直线与椭圆的综合运用(教案)

教学过程

一、知识讲解

考点/易错点1 直线与椭圆的位置关系

提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系

引出点与椭圆的位置关系 1.点与椭圆的位置关系

设点),(00y x P ，椭圆标准方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x

若点),(00y x P 椭圆上，则122

220=+b y a x ；

若点),(00y x P 在椭圆内，则122

220<+b y a x ；

若点),(00y x P 在椭圆外，则1220

220>+b

y a x ；

2.直线与椭圆的位置关系

（1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系： 相离：直线与椭圆没有交点； 相切：直线与椭圆有唯一交点；

相交：直线与椭圆两个交点； （2）判断直线与椭圆的位置关系

设直线:,l y kx m =+椭圆22

22:1(0)x y M a b a b

+=>>，联立直线与椭圆方程消去y 得

22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=

记该一元二次方程的判别式为?，则

①当0?>时，直线与椭圆相交，有两个交点； ②当0?=时，直线与椭圆相切，此时有一个交点； ③当0?<时，直线与椭圆相离，没有交点. （3）弦长公式的推导

设1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上的两点， AB 叫做椭圆的弦长. 回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式.

11AB x x y y =-=-k 为直线AB 的斜率）. 二、例题精析

【例题1】

【题干】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x M 的离心率为23

，右顶点到左焦点的距离为

32+

（1）求椭圆M 的方程.

（2）若直线20x y m +-=与椭圆M ：①相交，②相切，③相离，求实数m 的取值范围； （3）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于不同的B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f .

【答案】（1）2

214

x y +=

（2）①相交：m <<，②相切： m =，③相离： m m <<或

（3）()(f t t =

∈

【解析】（1

）依据题意，则2c a a c ?=

???+=+?

解方程组得2,a c ==所以椭圆方程为2

214

x y += （2）联立22

2014

x y m x y +-=??

?+=??消掉y 得225161640x mx m -+-=

222(16)45(164)16(54)m m m ?=-?-=-

①若直线与椭圆相交，则216(54)0m ?=->

，解得22

m -

<<

②若直线与椭圆相切，则216(54)0m ?=-=

，解得m =③若直线与椭圆相离，则216(54)0m ?=-<

m m <<或（3）联立22

14

y x t

x y =+???+=??消掉y 得22

58440x tx m ++-= 因为直线与椭圆有两个交点，则2

2

6420(44)0t t ?=-->

，解得t <设1122(,)(,)A x y B x y ，由韦达定理，则

1285t

x x +=-，2124(1)5

t x x -=

由弦长公式，则AB =

=

=

所以()(f t t =∈ 【例题2】

【题干】已知椭圆2

2:12

x M y +=， （1）求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程； （2）

过1

()22

Q 的直线与椭圆M 相交于,A B 两点，

且,A B 关于点Q 对称，求直线AB 的方程；

（3）过点(2,1)的直线l 与椭圆M 相交，求直线l 被椭圆截得的弦中点的轨迹方程. 【答案】（1）40x y +=，（2

220y +-=，（3）222220x y x y +--=

【解析】(1) 设平行弦中点坐标为00(,)x y ，弦与椭圆对应的两个交点为11(,)x y ，22(,)x y

2

2112

222

12

1

2

x y x y ?+=????+=??两式相减得12121212()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得

1212121222()

y y x x

x x y y -+=-=-+

又因为1201202,2x x x y y y +=+=，代入上式，得0040x y +=.

所以平行弦中点的轨迹方程为40x y += (在椭圆2

2:12

x M y +=内的部分). （2）设33(,)A x y ，44(,)B x y ，则

22

332

244

12

1

2

x y x y ?+=????+=??两式相减得34343434()()()()02x x x x y y y y +-++-=曲线的范围 化简整理得

121212122()

y y x x

x x y y -+=--+

又因为,A B

关于点1

(

)22

Q

对称，则34121x x y y +=+=

所以121212122()2

AB y y x x k x x y y -+=

=-=-

-+

故直线AB

220y +-=

（3）由点(2,1)的位置结合椭圆方程可知直线l 的斜率必然存在， 设弦中点坐标为(,)x y ''，则1

2

l y k x '-=

'-………………………()i 设直线与椭圆的两交点分别为5566(,),(,)x y x y ，则56562,2x x x y y y ''+=+=

又22

552

266

12

1

2

x y x y ?+=????+=??两式相减得5

6565656()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得565656562()2l y y x x x k x x y y y '

-+=

=-=-

'

-+……………()ii 由()i ()ii 联立化简得， 2

2

2220x y x y ''''+--=. 所以弦中点的轨迹为：2

2

2220x y x y +--=.

