数理统计第一章作业参考答案
数理统计第一章答案
数理统计习题答案第一章1.在五块条件基本相同的田地上种植某种农作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。
解：()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑2.从母体中抽取容量为60的子样，它的频数分布求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。
解：子样平均数 *11l i i i X m x n ==∑()118340610262604=⨯+⨯+⨯+⨯=子样方差 ()22*11l i i i S m x x n==-∑()()()()222218144034106422646018.67⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣⎦=子样标准差 4.32S ==3.子样平均数与子样方差的简化计算如下：设子样值12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数为x 和方差为2x s 。
作变换i i x a y c-=，得到12,,n y y y ⋅⋅⋅，它的平均数为y 和方差为2y s 。
试证：x a c y =+，222x y s c s =。
解： 因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11ni i x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a c y==+=+∑ 所以 x a c y =+ 成立()2211n x i i s x x n ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c yn c y y n====+--=-=-∑∑∑因为 ()2211n yi i s y y n ==-∑ 所以 222x y s c s = 成立4.对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的子样的下列观测数据（单位：镑/2英寸）：1939，1697，3030，2424，2020，2909，1815，2020，2310采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。
数理统计教程课后重要答案习题
第一章:统计量及其分布19.设母体ξ服从正态分布N(),,2σμξ和2n S 分别为子样均值和子样方差,又设()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量111+--+n n S nn ξξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从⎪⎭⎫⎝⎛+21,0σn n N 分布. 所以()1,0~121N nn n σξξ+-+ 而()1~222-n nS nχσ且2n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以()1~1111--÷+--+n t S n n n n S nnn σξξ分布. 即111+--+n n S nn εε服从()1-n t 分布. 20.(),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布N()ρσσμμ222121,,,的子样,设()∑∑∑===-===n i i i ni n i i n S n n 12111,1,1ξξηηξξξ2,()2121∑=-=n i i n S ηηη和 ()()()()∑∑∑===----=ni i ni ii ni ir 12211ηηξξηηξξ试求统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ的分布.解: 由于().21μμηξ-=-E ()()=-+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D nn nn2122212σσρσσ-+.所以()()n 212221212σρσσσμμηξ-+---服从()1,0N 分布 .()()()()()()()[]211212121222122ηξηξηηξξηηξξ---=----+-=-+∑∑∑∑====i ini i i ni i ni i ni S rS S S ni i ηξ-是正态变量,类似于一维正态变量的情况,可证ηξηξS rS S S 222-+与ηξ-相互独立.()()1~22221222122--+-+n S rS S S n χσρσσσηξηξ, 所以 统计量()122221--+---n S rS S S ηξηξμμηξ()()()()1)2(222122212221222121--+-+-+---=n S rS S S n nσρσσσσρσσσμμηξηξηξ服从()1-n t 分布.第二章：估计量1. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量. 解: ()322adx x a ax E a=-=⎰ξ 令ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i i x ∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i ni x nL ααα， 得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。
数理统计课后题答案完整版
