江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编20：函数的最值与导数
江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编20：函数的最值与导数
一、填空题
错误！未指定书签。 ．（江苏省阜宁中学2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）若不等式3
ln 1
mx x -≥对(]0,1x ?∈恒成立,则实数m 的取值范围是_______.
【答案】2
[,)3
e +∞
错误！未指定书签。 ．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知函数
()133+-=x x x f ,()m x g x -=)2
1
(,若对1[1,3]x ?∈-,2[0,2]x ?∈,12()()f x g x ≥,则实数m 的取值
范围是______.
【答案】4
5≥
m 错误！未指定书签。 ．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）函数x x x f ln )(=在
区间)0](1,1[>+t t 上的最小值为_________.
【答案】0 二、解答题
错误！未指定书签。 ．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）(本题满分16分,第1小题 ,
第2小题4分,第3小题8分)
已知函数()()3
2
3,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()
1,1f 处的切线方程为20y +=.
⑴求函数()f x 的解析式;
⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤,求实数c 的最小值; ⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围.
【答案】(本题满分16分,第1小题 ,第2小题4分,第3小题8分)
解:⑴()2
323f x ax bx '=+-
根据题意,得()()12,10,
f f =-???
'=??即32,
3230,a b a b +-=-??+-=?解得10a b =??=?
所以()3
3f x x x =-
⑵令()0f x '=,即2
330x -=.得1x =±.
因为()12f -=,()12f =-,
所以当[]2,2x ∈-时,()max 2f x =,()min 2f x =- 则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ,都有
()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=,所以4c ≥.
所以c 的最小值为4
⑶因为点()()2,2M m m ≠不在曲线()y f x =上,所以可设切点为()00,x y . 则3
0003y x x =-.
因为()2
0033f x x '=-,所以切线的斜率为2
033x -
则20
33x -=300032
x x m
x ---,
即32
002660x x m -++=.
因为过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线, 所以方程3
2
002660x x m -++=有三个不同的实数解. 所以函数()3
2
266g x x x m =-++有三个不同的零点.
则()2
612g x x x '=-.令()
0g x '=,则0x =或2x =.
则
()
()
00
20
g
g
>
??
?
<
??
,即
60
20
m
m
+>
?
?
-+<
?
,解得62
m
-<<
错误！未指定书签。．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1﹣ax2(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M.N,交曲线于点P,设P(t,f(t)).
(1)将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t);
(2)若在t=处,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值
.
【答案】解:(1)∵曲线f(x)=1﹣ax2(a>0)
可得f′(x)=﹣2ax,P(t,f(t)).
直线MN的斜率为:k=f′(t)=﹣2at,可得
L MN:y﹣f(t)=k(x﹣t)=﹣2at(x﹣t),
令y=0,可得x M =t+,可得M(t+,0);
令x=0,可得y M=1+at2,可得N(0,1+at2),
∴S(t)=S△OMN =×(1+at2)×=;
(2)t=时,S(t)取得最小值,
S′(t)==,
∴S′()=0,可得12a2×﹣4a=0,可得a=,
此时可得S(t)的最小值为S()===;
错误！未指定书签。．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知函数()3x
f x e a
=+( 2.71828
e=是自然对数的底数)的最小值为3.
⑴ 求实数a的值;
⑵ 已知b R ∈且0x <,试解关于x 的不等式()2
2
ln ln 3(21)3f x x b x b -<+--;
⑶ 已知m Z ∈且1m >.若存在实数[1,)t ∈-+∞,使得对任意的[1,]x m ∈,都有()3f x t ex +≤,试求
m 的最大值.
【答案】解:(1)因为R x ∈,所以0x ≥,故0
()3e 3e 3x
f x a a a =+≥+=+,
因为函数()f x 的最小值为3,所以0a = (2)由(1)得,()3e x
f x =.
