弹塑性力学3弹性力学解题方法

由于薄板厚度很小，应力
体积力为零或为常量
(1
) 2
x
2 x 2
0
(1
) 2
x
2 x 2
0
(1
) 2
x
2 x 2
0
(1
Байду номын сангаас
)2 xy
2 xy
0
(1
) 2
yz
2 yz
0
(1
)2 zx
2 xz
0
2Θ 0 推导参照教材
应力第一不变量Θ是调和函数
左式两边分别作Laplace运算
22 x 0 22 y 0
22 xy 0 22 yz 0
q
解：
由于载荷和弹性体
h
对z轴对称，并且为 半空间体
可以假设 u 0, v 0 w w(z)
体积应变 u v w dw
x y z dz
2w
(
2 x2
2 y 2
2 z 2
)w
d 2w dz 2
代入Lamé位移方程
(
2G)
d 2w dz 2
g
0
d 2w dz 2
g
2G
w 1 2 gz2 Az B 4(1 )G
zx
G
z
1 E
[ z
( x
y )]
yz
yz
G
各向同性体的胡克定律还可以用应变表示应力。
x 2G x y 2G y z 2G z
xy G xy yz G yz zx G zx
E
(1 )(1 2)
Lamé弹性常数
3-1 按位移求解弹性力学问题
弹性力学的一般问题中，共包含15个未知函数， 将用15方程来求解。 对于各向同性的弹性体：
变形协调
方程
消去应变
物理方程
2 x 2 y ( 2 2 ) 2 2 xy
y2 x2 1 x2 y2
xy
2 y
z 2
2 z
y 2
1
2 ( z2
2 y2 )
2 2 yz
yz
2 z
x 2
2 x
z 2
1
2 ( x2
2 z2 )
2 2 xz
xz
2 x 2 ( zx xy yz ) yz 1 yz x y z x
1
( fx x
f y y
f z z
)
2 x
1
1
2 x 2
2
f x x
1
( fx x
f y y
f z z
)
2 xy
1
1
2 xy
f x y
f y x
x y z
2 yz
1
1
2 yz
f y z
f z y
2 2 2 2 x2 y 2 z 2
2 zx
1
1
2 xz
f x z
f z x
相容方程
3-3 平面问题和应力函数
❖ 平面问题
平面问题的分类： ①平面应力问题 ②平面应变问题
平面应力问题
构件几何形状特征：薄板
y
外力:平行于中面，沿厚度均匀
y
分布，表面不受外力作用。
x
zo
z
中面
z 0, yz 0, xz 0
表面面力边界条件： z zh 0
2
xz z h 0, 2
yz zh 0 2
22 z 0 22 zx 0
应力分量是双调和函数
按应力求解弹性力学问题 优点：边界条件比较简单，并且得到的应力表达式 在大多数具体问题中比位移表达式简单。 缺点：未知函数较多，所要求解的二阶偏微分方程 比较复杂。
按应力求解比按位移求解一般来说容易些。 但就解决弹性体问题的普遍性而言，按位移求解更 具有普遍性。 对于实际问题，适当的选择求解方法。
平衡方程
改变形式
2 y 2 ( xy yz zx ) zx 1 zx y z x y 2 z 2 ( xz yz xy ) xy 1 xy z y x z
2 x
1
1
2 x 2
2
f x x
1
( fx x
f y y
f z z
)
2 x
1
1
2 x 2
2
f x x
3个平衡微分方程； 6个几何方程（微分方程）； 6个物理方程（广义胡克定律）。 边界条件（与上述方程组成封闭的定解问题）
弹性力学问题解法的分类：
取位移作为基本未知量。 取应力作为基本未知量。
——位移法 ——应力法
按位移求解弹性力学问题时，取u,v,w作为基本未知量。
几何方程 物理方程
消去应变
x
2G
2(1 )G 4(1 )G
位移分量
u 0, v 0
w 1 2 [g(h2 z2 ) 2q(h z)] 4(1 )G
应力分量
x
y
1 2
(q
gz)
z (q gz), xy yz zx 0
3-2 按应力求解弹性力学问题
按应力求解弹性力学问题时，取6个应力分量作为
基本未知量。
消去 应力
x
2G
u x
xy
G( v x
u y
)
y
2G
v y
yz
G( w y
v ) z
z
2G
w z
zx
G( u z
w ) x
l(
2G
u x
)
mG( v x
u y
)
nG( w x
u z
)
Fx
lG( u y
v x
)
m(
2G
v y
)
nG( w y
v z
)
Fy
lG( u z
w ) x
mG( v z
w ) y
u x
xy
G( v x
u y
)
y
2G
v y
yz
G( w y
v ) z
z
2G
w z
zx
G( u z
w ) x
平衡方程 消去应力
Lamé位移方程
G
E
G G
(1 )(1 2)
1 2
(
G)
x
G2u
fx
0
(
G)
y
G2v
fy
0
(
G)
z
G2w
fz
0
力的边界条件
l x m yx n zx Fx l yx m y n yz Fy l zx m zy n z Fz
力的边界条件 l m 0, n 1 Fx Fy 0, Fz q
(
dw dz
2G
dw dz )z0
q
dw ( dz )z0
1 2 2(1 )G
q
[ 1 2 2(1 )G
gz
A]z0
1 2 2(1 )G
q
A 1 2 q 2(1 )G
位移边界条件
(w)zh 0 B 1 2 qh 1 2 gh2
第3章 弹性力学解题方法
按位移求解弹性力学问题 按应力求解弹性力学问题 平面问题和应力函数 半逆解法
广义胡克定律
1678年，R. Hooke发表了固体受力后应力和应变关 系的定律—胡克定律。“有多大伸长，就有多大力”
x
x
E
y z
EE
1 E
[
x
(
y
z
)]
y
1 E
[ y
( x
z )]
xy
xy
G
zx
n(
2G
w ) z
Fz
按位移求解弹性力学问题 优点：未知函数的个数比较少，即仅有三个未知量 u,v,w。 缺点：必须求解三个联立的二阶偏微分方程。
按位移求解问题是普遍适用的方法，特别是在数值 解中得到了广泛的应用，例如在有限元法，差分法 等数值计算方法中，得到了很好的应用。
例1
设有半空间体，单位体积的质量为ρ，在水平边界 上受均布压力q的作用，试用位移法求各位移分量 和应力分量，假设在z=h处z方向的位移w=0。