第一章3. 解：因为i i x ay c-=所以 i i x a cy =+11nii x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1nii c a y n a c y==+=+∑所以 x a c y =+ 成立因为 ()2211n x i i s x xn ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c y n c y y n====+--=-=-∑∑∑又因为 ()2211n y i i s y yn ==-∑所以 222xys c s = 成立 6. 解：变换()1027i i y x =-11li i i y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=- 2710yx=+= ()2211lyi i i s m y yn ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦= 221 4.4025100x y s s == 7解：*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11li i i s m x xn ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，，，，，0，0，，，，，，()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--==== 9解：121211121211n n i j i j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+()12221121n n ii s x x n n +==-+∑()()()1212221122111122121222222111222112212122222211221122112212121222211211122121n n i i n n i ji j x xn n x x n x n x n n n n n s x n sx n x n xn n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n sn n +====-++⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭+++⎛⎫+=-⎪++⎝⎭⎛⎫+++=+- ⎪+++⎝⎭+++=++∑∑∑()()()()()()22212211222122222112212112212122121222212121122212122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n sn n n n +-++++-=+++-+=+++12. 解：()ix P λ i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni i i i n E X E x Ex n n n n DX D x Dx n nn n λλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ix U a b 2i a b Ex += ()212i b a Dx -= 1,2,,i n =⋅⋅⋅ 在此题中()1,1i x U - 0i Ex = 13i Dx = 1,2,,i n =⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni ii i E X E x Ex n n DX D x Dx n nn ==========∑∑∑∑14.解：因为()2,iXN μσ 0i X Eμσ-= 1i X Dμσ-=所以 ()0,1i X N μσ- 1,2,,in =⋅⋅⋅由2χ分布定义可知()222111nniii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以 ()2Yn χ15. 解：因为()0,1iX N1,2,,i n =⋅⋅⋅()1230,3X X X N ++0=1=所以()0,1N()221χ同理()221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Y χ=+可知 13C =16. 解：（1）因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以 ()22121ni i X Y n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}11122Y Yy F y P Y y P σσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()220yf x dx σχ=⎰()()211'221Y Y y f y F y f χσσ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭因为 ()2122202200n x n x e x n f x x χ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以 ()21122202200ny n nY y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2） 因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nYny F y P Y y P f x dx σχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故 ()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311n i Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故 ()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩ （4）因为()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211yY Y Y y F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰ 故()242000yY y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为 ()Xt n存在相互独立的U ，V()0,1UN ()2Vn χ 使X = ()221Uχ则 221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为 ()20,iX N σ 1,2,,i n =⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑所以()1nniX Yt m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m =⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以 ()221122211,ni n i ii n mn mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ=查表得 0.01 2.33U =代入上式计算可得()20.01909031.26121.26χ=+=20.