当0x <时,ln ()ln(3e )ln 3ln e ln 3ln 3x
x
f x x x ==+=+=-+, 故不等式2
2
ln ()ln 3(21)3f x x b x b
-<+--可化为:2
2
(21)3x x b x b
-<+--,即
22230x bx b +->,
得(3)()0x b x b +->,
所以,当0b ≥时,不等式的解为3x b <-;当0b <时,不等式的解为x b < (3)∵当[1,)t ∈-+∞且[1,]x m ∈时,0x t +≥, ∴()3e 1ln x t
f x t x e
ex t x x ++≤?≤?≤+-.
∴原命题等价转化为:存在实数[1,)t ∈-+∞,使得不等式1ln t x x ≤+-对任意[1,]x m ∈恒成立 令()1ln (0)h x x x x =+->.∵011
)('
≤-=
x
x h ,∴函数()h x 在(0,)+∞为减函数. 又∵[1,]x m ∈,∴m m m h x h -+==ln 1)()(m in ∴要使得对[1,]x m ∈,t 值恒存在,只须1ln 1m m +-≥- ∵131(3)ln 32ln()ln
1h e e e =-=?>=-,2141
(4)ln 43ln()ln 1h e e e
=-=?<=- 且函数()h x 在(0,)+∞为减函数, ∴满足条件的最大整数m 的值为3
错误！未指定书签。 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）如图,某自
来水公司要在公路两侧排水管,公路为东西方向,在路北侧沿直线排1l ,在路南侧沿直线排2l ,现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通.已知AB = 60m ,BC = 603m ,公路两侧排管费用为每米1万元,穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元,设EF 与AB 所成角为α.矩形区域内的排管费用为W .
(1)求W 关于α的函数关系式; (2)求W 的最小值及相应的角α.
l 2
l 1
【答案】解:(1)如图,过E 作EM BC ⊥,垂足为M ,由题意得)3
0(π
αα≤
≤=∠MEF ,
故有60tan MF α=,60
cos EF α
=, αtan 60360-=+FC AE , 所以W=α
αααcos 2
sin 60
3602cos 601)tan 60360(--=?+?-? (2)设sin 2()cos f ααα-=,)3
0(π
α≤≤
则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f ααααα
ααα
----'==
. 令()0f α'=得12sin 0α-=,即1sin 2
α=,得6π
α=.
列表
所以当6
α=
时有max ()f α=,此时有.3120m in =W
答:排管的最小费用为3120万元,相应的角6
π
α=
.
错误！未指定书签。 ．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）(本题满分16分)
已知函数)()(2
3R a ax x x f ∈-=. (Ⅰ)若3)1('=f ,
(i)求曲线)(x f y =在点())1(,1f 处的切线方程, (ii)求)(x f 在区间]2,0[上的最大值;
(Ⅱ)若当]2,0[∈x 时,0)(≥+x x f 恒成立,求实数a 的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(i)f '(x) = 3x 2
–2ax,f '(1) = 3–2a = 3,∴a = 0,∴y=x 3
f(1)=1,f ' (x) = 3x 2
,f ' (1) = 3,∴切点(1,1),斜率为3,y = 3x –2
(ii)f(x) = x 3,f ' (x) = 3x 2
≥0,∴f(x)在[0,2],∴f(x)最大值=f(2)=8
(Ⅱ)x 3
–ax 2
+x≥0对x∈[0,2]恒成立,∴ax 2
≤x 3
+x 当x = 0时成立 当x∈(0,2]时a≤x+x 1,∵x+x
1
≥2,在x=1处取最小值 ∴a≤2
错误！未指定书签。 ．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）已知1ln ()x
f x x
+=
. (Ⅰ)若函数()f x 在区间(,1)a a +上有极值,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)若关于x 的方程2()2f x x x k =-+有实数解,求实数k 的取值范围; (Ⅲ)当*n N ∈,2n ≥时,求证:111
()2231
nf n n <+
++???+
-.
