2022-2023学年重庆市涪陵高级中学数学高一上期末综合测试试题含解析
重庆市涪陵实验中学校高级上学期数学期末考试卷人教版
重庆市涪陵实验中学校高级上学期数学期末考试卷人教版时间： 120 分钟满分： 150 分第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一、选择题： （每题 5 分，共 60 分）1．已知会合 U=R ， P={1 ，2， 3， 4} ，Q={ x | 2x 2}, 则= （ ）A ． {1}B ． {1 ，2}C ． {3 ，4}D ．{2， 3，4}2．若实数 a ， b ， c 成等比数列，那么对于x 的方程 ax 2 bxc 0 （）A ．有两个相等实根B ．有两个不等实根C ．没有实根D ．起码有一个实根3．a 、b 为实数，会合 M{ b,1}, N { a,0}, f : x x 表示把会合 M 中的元素 x 映照到会合 N中仍为 x ，则 a +b 等于 a（ ）A ．－ 1B ． 0C ． 1D ．± 14．已知 p 是 r 的充足条件， r 是 s 的充足不用要条件， q 是 s 的充要条件， 那么 p 是 q 建立的（）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件 5．若 a >0， a1, 函数 y2 log a ( x 2) 反函数的图象必过定点P ，则 P 点坐标为（ ）A ．（－ 1， 2）B ．（ 2，－ 1）C ．（ 3，－ 2）D ．（－ 2， 3）6．等比数列 { a n } 的各项为正数， a 54a 3 ,则a 3a 4的值为（）a 4 a 5A ．1B ．1C ． 2D ．14227．将含有 k 项的等差数列插入 4 和 67 之间，仍组成一个等差数列，且新等差数列的全部项之和等于 781，则 k 值为（）A ． 20B ． 21C ． 22D ． 238．数列 { a n } 中， 2a n 1a n 2 a n (n N ), a 4 a 8 30,a 6 的值是（）A ． 30B ． 60C ． 10D ． 159．数列 { a n } 、 { b n } a n b n1, a nn 2 3n 2 ，则数列 { b n } 的前 10 项和为（）A ．1B ．5C ．1D ．73 122 1210．数列 { a n } 中， S n 是其前 n 项和， a 1=1， a n 13S n (n 1), 则数列 { a n } 是（）A ．等差数列B ．等比数列C ．常数列D ．既不是等差数列又不是等比数列11．定义运算 aba(a b),则函数 f (x) 1 2x 的图象是 （）b(ab)12．命题 p ：函数y log 2 ( x 2ax a) 的值域为 ，则－a ；R4< <0命题 q ：函数 y| x 1| 2 的定义域为 { x | x1或x3} ，则（）A ．“ p 或 q ”为假B ．“ p 且 q ”为真C ． p 真 q 假D ． p 假 q 真第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题 4 分，共 16 分）13．若f (2x 1)3x1,则 f 1 (3) ________ .214．若 m 是 m+n 与 n 的等差中项， n 是 m 与 mn 的等比中项，则 log m n ________ .15．函数f ( ) lg( 6 x x 2 )的单一增区间是.x16、设函数f xx x bx c 给出以下命题：① c 0 时，恒有 fxf x 建立② b0, c 0 时，方程 f x0 只有一个实数根③ y f x 的图象对于 y 轴对称④方程 f x 0 至多有两个实根此中正确命题的序号为三、解答题（共 74 分）17．（ 13 分）解不等式： log 1 2x 12log 1 x 13318．（ 13 分）已知 f ( x 1)x 22x, 等差数列 { a n } 中， a 1 f ( x 1),a 21, a 3 f ( x)2（ 1）求 x 的值；（ 2）求数列 { a n } 的通项公式。
重庆市涪陵区涪陵高中2022年数学高一上期末预测试题含解析
（2）利用三角函数的图象和性质，结合不等式逐步求出函数的最值即得证.
【小问1详解】
解：由题得 .
【小问2详解】
证明： ，
因为 ，
，
，
所以当 时 .
即得证.
19、（1）当 时， ；当 时， ； ；（2）安排18位工人制作画册，32位工人制作书刊，完成订单所需时间最短.
【解析】（1）由题意得 ， ，利用作差法可比较出 与 的大小，然后可得 的表达式；
①若 ， ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， ， ，则 ；
④若 ， ，则
其中正确命题的序号是
A.①③B.①④
C.②③D.②④
6．已知向量 ，向量 ，则 的最大值，最小值分别是（）
A. ，0B.4，
C.16，0D.4，0
7．“ 是第一象限角”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【详解】依题意 ，
，
所以 ， ，
由于 ，所以 .
故选：D
3、B
【解析】由已知及一元二次不等式的性质可得 ，讨论a结合原不等式整数解的个数求 的范围，
【详解】由 恰有2个整数解，即 恰有2个整数解，
所以 ，解得 或 ，
①当 时，不等式解集为 ，因为 ，故2个整数解为1和2，
则 ，即 ，解得 ；
②当 时，不等式解集为 ，因为 ，故2个整数解为 ，
15、 ；
【解析】作图可知:
点睛：利用函数零点 情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
涪陵高一上期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1的图像关于直线x = 1对称，则下列说法正确的是（）A. 函数f(x)的图像关于y轴对称B. 函数f(x)的图像关于x轴对称C. 函数f(x)的图像关于原点对称D. 函数f(x)的图像没有对称性2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 110，S20 = 210，则等差数列{an}的公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则f'(1)的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°5. 已知复数z = a + bi（a，b∈R），若|z| = 1，则下列说法正确的是（）A. z一定是实数B. z一定是纯虚数C. z的实部a和虚部b满足a^2 + b^2 = 1D. z的实部a和虚部b满足a^2 - b^2 = 16. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 1/2，S20 = 1/4，则等比数列{an}的公比q为（）A. 1/2B. 1/4C. 1/8D. 27. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则下列说法正确的是（）A. 函数f(x)的图像关于x轴对称B. 函数f(x)的图像关于y轴对称C. 函数f(x)的图像关于原点对称D. 函数f(x)的图像没有对称性8. 在三角形ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，则AB的长度是AC的（）A. 2倍B. √3倍C. 1/2倍D. 1/√3倍9. 已知复数z = a + bi（a，b∈R），若|z| = √2，则下列说法正确的是（）A. z一定是实数B. z一定是纯虚数C. z的实部a和虚部b满足a^2 + b^2 = 2D. z的实部a和虚部b满足a^2 - b^2 = 210. 已知函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1，则f'(x)的值为（）A. 6x - 4B. 6x + 4C. -6x - 4D. -6x + 4二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an = _______。
重庆市部分区县2023届数学高一上期末质量检测模拟试题含解析
由 得 ，∴ ，
∴ ，∴ .
（2）∵ ， ，∴ .
由 在 上递减，得 ，即 ，∴ .
故答案为：①③
【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题
15、
【解析】由函数的性质得 ，代入当 时的解析式求出 的值，即可得解.