解：因为()2Xn χ 2E n χ= 22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P ≤=≤22lim t n P dt -→∞-∞≤==Φ 故 {}PX c ≤≈Φ第 二 章 1.,0()0,0()()1()111x x x x xe xf x x E x f x xdx xe dxxe e d x e xλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有1x λ∧= 2.()111121).()(1)(1)1111k k x x E x k p p p k p ppp ∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p ＝X所以有1p X ∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏1ln ()ln ()ln(1)ni i L P n p X n p ==+--∑1ln 1()01ni i d L n X n dp p p ==--=-∑解之得11nii np X X∧===∑３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12ni i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=⎪⎨⎪=⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b 2（）a 4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0nni i i nii in i i L x x i nL n x d L nx d θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1nii X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。
概率论与数理统计作业习题解答第一章
概率论与数理统计作业习题解答（高教第四版）第一章第一章概率的基本概念概率的基本概念习题解析习题解析第第11、、22题题随机试验随机试验、样本空间、样本空间、随机事件、随机事件-------------------------------------------------------------------------------1．写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）生产产品直到有10 件正品为止，记录生产产品的总件数。
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2 个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果。
（4 ）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
解解（1）高该小班有n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为0，1，2， (100)n解解0 1 100n个人分数这和的可能取值为0，1，2，…，100n，平均分数的可能取值为, ,..., , 则n n n样本空间为kS= k = 0,1,2,⋯,100nn（2）样本空间S={10，11，…}，S 中含有可数无限多个样本点。
（3）设1 表示正品，0 有示次品，则样本空间为S={ （0，0），（1，0，0），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（0，1，1，1），（1，1，0，1），（1，1，1，0），（1，1，1，1）}例如（1，1，0，0）表示第一次与第二次检查到正品，而第三次与第四次检查到次品。
（4 ）设任取一点的坐标为（x，y），则样本空间为2 2S (x, y) x + y ≤1{ }-------------------------------------------------------------------------------2．设A，B，C 为三个事件，用A，B，C 的运算关系表示下列事件。
概率论与数理统计第一章习题参考答案
概率论与数理统计第一章习题参考答案第一章随机事件及其概率1.解决方案：（1）s？？2,3,4,5,67? （2） s？？2,3,4,?? （3） s？？h、 th，tth，？？（4）s??hh,ht,t1,t2,t3,t4,t5,t6?2．解：?p(a)?14,p(b)?12,p(ab)?1814? 12? 18? 58? p（a？b）？p（a）？p（b）？p（ab）？p(ab)?p(b)?p(ab)=?p(ab)?1?p(ab)?1?1812??7818?38p[（a？b）（ab）]？p[（a？b）？（ab）]p(ab)p(ab)(abab)5818123.解决方案：使用a表示事件“获得的三位数不包含数字1”P（a）？C8C9C990011？8.9? 9900? 一千八百二十五4、解：用a表示事件“取到的三位数是奇数”，用b表示事件“取到的三位数大于330”(1)p(a)?c3c4c4ca121525111?3?4?45?5?41=0.482） p（b）？c2a5？c2c4c5a5121？2.5.4.1.2.45? 5.4=0.485、解：用a表示事件“4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球”，用b表示事件“4只中至少有2只红球”，用c表示事件“4只中没有只白球”（1）p(a)?c5c4c3c12132114=1204954=833（2） p（b）？1.c4c8？c8c412=202195?67165或p(b)?c4c8?c4c8?c4c41222314?67165一（3）p(c)?c7c4412?35495?7996.解决方案：使用a表示事件“在特定销售点获得的K提单”P（a）？cn（m？1）mnkn？K7、解：用a表示事件“3只球至少有1只配对”，用b表示事件“没有配对”（1）p(a)?（2）p(b)?3?13?2?12?1?13?2?1??2313或p(a)?1?2.1.13? 2.1.238、解p(a)?0.5,p(b)?0.3,p(ab)?0.1p（ab）p（b）p（ab）p（a）（1）p（ab）？？0.10.30.10.5? 1315，p(ba)p（a？b）？p（a）？p（b）？p（ab）？0.5? 0.3? 0.1? 零点七p[a(a?b)]p(a?b)p(a?ab)p(a?b)p(ab)p(a?b)p(aa?b)p(ab)p(a?b)0.10.717?0.50.7?57 p（aba？b）？p[（ab）（a？b）]p（a？b）p（ab）p（ab）p(aab)?p[a(ab)]p(ab)??1（2）设定人工智能？？第一次拿到白球？我1,2,3,4则p(a1a2a3a4)?p(a1)p(a2a1)p(a3a1a2)p(a4a1a2a3)?611?712?513?412?84020592?0.04089.解决方案：用a表示“两个球中至少有一个红球”，用B表示“两个都是红球”。
