等边三角形,设HF=a ,
∵∠FOH=30°,∴OF=2FH=2a , ∵AB=13,∴EF=EB=FB=FH+BH=a+
132, ∴OE=EF ﹣OF=FB ﹣OF=
132﹣a ,OB=OC=OE+EC=132﹣a+2=172﹣a , ∵NE=12EF=12a+134
, ∴ON=OE=EN=(
132﹣a )﹣(12a+134)=134﹣32
a , ∵BO 2﹣ON 2=EB 2﹣EN 2, ∴(172﹣a )2﹣(134﹣32a )2=(a+132)2﹣(12a+134
)2, 解得a=
32
或﹣10(舍弃), ∴OE=5,EB=8,OB=7, ∵∠K=∠ATC=90°,∠KAC=∠TAC ,AC=AC ,∴△ACK ≌△ACT ,∴CK=CT ,AK=AT ,
∵CD CB
,∴DC=BC,∴Rt△DKC≌Rt△BTC,∴DK=BT,
∵FT=1
FC=5,∴DK=TB=FB﹣FT=3,∴AK=AT=AB﹣TB=10,∴AD=AK﹣DK=10﹣3=7.
2
7.如图1,已知⊙O是ΔADB的外接圆,∠ADB的平分线DC交AB于点M,交⊙O于点C,连接AC,BC.
(1)求证:AC=BC;
(2)如图2,在图1 的基础上做⊙O的直径CF交AB于点E,连接AF,过点A作⊙O的切线AH,若AH//BC,求∠ACF的度数;
(3)在(2)的条件下,若ΔABD的面积为63,ΔABD与ΔABC的面积比为2:9,求CD 的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)30°;(3)33
【解析】
分析:(1)运用“在同圆或等圆中,弧相等,所对的弦相等”可求解;
(2)连接AO并延长交BC于I交⊙O于J,由AH是⊙O的切线且AH∥BC得AI⊥BC,易证∠IAC=30°,故可得∠ABC=60°=∠F=∠ACB,由CF是直径可得∠ACF的度数;
(3)过点D作DG⊥AB ,连接AO,知ABC为等边三角形,求出AB、AE的长,在RtΔAEO 中,求出AO的长,得CF的长,再求DG 的长,运用勾股定理易求CD的长.
详解:(1)∵DC平分∠ADB,∴∠ADC=∠BDC,∴AC=BC.
(2)如图,连接AO并延长交BC于I交⊙O于J
∵AH 是⊙O 的切线且AH ∥BC ,
∴AI ⊥BC ,
∴BI=IC ,
∵AC=BC ,
∴IC=12
AC , ∴∠IAC=30°,
∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB .
∵FC 是直径,
∴∠FAC=90°,
∴∠ACF=180°-90°-60°=30°.
(3)过点D 作DG AB ⊥,连接AO
由(1)(2)知ABC 为等边三角形
∵∠ACF=30°,
∴AB CF ⊥,
∴AE=BE ,
∴2ΔABC 33S AB == ∴AB=3
∴33AE =
在RtΔAEO 中,设EO=x ,则AO=2x ,
∴222AO AE OE =+,
∴()()222233x x =+,
∴x =6,⊙O 的半径为6,
∴CF=12.
∵ΔABD 11636322
S AB DG DG =??
=??=, ∴DG=2. 如图,过点D 作DG CF '⊥,连接OD .
∵AB CF ⊥,DG AB ⊥,
∴CF//DG ,
∴四边形G ′DGE 为矩形,
∴2G E '=, 63211CG G E CE +=++'==',
在RtΔOG D '中,5,6OG OD ='=,
∴11DG '=,
∴2221111233CD DG CG =+=+=''
点睛:本题是一道圆的综合题.考查了圆的基本概念,垂径定理,勾股定理,圆周角定理等相关知识.比较复杂,熟记相关概念是解题关键.
8.如图,⊙O 的直径AB =8,C 为圆周上一点,AC =4,过点C 作⊙O 的切线l ,过点B 作l 的垂线BD ,垂足为D ,BD 与⊙O 交于点E .
(1)求∠AEC 的度数;
(2)求证:四边形OBEC 是菱形.
【答案】(1)30°;(2)详见解析.
【解析】
【分析】
(1)易得△AOC 是等边三角形,则∠AOC =60°,根据圆周角定理得到∠AEC =30°; (2)根据切线的性质得到OC ⊥l ,则有OC ∥BD ,再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB =90°,则∠EAB =30°,可证得AB ∥CE ,得到四边形OBE C 为平行四边形,再由OB =OC ,即可判断四边形OBEC 是菱形.
