[物理]分析力学基础

x R sin j cosq y R sin j sin q Z R cosq
一般地，设有由 n 个质点组成的非自由质点系的
位置可由 N 个广义坐标
q1 , q2 ,, qN来确定，则
质点系内各质点的坐标可表为广义坐标的函数，即
或写为：ri ri q1 , q2 ,, q N , t
ri ri qk k 1 qk
N
或
二、以广义坐标表示的质点系平衡条件
在虚位移原理中，以质点直角坐标的变分表示 虚位移。这些虚位移通常不独立，需要建立虚位移 之间的关系。若直接用广义坐标变分来表示虚位移， 广义虚位移之间相互独立，虚位移原理可表示为简 洁形式。为此将广义虚位移代入虚功方程
此时虚功方程中的各力投影都可以写成势能V表 达的形式，即
V V V Fxi ， Fyi ， Fzi xi yi zi
WF ( Fxixi Fyiyi Fzi zi )
V V V ( xi yi zi ) V xi yi zi
z
M
y
z
j
R
M
y
x
z R (x y )
2 2 2
x
q
若质点 M 限定在半球面上运动，球半径为R。是 具有1个质点的空间质点系，有1个约束方程：
n 1, s 1
自由度数为：
N 3n s 3 1 2
通常用 2 个独立参数 j 和 q 表示。
z
j
R
M
y
x
q
质点 M 的空间坐标可用广义坐标表示为：
xi yi zi Qk ( Fxi Fyi Fzi ) qk qk qk V xi V yi V zi ( ) xi qk yi qk zi qk V qk (k 1， 2， ，N )
这样，由广义坐标表示的平衡条件可写成如下形式
W F δW Fi Fi δr
n n i 1 n i 1
( Fxi δx i Fyi δyi Fzi δz i )
i 1
得
N N N xi yi zi WF Fxi q qk Fyi q qk Fzi q qk i 1 k 1 k 1 k 1 k k k N n xi yi zi ( Fxi Fyi Fzi )qk 0 qk qk qk k 1 i 1 n
之间的关系。
解：系统有两个自由度
现选择 j1和 j 2 为系统的 两个广义坐标,现计算其 对应的广义力 Q1 Q2
令
xi yi zi Qk ( Fxi Fyi Fzi ) (k 1,, N ) qk qk qk i 1
n
则有 WF Qkqk 0
k 1
源自文库
N
与广义坐标qk对 应的广义力，量 纲可为力或力矩。
虚功方程（用广义力和广义坐标表示）
WF Qk qk 0
于是，虚位移原理的表达式成为
V 0
上式说明，在势力场中，具有理想约束的质点系的平 衡条件为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。 如果用广义坐标 q1，q2， ，qN 表示质点系的位置, 则质点系的势能可以写成广义坐标的函数，即
V V q1，q2， ，qN
根据广义力表达式，在势力场中可将广义力 QN 写成 用势能表达的形式，即
n
(2) 利用广义虚位移的任意性：令某一个 qk不等于零 而其他 k-1 个广义虚位移都等于零，由虚功方程得
WF Qkqk
WF Qk qk
如果质点系在势力场中，则作用在质点系上主动 力都是有势力，势能应为各质点坐标的函数，记为
V V x1，y1，z1， ，xn，yn，zn
分析力学基础
一、自由度和广义坐标
1、自由度——确定物体空间位置的独立坐标数目。
在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参
数的数目等于系统的自由度数。
若具有n个质点的质点系，有s 个完整约束方程： 则：n个质点的质点系总自由度数为：
N 3n s
2、广义坐标——描述质点系在空间中位置的独立
参数；可为线位移也可为角位移。 对于完整系统，广义坐标数目等于自由度数目。
3、用广义坐标表示虚位移——广义虚位移
ri ri q1 , q2 ,, qN , t i 1,2, ,n
N xi δq k δx i k 1 q k N yi δq k δy i k 1 qk N zi δq k δz i k 1 q k
V Qk 0 (k 1， 2， ，N ) qk
在势力场中具有理想约束的质点系的平衡条件 是势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。
杆OA和AB以铰链相 连，O端悬挂于圆柱铰链
上，杆长OA=a ， AB=b
。杆重和铰链的摩擦都忽
略不计。今在点A和B分
别作用向下的铅锤力 FA 和 FB ，又在点B作用一 水平力 F 。试求平衡时 j1，j 2 与 F ，FA，FB
k 1
N
由于广义坐标的独立性，q 可以取任意值，因此上
k
式若要成立，必须有
Q1 Q2 QN 0
上式表明： 质点系的平衡条件是系统的广义力都等于零。
求广义力的两种方法
(1) 直接按定义式计算
xi yi zi Qk ( Fxi Fyi Fzi ) qk qk qk i 1
述了质点系的几何约束方程。
xi xi q1 , q2 ,, q N , t yi yi q1 , q2 ,, q N , t i 1,2,, n zi zi q1 , q2 , , q N , t
一旦确定了质点系的广义坐标，则也隐含地描