概率论与数理统计
概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章
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4．设 P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，试求P(AB)
解 由于 AB = A – AB, P(A)=0.7 所以 P(AB) = P(AAB) = P(A)P(AB) = 0.3,
所以 P(AB)=0.4, 故 P(AB) = 10.4 = 0.6.
（4） 取到三颗棋子颜色相同的概率.
解
(1) 设 A={取到的都是白子} 则
P( A) C83 14 0.255. C132 55
(2) 设 B={取到两颗白子, 一颗黑子}
P(B)
C82C41 C132
0.509 .
(3) 设 C={取三颗子中至少的一颗黑子}
P( C) 1 P (A ) 0 . 7. 4 5
P( A2
|B
) P( Ai )P B( P(B )
A| i
) 0 . 1 5 0 .39 0
0.1268
0.8624
P( A3
|B
) P( Ai )P B( P(B )
A| i
) 0 . 0 5 0 .31 0 0 . 0 0 0 1 0.8624
由于 P( A1|B) 远大于 P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为 0.2.
2. 设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和 C 不发生； （2）A 与 B 都发生，而 C 不发生； （3）A、B、C 都发生； （4）A、B、C 都不发生； （5）A、B、C 不都发生； （6）A、B、C 至少有一个发生； （7）A、B、C 不多于一个发生； （8）A、B、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下
数理统计第一章答案
第一章 基本概念习题一1、 设总体X 的样本容量5n =,写出在下列4种情况下样本的联合概率分布.1)、 ~(1,)X B p ; 2)、 ~()X p λ; 3)、 ~[,]X U a b ; 4)、 ~(,1)X N μ; 解 1）、所求的联合概率分布为555551234511(,,,,)()(1)(1)i i x x i i i f x x x x x f x p p p p -====-=-∏∏这里5115i i x x ==∑.2）、所求的联合概率分布为5555123455111(,,,,)()!!ixxi i i i i i f x x x x x f x ee x x λλλλ--======∏∏∑这里5110, 5i i x x λ=>=∑.3）、所求的联合概率分布为551234551111(,,,,)()()i i i f x x x x x f x b a b a =====--∏∏这里[,], 1,2,3,4,5.i x a b i ∈=4）、所求的联合概率分布为5221()()55221234551121(,,,,)()(2)i ii x x i i i f x x x x x f x eμμπ=----==∑===∏.2、 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1,1,1,1,2,0,0,1,3,1,0,0,2,4,0,3,1,4,0,2.写出样本的频率分布、经验分布函数并画出其图形. 解 1）、所求样本经验分布函数：0, 00.3, 010.65, 12()0.8, 230.9, 341, 4n x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩.试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.解 根据作直方图的步骤，计算结果如下，其图形如图所示.直方图计算表区间分组 组中值 频数i v 频率i f 纵坐标值i y [165,167） 166 3 0.03 0.015 [167,169） 168 10 0.10 0.05 [169,171） 170 21 0.21 0.105 [171,173） 172 23 0.23 0.115 [173,175） 174 22 0.22 0.11 [175,177） 176110.11 0.055 [177,179] 178 5 0.05 0.0254、 设总体X 的方差为4,均值为μ，现抽取容量为100的样本，试确定常数k ，使得满足(||)0.9P X k μ-<=.解 由题意知10011100ii X x ==∑的方差为4100,有： (||)()(P X k P k X k P μμ-<=-<-<=<< (55)(5)(5)2(5)115X P k k k k k μ-=-<<=Φ-Φ-=Φ-. 由(||)0.9P X k μ-<=，得到2(5)10.9k Φ-=即(5)0.95k Φ=.查表得5 1.65k =，因此所求的0.33k =.5、 从总体2(52,6.3)X N 中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.解 由总体2(52,6.3)X N ，设361136i i X x ==∑，知：(52,36XN . 所求的概率为50.8525253.852(50.853.8)()X P X P ---≤≤=≤≤(1.71)( 1.14)(1.71)(1.14)1=Φ-Φ-=Φ+Φ-查表得(1.71)0.9567Φ=，(1.14)0.8729Φ=.因此所求的概率(50.853.8)0.8293P X ≤≤=.6、 从总体(20,3)XN 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.解 由总体(20,3)XN ，设110n =，215n =，1011110i i X x ==∑，1521115i i X x ==∑，知：1(20,10X N ，2(20,15X N ，121(0,)2X X N -.