三、课堂运用

【基础】

1.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上有一动点P ,F 为椭圆的右焦点，

若

max min 33PF PF ==，则椭圆的方程为（ ）

A ．22194x y +=

B ．22154x y +=或22195x y += Ｃ．22195x y += Ｄ．22154x y +=或22

194

x y += 【答案】Ｃ.

【解析】

依据题意易得33a c a c +=-=

3,a c ==所以椭圆方程为：22

195

x y += 2.已知直线1l 过椭圆14

:22

=+y x C 的左焦点1F 且与椭圆相交于B A ,两点，

椭圆C 的右焦点

为2F ，则2ABF ?的周长为（ ） Ａ．6 Ｂ． 7 Ｃ．8 Ｄ．9

【答案】Ｃ．

【解析】如图,因为B A ,在椭圆上，由椭圆的定义，则

a AF AF a BF BF 2,22121=+=+

所以2ABF ?的周长

842222==+=++=a a a AF BF AB C

所以选.C

3. 椭圆16

49422=+y x 的焦点分别为21,F F ,点M 在椭圆上，若31=PF ,则

=2PF ,=∠21PF F .

【答案】4；

2

π

. 【解析】由椭圆的定义7221==+a PF PF ，则437712=-=-=PF PF , 又因为5222

2

21=-==b a c F F ，故21PF F ?为直角三角形，所以2

21π

=

∠PF F .

4.已知)0,2(),0,2(B A -,动点),(y x P 满足6=+PB PA ,则点),(y x P 的轨迹方程为 .

【答案】15

922=+y x

【解析】因为64<=AB ,所以点),(y x P 的轨迹为椭圆62=a ，则3=a ，2=c

52

2

=-=c a b ，故椭圆方程为15

92

2=+

y x . 5.若直线2y mx =+与椭圆22

142

x y +=有且只有一个交点，求实数m 的值.

【答案】2

m =±

【解析】联立22

224

y mx x y =+??+=?消y 得22

(21)840m x mx +++= 因为直线与椭圆只有一个交点，则2

2

644(21)40m m ?=-?+?=

解得m =. 【巩固】

1. 已知两定点)1,1(),1,1(--B A ，动点P 满足2

2

x =?，则点P 的轨迹是（ ）

Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线

【答案】Ｂ．

【解析】设),(y x P ，)1,1(),1,1(y x PB y x PA ----=--=，则

2

222

2

x y x =-+=?，整理得1242

2=+y x ，所以是椭圆，选B .

2.直线y x a =+与椭圆2212x y +=相交于,A B 两点，若AB =，求a 的值. 【答案】1

【解析】联立22

22y x a x y =+??+=?消去y 得22

34220x ax a ++-= 21643(22)0a a ?=-?->恒成立，则a R ∈

设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理，则

1243a

x x +=-，212223

a x x -=

由弦长公式AB ===

解得1a =.

【拔高】

1.过原点的直线l 与曲线C:13

22

=+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( )

.

A 656

παπ

≤

≤ .B 326παπ<< .C 323παπ≤≤ .D 4

34παπ≤≤

【答案】Ｄ．

【解析】因为截得的线段长不大于6，故直线不可能与x 轴重合，可设直线方程为x my = 联立??

?=+=3

32

2y x my

x 消去x 得，03)3(2

2=-+y m ，设直线与椭圆相交于B A ,两点，则

63)3(121222

≤+++=m m m

AB ，整理得63

)

1(1222≤++m m ，解得11≤≤-m

所以]1,1[1tan -∈=

=m k α，又),0[πα∈，解得4

34π

απ≤≤.选.D 2. 已知椭圆221169x y +=，12,l l 是过点(0,)P m 且相互垂直的两条直线，问实数m 为何值时，12,l l 与椭圆都有公共点.

【答案】[5,5]m ∈-

【解析】由题知点(0,)P m 在y 轴上运动，分两种情形讨论

（1）当12,l l 中有一条与x 轴平行时，则必有一条是y 轴，此时[3,3]m ∈-； （2）当12,l l 中都不与x 轴平行时，设1:l y kx m =+，则21

:l y x m k

=-

+. 1l 与椭圆有公共点，即22

()1169

x kx m ++

=有实数根，整理得 222(169)32161440k x kmx m +++-=

2

2

2

(32)4(169)(16144)0km k m ∴?=-+-≥解得22

9

16

m k -≥

. 2l 与椭圆有公共点，同理可得2219

()16

m k -≥

当3m >时，229()1516m m -≤?≤；又5m >时，229259

()11616

m -->=； 而221

,

k k

必有一个小于等于1，此时12,l l 与椭圆不可能都有公共点. 综上所述5m ≤时，12,l l 与椭圆都有公共点.即[5,5]m ∈-.