【详解】 当 时， ， ，
是 上的奇函数，
故答案为：
16、
【解析】由题意根据数形结合，只要 ， 并且对称轴在 之间， ，解不等式组即可
【详解】由题意，要使函数 区间 上有两个零点，
17、(1) (2)
【解析】（1）根据向量数量积定义可得 ，再根据向量加法几何意义以及模 性质可得结果（2）先根据向量加减法则将 化为 ，再根据向量数量积定义求值
试题解析：（1）
=
= ；
（2）因为 ， ，
所以
.
18、（1） ，
（2）
【解析】（1）先将解析式化成正弦型函数，然后利用整体代换 即可求得对称轴方程.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知直线 ， 且 ，则 的值为（）
A. 或 B.
C. D. 或
2．一种药在病人血液中 量低于 时病人就有危险，现给某病人的静脉注射了这种药 ，如果药在血液中以每小时80%的比例衰减，那么应再向病人的血液中补充这种药不能超过的最长时间为（）
【详解】对①，A＝(﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；
对②，A＝R，B＝(0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；
重庆市普通高中2022-2023学年高一数学第一学期期末预测试题含解析
2、A
【解析】 log6 15 log5 15 log5 16 2 21.5 0.51.5
b c a
故选 A
3、B
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinx ， tanx 的值，即可得解
A.4 倍
B.3 倍
C. 2 倍
D.2 倍
8．直线 1+a x y 1 0 与圆 x2 y2 2x 0 相切，则 a 的值为（）
A. 1
B. 2
C.1
D. 1
9．已知集合 A 1, 2，则集合 B { x, y | x A, y A}中元素的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
【详解】由题意，知 cosx 3 ，且 π x π ， 52
所以 sinx 1 cos2x 4 ，则 tanx sinx 4 ，
5
cosx 3
tanx sinx 4 4 8 3 5 15
故选 B
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数
（2）三条公路围成的工业园区 ABC 的面积恰为 4km2 ，求公路 BC 所在直线方程.
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1、C
【解析】因为函数 y 1 是奇函数，所以选项 A 不正确；因为函为函数 y ex 既不是奇函数，也不是偶函数，所以选
x
项 B 不正确；函数 y x2 1 图象抛物线开口向下，对称轴是 y 轴，所以此函数是偶函数，且在区间 0, 上单 调递减，所以，选项 C 正确；函数 y lg x 虽然是偶函数，但是此函数在区间 0, 上是增函数，所以选项 D 不正
2022-2023学年重庆市高一上期末考试数学模拟试卷及答案
2022-2023学年重庆市高一上期末考试数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2021•河南模拟）集合21{|0}1x A x x -=+ ，集合{|B x y ==，则集合A B 等于()A ．[0，12B ．(1,)-+∞C ．(1,1)-D ．[1-，)+∞2．（2017•新疆一模）a ，b ，c R +∈且236a b c ==，记2x a =，3y b =，6z c =，则x ，y ，z 的大小关系为()A ．y x z <<B ．x y z <<C ．z x y <<D ．x z y<<3．（2020秋•荔湾区校级期末）已知函数0.5()log (2)af x x a=++在(3,)+∞上单调递减，则a 的取值范围为()A ．(,0)-∞B ．[3-，0)C ．[2-，0)D ．(3,0)-4．（2021•聊城三模）在ABC ∆中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，M 为BC 中点，O 为ABC ∆的内心，且AO AB AM λμ=+，则(λμ+=)A ．712B ．34C ．56D ．15．（2020秋•龙亭区校级月考）若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21{}nx 为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为()AB ．2C．D ．46．（2020秋•开封期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，若6131n n S n T n -=-，则(n nab =)A ．231n n ++B ．10553n n --C ．8342n n --D ．12764n n --7．（2021•上高县校级模拟）在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =，AB =，11AA =，过点B 作直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成角均为70︒，这样的直线l 的条数为()A ．4B ．3C ．2D ．18．（2021•二模拟）已知二项式)n x-展开式中的常数项为第4项，则该二项式的展开式中的常数项为()A ．84-B ．42-C ．42D ．84二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2020秋•湖北月考）下列结论正确的有()A ．若随机变量2~(1,)N ξσ，(4)0.77P ξ= ，则(2)0.23P ξ-=B ．若随机变量1~(10,)3X B ，则(31)19D X -=C ．已知回归直线方程为ˆ10.8y bx=+，且4x =，50y =，则ˆ9.8b =D ．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11．若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为2210．（2021春•黄冈期末）直线:(2)l y k x =-与抛物线2:8C y x =交于A ，B 两点(A 在B 的上方），F 为抛物线的焦点，行O 为坐标原点，AFO ∆的面积是BFO ∆面积的2倍，以AB 为直径的圆与直线(0)x t t =<相切，切点为P ．则下列说法正确的是()A ．||6AF =B ．AOB ∆的面积为C ．t 的值为2-D ．||PF =11．（2020秋•思明区校级月考）设0a >，0b >，1a b +=，则()A ．22a b +的最小值为12B ．41a b+的范围为[9，)+∞C的是小值为D ．若1c >，则2311(2)1a c abc +-⋅+-的最小值为812．（2021•岳麓区校级二模）关于函数1()cos cos f x x x=+有如下四个命题，其中正确的命题有()A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．()f x 的值域为(-∞，2][2- ，)+∞三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021•和平区二模）某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛．已知这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，则所选3人分别来自不同年级的概率为.记所选3人中高一年级学生的人数为X ，则随机变量的数学期望()E X =．14．（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为．15．（2020春•安徽期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是11A C 上的任意一点，点M ，N 分别是AB 和BC 上的点，且AM BN =，若4AB =，则三棱锥P DMN -体积的最大值是．16．（2018•全国三模）函数2015()2017(0x f x a a -=+>且1)a ≠所过的定点坐标为．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2021•天津模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足21n n c a -=，2(1)n n n n c a b =-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（3）求11(1)(65)k nk k k k k b a a =+-+∑．18．（2021•江西一模）ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知()cos sin cos b c A A a C +=-．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，求bc的取值范围．19．（2019春•荔湾区校级期中）如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、11A D 的中点，（1）判断MN 与平面11A BC 的位置关系，并证明；（2）若AB =1BC CC ==，求AC 与1C B所成角的余弦值．20．（2021•四川模拟）设函数()1(,)x f x e ax b a b R =--+∈．（1）若1b =，()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若()0f x ，求a b +的最大值．21．（2021•岳麓区校级二模）已知斜率为k 的直线交椭圆223(0)x y λλ+=>于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点，点0(1,)N y 是线段AB 的中点．（1）若03y =，求直线AB 的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，求0y 的取值范围．22．