2013~2014学年度第一学期期中考
【答案】解:(Ⅰ)1ln ()x f x x
+= ,∴22
1
(1ln )
ln ()x x x x f x x x ?-+'∴==- ∴当(0,1)x ∈时,()0f x '>;当(1,)x ∈+∞时,()0f x '<; ∴函数()f x 在区间(0,1)上为增函数;在区间(1,)+∞为减函数
∴当1x =时,函数()f x 取得极大值,而函数()f x 在区间(,1)a a +有极值.
∴1
11
a a
+>?,解得01a <<
(Ⅱ)由(Ⅰ)得()f x 的极大值为(1)1f =,令2
()2g x x x k =-+,所以当1x =时,函数
()g x 取得最小值(1)1g k =-,又因为方程2()2f x x x k =-+有实数解,那么11k -≤,
即2k ≤,所以实数k 的取值范围是:2k ≤ (Ⅲ) 函数()f x 在区间(1,)+∞为减函数,而1
11(*,2)n N n n
+
>∈≥, ∴1
(1)(1)1f f n ∴+<=∴
111ln(1)1n n ∴++<+,即1
ln(1)ln n n n
+-< ln ln 2ln1ln 3ln 2ln ln(1)n n n ∴=-+-+???+--111
1231
n <+
++???+
- 即111
1ln 2231n n +<+
++???+
-,而()1ln n f n n ?=+, ∴111
()2231
nf n n ∴<+++???+
-结论成立 错误！未指定书签。．（江苏省泗阳中学2014届高三第一次检测数学试题）设函数f (x )=ax 3
+bx +c (a ≠0)为奇
函数,其图象在点(1,f (1))处的切线与直线x -6y -7=0垂直,导函数f ′(x )的最小值为-12.
(1)求a ,b ,c 的值;(2)求函数f (x )的单调区间,并求函数f (x )在[-1,3]上的最大值和最小值.
【答案】解: (1)∵f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x )即-ax 3-bx +c =-ax 3
-bx -c ,∴c =0, ∵f ′(x )=3ax 2+b 的最小值为-12,∴b =-12,又直线x -6y -7=0的斜率为1
6,
因此,f ′(1)=3a +b =-6,∴a =2,b =-12,c =0.
(2)单调递增区间是(-∞,-2)和(2,+∞) ,单调递减区间是(-2 ,2). f (x )在[-1,3]上的最大值是18,最小值是-82.
错误！未指定书签。．（江苏省阜宁中学2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）已知函数
()()1ln 10a f x x ax a x
-=-+->.
(1)设01a <<,试讨论()f x 单调性;
(2)设()224g x x bx =-+,当1a =时,若()10,2x ?∈,存在[]21,2x ∈,使()()12f x g x ≥,求实数b 的取
值范围. 【答案】
错误！未指定书签。．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三第二次调研数学试题）已知函数
2()ln ,a
f x x a x
=+
∈R . (1)若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数,求实数a 的取值范围; (2)若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3,求实数a 的值.
【答案】(1)∵2()ln a f x x x =+,∴212()a
f x x x '=-.
∵()f x 在[2,)+∞上是增函数,
∴212()a f x x x
'=
-≥0在[2,)+∞上恒成立,即a ≤2x
在[2,)+∞上恒成立.
令()2x
g x =,则a ≤[]min (),[2,)g x x ∈+∞.
∵()2
x
g x =在[2,)+∞上是增函数,∴[]min ()(2)1g x g ==.∴a ≤1.所以实数a 的取值范围为
(,1]-∞.
(2)由(1)得2
2()x a
f x x
-'=
,[1,]x e ∈. ①若21a <,则20x a ->,即()0f x '>在[1,]e 上恒成立,此时()f x 在[1,]e 上是增函数. 所以()min (1)23f x f a ===????,解得3
2
a =
(舍去). ②若12a e ≤≤,令()0f x '=,得2x a =.当12x a <<时,()0f x '<,所以()f x 在(1,2)a 上是减函
数,当2a x e <<时,()0f x '>,所以()f x 在(2,)a e 上是增函数. 所以()()min
2ln(2)13f x f a a ==+=????,解得2
2
e a =(舍去).