所求的概率为212121(||0.3)1(||0.3)1(0.30.3)P X X P X X P X X ->=--≤=--≤-≤11[21]P =-≤≤=-Φ- 22(0.4242)≈-Φ查表得(0.4242)0.6628Φ=.因此所求的概率21(||0.3)0.6744P X X ->=.7、 设1210,,,X X X 是来自总体(0,4)XN 的样本，试确定c ，使得1021()0.05i i P X c =>=∑.解 由题意1210,,,X X X 均服从(0,4)XN ，知102210()(10)2i i X χ=-∑即21021(10)4i i x χ=∑.于是有：210102220.0511()()((10))44i ii i X c P X c P P χχ==>=>=>∑∑.查表得20.05(10)18.307χ=.有18.3074c=，得73.24c =. 8、 设总体X 具有连续的分布函数()F x ，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，且i EX μ=，定义随机变量1, , (1,2,,)0, i i i X Y i n X μμ>⎧==⎨≤⎩试确定统计量1ni i Y =∑的分布.解 由题意知(1,)iY B p ，()1()1i i p P X P X μμμ=>=-≤=-， 1,2,,i n =.从而由二项分布定义知1(,)nii YB n p =∑.9、设12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，试求2,,EX DX ES .假设总体的分布为：1)、 ~(,)X B N p ; 2)、 ~()X p λ; 3)、 ~[,]X U a b ; 4)、 ~(,1)X N μ.解 1）、由~(,)X B N p ，知, (1)EX Np DX Np p ==-，11ni i X X n ==∑，故有：11111()()n n i i i E X E X Np nNp Np n n n=====⋅=∑∑；22211111(1)()()(1)(1)n n i i i Np p D X D X Np p nNp p n n n n==-==-=⋅-=∑∑； 2()(1)ES D X Np p ==-.2）、由~()X p λ，知, EX DX λλ==，11ni i X X n ==∑，故有：11111()()n n i i i E X E X n n n nλλλ=====⋅=∑∑；22211111()()n n i i i D X D X n n n n nλλλ=====⋅=∑∑；2()ES D X λ==.3）、由~[,]X U a b ，知2(), 22b a b a EX DX --==，11ni i X X n ==∑，故有： 11111()()222n n i i i b a b a b aE X E X n n n n ==---===⋅=∑∑； 2222221111()1()()()()222n n i i i b a b a b a D X D X n n n n n==---===⋅=∑∑； 22()()2b a ES D X -==.4）、由~(,1)X N μ，知, 1EX DX μ==，11ni i X X n ==∑，故有：11111()()n n i i i E X E X n n n n μμμ=====⋅=∑∑；222111111()()1n n i i i D X D X n n n n nλ=====⋅⨯=∑∑；2()1ES D X ==.10、设12,,,n X X X 是来自总体2(,)XN μσ的样本，求：21[()]ni i E X X =-∑与21[()]ni i D X X =-∑.解 已知2211()1n i i S X X n ==--∑，故221()(1)ni i X X n S =-=-∑.有： 22221[()](1)(1)(1)(1)ni i E X X E n S n ES n DX n σ=-=-=-=-=-∑；222421(1)[()](1)[]ni i n S D X X D n S D σσ=--=-=∑.易知222(1)(1)n S n χσ--，于是241[()]2(1)ni i D X X n σ=-=-∑.11、设12,,,n X X X 是来自正态总体(0,1)N ，定义1||Y X =，211||ni i Y X n ==∑，计算1EY ，2EY .解 由(0,1), 1,2,,iX N i n =，则111(0,)nii X X N nn==∑.于是所求的2||211||||||1X nEY E X X e d X -⋅+∞-∞==⋅⎰2||20||||X nX ed X -+∞=⋅⎰2||22||2X nX ed -+∞=⎰2|2201||()2nX ed n n-+∞=--⎰2||20X n+∞-==. 2111111||||||n n ni i i i i i EY E X E X E X n n n ======∑∑∑2||211||||i X nii i X e d X n +∞--∞==∑⎰2||2012i X i i n X edX n +∞-=⋅⋅⎰12n n ==. 12、设12,,,n X X X 是来自总体(,4)XN μ的样本，X 为样本均值，试问样本容量n 应分别取多大，才能使以下各式成立：1)、2||0.1E X μ-≤; 2)、||0.1E X μ-≤; 3)、(||1)0.95P X μ-≤≥.解 由(,4), 1,2,,iX N i n μ=，则114(,)nii X X N n nμ==∑.1）、222||(2)E X E X X μμμ-=-+222E XE X μμ=-+2222()2DX E X μμμ=+-⋅+22442n n μμμμ=+-⋅+=. 由2||0.1E X μ-≤，得40.1n≤即40n≥.2）、2||421||||||2X nE X X ed X μμμμ--⋅+∞-∞-=-⋅-⎰2||42||||X nX ed X μμμ--⋅+∞-∞=-⋅-2||42204||()42nX ed n nμμ--⋅+∞-=--⋅⎰=由||0.1E X μ-≤0.1≤即800255n π≥≈. 3）、(||1)(11)P X PX μμ-≤=-≤-≤11()222X Pμ-=-≤≤ 21=Φ-. 由(||1)0.95P X μ-≤≥，得210.95Φ-≥即0.975Φ≥.由查表可列：1.962≥，得15.3664n ≥，故n 应为16.13、设12,,,n X X X 和12,,,n Y Y Y 是两样本均值X 和Y 之间的关系式1()i i Y X a b=-（,a b 均为常数，0b ≠），试求两样本均值X 和Y 之间的关系，两样本方差2X S 和2Y S 之间的关系.