椭圆综合专题整理
椭圆专题总结
一、直线与椭圆问题的常规解题方法:
1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）
2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）
3.联立方程组；
4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）
5.根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在）
②“点在圆内、圆上、圆外问题”
?“直角、锐角、钝角问题”?“向量的数量积大于、等于、小于0问题”
?12120x x y y +>>0；
③“等角、角平分、角互补问题”?斜率关系（120K K +=或12K K =）；
④“共线问题”
（如：AQ QB λ=?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；
（如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）；
⑤“点、线对称问题”?坐标与斜率关系；
⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的
合理选择）；
6.化简与计算；
7.细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.
二、基本解题思想：
1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；
2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；
3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无
关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求
出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，
5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角
代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；
6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，
关键是积累“转化”的经验；
椭圆中的定值、定点问题
一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。
（1）直线恒过定点问题
1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为
关于直线0l 的对称0012
x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。
2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22
，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ?=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点。求：
（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值；
3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22:1553
x y C +=相交于A 、B 两点,已知点7(,0)3
M -，求证：MA MB ?为定值.
4、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13
x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB
的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -.
（Ⅰ）求22m k +的最小值；（Ⅱ）若2
OG OD =?OE 求证：直线l 过定点；
椭圆中的取值范围问题
一、常见基本题型：
对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通
过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.
(1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。
5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B
，且3AP PB =，求
m 的取值范围．
(2)利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围.
6、已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ?=．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275
NA NB -
?-≤≤，求直线l 的斜率的取值范围.
(3)利用基本不等式求参数的取值范围
7、已知点Q 为椭圆E ：221182
x y +=上的一动点，点A 的坐标为(3,1)，求AP AQ ?的取值范围． 8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距离为3.求：
（1）求椭圆的方程
（2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点
,M N .当
||||AM AN =时，求m 的取值范围. 9.如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P
在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=?=的轨迹为曲线E .
（I ）求曲线E 的方程； （II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两
点,G H （点G 在点,F H 之间），且满足FH FG λ=，
求λ的取值范围.
10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，一个顶点为)0,2(H .求：
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥求t 的取值范围.
11.已知椭圆2222:1x y C a b
+=(0)a b >>的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足
OP t OB OA =+（O 为坐标原点），当PB PA -＜253
时，求实数t 取值范围． 椭圆中的最值问题
一、常见基本题型：
（1）利用基本不等式求最值，
12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为
22
，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ?=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点，求△PAB 面积的最大值。
（2）利用函数求最值，
13.如图，DP x ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且||2||DM DP =．当点P 在圆221x y +=
上运动时。
（I ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点22(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线C 于
A ，
B 两点，求△AOB
面积S 的最大值和相应的点T 的坐标。
14、已知椭圆22:14x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B 两点.将|AB|表示为m 的函数，并求|AB|的最大值.
思维拓展训练
1、已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x m 上的三点，其中点A 的坐标为 )0,32(，BC 过椭圆m 的中心，且||2||,0AC BC BC AC ==?．
（1）求椭圆m 的方程；
（2）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y
轴负半轴的交点，且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．
2.已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP
上，且满足NP ＝2NQ ，GQ ·NP ＝0．
（1）若1,0,4m n r =-==，求点G 的轨迹C 的方程；
（2）若动圆M 和（1）中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ，是否存在一组正实数,,m n r ，使得直线
MN 垂直平分线段AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．
3、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小
值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m
，不是左右顶点），且以AB为直径的=+与椭圆C相交于A，B两点（A B
圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
4.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），
平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
参考答案
1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --=
设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得32000204320000
2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-?