（2018•南平二模）某地区某农产品近五年的产量统计如表：年份20132014201520162017年份代码t 12345年产量y （万吨）5.65.766.26.5（Ⅰ）根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+，并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量；（Ⅱ）若近五年该农产品每千克的价格V （单位：元）与年产量y （单位：万吨）满足的函数关系式为 3.780.3V y =-，且每年该农产品都能售完．求年销售额S 最大时相应的年份代码t 的值，附：对于一组数据(i t ，)i y ，1i =，2，⋯，n ，其回归直线ˆˆˆybt a =+的斜率和截距的计算公式：121()ˆ(nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-．2022-2023学年重庆市高一上期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2021•河南模拟）集合21{|0}1x A x x -=+ ，集合{|B x y ==，则集合A B 等于()A ．[0，12B ．(1,)-+∞C ．(1,1)-D ．[1-，)+∞【答案】C【考点】并集及其运算【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．【解答】解： 121{|1},{|(1)0}{|011}{|01}2A x x B x log x x x x x =-<=-=<-=< ，(1,1)A B ∴=- ．故选：C ．【点评】本题考查了描述法和区间的定义，分式不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（2017•新疆一模）a ，b ，c R +∈且236a b c ==，记2x a =，3y b =，6z c =，则x ，y ，z 的大小关系为()A ．y x z <<B ．x y z <<C ．z x y <<D ．x z y<<【考点】4M ：对数值大小的比较【专题】4R ：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用【分析】设2361a b c k ===>，可得02lgk a lg =>，03lgk b lg =>，06lgkc lg =>．可得2x a ==，3y b ==，6z c ==，根据0<<，即可得出关系．【解答】解：设2361a b c k ===>，则02lgk a lg =>，03lgk b lg =>，06lgkc lg =>．可得2x a ==，3y b ==，6z c ==，0<<< ，y x z ∴<<．故选：A ．【点评】本题考查了指数与对数元素性质、指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2020秋•荔湾区校级期末）已知函数0.5()log (2)af x x a=++在(3,)+∞上单调递减，则a 的取值范围为()A ．(,0)-∞B ．[3-，0)C ．[2-，0)D ．(3,0)-【考点】3G ：复合函数的单调性【专题】33：函数思想；4R ：转化法；51：函数的性质及应用；65：数学运算；15：综合题【分析】由外层函数0.5log y t =为减函数，把问题转化为内层函数2at x a=++在(3,)+∞上单调递增且恒大于0，进一步得到关于a 的不等式组求解．【解答】解： 外层函数0.5log y t =为减函数，∴要使0.5()log (2)af x x a=++在(3,)+∞上单调递减，则需要2at x a=++在(3,)+∞上单调递增且恒大于0，即030203a a a a⎧⎪<⎪+>⎨⎪⎪++⎩ ，解得20a -<．a ∴的取值范围为[2-，0)．故选：C ．【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．4．（2021•聊城三模）在ABC ∆中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，M 为BC 中点，O 为ABC ∆的内心，且AO AB AM λμ=+，则(λμ+=)A ．712B ．34C ．56D ．1【答案】A【考点】平面向量的基本定理；向量数乘和线性运算【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算【分析】根据三角形是直角三角形，得到它的内心的位置，从而表示出向量AO，根据向量的线性运算，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．【解答】解：M为BC 中点，∴1()2AM AB AC =+ ，∴(22AO AB AM AB AC μμλμλ=+=++，O 为ABC ∆的内心，∴1134AO AB AC =+，∴123124μλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11212λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，712λμ∴+=．故选：A ．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，利用三角形内心的性质是关键，属于中档题．5．（2020秋•龙亭区校级月考）若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21{}nx 为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为()AB ．2C．D ．4【考点】85：等差数列的前n 项和【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；5T ：不等式；62：逻辑推理；65：数学运算【分析】先由题设2{}nx ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得2292010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可．【解答】解：由题设知：2212211111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数），2{}n x ∴是等差数列，2222221201812320182018()40362x x x x x x++++⋯+==，222212018920104x x x x ∴+==+，2292010920102x x x x + （当且仅当92010x x =时取“等号“)，2229201092010()2()8x x x x ∴++=，92010x x ∴+（当且仅当92010x x ==时取“等号“)，92010x x ∴+的最大值为故选：C ．【点评】本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题．6．（2020秋•开封期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，若6131n n S n T n -=-，则(n nab =)A ．231n n ++B ．10553n n --C ．8342n n --D ．12764n n --【答案】D【考点】等差数列的性质；等差数列的前n 项和【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】利用等差数列的性质及等差数列的前n 项和公式可将问题转化为：2121n n n n a S b T --=，即可得到答案．【解答】解： 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，6131n n S n T n -=-，∴1211212112112121(21)()6(21)112722(21)()3(21)16422n n n n n n n n a a n a a a S n n b b n b b b T n n ------+-+---=====+-+---，故选：D ．【点评】本题考查等差数列的前n 项和的应用，突出考查等价转化思想与思维运算能力，属于中档题．7．（2021•上高县校级模拟）在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =，AB =，11AA =，过点B 作直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成角均为70︒，这样的直线l 的条数为()A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算【分析】由向量的数量积公式和夹角公式，可得直线1A D 和直线1AC 所成角为3π，通过平移和讨论三条直线在同一平面、不在同一平面，可得直线l 的条数．【解答】解：11A D AD AA =- ，11AC AB AD AA =++ ，∴1111()()A D AC AD AA AB AD AA ⋅=-⋅++ 2211AB AD AD AB AA AA =⋅+-⋅- 07016=+--=，1||A D = ，1||AC =，111cos ,2A D AC ∴<>==，∴直线1A D 和直线1AC 所成角为3π，设与1A D 平行的直线为1l ，与1AC 平行的直线为2l ，将直线l ，直线1A D 和直线1AC 平移至点P ，则当三条直线在同一平面时，这样的直线l 不存在；若三条直线不在同一平面，3APB π∠=，PD 是APB ∠的角平分线，在PD 上方有一条直线PE 与1l ，2l 所成角为70︒，同理PF ，PG ，PH 也满足条件，如右图．∴过点B 作直线l 与直线1A D 及直线1AC 所成角均为70︒，这样的直线l 的条数为4．故选：A ．【点评】本题考查满足异面直线所成角的直线的条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．8．（2021•二模拟）已知二项式1()n x x-展开式中的常数项为第4项，则该二项式的展开式中的常数项为()A ．84-B ．42-C ．42D ．84【答案】A【考点】二项式定理【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理；数学运算【分析】二项式展开式的通项公式求出4T ，令x 的指数为0，可求得n ，从而可得常数项．【解答】解：由题意可知93333324()()(1)nn nn T C x C x x--=-=-，令902n-=，解得9n =，所以该二项式的展开式中的常数项为339(1)84C -=-．故选：A ．