课程小结

本讲主要学习了下面的内容： 直线与椭圆的位置关系

课后作业

【基础】

1.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（ ）

.A 2211612x y += .B 221128x y += .C 22184x y += .D 221124x y +=

【答案】C

【解析】依题可设椭圆方程为)0(122

22>>=+b a b y a x ，则2,42==c c ，

8,42

2=-=-=a c a x ，所以4222=-=c a b ，椭圆方程为22184x y +

=，故选.C 2.已知直线m x y +=与椭圆14

22

=+y x 相交，则实数m 的取值范围为（ ）

.A ]5,5[- .B )5,0( .C )0,5(- )5,5.(-D 【答案】Ｄ．

【解析】把直线方程m x y +=代入椭圆14

22

=+y x 得0448522=-++m mx x ，

因为相交，所以0)44(206422>--=?m m ，解得)5,5(-∈m .故选.D

3.直线12+=x y 与椭圆15

92

2=+y x 相交于MN 两点，则弦=MN （ ）

.

A 411060 .

B 41106 .

C 36

1041 .D 4110

2

【答案】Ａ．

【解析】：联立方程???

??=++=1591222y x x y 消去y 得03636412=-+x x ，设),(),,(2211y x N y x M 则

a ac

b k

y y x x MN 41)()(22

2

212

21-+=-+-=41

106041364143652=

??+?=.选.A

4.直线l 方程)1(-=x m y ，椭圆13

4:2

2=+y x M ，则直线l 与椭圆M 的位置关系为（ ）

.A 相交 .B 相离 .C 相切 .D 无法判断 【答案】.A

【解析】已知直线)1(-=x m y 过定点)0,1(，定点代入椭圆则13

0412

2<+，过直线过椭圆

内部的点，所以直线l 与椭圆M 相交，选.A 【巩固】

1.已知直线:2l y x m =+，椭圆22

:142

x y M +=，试问：当m 取何值时，直线l 与椭圆： ①相交；②相切；③相离.

【答案】2323<<-m ；23±=m ；2323>-

【解析】将m x y +=2代入椭圆消去y 得0428922=-++m mx x ，2

8144m -=?

①当081442

>-=?m ，即2323<<-m 时，直线与椭圆相切；

②当081442

=-=?m ，即23±=m 时，直线与椭圆相切；

③当081442

<-=?m ，即2323>-

2.B A ,是椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的短轴端点，点M 是椭圆上异于B A ,的任意一

点，直线MA ，MB 与x 轴交点的横坐标分别为21,x x ，求证：21x x ?是定值. 【答案】答案见解析

【解析】证明：如图)5(C ，),0(),,0(b B b A -，设),(00y x M ，则 直线MA 的方程为：

00y b

y b x x --=

……………① 直线MB 的方程为：

00

y b

y b x x ++=

……………② 由①解得,00

1b y bx x --=

由②解得b

y bx x +=

002，则 222200

122

2

000

()()b x b x x x y b y b b y -?==-+-……………③ 又因为),(00y x M 在椭圆上，则2200

221x y a b

+=……………④

由④解得)(20

2

2

2

2y b a x b -=代入③式，得22

22

022********)

(a y b y b a y b x b x x =--=-=?. 所以21x x ?是定值.

3.过椭圆

14

162

2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程.

【答案】042=-+y x

【解析】法一：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ）,则2,42121=+=+y y x x

14

162

121=+y x ① 14

1622

22=+y x ② ①-②得

04))((16))((21212121=+-++-y y y y x x x x ，整理得2

1

421212121-=++?-=--y y x x x x y y

所以2

1

-

=AB k ，故直线方程为042=-+y x . 法二：设所求直线方程为)2(1-=-x k y ，代入椭圆方程并整理得：

016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k

又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是

1

4)

2(82221+-=

+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以

21

4)

2(422221=+-=+k k k x x ， 解得2

1

-

=k ， 故所求直线方程为042=-+y x . 【拔高】

1.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b

y a x M 的离心率为23

，右顶点到左焦点的距离为32+

（1）求椭圆M 的方程.

（2）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f .

【答案】（１）142

2=+y x （２）5

2104)(2t t f -=)55(<<-t

【解析】（1） 2

3

122=-==a b a c e ①，右顶点到左焦点的距离为32+，则

23+=+c a ②，联立①②解得1,3,2===b c a ，椭圆方程为14

22

=+y x .

（2）联立??