∴直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)
n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为：432000000320004288()2(34)
x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288
y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G
2、解：（1）设椭圆方程为22221y x a b
+=，由题意可得 2,2,22a b c ===，所以椭圆的方程为22
142
y x += 则12(0,2),(0,2)F F -，设0000(,)(0,0)P x y x y >>
则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=---
点00(,)P x y 在曲线上，则2200 1.24x y +=220042
y x -∴= 从而22004(2)12
y y ---=，得02y =，则点P 的坐标为(1,2)。 （2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数， 设PB 斜率为(0)k k >，则PB 的直线方程为：2(1)y k x -=- 由222(1)124
y k x x y ?-=-??+=??得222(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=
设(,),B B B x y 则2222(2)222122B k k k k x k k
---=-=++ 同理可得222222A k k x k +-=+，则2422A B k x x k
-=+ 所以直线AB 的斜率2A B AB A B
y y k x x -==-为定值。 3、解:将(1)y k x =+代入22
1553
x y +=中 得2222(13)6350k x k x k +++-=
4222364(31)(35)48200k k k k ∴?=-+-=+>，
2
122631
k x x k +=-+，21223531k x x k -=+ 所以112212127777(,)(,)()()3333
MA MB x y x y x x y y ?=++=+++ 4222316549319
k k k k ---=+++49=。 4、解：（Ⅰ）由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,
由2213
y kx n x y =+???+=??消y 得:222(13)6330k x knx n +++-=, 设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,则由韦达定理得: 12x x +=2613kn k -+,即02313kn x k -=+,002
313kn y kx n k n k -=+=?+=+213n k +, 所以中点E 的坐标为23(,13kn k -+2
)13n k +, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上，
所以OE OD k K =，即133m k -
=-，解得1m k =， 所以22m k +=2212k k
+≥,当且仅当1k =时取等号,即22m k +的最小值为2. （Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3
m y x =-,
所以由22313
m y x x y ?=-????+=??得交点G 的纵坐标为223G m y m =+, 又因为2
13E n y k =+,D y m =,且2OG OD =?OE ，所以222313m n m m k =?++, 又由（Ⅰ）知:1m k
=,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+,令1x =-得,y=0,与实数k 无关,
5、解：（1）当直线斜率不存在时：12
m =± （2）当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为1122(,),(,)A x y B x y
∴2221
y kx m x y =+??+=?得222(2)210k x kmx m +++-= 22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴?=-+-=-+>（*） ∵3AP PB =，∴123x x -=，
∴1222122
23x x x x x x +=-??=-?.消去2x ，得212123()40x x x x ++=， 整理得22224220k m m k +--=
2
14m =时，上式不成立；214m ≠时，2222241m k m -=-， ∴22
222041m k m -=≥-，∴211-<≤-m 或121≤ 22241m k m -=-代入（*）得211-<<-m 或121< 1< 1≤ 由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--， 化简得22 3412x y +=，得22 143x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为13 42 2=+y x . （Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在， 不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A ，B 两点的坐标分别为11(, )A x y ，22(, )B x y . 由22(1),14 3y k x x y =-???+=??消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=. 因为N 在椭圆内，所以0?>. 所以2 12221228,34412.34k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+? 因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ?=--+=+-- 2222222 43)1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=， 所以22189(1)127345 k k -+--+≤≤.解得213k ≤≤. 7、解：(1,3)AP =，设Q （x ，y ），(3,1)AQ x y =--， (3)3(1)36AP AQ x y x y ?=-+-=+-． ∵221182 x y +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +?≥，∴－18≤6xy ≤18． 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]． 3x y +的取值范围是[－6，6]． ∴36AP AQ x y ?=+-的取值范围是[－12，0]． 8、解：（1）依题意可设椭圆方程为2221x y a +=，则右焦点() 21,0F a - 由题设2|122| 32a -+=，解得23a =， 故所求椭圆的方程为22 1.3 x y += （2）设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y ， P 为弦MN 的中点，由2 213 y kx m x y =+???+=?? 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-= 直线与椭圆相交， 22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴?=-+?->?<+① 23231M N P x x mk x k +∴= =-+，从而231P P m y kx m k =+=+， 21313P AP P y m k k x mk +++∴==-，又||||,,AM AN AP MN =∴⊥ 则：23113m k mk k ++-=-，即2231m k =+，② 把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103 m k -=>，解得12m >. 综上求得m 的取值范围是122 m <<. 9、解：（Ⅰ）.0,2=?=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2..1,1,22===∴b c a ∴曲线E 的方程为.1222 =+y x （Ⅱ）当直线GH 斜率存在时， 设直线GH 方程为,12 ,222 =++=y x kx y 代入椭圆方程 得.2 30.034)21(222>>?