【点评】本题考查二项式定理，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2020秋•湖北月考）下列结论正确的有()A ．若随机变量2~(1,)N ξσ，(4)0.77P ξ= ，则(2)0.23P ξ-=B ．若随机变量1~(10,)3X B ，则(31)19D X -=C ．已知回归直线方程为ˆ10.8y bx=+，且4x =，50y =，则ˆ9.8b =D ．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11．若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22【答案】AC【考点】命题的真假判断与应用；众数、中位数、平均数；线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；简易逻辑；逻辑推理；数学运算【分析】利用正态分布求解概率，判断A ；二项分布的期望与方差判断B ；回归直线方程求解ˆb，判断C ；通过求解中位数判断D ；【解答】解：对于A ，(2)(4)10.770.23P P ξξ-==-= ，故A 正确；对于B ，1220()10339D X =⨯⨯=，所以220(31)3209D X -=⨯=，故B 不正确；对于C ，回归直线方程经过点()x y ，将4x =，50y =代入求得ˆ9.8b=，故C 正确；对于D ，设丢失的数据为x ，则这组数据的平均数为317x+，众数为3，当3x时，中位数为3，此时31367x++=，解得10x =-；当35x <<时，中位数为x ，此时31327xx ++=，解得4x =；当5x时，中位数为5，此时313107x++=，解得18x =．所以所有可能x 的值和为1041812-++=，故D 不正确．故选：AC ．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查转化思想以及计算能力，是基础题．10．（2021春•黄冈期末）直线:(2)l y k x =-与抛物线2:8C y x =交于A ，B 两点(A 在B 的上方），F 为抛物线的焦点，行O 为坐标原点，AFO ∆的面积是BFO ∆面积的2倍，以AB 为直径的圆与直线(0)x t t =<相切，切点为P ．则下列说法正确的是()A ．||6AF =B ．AOB ∆的面积为C ．t 的值为2-D ．||PF =【答案】ACD 【考点】抛物线的性质【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用三角形的面积关系得到122y y =-，联立直线与抛物线，结合韦达定理求出A ，B ，从而求出||AF ，即可判断选项A ，求出AOB ∆的面积，即可判断选项B ，求出圆心和半径，得到圆的方程，从而求出t 的值，即可判断选项C ，利用两点间距离公式求解||PF ，即可判断选项D ．【解答】解：由题意，(2,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，因为A 在B 的上方，则10y >，20y <，因为2AFO BFO S S ∆∆=，则1211||||2||||22OF y OF y ⋅⋅=⨯⋅⋅，即122y y =-，联立方程组2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩，即2208ky y k --=，所以12128,16y y y y k+==-，又122y y =-，则12y y ==-所以128y y k+==，解得k =，故(1,A B -，则14||4622p AF x =+=+=，故选项A 正确；因为12y y -=所以121||||2OAB S OF y y ∆=⋅⋅-=故选项B 错误；因为AB 的中点5(2，直径为12||549AB x x p =++=+=，故半径为92，所以圆的方程为22581((24x y -+=，故95()222t =--=-，故选项C 正确；因为(P -，所以||PF =，故选项D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查了抛物线标准方程的应用，直线与抛物线位置关系的应用，圆的标准方程的求解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．11．（2020秋•思明区校级月考）设0a >，0b >，1a b +=，则()A ．22a b +的最小值为12B ．41a b+的范围为[9，)+∞C的是小值为D ．若1c >，则2311(2)1a c abc +-⋅+-的最小值为8【考点】基本不等式及其应用【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．【解答】解：对于A 中，由222()122a b a b ++=，当且仅当12a b ==时取等，可得22a b +的最小值为12，所以A 正确；对于B 中，由41414()559b a a b a b a b a b+=++=+++= ，当且仅当2a b =时，即23a =，13b =时，等号成立，取得最小值9，所以B 正确；对于C==，又由102<1219412222++=+= ，所以C 不正确；对于D 中，由222313()4224a a a b a bab ab b a+++-=-=+ ，当且仅当2b a =时，即13a =，23b =时，等号成立，可得23111(2)4(1)4811a c c abc c +-⋅+-++-- ，当且仅当32c =时取等，所以D 正确．故选：ABD ．【点评】本题主考查了基本不等式及相关结论的应用，解题的关键是结论的灵活应用．12．（2021•岳麓区校级二模）关于函数1()cos cos f x x x=+有如下四个命题，其中正确的命题有()A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．()f x 的值域为(-∞，2][2- ，)+∞【答案】AD【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；简易逻辑；逻辑推理；数学运算【分析】求解函数的定义域，判断函数的奇偶性与对称性，判断A ，B 的正误；利用特殊值判断对称性，判断C 的正误；求解函数的值域判断D ．【解答】解：由题意知()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，且关于原点对称．又11()cos()cos ()cos()cos f x x x f x x x-=-+=+=-，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以A 正确，B 错误．因为11()cos()sin 22sin cos()2f x x x x x πππ-=-+=+-，11()cos()sin 22sin cos()2f x x x x x πππ+=++=--+，所以()()22f x f x ππ+≠-，所以函数()f x 的图象不关于直线2x π=对称，C 错误．当cos 0x <时，()2f x - ，当cos 0x >时，()2f x ，所以D 正确．故选：AD ．【点评】本题考查命题的真假的判断，考查三角函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021•和平区二模）某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛．已知这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，则所选3人分别来自不同年级的概率为25.记所选3人中高一年级学生的人数为X ，则随机变量的数学期望()E X =．【答案】25，65．【考点】离散型随机变量的期望与方差【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑推理；数学运算【分析】基本事件总数3510n C ==，所选3人分别来自不同年级包含的基本事件个数1112214m C C C ==，由此能求出所选3人分别来自不同年级的概率；X 可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的数学期望．【解答】解：某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛．这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，基本事件总数3510n C ==，所选3人分别来自不同年级包含的基本事件个数1112214m C C C ==，∴所选3人分别来自不同年级的概率为42105m P n ===．记所选3人中高一年级学生的人数为X ，则X 可能取值为0，1，2，33351(0)10C P X C ===，1223356(1)10C C P X C ===，2123353(2)10C C P X C ===，∴随机变量的数学期望1636()0121010105E X =⨯+⨯+⨯=．故答案为：25，65．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合、超几何分布等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．14．（2021•新高考Ⅰ）已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为32x =-．【答案】32x =-．【考点】抛物线的性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】法一：求出点P 的坐标，推出PQ 方程，然后求解Q 的坐标，利用||6FQ =，求解p ，然后求解准线方程．法二：利用射影定理，转化求解p ，然后求解准线方程．【解答】解：法一：由题意，不妨设P 在第一象限，则(2pP ，)p ，2OP k =，PQ OP ⊥．所以12PQ k =-，所以PQ 的方程为：1(22py p x -=--，0y =时，52px =，||6FQ =，所以5622p p-=，解得3p =，所以抛物线的准线方程为：32x =-．法二：根据射影定理，可得2||||||PF FO FQ =，可得262pp =⨯，解得3p =，因此，抛物线的准线方程为：32x =-．故答案为：32x =-．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15．