?=++=4

42

2y x t

x y 消去y 得044852

2=-++t tx x ，因为直线与椭圆有两个交点，所

以0)44(20642

2

>--=?t t 解得55<<-t 设),(),,(2211y x B y x A ，则a

ac

b k

y y x x AB 41)()(22

221221-+=-+-=

代入数据得521045168022

2t t AB -=-?=)55(<<-t

所以5

2104)(2

t t f -=)55(<<-t

2.已知直线3:=+y x l ，点P 为椭圆12

:22

=+y x M 上的一动点，则P 到直线l 的距离的最

大值和最小值分别为（ ） .

A 0,233+ .

B 2

3

3,

233-+ .C 13,13-+ .D 0,13+ 【答案】Ｂ．

【解析】设点)sin ,cos 2(θθP ，则2

3

)sin(32

3

sin cos 2-+=

-+=

?θθθd

当1)sin(-=+?θ时，233max +=d ；当1)sin(=+?θ时，2

3

3min -=d ，选.B

3. M 是椭圆22

194

x y +=不在坐标轴上的点，

12,F F 是它的两个焦点，I 是12MF F ?的内心，MI 的延长线交12F F 于N ，则

MI NI

= .

【解析】法一：如图,过M 作x 轴的垂线，垂足为G ,过I 作

x 轴的垂线，垂足为H ，在21F MF ?中 I F F I MF I MF F MF S S S S 212121????++=则

)(2

21

212121F F MF MF IH MG F F ++=代入数据得IH c a MG c )(+= 所以

11MG

IH e =+，又MNG INH ???,则1

11MG MN MI IN MI IH IN IN IN e

+===+=+

所以

1MI NI

e ==

. 法二：解法二：因为I 是12MF F ?的内心，所以2IF 平分N MF 2∠,MN 平分21MF F ∠,由角平分线定理，则

==IN MI N F M F 22N F MF N F MF 1122=,又由等比定理，则5

3

1222121=

==++=e c a N F N F MF MF IN MI . 4. P 为椭圆22

221x y b a

+=上一点，B 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，若0OP BP ?=uu u r uu r ,

则椭

圆离心率的取值范围为 .

【答案】2

e ∈ 【解析】依据题意0OP BP ?=uu u r uu r

，则90OPB ∠=?，如图

则P 点的轨迹是以OB a =为直径，(0,)2

a 为圆心的圆

222()()22

a a

x y +-= (1)

又因为P 点在椭圆上，则

22

22

1x y b a +=……………………（2） 联立（1）（2）消掉x 得

222

20c y ay b a

-+=

22

2240c a b a ?=-??>，且(0,1)e ∈，解得(2

e ∈

5.已知P 是椭圆19

422=+y x 上的一点（非顶点）

，过点P 作圆12

2=+y x 的两条切线，切点分别为B A ,，直线AB 分别与x 轴，y 轴交于N M ,两点. （1）证明：B A O P ,,,四点共圆.（其中O 为坐标原点） （2）求MN 的最小值.

【答案】（１）答案见解析（２）

5

6

【解析】如图)6(C .(1)证明：因为PB PA ,都与圆12

2

=+y x 相切，B A ,是切点，则

OB PB OA PA ⊥⊥,,即?=∠=∠90PBO PAO ,所以B A O P ,,,四点共圆.

（2）B A O P ,,,四点共圆，直径为PO ，设),(00y x P ，则圆心为)

2,2(

0y x ，圆的方程为

22

220000

()()224

x y x y x y +-+-=……………………①

221x y +=……………………②

①-②整理得100=+y y x x ，直线AB 的方程为100=+y y x x 因为直线AB 与y 轴交点分别为N M ,，则0

1y y M =

，0

1x x N =

MN ==

，又),(00y x P 在椭圆上，则2200

149

x y += 36

25

623613943613)94)(11(1)11(202

02020202020202020=+≥++=++=?+x y y x y x y x y x 6

5

3625112020=≥+=

y x MN ，所以6

5

min

=

MN . 6. 已知，椭圆C 以过点A （1，3

2

），两个焦点为（－1，0）（1，0）.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.

【答案】（1）22143

x y +=（2）1

2

【解析】（1）由题意，c ＝1,可设椭圆方程为22

2

2114x y b b

+=+. 因为A 在椭圆上，所以22

19114b b +=+，解得2b ＝3，2

b ＝34

-（舍去）. 所以椭圆方程为 22

143

x y +=．

（2）设直线ＡＥ方程：得3

(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得

2223

3+4+4(32)4()1202

k x k k x k -+--=（）

设Ｅ（E x ，E y ），Ｆ（F x ，F y ）．因为点Ａ（1，3

2

）在椭圆上，所以

22

3

4()12

2

34E k x k --=+，

3

2

E E y kx k =+

-. 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，可得

22

3

4()12

234F k x k

+-=+， 3

2

F F y kx k =-+

+. 所以直线EF 的斜率()212

F E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--.

即直线EF 的斜率为定值，其值为1

2

.