=+++k kx x k 得由 设2 2122122112 13,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则 λ λλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， 又当直线GH 斜率不存在，方程为.3 1,31,0===λFH FG x 10、解：（1）由题意可得，1c =，2a =，∴3b =． ∴所求的椭圆的标准方程为：22 143 x y +=． （2）设),(00y x M )20±≠x （，则2200143 x y +=．① 且),(00y x t MP --=，),2(00y x MH --=， 由MH MP ⊥可得0=?MH MP ，即 ∴0)2)((2 000=+--y x x t ．② 由①、②消去0y 整理得 324 1)2(0200-+-=-x x x t ．∵20≠x ∴2 3411)2(4100-=---=x x t ． ∵220<<-x ，∴12-<<-t ． ∴t 的取值范围为)1,2(--. 11、解：（Ⅰ）由题意知22c e a ==，所以22222212 c a b e a a -===． 即222a b =．又因为2111 b ==+，所以22a =，21b =． 故椭圆C 的方程为12 22 =+y x ． （Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在. 设AB ：(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ， 由22(2),1.2 y k x x y =-???+=??得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ?=-+->，212 k <. 2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+. ∵OP t OB OA =+，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，21228(12) x x k x t t k +==+， 1212214[()4](12) y y k y k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上，∴222 222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++， ∴22216(12)k t k = +. ∵PB PA -＜253，∴2122513 k x x +-<，∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-< ∴422 222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++， ∴22(41)(1413)0k k -+>，∴214 k >. ∴21142 k <<，∵22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-++， ∴2623 t -<<-或2623t <<， ∴实数t 取值范围为)2,3 62()362,2( --. 12、解、设椭圆方程为22221y x a b +=，由题意可得 2,2,22a b c ===， 故椭圆方程为22142 y x += 设AB 的直线方程：m x y +=2. 由?????=++=14 2222y x m x y ，得0422422=-++m mx x ， 由0)4(16)22(22>--=?m m ，得2222<<-m P 到AB 的距离为3||m d = ， 则3 ||3)214(21||212m m d AB S PAB ??-=?=? 2)2 8(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m 。 当且仅当()22,222-∈±=m 取等号，∴三角形PAB 面积的最大值为2。 13、解:设点M 的坐标为()y x ,，点P 的坐标为()00,y x ， 则0x x =，02y y =，所以x x =0，2 0y y =，① 因为()00,y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ② 将①代入②，得点M 的轨迹方程C 的方程为142 2 =+y x ． （Ⅱ）由题意知，1||≥t ． 当1=t 时，切线l 的方程为1=y ，点A 、B 的坐标分别为),1,2 3(),1,23(- 此时3||=AB ，当1-=t 时，同理可得3||=AB ； 当1>t 时，设切线l 的方程为,m kx y +=R k ∈ 由?? ???=++=,14,22y x t kx y 得042)4(222=-+++t ktx x k ③ 设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，则由③得： 2 22122144,42k t x x k kt x x +-=+-=+． 又由l 与圆122=+y x 相切，得,11 | |2=+k t 即.122+=k t 所以2 12212)()(||y y x x AB -+-=]4)4(4)4(4)[1(222222k t k t k k +--++=2.3||342+=t t 因为,2| |3||343||34||2≤+=+=t t t t AB 且当3±=t 时， |AB|=2，所以|AB|的最大值为2 依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆122=+y x 的半径， 所以AOB ?面积112 1≤?=AB S ， 当且仅当3±=t 时，AOB ?面积S 的最大值为1， 相应的T 的坐标为()3,0-或者()3,0． 14、解：由题意知，||1m ≥. 当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A,B 的坐标分别为33(1,),(1,)22-， 此时||3AB =； 当1m =-时，同理可得||3AB =； 当1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-. 由22()14 y k x m x y =-???+=??得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=. 设A,B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y . 又由l 与圆221x y +=相切，得2|| 11km k =+，即2221m k k =+. 所以222221212112||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++- 42222 222644(44)(1)[](14)14k m k m k k k -=+-++243||3m m =+. 由于当1m =±时，||3AB =， 243||43||233|||| m AB m m m ==≤++， 当且当3m =±时，||2AB =.所以|AB|的最大值为2. 选做 1、解（1）椭圆m ：14 1222=+y x （2）由条件D （0，－2）∵M （0，t ） 1°当k=0时，显然－2 2°当k ≠0时，设t kx y l +=: ?? ???+==+t kx y y x 14122 2消y 得 由△>0可得22124k t +<① 设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点 则22103132k kt x x x +=+= 20031k t t kx y +=+= ∴)31,313(2 2k t k kt H ++- 由k k PQ OH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即 ∴2223110313231k t k k kt k t +=-=-+-++化简得② ∴t>1将①代入②得1 ∴t 的范围是（1，4） 综上t ∈（－2，4） 2、解：（1）2,NP NQ =∴∴点Q 为PN 的中点， 又0GQ NP ?=，GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG = 又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+== ∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆， 且2,1a c ==，∴22 3,b a c G =-=∴的轨迹方程是22 1.43x y += (2)解：不存在这样一组正实数， 下面证明： 由题意，若存在这样的一组正实数， 当直线MN 的斜率存在时，设之为k ， 故直线MN 的方程为：(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)D x y ， 则2211222214314 3x y x y ?+=????+=??，两式相减得： 12121212()()()()043 x x x x y y y y -+-++=． 注意到12121y y x x k -=--，且12012 022 x x x y y y +?