（2020春•安徽期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是11A C 上的任意一点，点M ，N 分别是AB 和BC 上的点，且AM BN =，若4AB =，则三棱锥P DMN -体积的最大值是323．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5F ：空间位置关系与距离；64：直观想象；65：数学运算；44：数形结合法；4R ：转化法【分析】设AM BN x ==，则4BM CN x ==-，求出DMN ∆的面积S 的表达式，然后推出三棱锥P MND =的体积V 的表达式，利用二次函数的性质，求体积的最大值即可．【解答】解：设AM BN x ==，则4BM CN x ==-，故DMN ∆的面积21111444(4)4(4)282222S x x x x x x =⨯-⨯---⨯-=-+，因为点P 是11A C 的任意一点，所以点P 到平面DMN 的距离为4，所以三棱锥P MND =的体积为221112(28)4(2)83323V Sh x x x ==⨯-+⨯=-+，因为04x ，所以20(2)4x - ，故832833V += ．故答案为：323．【点评】本题考查三棱锥体积的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．16．（2018•全国三模）函数2015()2017(0x f x a a -=+>且1)a ≠所过的定点坐标为(2015,2018)．【考点】4A ：指数型复合函数的性质及应用【专题】35：转化思想；4R ：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据指数函数的性质，令20150x -=，可得2015x =，带入求解2018y =，可得定点坐标．【解答】解：由题意，根据指数函数的性质，令20150x -=，可得2015x =，带入求解2018y =，∴函数()f x 过的定点坐标为(2015,2018)故答案为：(2015,2018)．【点评】本题考查指数函数的性质运用，定点的求法，考查运算能力，属于基础题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2021•天津模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足21n n c a -=，2(1)n n n n c a b =-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（3）求11(1)(65)k nk k k k k b a a =+-+∑．【答案】（1）21n a n =+，12n n b -=；（2）2125652(2)918n n n T n n ++=+--⋅-；（3）11(1)2323n n n +---+．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d ，q ，进而得到所求；（2）求得2121n n c a n -==+，21(1)(21)(2)2n n n n n c a b n =-=+⋅-，由数列的分组求和、错位相减法求和，计算可得所求和；（3）求得1111(1)(65)(1)(65)2(1)2(1)2(21)(23)2123n n n n n n nn n n n b n a a n n n n --++-+-+--==-++++，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=，可得610q d ++=，34232d q d +-=+，解得2d q ==，则32(1)21n a n n =+-=+，12n n b -=；（2）2121n n c a n -==+，21(1)(21)(2)2n n n n n c a b n =-=+⋅-，021*********()()()[3252(21)(2)]2n n n n n T c c c c c c a a a n -=++⋯++++⋯+=++⋯++-⋅+⋅+⋯++⋅-，由21(321)22n S n n n n =++=+，设121113(2)5(2)(21)(2)222n n B n =⋅⋅-+⋅⋅-+⋯++⋅-，23111123(2)5(2)(21)(2)222n n B n +-=⋅⋅-+⋅⋅-+⋯++⋅-，两式相减可得23111133[2(2)2(2)2(2)](21)(2)222n n n B n +=-+⋅-+⋅-+⋯+⋅⋅--+⋅-114[1(2)]13(21)(2)1(2)2n n n -+--=-+-+⋅---，化简可得1565(2)918n n n B ++=--⋅-，所以2125652(2)918n n n T n n ++=+--⋅-；（3）1111(1)(65)(1)(65)2(1)2(1)2(21)(23)2123n n n n n n nn n n n b n a a n n n n --++-+-+--==-++++，所以1111(1)(65)122448(1)2(1)2(()()[]3557792123k n n n nnk k k k k b a a n n -+=+-+-----=-+-+-+⋯+-++∑11(1)2323n nn +-=--+．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和、分组求和和裂项相消求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．18．（2021•江西一模）ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知()cos sin cos b c A A a C +=-．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，求bc的取值范围．【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）1(2，2)．【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；转化法；解三角形；数学运算【分析】（Ⅰ）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可求出角A 的大小；（Ⅱ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得12b c =+C 的取值范围即可求得bc的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理的(sin sin )cos sin sin cos B C A B A A C +=-，所以sin cos sin cos cos sin sin B A C A C A B A ++=，即sin cos sin()sin B A A C B A ++=，因为sin()sin A C B +=，所以sin cos sin sin B A B B A +=，因为sin 0B >，所以cos 1A A +=，所以1sin(62A π-=，因为(66A ππ-∈-，56π，所以66A ππ-=，所以3A π=．（Ⅱ）13sin cos sin sin()1322sin sin sin 22tan C Cb B A Cc C C C C++====+，因为ABC ∆为锐角三角形，所以02C π<<，232B C ππ=-<，所以62C ππ<<，所以tan C >，所以1132222tan C <+<，即b c 的取值范围是1(2，2)．【点评】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、三角函数的单调性应用问题，是中档题．19．（2019春•荔湾区校级期中）如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、11A D 的中点，（1）判断MN 与平面11A BC 的位置关系，并证明；（2）若AB =1BC CC ==，求AC 与1C B 所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；数学运算【分析】（1）取1AA 的中点K ，连接KM ，KN ，1AD ，通过面面平行的判定定理证明平面//KMN 平面11A BC ，再由面面平行的性质定理可得//MN 平面11A BC ；（2）由异面直线所成角的定义，结合11//AC A C ，可得11A C B ∠为异面直线AC 与1C B 所成角，结合条件，运用余弦定理，可得所求值．【解答】解：（1）//MN 平面11A BC ，证明：取1AA 的中点K ，连接KM ，KN ，1AD ，由KM 为1ABA ∆的中位线，可得1//KM A B ，KM ⊂/平面11A C B ，可得//KM 平面11A BC ；同样1//KN AD ，11//AD BC ，即1//KN BC ，KN ⊂/平面11A C B ，可得//KN 平面11A BC ；由KM ，KN 为平面KMN 的两条相交直线，可得平面//KMN 平面11A BC ，又MN ⊂平面KMN ，可得//MN 平面11A BC ；（2）由于11//AC A C ，可得11A C B ∠为异面直线AC 与1C B 所成角，由7AB =12BC CC ==，可得1723A B =+=，1222BC =+=，11723A C =+，在△11A C B 中，可得222113231cos 2323AC B +-∠==⨯⨯，则AC 与1C B 所成角的余弦值为13．【点评】本题考查空间线面的位置关系和异面直线所成角的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20．（2021•四川模拟）设函数()1(,)x f x e ax b a b R =--+∈．（1）若1b =，()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若()0f x ，求a b +的最大值．【答案】（1）(,)e +∞；（2）1e +．【考点】利用导数研究函数的最值【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【分析】（1）求出导数，分类讨论a 的正负即可求解；（2）结合（1）可知0a >，由()0f x ，等价于()()10min f x f lna a alna b ==--+ ，可得21a b a alna +-+ ，令g （a ）21a alna =-+，利用导数求得g （a ）1max e <+，即可求解．