解 由1()i i Y X a b=-，有： 11111111111()()n n n i i i i i i Y Y X a X na X a n n b b n b n b=====-=⋅-⋅⋅=-∑∑∑.又222111111()[()()]11n n Yi ii i S Y Y X a X a n n b b===-=-----∑∑ 22111()1ni i X X b n ==⋅--∑ 221X S b =. 综上有1()Y X a b =-，2221Y X S S b=.14、设125,,,X X X 是来自总体(0,1)XN 的样本.1)、试确定常数11,c d ，使得2221121345()()()c X X d X X X n χ++++，并求出n ;2)、试确定常数2c ，使得222212345()/()(,)c X X X X X F m n +++，并求出m 和n .解 1)、由题意知：12(0,2)X X N +，345(0,3)X X X N ++(0,1)N，(0,1)N .故有：222(2)χ+.即2221234511()()(2)23X X X X X χ++++.由上得：1111,,223c d n ===. 1)、由题意知：22212(2)X X χ+，345(0,3)X X X N ++22(1)χ.故有：221222(2,1)X X F +，即221223453()2(2,1)()X X F X X X +++.由上得：23,2,12c m n ===. 15、设(),(,)p p t n F m n 分别是t 分布和F 分布的p 分位数，求证21/21[()](1,)p p t n F n --=.证明 设(1,)FF n ，则1(,1)F n F.于是111((1,))()((,1))(,1)p p p P F F n P F P F n F n F-≤=≤=≥11((,1))p P F n F=-≤ 1p =-.又221/21/21/2([()])(()())p p p P T t n P t n T t n ---≤=-≤≤ 1/22(())1p P T t n -=≤- 2(1/2)1p =-- 1p =-. 已知当()Tt n 时，2(1,)T F n .由上即可得证：21/21[()](1,)p p t n F n --=.16、设12,X X 是来自总体(0,1)XN 的一个样本，求常数c ，使212221212()0.1()()X X P c X X X X ⎛⎫+>= ⎪++-⎝⎭. 解 由题意知22221(2)X X χ+，12(0,2)X X N +，12(0,2)X X N -，(0,1)N(0,1)N .于是有：221212222212121212()()22()()()()X X X X P c P c X X X X X X X X ⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭2P c ⎛⎫⎪⎪⎪=>⎪⎪⎪⎭12P c ⎛⎫ ⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎭0.1=.(1,2)F ，故有：21(1,2)0.1c F -=.查表得0.92(1,2)8.53c F ==，即 4.265c =.17、设121,,,,n n X X X X +是来自总体2(,)XN μσ的容量1n +的样本，2,X S 为样本121,,,,n n X X X X +的样本均值和样本方差，求证： 1)、(1)T t n =-;2)、211(0,)n n X X N n σ++-; 3)、211(0,)n X XN nσ--.证明 1）、由题意知：211(,)nii X X N n nσμ==∑，21(,)nX N μσ+，(0,1)N .又知2221(1)nS n χσ--，故所求的(1)T t n =-.2)、由211(,)nii X X N n nσμ==∑，21(,)n X N μσ+，有：11()()()0n n E X X E X E X μμ++-=-=-=;222111()()()n n n D X X D X D X nnσσσ+++-=+=+=.故有211(0,)n n X X N nσ++-. 3)、由21(,)X N μσ，211(,)nii X X N n nσμ==∑，有：111211111n i n i n X X X X X X X n n n n=--=-=---∑； 112111()()n n E X X E X X X n n n --=--- 12111n n EX EX EX n n n -=--- 11n n n nμμ--=- 0=；112111()()n n D X X D X X X n n n--=---212222(1)11n n DX DX DX n n n-=+++22222(1)1n n n nσσ--=+ 21n nσ-= 故有211(0,)n X XN nσ--.18、设12,,,n X X X 是来自总体2(,)XN μσ的一个样本，X 为样本均值，求n ，使得(||0.25)0.95P X μσ-≤≥.解 由题意易知211(,)nii X X N n nσμ==∑，所求的(||0.25)(0.250.25)P X PX μσσμσ-≤=-≤-≤0.250.25()P X σσμσσ=-≤-≤21=Φ-.由题意210.95Φ-≥，解得0.975Φ≥.查表得1.964≥，故62n ≥. 19、设12,,,n X X X 是来自总体[,]XU a b 的样本，试求：1)、(1)X 的密度函数; 2)、()n X 的密度函数. 解 因为[,]XU a b ，所以X 的密度函数与分布函数分别为1, [,],()0, [,],x a b f x b a x a b ⎧∈⎪=-⎨⎪∉⎩0, ,(), ,1, .x a x a F x a x b b a x b ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨-⎪>⎪⎩因此所求的(1)1()(1())()n f x n F x f x -=-11(1), [,],0, [,],n x a n x a b b a b ax a b --⎧-∈⎪=--⎨⎪∉⎩1(), [,],()0, [,],n n n b x x a b b a x a b -⎧-∈⎪=-⎨⎪∉⎩()1()(())()n n f x n F x f x -=11(), [,],0, [,],n x a n x a b b a b ax a b --⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩1(), [,],()0, [,].n nn x a x a b b a x a b -⎧-∈⎪=-⎨⎪∉⎩20、设125,,,X X X 是来自总体(12,4)XN 的样本，试求：1)、(1)(10)P X <; 2)、(5)(15)P X <. 