=???+?=??，则00314x y k =，② 又点D 在直线MN 上，00(1)y k x ∴=-，代入②式得：04x =． 因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内， 故022x -<<，这与04x =矛盾，所以所求这组正实数不存在． 当直线MN 的斜率不存在时， 直线MN 的方程为1x =， 则此时1212,2y y x x =+=，代入①式得120x x -=， 这与,A B 是不同两点矛盾．综上，所求的这组正实数不存在． 3、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为22 143 x y +=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，， 联立22 1.4 3y kx m x y =+???+=??，，得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 又2222 121212122 3(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ， ， 1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---， 1212122()40y y x x x x ∴+-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --∴+++=+++， 2291640m mk k ∴++=． 解得： 12m k =-，227 k m =- ，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)， ，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为2()7 y k x =-，直线过定点2(0)7，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为2(0)7，． 4、解：（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x 则?????==?? ???=+=2811422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12 82 2=+y x （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距m,又K OM =2 1 由0422128 212222=-++∴???????=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点， （3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可 设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且 则2 1,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 而) 2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。 （教师版）椭圆标准方程典型例题 例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值． 解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设 条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，， 有， 故其方程为． （2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方 程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或． 例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知：·．① 由椭圆定义知：②，则得． 故． 例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径， 即．∴点的轨迹是以，为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标 椭圆 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数． 2．椭圆的标准方程和几何性质 －a≤x≤a－b≤x≤b 概念方法微思考 1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？ 提示当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？ 提示 由e ＝c a ＝ 1－????b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大， 椭圆越圆． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( ) 题组二 教材改编 2．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．12 3．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 2 4＝1有相同焦点的椭圆的方程为( ) A.x 215＋y 2 10＝1 B.x 225＋y 2 20＝1 C.x 210＋y 2 15＝1 D.x 220＋y 2 15 ＝1 4．已知点P 是椭圆x 25＋y 2 4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形 的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 题组三 易错自纠 5．若方程x 25－m ＋y 2 m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,5) B ．(－5,3) C ．(－3,1)∪(1,5) D ．(－5,1)∪(1,3) 6．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝10 5 ，则m 的值为________． 1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 2 3 ，两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12，圆k C :021422 2 =--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A . （1）求椭圆G 的方程；（2）求21F F A k ?的面积； （3）问是否存在圆k C 包围椭圆G 请说明理由. 2.已知椭圆2 2 21(01)y x b b +=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作 P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ． (1) 若FC 是P 的直径，求椭圆的离心率； （2）若P 的圆心在直线 0x y +=上，求椭圆的方程． 3.在平面直角坐标系xOy 巾，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于 坐标原点O ．椭圆22 219 x y a + =与圆c 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． " (1)求圆C 的方程； (2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 4.如图，已知圆C ：2 2 2x y +=与x 轴交于A 1、 A 2两点，椭圆E 以线段A 1A 2为长轴，离心 率2 e = ． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程； （Ⅱ）设椭圆E 的左焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2O 作直线PF 的垂线交直线2x =-于点Q ，判断直线PQ 与圆C 并给出证明． 5.已知平面直角坐标系中，A 1(—2，0)，A 2(2,0)、A 3(1,3)，△A 1A 2A 3的外接圆为C ；椭圆 C 1以线段A 1A 2为长轴，离心率.2 2= e （I ）求圆C 及椭圆C 1的方程； （II ）设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点，过原点O 作直线PF 的 垂线交直线22=x 于点Q ，判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明。 