【解答】解：（1）1b =时，()x f x e ax =-，()x f x e a '=-，①当0a时，()0f x '>，则()f x 在R 上单调递增，不满足题意；②当0a >时，令()0f x '=，解得x lna =，则()f x 在(,)lna -∞上单调递减，在(,)lna +∞上单调递增，要使()f x 有两个零点，只需()0f lna <，即0a alna -<，解得a e >，即a 的取值范围是(,)e +∞．（2）函数()1x f x e ax b =--+，()x f x e a '=-，由（1）知，当0a时，()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，与()0f x 矛盾，所以0a >，由（1）知，()()10min f x f lna a alna b ==--+ ，所以1b a alna -+，21a b a alna +-+ ，令g （a ）21a alna =-+，g '（a ）211lna lna =--=-，令g '（a ）0>，可得0a e <<，令()0g x '<，可得a e >，所以g （a ）在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以g （a ）max g =（e ）1e =+，所以1a b e ++，所以a b +的最大值为1e +．【点评】本题主要考查利用导数的应用，考查函数零点个数问题以及最值的求解问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．21．（2021•岳麓区校级二模）已知斜率为k 的直线交椭圆223(0)x y λλ+=>于A ，B 两点，AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点，点0(1,)N y 是线段AB 的中点．（1）若03y =，求直线AB 的方程以及λ的取值范围；（2）不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，求0y 的取值范围．【答案】（1）12λ>．（2）0y 的取值范围为{3-，3}．【考点】直线与椭圆的综合【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．当03y =时，直线AB 的方程为(1)3y k x =-+，将AB 方程代入223x y λ+=求出直线的斜率1k =-，得到AB 的方程为40x y +-=然后求解λ的范围即可．（2）设直线AB 的方程为0(1)y k x y =-+，将方程代入223x y λ+=通过弦长公式，点到直线的距离，利用四点共圆的条件，推出0y 的取值范围即可．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．（1）当03y =时，直线AB 的方程为(1)3y k x =-+，将AB 方程代入223x y λ+=得：222(3)2(3)(3)0k x k k x k λ++-+--=．①由122(3)123x x k k k +-==+，解得1k =-，此时AB 的方程为40x y +-=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）将1k =-代入①，得248160x x λ-+-=．由△6416(16)0λ=-->，解得12λ>．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（2）设直线AB 的方程为0(1)y k x y =-+，将方程代入223x y λ+=得：22200(3)2()()0k x k y k x y k λ++-+--=．②由题意0122()123k k y x x k -+==+，即03ky -=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）12|||AB x x -==，||CD =，⋯⋯（7分）所以CD 中点P 的横坐标00322211()12131313y ky k k x k k k---+-===+++，点P 到AB 的距离d221|31k --=+，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）由A ，B ，C ，D 四点共圆222||||()()22CD AB d ⇔=+，即22222222119[12(13)]()(3(13)3k k k k k k λλ++-++=--+++，③不管λ怎么变化，都有A ，B ，C ，D 四点共圆，即上式恒成立，所以222211313k k k k ++=++，解得21k =，此时③式成立．代入②，由△0>得此时12λ>．所以0y 的取值范围为{3-，3}．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力的数学素养，是难题．22．（2018•南平二模）某地区某农产品近五年的产量统计如表：年份20132014201520162017年份代码t 12345年产量y （万吨）5.65.766.26.5（Ⅰ）根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+，并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量；（Ⅱ）若近五年该农产品每千克的价格V （单位：元）与年产量y （单位：万吨）满足的函数关系式为 3.780.3V y =-，且每年该农产品都能售完．求年销售额S 最大时相应的年份代码t 的值，附：对于一组数据(i t ，)i y ，1i =，2，⋯，n ，其回归直线ˆˆˆybt a =+的斜率和截距的计算公式：121()ˆ(nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-．【考点】BK ：线性回归方程【专题】5I ：概率与统计；12：应用题；11：计算题【分析】（Ⅰ）求得样本中心点(t ，)y ，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；将6t =代入线性回归方程，即可求得该地区2018年该农产品的产量估计值为6.69万吨（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当年产量为y 时，年销售额32(3.780.3)10300(12.6)S y y y y =-⨯=-（万元），结合二次函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：1(12345)35t =++++=，1(5.6 5.76 6.2 6.5)65y =++++=，51() 2.3ii i tt y y =--=∑521()10ii tt =-=∑51521()()ˆ0.23()ii i ii tt y y btt ==--==-∑∑，ˆˆ 5.31ay bt =-=，y ∴关于t 的线性回归方程为ˆ0.23 5.31y t =+；当6t =时，ˆ0.236 5.31 6.69y=⨯+=，即2018年该农产品的产量为6.69万吨（Ⅱ）当年产量为y 时，年销售额32(3.780.3)10300(12.6)S y y y y =-⨯=-（万元），因为二次函数图象的对称轴为 6.3y =，又因为{5.6y ∈，5.7，6，6.2，6.5}，所以当 6.2y =时，即2016年销售额最大，于是4t =．【点评】本题考查利用最小二乘法求线性回归方程及线性回归方程的应用，考查转化思想，属于中档题。
2022-2023学年重庆市涪陵高级中学校高一上数学期末质量检测模拟试题含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且当[0,2]x ∈时，2()f x x =，则方程()f x m =(14)m <<在[2019,2019]-上的所有根的和为（ ）A.1004-B.3028C.2019D.2020 2．若0,2παβπ<<<<且()17cos ,sin ,39βαβ=-+=则sin α的值是. A.127 B.527 C.13 D.23273．已知直线10x y -+=与圆221x y +=交于A ，B 两点，则AB =（）A.1 2 2 D.12 4．下列各角中，与600-︒终边相同的角为（ ）A.120-︒B.160°C.240-︒D.360° 5．函数cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是（） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数D.最小正周期为2π的偶函数 6．已知31log 2a =，ln3b =，0.992c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.b a c >>B.a b c >>C.c a b >>D.b c a >>7．已知点()0,0O ，()1,2A ，()4,5B ，且满足OP OA t AB =+，若点P 在x 轴上，则t 等于 A.14 B.23 C.23- D.14- 8．命题：,2x Z x Z ∀∈∈的否定为（ ）A.,2x Z x Z ∀∈∉B.,2x Z x Z ∃∈∉C.,2x Z x Z ∀∉∉D.,2x Z x Z ∃∈∈9．在如图所示中，二次函数2y ax bx =+与指数函数x a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只可为 A. B.C. D.10．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，则函数32()26f x x x =+图象的对称中心为（）A.(1,4)-B.(1,4)--C.(1,4)D.(1,4)- 11．在平行四边形ABCD 中，60B =︒，2AB =，E 为AD 边的中点，9BE BD ⋅=，则BE BC ⋅=（ ）A.1B.2C.3D.412．已知角α的终边经过点3,6)P ，则παα++=tan cos()2（ ） 26 26C.623+D.623- 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.） 13．13331()log 5log 1527+-=______________ 14．在ABC ∆中，3AB =，2AC =，AB 与AC 的夹角为60，则AB AC -=_____15．设a ∈R ，关于x 的方程()2271320x a x a a -+++-=有两实数根1x ，2x ，且12012x x <<<<，则实数a 的取值范围是___________.16．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m/s ）可以表示为31log 2100L v =，其中L 表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼以2m/s 的速度游动时，它的耗氧量的单位数为___________.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。