③若2a e >,则20x a -<,即()0f x '<在[1,]e 上恒成立,此时()f x 在[1,]e 上是减函数. 所以()()min 213a
f x f e e
==+
=????,所以a e =. 错误！未指定书签。．（江苏省启东市2014届高三上学期第一次检测数学试题）已知函数
d cx bx x x f +++=
23
3
1)(,设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ,)(x f y '=为)(x f 的导函数,满足)()2(x f x f '=-'.
(1)求)(x f ; (2)设)()(x f x
x g '=,m >0,求函数)(x g 在[0,m ]上的最大值;
(3)设)(ln )(x f x h '=,若对于一切]1,0[∈x ,不等式）22()1(+<-+x h t x h 恒成立,求实数t 的取值范围.
【答案】(1)c bx x x f ++='2)(2
,
∵)()2(x f x f '=-',∴函数)(x f 的图象关于直线x =1对称b =-1, ∵曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ,∴切点为(3,0),
∴???='=4
)3(0)3(f f ,解得c =1,d =-3,则331)(23-+-=x x x x f
(2)∵2
2
)1(12)(-=+-='x bx x x f ,
2
∴?
??<-≥-=-=1
1|1|)(2
2x x x x x
x x x x g
当0 2 1时,2 )(max )(m m m g x g -== 当 21 2 21+时,m m m g x g -==2 )(max )(, 综上??? ? ?? ???+>-+≤<≤<-=) 221() 22121(41 )210(max )(22 m m m m m m m x g (3)|1|ln 2)(-=x x h ,||ln 2)1(t x t x h -=-+,|12|ln 2)22(+=+x x h 当]1,0[∈x 时,|2x +1|=2x +1,所以不等式等价于12||0+<- 由]1,0[∈x ,得]1,2[1--∈--x ,]4,1[13∈+x ,所以11<<-t , 又x ≠t ,∵ ]1,0[?t ,∴所求的实数t 的的取值范围是01<<-t 错误！未指定书签。．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）设函数f (x )=ax 3 -(a +b )x 2 +bx +c , 其中a >0,b ,c ∈R. (1)若1 ()3 f '=0,求函数f (x )的单调增区间; (2)求证:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''.(注:max{a ,b }表示a ,b 中的最大值) 【答案】解:(1)由1 ()3 f '=0,得a =b 故f (x )= ax 3-2ax 2 +ax +c . 由()f x '=a (3x 2 -4x +1)=0,得x 1=13 ,x 2=1 列表 由表可得,函数f (x )的单调增区间是(-∞,1 3)及(1,+∞) (2)()f x '=3ax 2 -2(a +b )x +b =3222()33a b a b ab a x a a ++--- . ①当 1,033a b a b a a ++≥或≤时,则()f x '在[0,1]上是单调函数, 所以(1)f '≤()f x '≤(0)f ',或(0)f '≤()f x '≤(1)f ',且(0)f '+(1)f '=a >0. 所以|()f x '|≤max{(0),(1)}f f '' ②当013a b a +＜＜,即-a ≤()f x '≤max{(0),(1)}f f ''. (i) 当-a 2a 时,则0 a . 所以 (1)f '223a b ab a +--=22223a b ab a --=223()3a a b a -+≥21 4 a >0. 所以 |()f x '|≤max{(0),(1)}f f '' (ii) 当 2a 2 ab <0. 所以2 2 3a b ab b a +--=2 2 43ab a b a -->22 5 23ab a b a -->0,即(0)f '>223a b ab a +-. 所以 |()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''. 综上所述:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤max{(0),(1)}f f '' 错误！未指定书签。．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）已知图形OAPBCD 是由不 等式组2 00ln x e y e y x ?≤≤?≤≤??