6.离心率为4 5 的椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：上有一点M 到椭圆两焦点的距离和为10. 以椭圆C 的右焦点)0,(c F 为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT （T 为切点），且点P 满足||||PB PT =（B 为椭圆C 的上顶点）。 （Ｉ）求椭圆的方程； （II ）求点P 所在的直线方程l . 。 7.已知椭圆22 2210x y C a b a b +=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离为 ． （1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标． 8.. 如图，已知椭圆2 22:1(1)+=>x C y a a 的上顶点为A :M 226270+--+=x y x y 相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且0,?=AP AQ 求证：直线l 过定点，并求出该定点N : 第21题图 抛物线专题复习讲义及练习 ★知识梳理 ★ 1. 抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p 0 ) ： 标准方程 y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 22py 图形 ▲ ▲ y ▲ ▲ y y y x x x x O O O O 焦点 p p ,0) F ( 0, p F (0, p F ( ,0) F ( ) ) 2 2 2 2 准线 p p p p x x y y 2 2 2 2 范围 x 0, y R x 0, y R x R, y 0 x R, y 0 对称轴 x 轴 y 轴 顶点 （0， 0） 离心率 e 1 2. 抛物线的焦半径、焦点弦 ① y 2 2 px( p 0) 的焦半径 PF x P ; x 2 2 p y( p 0) 的焦半径 PF y P ； 2 2 ② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径 . 其长度为 2p. ③ AB 为抛物线 y 2 2 px 的焦点弦，则 x A x B p 2 ， y A y B p 2 ， | AB |= x A x B p 4 ★重难点突破 ★ 重点 :掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质 难点 : 与焦点有关的计算与论证 重难点 :围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识 问题 1：抛物线 y=4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 ( ) A. 17 B. 15 C. 7 D. 0 16 16 8 点拨：抛物线的标准方程为 x 2 1 y ，准线方程为 y 1 , 由定义知，点 M 到准线的距 离 4 16 椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >> 7.椭圆 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是 以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对 称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆1 22 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点， 坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=, b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(< 椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”； 2.椭圆的通经： 3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式： 4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1. 5.直线与椭圆的位置关系： 6.椭圆的中点弦问题： 【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围． 题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于 5 3 . 【典例2】求椭圆40025162 2 =+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点， 且直线AP ，AQ 的斜率之积为2 1 -，则椭圆C 的离心率为（ ） A.22 B.21 C.42 D.4 1 【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长 为8，则椭圆的左顶点为( ) A ．(－3，0) B ．(－4，0) C ．(－10，0) D ．(－5，0) （2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4 5 ，则k 的值为( ) A ．－21 B ．21 C ．－1925或21 D ．19 25 或21 (3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ， B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆 C 的离心率等于________． 【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且 215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是 练习：如图，把椭圆 116 252 2=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++Λ= 椭圆知识点总结复习 1. 椭圆的定义： （1）椭圆：焦点在x 轴上时122 22=+b y a x （222a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参 数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 例一：已知线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，AB=5，M 是AB 上的一个点，且AM=2，点M 随AB 的运动而运动，求点M 的运动轨迹方程 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线： 两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 例二：设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上一点P 作x 轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦 点1F ，此时椭圆与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且A,B 两点所确定的直线AB 与OP 平行，求离心率e 2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系：（往往设而不求） （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0?>与过点(2,0),(0,1)A B 的直线有且只有一个公共 点T ，且椭圆的离心率2 e = （1）求椭圆的方程 （2）设12,F F 分别为椭圆的左，右焦点，M 为线段2AF 的中点，求证：1ATM AFT ∠=∠ （3）求证：2 121 2 AT AF F =. ?4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。 例五：已知椭圆22 221x y a b +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右 准线的距离为____（答：10/3）； 例六：椭圆1342 2=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ， 使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,3 6 2( -） ； 5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形） 问题：0||S c y =，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ； 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c ∴223a c =， ∴3 331-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点， OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF = -12 ，∴115 4 5x ex a AF -=-=． 