2022-2023学年重庆市重点中学高一上数学期末教学质量检测试题含解析
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．若正实数,m n 满足e 1m m =，()ln 1e n n -=（e 为自然对数的底数），则mn =（） A.1eB.1C.eD.2e2．下列函数中，表示同一个函数的是 A.2y x 与()4y x =B.11y x x =+⋅-与21y x =-C.xy x =与()()1010x y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩D.2yx 与2S a =3．设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A.1,13⎛⎫⎪⎝⎭B.()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．设命题，，则为（）A.，B.，C.，D.，5．设a ＝2019202220212022⎛⎫⎪⎝⎭，b ＝2021202220192022⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝2019202220192022⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.b c a >>6．已知函数()21,222,2x x f x x x x ⎧+>⎪=-⎨⎪+≤⎩则[(1)]f f =（） A.－12B.2C.4D.117．若1012a ⎛⎫=⎪⎝⎭,1213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,13log 10c =,则,,a b c 大小关系为A.a b c >>B.a c b >>C.c b a >>D.b a c >>8．已知函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，()sinh x x x =+的零点分别为,,,a b c 则,,a b c 的大小顺序为（ ） A.c b a << B.b a c << C.a c b <<D.c a b <<9．圆的半径为r ，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是A.23rad B.32rad C.23π D.32π 10．设全集U =R ，集合A ={x |0＜x ＜4}，集合B ={x |3≤x ＜5}，则A ∩（∁U B ）=（ ） A.{|13}x x ≤< B.{}1,2 C.{|5}x x ≥D.{|03}x x <<二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年重庆市校高一上册期末数学模拟试题(含解析)
2022-2023学年重庆市校高一上册期末数学模拟试题（含解析）一、单选题1．命题“000[0,),cos 0x x x ∃∈+∞+>”的否定是（）A ．(,0),cos 0x x x ∀∈-∞+>B ．[0,),cos 0x x x ∀∈+∞+≤C ．000[0,),cos 0x x x ∃∈+∞+>D ．000(,0),cos 0x x x ∃∈-∞+≤【答案】B【分析】根据特称命题的否定的概念判断即可.【详解】命题“000[0,),cos 0x x x ∃∈+∞+>”的否定是“[0,),cos 0x x x ∀∈+∞+≤”，故选：B2．已知函数()21f x +的定义域为[]12-，，则函数()1f x y x =+的定义域为（）A ．{}|12x x -<≤B ．{}|15x x -<≤C ．1|12x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭D ．{|15}x x -≤≤【答案】B【分析】根据抽象函数的定义域可得()f x 的定义域为[]1,5-，进而可求解.【详解】()21f x +的定义域为[]12-，，所以[][]12,2115x x ∈-∴+∈-，，，因此()f x 的定义域为[]1,5-，所以()1f x y x =+的定义域满足15,10x x -≤≤+≠，即15,x -<≤故选：B3．函数3()log (1)6f x x x =-+-的零点所在的区间是（）A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6【答案】C【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间.【详解】因为3log (1)y x =-和6y x =-均为增函数，所以3()log (1)6f x x x =-+-为定义域上的增函数，又因为(2)40f =-<，3(3)log 230f =-<，(4)10f =-<，3(5)log 410f =->，()36log 50f =>，根据零点存在定理可知()f x 的零点在区间()4,5内，4．设0.1135π3,log π,cos3a b c ===，则（）A ．c b a <<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．b c a<<【答案】D【分析】利用指数函数、对数函数和三角函数的图像和性质分别和0和1比较大小即可.【详解】因为0.131a =>，13log π0b =<，5πππcoscos 2πcos 333c ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭01c <<，所以b c a <<，故选：D5．已知幂函数()22133mm y m m x+-=--在（0，+∞）上单调递减，则m 的值为（）A ．1-B ．4C ．1-或4D ．1或-4【答案】A【分析】根据幂函数的定义以及幂函数的单调性即可求解.【详解】由题意可知：2331m m --=且210m m +-<，所以解得1m =-故选：A6．已知π1cos 64θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5πcos 6θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．BC ．14-D ．14【答案】D【分析】由π5ππ66θθ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得5πππ66θθ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，然后利用诱导公式计算即可.【详解】因为π5ππ66θθ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5πππ66θθ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，所以5πππcos cos πcos π666θθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦ππ11cos πcos 6644θθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D.7．已知函数()13,02,0x x f x xx x ⎧+->⎪=⎨⎪+≤⎩，则方程()30xf x --=的解的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】将方程()30xf x --=的解的个数转化为函数(),()3xy f x g x -==的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】由题意可知方程()30xf x --=的解的个数即为函数(),()3xy f x g x -==的图象的交点个数，作出函数(),()3xy f x g x -==的图象，如图：由图象知(),()3xy f x g x -==的图象有3个交点，故方程()30xf x --=的解的个数是3，故选：D8．设函数()()0y f x x =≠，对于任意负数()1212,x x x x ≠，都()()222112120x f x x f x x x -<-.已知函数()1y f x =+的图象关于=1x -对称，若()24f =，则()2f x x ≤的解集为（）A ．0]20)2[(⋃-，，B ．](0]22∞⋃(-，-，C ．]22)[∞⋃+∞(-，-，D ．[20)2)[⋃+∞﹣，，【答案】A【分析】根据所给的条件可得()2f x x 为(),0∞-上的单调递减，由()1y f x =+的对称性可知()f x 为偶函数，进而得因此()()2f x g x x=为偶函数，且()g x 在(),0∞-，在()0,∞+单调递增，即可求解.【详解】不妨设120x x <<，由()()222112120x f x x f x x x -<-得()()2221120x f x x f x ->，由于12220,0x x >>，所以()()1222120f x f x x x ->，因此函数()2f x x 为(),0∞-上的单调递减函数，又()1y f x =+的图象关于=1x -对称，所以()f x 为偶函数，因此()()2f x g x x=为偶函数，且()g x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，()()2214f g ==，()2f x x ≤等价于()()21f x g x x =≤，因此02x <≤时，()1g x ≤，当20x -≤<时，()1g x ≤，因此不等式的解为0]20)2[(⋃-，，，故选：A二、多选题9．若0a b >>，0c <,则下列不等式成立的是（）A ．b b ca a c+<+B ．c ca b>C ．11a b b a+>+D ．11a b a b+>+【答案】BC【分析】举反例可判断A,D ,根据不等式的性质可分别判断B,C .