≥? ,围成的图形,其中曲线段APB 的方程为2 ln (1)y x x e =≤≤,P 为曲线上的任一 点. (1)证明:直线OC 与曲线段相切; (2)若过P 点作曲线的切线交图形的边界于,M N ,求图形被切线所截得的左上部分的面积的最小值 . 【答案】 错误！未指定书签。．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）〔本小题满分16分) 已知函数2 ()(f x ax lnx a =-为常数). (1)当1 2 a = 时,求f(x)的单调递减区间; (2)若a<0,且对任意的.x ∈[1,e].,f(x)≥(a -2)x 恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】 错误！未指定书签。．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点,O 为坐标原点,记直线OP 的斜率()k f x =. (1)若函数()f x 在区间1,3m m ? ? + ??? ()0m >上存在极值,求实数m 的取值范围; (2)当 1x ≥时,不等式()1 t f x x ≥ +恒成立,求实数t 的取值范围; (3)求证: ()* 1 ln[(1)]2n i i i n n N =?+>-∈∑. 【答案】解:(1)由题意()1ln x k f x x +==,0x >,所以()2 1ln ln x x f x x x '+??'==- ??? 当01x <<时,()0f x '>;当1x >时,()0 f x '<. 所以 () f x 在 ()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减,故()f x 在1x =处取得极大值. 因为函数()f x 在区间 1,3m m ? ?+ ???(其中0m >)上存在极值, 所以01 113m m < ?+>??,得213m <<.即实数m 的取值范围是213?? ???， (2)由 ()1t f x x ≥ +得()()11ln x x t x ++≤,令() ()()11ln x x g x x ++=, 则 ()2ln x x g x x -'= 令 ()ln h x x x =-,则 ()111=x h x x x -'=- , 因为1,x ≥所以()0 h x '≥,故 () h x 在 [)1+∞， 上单调递增 所以 ()()110 h x h ≥=>,从而 ()0g x '>, () g x 在 [)1+∞， 上单调递增, ()()12g x g ≥= 所以实数t 的取值范围是 (],2-∞ (3)由(2) 知 ()2 1f x x ≥ +恒成立, 即 1ln 2122 ln 11111x x x x x x x x +-≥?≥=->-+++ 令 ()1, x n n =+则 ()() 2 ln[1]11n n n n +>- +, 所以()2ln 12112?>-?, ()2ln 23123?>-?,,()()2ln 111n n n n +>-+. 将以上n 个式子相加得: ()1111ln[(i 1)]212231n i i n n n =?? +>-++???+????+??∑ 1212 1n n n ? ?=-->- ?+??, 故 () * 1 ln[(i 1)]2n i i n n N =+>-∈∑ 错误！未指定书签。．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三第二次调研数学试题）已知 )0()(>-=a x a x x f ,bx x x g +=ln 2)(,且直线22-=x y 与曲线)(x g y =相切. (1)若对),1[+∞内的一切实数x ,不等式)()(x g x f ≥恒成立,求实数a 的取值范围; (2)当1=a 时,求最大的正整数k ,使得对]3,[e ( 2.71828e =???是自然对数的底数)内的任意k 个实数k x x x ,,,21 都有)(16)()()(121k k x g x f x f x f ≤+++- 成立; (3)求证: )12ln(1 4412 +>-∑=n i i n i )(* N n ∈. 【答案】解:(1)设点),(00y x 为直线22-=x y 与曲线)(x g y =的切点,则有 22ln 2000-=+x bx x . (*) b x x g += '2 )( ,220=+∴b x . (**) 由(*)、(**)两式,解得0=b ,x x g ln 2)(=. 由)()(x g x f ≥整理,得 x x x a ln 2-≤, 1≥x ,∴要使不等式)()(x g x f ≥恒成立,必须x x x a ln 22-≤恒成立. 设x x x x h ln 2)(2 -=,2ln 22)1(ln 22)(--=?+-='x x x x x x x h , x x h 2 2)(- ='' ,∴当1≥x 时,0)(≥''x h ,则)(x h '是增函数, 0)1()(='≥'∴h x h ,)(x h 是增函数,1)1()(=≥h x h ,1≤a .