(完整版)第三章直线与方程知识点总结与题型

第三章：直线与方程的知识点

倾斜角与斜率

1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.

2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121

y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，

12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，

斜率k =0.

注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?<

两条直线平行与垂直的判定

1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：

（1）12//l l ?12k k =；（2）12l l ⊥?121k k ?=-.

2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….

直线的点斜式方程

1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.

2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.

4. 注意：

y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.

直线的两点式方程

1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),

(,)P x y P x y ，其方程为

11

2121

y y x x y y x x --=

--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为

a 、

b ，其方程为1x y a b

+=.

3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.

4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)2

2

x x y y ++.

直线的一般式方程

1. 一般式：

Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程

0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B

=-

-，表示斜率为A B

-，y 轴上截距为C

B

-的直线.

2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.

3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），

2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）

，则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥?+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ?-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ?-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A

B A B ?-≠. 如果2220A B

C ≠时，则111

12222

//A B C l l A B C ?

=≠；1l 与2l 重合111

222

A B C A B C ?

==；1l 与2l 相交

11

22

A B A B ?≠.

两条直线的交点坐标

1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组111222

0A x B y C A x B y C ++=??

++=?. 若方

程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两

条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离

1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y

，则两点间的距离为：12||PP 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；

点到直线的距离及两平行线距离 1. 点00(,)P x y 到直线:

0l Ax By C ++=

的距离公式为d .

2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:

l Ax By C ++=，

22:0l Ax By C ++=

之间的距离公式d =

，推导过程为：在直线2l 上任取一点

00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的

距离为d ==

对应练习 一.选择题

1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0

2. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A. 012=-+y x B. 052=-+y x C. 052=-+y x D. 072=+-y x

3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 10

4.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ）

A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=0 5.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，且sin cos 0θθ+=则a,b 满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0

6. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、2

3- D 、3

2

7.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 2

1 C 1 D 2

7

8. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）

9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）

A. 1或3

B.1或5

C.3或5

D.1或2

10、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（ ） A 、K 1﹤K 2﹤K 3

B 、K 2﹤K 1﹤K 3

C 、K 3﹤K 2﹤K 1

D 、K 1﹤K 3﹤K 2

11.（05北京卷）“m =2

1

”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( )

（A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件

（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 12、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）

A.3x-2y-6=0

B.2x+3y+7=0

C. 3x-2y-12=0

D. 2x+3y+8=0 13. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )

A. ab ＞0，bc ＞0

B. ab ＞0，bc ＜0

C. ab ＜0，bc ＞0

D. ab ＜0，bc ＜0

14.（2005北京文）“m=2

1”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －

3=0相互垂直”的 ( )

A.充分必要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件 15. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )

A. 2

B. 1

2C. 22

2

L 3

16. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )

A. ??? ??52 ，5

4- B. ??? ??54 ，52- C. ??? ??52 ，

54 D. ??? ??54 ，5

2

- 二、填空题

1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________.

2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a 的值为（ ）

3.经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2）， B （－1，6）等距离的直线的方程是 。

4.（全国Ⅰ文16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15o ②30o ③45o ④60o ⑤75o 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）

三.解答题

1.已知两条直线)(12:12,:2416l x m y m l mx y ++=-+=-. m 为何值时, 12:l l 与 （1）相交 （2）平行 （3）垂直

2. 求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.

3.求平行于直线20,x y --=且与它的距离为

4.已知直线l1 : mx + 8y + n = 0与l2 : 2x + my - 1 = 0互相平行，求l1，l2之间的距离为5时的直线l1的方程.

5.已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC 边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程。

6.求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的

直线的方程。

一、选择题

1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a

C ．0=+b a

D ．0=-b a

2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x

3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ）

A ．0

B ．8-

C ．2

D ．10

4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限

C ．第一、三、四象限

D ．第二、三、四象限

5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1 B ．0135,1-

C ．090，不存在

D ．0180，不存在

6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ）

A ．0≠m

B ．23

-≠m

C ．1≠m

D ．1≠m ，2

3

-≠m ，0≠m

二、填空题

1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.

2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________;

若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;

3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。

4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________. 5．直线l 过原点且平分ABCD Y 的面积，若平行四边形的两个顶点为

(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

三、解答题

1．已知直线Ax By C ++=0，

（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x 轴相交； （4）系数满足什么条件时是x 轴；

（5）设()P x y 00，为直线Ax By C ++=0上一点，

证明：这条直线的方程可以写成()()A x x B y y -+-=000．

2．求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线

032=-+y x 的直线方程。

3．经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？ 请求出这些直线的方程。

4．过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．