解 由题意知：(12,4)iX N ，易得12(0,1)2i X N -.所求的55(1)(1)11(10)1(10)1(10)1(1(10))i i i i P X P X P X P X ==<=-≥=-≥=--<∏∏5551121(1(1))1(1(1))1(11(1))2i i X P =-=--<-=--Φ-=--+Φ∏ 51(1)0.5785=-Φ=；5(5)1(15)(15)i i P X P X =<=<∏5112(1.5)2i i X P =-=<∏ 55(1.5)0.93320.7077=Φ=≈. 21、设121,,,,,,m m m n X X X X X++为来自总体2(0,)XN σ的一个样本，试确定下列统计量的分布：1)、1miX Y =; 2)、21221mi i m ni i m n X Y m X =+=+=∑∑;3)、223221111()()mm n i i i i m Y X X m n σσ+==+=+∑∑. 解 1）、由2(0,) 1,2,,,1,,iX N i m m m n σ=++，知：21(0,)mii XN m σ=∑，21(0,)m nii m XN n σ+=+∑(0,1)miXN ∑，221()m ni i m X n χσ+=+⎛⎫⎪⎝⎭∑.1)、1()mmiimiXXX Y t n ===∑∑;2)、22122121222211122(,)mmii mii i i m nm nm ni i ii m i m i m XXn X n mY F m n mm X XXnσσσσ===+++=+=+=+===∑∑∑∑∑∑;3)、222223221111()()(2)m m ni i m m ni ii i m X X Y X X m n χσσ++==+=+=+∑∑∑∑.22、设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，12,,,n X X X 是来自总体X ，2S 为样本方差，问样本容量n 取多大能满足22(1)32.670.95n S P σ⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭？ 解 已知：222(1)(1)n S n χσ--，由所求的22(1)32.670.95n S P σ⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭有： 0.95(1)32.67n χ-=.查表得0.95(21)32.67χ=.故有121n -=即22n =.23、从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，2212,S S 分别为两样本方差，求2122 2.39S P S ⎛⎫> ⎪⎝⎭.解 由题意可得2122(19,14)S F S ，易得221122222.391 2.39S S P P S S ⎛⎫⎛⎫>=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由上知2.39为(19,14)F 的分位数，即(19,14) 2.39p F =.查表得0.95(19,14) 2.39F =.于是2122 2.390.95S P S ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.故所求的221122222.391 2.3910.950.05S S P P S S ⎛⎫⎛⎫>=-≤=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24、设总体2(,)XN μσ，抽取容量为20的样本1220,,,X X X ，求概率：1)、20212()10.8537.57i i X P μσ=⎛⎫- ⎪ ⎪≤≤ ⎪⎪⎝⎭∑;2)、20212()11.6538.58ii XX P σ=⎛⎫-⎪⎪≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑.解 1）、由题意知2022022121()()(20)ii i i XX μμχσσ==--=∑∑.于是有：()202212()10.8537.5710.85(20)37.57i i X P P μχσ=⎛⎫- ⎪ ⎪≤≤=≤≤ ⎪⎪⎝⎭∑ ()()22(20)37.57(20)10.85P P χχ=≤-≤查表得20.99(20)37.57χ=，20.05(20)10.85χ=.故所求的20212()10.8537.57i i X P μσ=⎛⎫- ⎪ ⎪≤≤ ⎪⎪⎝⎭∑()()22(20)37.57(20)10.85P P χχ=≤-≤ 1.99 1.050.94=-=. 2）、由题意知220222119()(19)i i X XS χσσ=-=∑.于是有：()202212()11.6538.5811.65(19)38.58i i X X P P χσ=⎛⎫- ⎪⎪≤≤=≤≤ ⎪⎪⎝⎭∑ ()()22(19)38.58(19)11.65P P χχ=≤-≤查表得20.995(19)38.58χ=，20.1(19)11.65χ=.故所求的 20212()11.6538.58i i X X P σ=⎛⎫-⎪⎪≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑()()22(19)38.58(19)11.65P P χχ=≤-≤0.9950.10.895=-=. 25、设总体2(80,)XN σ，从中抽取容量为25的样本，试在下列两种情况下求(|80|3)P X ->的值：1)、已知20σ=; 2)、σ未知，但已知样本标准差7.2674s =. 解 1）、由2(80,)XN σ，20σ=知(80,4)XN .所求的(|80|3)1(|80|3)1(3803)P X P X P X ->=--≤=--≤-≤380331()1[2()1]4444X P -=--≤≤=-Φ- 322()220.77340.45324=-Φ=-⨯=. 2）、已知(1)T t n =-，可得80(24)7.26745X t -.