【详解】
(1)解:在△AOC中,AC=4,
∵AO=OC=4,
∴△AOC是等边三角形,
∴∠AOC=60°,
∴∠AEC=30°;
(2)证明:∵OC⊥l,BD⊥l.
∴OC∥BD.
∴∠ABD=∠AOC=60°.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴△AEB为直角三角形,∠EAB=30°.
∴∠EAB=∠AEC.
∴CE∥OB,又∵CO∥EB
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵OB=OC=4.
∴四边形OBEC是菱形.
【点睛】
本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法.
9.设C为线段AB的中点,四边形BCDE是以BC为一边的正方形,以B为圆心,BD长为半径的⊙B与AB相交于F点,延长EB交⊙B于G点,连接DG交于AB于Q点,连接AD.
求证:(1)AD是⊙B的切线;
(2)AD=AQ;
(3)BC2=CF×EG.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
()1连接BD ,由DC AB ⊥,C 为AB 的中点,由线段垂直平分线的性质,可得AD BD =,再根据正方形的性质,可得90ADB ∠=;
()2由BD BG =与//CD BE ,利用等边对等角与平行线的性质,即可求得122.52G CDG BDG BCD ∠=∠=∠=
∠=,继而求得67.5ADQ AQD ∠=∠=,由等角对等边,可证得AD AQ =; ()3易求得67.5
GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠,90DCF E ∠=∠=,即可证得Rt DCF ∽Rt GED ,根据相似三角形的对应边成比例,即可证得结论.
【详解】
证明:()1连接BD ,
四边形BCDE 是正方形,
45DBA ∴∠=,90DCB ∠=,即DC AB ⊥,
C 为AB 的中点,
CD ∴是线段AB 的垂直平分线,
AD BD ∴=, 45DAB DBA ∴∠=∠=,
90ADB ∴∠=,
即BD AD ⊥,
BD 为半径,
AD ∴是B 的切线;
()2BD BG =,
BDG G ∴∠=∠,
//CD BE ,
CDG G ∴∠=∠,
122.52
G CDG BDG BCD ∴∠=∠=∠=∠=, 9067.5ADQ BDG ∴∠=-∠=,9067.5AQB BQG G ∠=∠=-∠=, ADQ AQD ∴∠=∠,
AD AQ ∴=;
()3连接DF ,
在BDF 中,BD BF =,
BFD BDF ∴∠=∠,
又45DBF ∠=,
67.5BFD BDF ∴∠=∠=,
22.5GDB ∠=, 在Rt DEF 与Rt GCD 中,
67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠,90DCF E ∠=∠=,
Rt DCF ∴∽Rt GED , CF CD ED EG
∴=, 又CD DE BC ==,
2BC CF EG ∴=?.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
10.如图,AB 是⊙O 的直径,AD 是⊙O 的弦,点F 是DA 延长线上的一点,过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线交DF 于点E ,CE ⊥DF .
(1)求证:AC 平分∠FAB ;
(2)若AE =1,CE =2,求⊙O 的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2)
52
【解析】 试题分析:(1)连接OC ,根据切线的性质和圆周角定理,得出∠OCA =∠OAC 与∠CAE =∠OCA ,然后根据角平分线的定义可证明;
(2)由圆周角定理得到∠BCA=90°,由垂直的定义,可求出∠CEA=90°,从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明△ACB ∽△AEC ,再根据相似三角形的对应边成比例求得AB 的长,从而得到圆的半径.
试题解析:(1)证明:连接OC .
∵CE 是⊙O 的切线,∴∠OCE =90°
∵CE ⊥DF ,∴∠CEA =90°,
∴∠ACE +∠CAE =∠ACE +∠OCA =90°,∴∠CAE =∠OCA
∵OC=OA,∴∠OCA=∠OAC.
∴∠CAE=∠OAC,即AC平分∠FAB
(2)连接BC.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB =∠AEC =90°.
又∵∠CAE=∠OAC,∴△ACB∽△AEC,∴AB AC AC AE
=.
∵AE=1,CE=2,∠AEC =90°,∴
AC=
∴
2
2
5
1
AC
AB
AE
===,∴⊙O的半径为
5
2
.
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
安徽省中考数学易错题分类汇编
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
中考数学—分式的易错题汇编含解析
一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲
(A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m . 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC, 数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b中考数学易错题题目(经典)
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