同理2545x CF -=．∵BF CF AF 2=+，且5 9 =BF ， ∴51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ，即821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ??+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得() 212 2 21024x x y y x --=- 椭圆讲义 １、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 )2 2101c b e e a a ==-<< 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± ３、设M 是椭圆上任一点,点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ,则 12 12F F e d d M M ==. 四、常考类型 类型一：椭圆的基本量 １．指出椭圆36492 2 =+y x 的焦点坐标、准线方程和离心率. ? 举一反三:【变式1】椭圆 116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则Ｐ到另一个焦点的距离＝ ＿__＿____ 【变式2】椭圆 125162 2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点,则1ABF ?的周长1ABF C ?=_＿＿＿___＿__＿. ? 【变式3】已知椭圆的方程为 1162 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则ｍ的取值范围是（ )。? A ．-4≤m ≤4且m ≠0 B ．-4<ｍ＜4且m ≠０ C.m ＞4或m ＜－4 D ．０＜m ＜4 【变式4】已知椭圆mx ２ +３ｙ2 －6ｍ=０的一个焦点为（0,２)，求m 的值。 类型二：椭圆的标准方程 ２. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、（4，0),椭圆上一点Ｐ到两焦点距离的和是10; （2)两个焦点的坐标是（0，－2）、(0，2）,并且椭圆经过点?? ? ??2523-，。? 举一反三:【变式1】两焦点的坐标分别为()()4-04,0，，,且椭圆经过点）（0,5。 【变式２】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆14 92 2=+y x 有相同的焦点,并且经过点(３,－２),求此椭圆的方程。 3.求经过点P （－3，０）、Q(０，２）的椭圆的标准方程。? 举一反三:【变式】已知椭圆经过点P （2,0)和点)2 3 3,1(Q ,求椭圆的标准方程。 4.求与椭圆4x 2 +9y 2 =36有相同的焦距,且离心率为 5 5 的椭圆的标准方程。? 【变式1】在椭圆的标准方程中，，则椭圆的标准方程是( ) A. 1353622=+y x B ．135 362 2=+x y C.13622=+y x D ．以上都不对 【变式2】椭圆过（3,0)点，离心率3 6 = e ,求椭圆的标准方程。? 【变式3】长轴长等于2０,离心率等于5 3 ,求椭圆的标准方程。 高三数学专题复习----椭圆 一 基础知识 （1）椭圆的第一定义第二定义，（2）椭圆的标准方程，（3）椭圆的性质，（4）椭圆和直线的位置关系 二 例题 1、方程m y x ++16m -252 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) (A)-16 4、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ） （A ） 2 1 （B ）22（C ）23（D ）33 5、若椭圆 19822=++y k x 的离心率是2 1，则k 的值等于 ( ) (A)－ 45 (B)45 (C)－45或4 (D)4 5 或4 6、椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是 2 3 ，则它的长半轴的长是（ ） （A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ） 2 1 或1 7、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e= 3 2 ，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。 （A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36 y 2 =1 （C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5 x 2+9y 2 =1 椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2 1= e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21= e ，得4191=-k ，即4 5-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ???-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例4 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围． 解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)4 3,2( ππα∈． 说明：(1)由椭圆的标准方程知 0sin 1>α，0cos 1>-α ，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α sin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0 例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式． 解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点()03， -A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为7342 2=-=b 的椭圆的方程：17162 2=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13 42 2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得 2=a ，3=b ，∴1=c ，2 1= e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知： 椭圆及其标准方程 【学习目标】 1． 知识与技能目标： 掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导． 2． 过程与方法目标： 通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力． 3． 情感态度与价值观目标： 通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神． 【要点梳理】 要点一：椭圆的定义 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的集合叫椭圆．这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 要点诠释： （1）1F 、2F 是椭圆上不同的两个顶点； （2）若P 是椭圆上任意一点，则12PF PF +=常数； （3）当 常数12F F > 时，轨迹为椭圆； 当 常数=12F F ，则轨迹为线段12F F ； 当 常数12F F <，则轨迹不存在． 要点二：椭圆的标准方程 1． 椭圆的标准方程 要点诠释： 1． 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2． 在椭圆的两种标准方程中，都有0a b >>和222c a b =-； 3． 椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -；当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -； 4． 