所求的(|80|3)1(|80|3)1(3803)P X P X P X ->=--≤=--≤-≤37.2674538031()1[2(24)1]7.26747.26747.2674555X P t -=--≤≤=--37.2674522(24)220.9750.05t=-=-⨯=.26、设12,,,n X X X 为来自总体2(,)XN μσ的样本，X ，2S 为 样本均值和样本方差，当20n =时，求1)、 4.472P X σμ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭; 2)、222||2P S σσ⎛⎫-<⎪⎝⎭; 3)、确定(0)C C >，使0.90SP C X μ⎛⎫>=⎪-⎝⎭.解 1）(0,1)N .所求的14.472 4.472 4.472X P X P X P σσμμμσ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫<+=-<=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.8413P⎛⎫=<=Φ=.2)、已知222(1)(1)n S n χσ--，则22219(19)S χσ.所求的22222222223||22222P S P S P S σσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222223131919319222222S S P S P P σσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=<<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭223191922(19)(19)0.900.250.875χχ⨯=-=-=.3)(1)t n -，于是1(19)S X P C P P t S C X μμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫->=<=<= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.由题意知：(19)0.90t=.查表得 1.328(19)0.90t =即1.328=.因此所求的3.3676C ≈.27、设总体X 的均值μ与方差2σ存在，若12,,,n X X X 为它的一个样本，X 是样本均值，试证明对i j ≠，相关系数1(,)1i j r X X X X n --=--. 解 由题意知 ()()2,E X D X μσ==，由12,,,n X X X 为总体的一个样本，故()()()2,1,2,,i i E X D X i n μσ===，()()()i j i j E X X E X E X =.由X 是样本均值，故()()2,E X D X nσμ==.令()()12111i i i n i i n X X X X X X Y X X n-+--++++++=-=，()()()12111j j j nj j n X X X XXXY X X i j n-+--++++++=-=≠，则()()()()()()11110,0i jn n n n E Y EY nnμμμμ------====，()()()()2121111i i i n i n X X X X X X n D Y D n n σ-+--++++++-⎛⎫==⎪⎝⎭，()()()()2121111j j j n j n X X X X X X n D Y D n n σ-+⎛⎫--++++++-⎪== ⎪⎝⎭， ()()()()()()cov ,cov ,i j i j i j i j i j X X X X Y Y E YY E Y E Y E YY --==-=()()()()1211121111j j j n i i i n n X X X X X X n X X X X X X E n n-+-+⎡⎤--++++++--++++++=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()()()()22222211-1-1-1i j i i j j n E X E X n D X n E X n D X n E X n ------=+()()()()22211212n E X n D X n nσ-+-=- ()cov ,1,1i j X X X X r X X X X n ----==--. 28、设总体2(,)XN μσ，从该总体中抽取简单随机样本122,,,(1)n X X X n ≥，X是它的样本均值，求统计量21(2)nin i i T XX X +==+-∑的数学期望.解 令2(2,2)i i n iY X X N u σ+=+，12ni i Y Y X ===∑.于是有22211(2)(2)(1)nni n i i Yi i T X X X Y Y n S +===+-=-=-∑∑. 因此所求的统计量21(2)nin i i T XX X +==+-∑的数学期望222(1)(1)2(1)Y Y ET E n S n ES n σ=-=-=-.。
数理统计课后答案-第一章
3
2
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5
可以看作是有 15 个空位子， 每个班级各有 5 个 解法二 将 15 名新生平均分配到三个班级， 空位子。从这 15 个空位子中任意选 3 个位子放运动员（其余位子自然是放非运动员，可不 考虑） ，共有 C15 种不同做法。 （1） 每个班级各有一名运动员， 相当于从每个班级的 5 个空位子中任意选 1 个位子放运 动员，有 C 5 C 5 C 5 种不同做法，所以，
k =0
a
3 k −3 e ≥ 0.99 。 k =0 k !
a
直接计算或查书后附录中普阿松分布的概率表，可以求得：
8 3 k −3 3 k −3 e ≈ 0 . 988 < 0 . 99 ， e ≈ 0.996 > 0.99 。 ∑ ∑ k = 0 k! k = 0 k! 7
由此可见，月初至少要进货 8 件，才能以 99% 以上的概率满足顾客的需要。 已知随机变量 ξ 的概率密度为 ϕ ( x ) = Ae
1.5 无线通信中，由于随机干扰，当发出信号为“ • ”时，收到信号为“ • ” 、 “不清” 、 “—” 的概率分别为 0.7、0.2 和 0.1；当发出信号为“—”时，收到信号为“—” 、 “不清” 、 “• ” 的概率分别为 0.9、 0.1 和 0.如果整个发报过程中 “• ” 、 “—” 出现的概率分别为 0.6 和 0.4， 当收到信号“不清”时，原发信号是什么？试加以推测. 解 设 A = { 收到“不清”}， B = { 发出“·”}， B = { 发出“-”}，由题意可知，
1 2 C1 C k −1 C k2−1 于 k 的 k − 1 个球中取 2 个球，所以 P{ξ = k} = = （ k = 3, 4, 5 ） 。 3 10 C5