在两种标准方程中，∵a 2＞b 2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2． 标准方程的推导： 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程． 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简． 以焦点在x 轴上的方程22 221x y a b +=(0)a b >>为例． (1)建系 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两个定点1F ，2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)． （2）设点 设|F 1F 2|=2c(c ＞0)，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则有F 1(-1，0)，F 2(c ，0)． 椭 圆专题总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程； （提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ?12120x x y y +>>0； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性， 关键是积累“转化”的经验； 椭圆中的定值、定点问题 一、常见基本题型： 在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题 1、已知点00(,)P x y 是椭圆2 2:12 x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=，直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标。 高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2） 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越 椭圆练习题1 A组基础过关 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )． A.1 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 解析由题意得2a＝22b?a＝2b，又a2＝b2＋c2 ?b＝c?a＝2c?e＝ 2 2 . 答案B 2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x2 81 ＋ y2 72 ＝1 B. x2 81 ＋ y2 9 ＝1 C. x2 81 ＋ y2 45 ＝1 D.x2 81＋ y2 36 ＝1 解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1 3×2a ，∴c ＝3， ∴b 2 ＝a 2 －c 2 ＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 2 81 ＋ y 2 72 ＝1. 答案 A 3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A. 32 B.34 C.22 D.23 解析 先将 x 2＋4y 2＝1 化为标准方程x 21＋y 214 ＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝3 2 . 离心率e ＝c a ＝3 2. 答案 A 4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2 ＝1的左、右焦点，P 是第一象 限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.26 3 解析 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24 ＋y 2＝1在第一象限的交点， 解方程组???? ? x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2 ＝1，得点P 的横坐标为 26 3 . 答案 D 5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 3 2 ，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )． 海豚教育个性化简案 海豚教育个性化教案（真题演练） 海豚教育个性化教案 A . 45 B .23 C .22 D .2 1 例2：已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为 例3：在ABC △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率 e = ． 【变式训练】 1. 椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( ) A. 63 B.33 C.2 3 D. 不确定 2. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ） 3. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。 2：求离心率的取值范围 例1：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使3 221π =∠PF F ，求 其离心率e 的取值范围。 例2：已知椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）与x 轴的正半轴交于A ，0是原点，若椭圆上存在一点M ，使MA ⊥MO ， 求椭圆离心率的取值范围。 例3：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程02 =++c bx ax 无实根，求 其离心率e 的取值范围。 题型四：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等） 例1：已知实数y x ,满足12 42 2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 椭圆习题课 1 已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为_____________ 2 如图直线y ＝kx ＋b 与椭圆 2 2 14 x y +=交于A 、B 两点,记△AOB 的面积为S ． (I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值；（Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程． 3 设椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点， 212AF F F ⊥，原点O 到直线1A F 的距离为 113 O F ． （Ⅰ）证明a =； （Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥． 4 求F 1、F 2分别是椭圆 2 2 14 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，2 2 1254 P F P F +=- ，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. 15 我们把由半椭圆 12 22 2=+ b y a x (0)x ≥与半椭圆 12 22 2=+ c x b y (0)x ≤合成 的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ． 如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ， y 轴的交点，M 是线段21A A 的中点． （1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程； （2）设P 是“果圆”的半椭圆 12 22 2=+ c x b y (0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时， P 在点12B B ，或1A 处； （3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．高中数学椭圆经典例题(学生+老 师)
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