【详解】对于A,取3,1,2a b c ===-，满足0a b >>，0c <,但11131b bc a a c +-=>==-+，故A 错误；对于B,因为0a b >>，所以110a b<<，又0c <，故c ca b>，B 正确；对于C,因为0a b >>，所以110b a>>，故110a b b a +>+>，C 正确；对于D,取11,2a b ==满足0a b >>，但11522a b a b +=<+=，D 错误，故选：BC 10．sin tan cos 2sin cos tan x xx y x x x=+-的值可能是（）A ．2B ．3C ．4-D ． 0【答案】ACD【分析】根据x 的不同取值去绝对值即可求解.【详解】当x 是第一象限角时，sin ,cos ,tan x x x 均大于0，sin cos tan 22sin cos tan x x xy x x x=+-=；当x 是第二象限角时，sin x 大于0，cos ,tan x x 小于0，sin cos tan 22sin cos tan x x xy x x x =-+=；当x 是第三象限角时，sin ,cos x x 小于0，tan x 大于0，sin cos tan 24sin cos tan x x xy x x x=---=-；当x 是第四象限角时，sin ,tan x x 小于0，cos x 大于0，sin cos tan 20sin cos tan x x xy x x x=-++=；故选：ACD11．下列说法错误的是（）A．函数2y x =+的值域是[)2,+∞B ．设函数()421xf x x-=+，则()12f x --为奇函数C ．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 的偶函数，()21f -=，且当0x >时，()|1|=--f x a x ，则(5)2f =-D ．已知()f x 是定义在[]2,2﹣上的减函数，且(43)(2)f a f a -<-，则实数a 的取值范围是1(,)3+∞【答案】BD【分析】根据函数的单调性求值域，判断A;根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，判断B;根据偶函数性质求得a 的值，继而求得(5)f ，判断C ；根据函数单调性解不等式，判断D.【详解】A:对于函数2y x =[1,)+∞，由于2,y x y ==[1,)+∞递增，故2y x =+[1,)+∞递增，故2y x =22=，即值域为[)2,+∞，A 正确；B:函数()421xf x x-=+，则设()()12g x f x =--，故()42(1)624,011x g x x x x --=-=-≠+-，而()64()g x g x x-=-≠--，故()12f x --不为奇函数，B 错误；C ，函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 的偶函数，()21f -=，则()()221f f =-=，又当0x >时，()|1|=--f x a x ，故(2)11,2f a a =-=∴=，故|5()|2125f =--=-，C 正确；对于D,()f x 是定义在[]2,2-上的减函数，且(43)(2)f a f a -<-,故43243222a a a a ->-⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩，解得1534a <≤，D 错误，故选：BD12．()ln ln 2f x x x =+-，x 的方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦，下列叙述中正确的是（）A ．当2k =-时，方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦恰有3个不同的实数根B ．当52k =-时，方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦恰有4不同的实数根C ．该方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦最多有8个不同的实数根D ．无论k 取何值，方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦都不可能有6个不同的实数根【答案】BCD【分析】作出()ln ln 2f x x x =+-的图像，根据方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦不同的解讨论与()f x 的交点个数即可.【详解】()ln()ln(2),0ln ln 2ln ln(2),02ln ln(2),2x x x f x x x x x x x x x -+-<⎧⎪=+-=+-<<⎨⎪+->⎩，又对数函数的图像和性质可得()f x的大致图像如图所示：当2k =-时，由方程()()2210f x f x ⎡⎤-+=⎣⎦解得()1f x =，由()f x 图像可知()1f x =有两个不同的实数根，即方程()()2210f x f x ⎡⎤-+=⎣⎦有两个不同的实数根，A 错误；当52k =-时，由方程()()20521f x f x ⎡⎦-⎤+=⎣解得()2f x =或12，由()f x 图像可知()2f x =有两个不同的实数根，1()2f x =有两个不同的实数根，所以方程()()20521f x f x ⎡⎦-⎤+=⎣有四个不同的实数根，B 正确；对于任意R k ∈，令()f x t =，则方程210t kt ++=有解时，2k ≤-或2k ≥，设解为12,t t ，由韦达定理得1210t t =>，当2k =-，即121t t ==时，由()f x 图像可知有2个实数根；当2k =，即121t t ==-时，由()f x 图像可知有4个实数根；当2k <-，有12t t ≠且均大于0时，由()f x 图像可知有4个实数根；当2k >，有12t t ≠且均小于0时，由()f x 图像可知有8个实数根；故方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦最多有8个不同的实数根，无论k 取何值都不可能有6个不同的实数根，故选：BCD【点睛】关键点点睛：由()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦求出()f x 的值，并判断该值的范围，再结合()f x 的图像分析求解是解题关键.三、填空题13．已知角α的终边上有一点(1,3)-，则sin α=______.【答案】【分析】由三角函数的定义求解即可.【详解】依题意sin 10α==-，故答案为：14．已知集合2{|320,R}A x x x x =-+=∈，{|08,N}B x x x =<<∈，则满足条件A C B ≠⊆⊂的集合C 的个数为_____个.【答案】31【分析】根据A C B ⊆Ü得C 是{}3,4,5,6,7的真子集，根据子集个数即可求解.【详解】集合{}2{|320,R}1,2A x x x x =-+=∈=，{}{|08,N}1,2,3,4,5,6,7B x x x =<<∈=，由A C B ≠⊆⊂得{}{}1,21,2,3,4,5,6,7C ≠⊆⊂,所以C 是{}3,4,5,6,7的真子集故有52131-=，故答案为：3115．“0x ∃>，使得24xa x x ≤++成立”的一个充分不必要条件可以是_____.（写出满足题意的一个即可）【答案】1,5a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭（答案不唯一）【分析】先利用已知条件求出充要条件，再找出一个充分不必要条件.【详解】“0x ∃>，使得24xa x x ≤++成立”的充要条件是：2max4x a x x ⎛⎫≤ ⎪++⎝⎭，因为0x >，所以2114451x y x x x x ==≤++++，当且仅当42x x x=⇒=时等号成立，故“0x ∃>，使得24xa x x ≤++成立”的充要条件是：15a ≤，所以“0x ∃>，使得24xa x x ≤++成立”的一个充分不必要条件可以是：15a <，即1,5a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭.16．函数()2ln 12y a x x ⎡⎤=-++⎣⎦的值域为R ，则实数a 的取值范围为_____.【答案】918a ≤≤【分析】由对数函数的图像可知(0,+)∞是()212y a x x =-++值域的子集，当1a =时显然成立，当1a ≠时，由二次函数的图像解a 的取值范围即可.【详解】由函数()2ln 12y a x x ⎡⎤=-++⎣⎦的值域为R 及对数函数的图像和性质可得，(0,+)∞是()212y a x x =-++值域的子集，当10a -=即1a =时，()212y a x x =-++的值域为R ，显然成立；当10a -≠即1a ≠时，二次函数的对称轴为122x a=-，所以由一元二次函数的图像可得()210111202222a a a a ->⎧⎪⎨⎛⎫-++≤ ⎪⎪--⎝⎭⎩，解得918a <≤，.综上918a ≤≤，故答案为：918a ≤≤四、解答题17．求解下列小题.(1)计算：5132log 202313)0.25log 516π-⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭(2)已知3π2sin cos 22πθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2sin 2sin cos θθθ+的值.【答案】(1)11(2)85【分析】（1）直接根据指数和对数的运算性质计算即可；（2）先利用诱导公式变形得到tan θ，然后将目标式转化为用tan θ表示，再代入tan θ的值即可.【详解】（1）5132log 202313π)0.25log 5163-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭223413314log 1264913⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7318121144⎛⎫=-+--+= ⎪⎝⎭（2）由3π2sin cos 22πθθ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2cos sin θθ-=-，tan 2θ∴=，222222sin 2sin cos tan 2tan 448sin 2sin cos sin cos tan 1415θθθθθθθθθθθ+++∴+====+++18．（1）已知一个扇形周长为10cm ，求该扇形的圆心角为多少时，扇形的面积最大？最大值是多少？（2）已知关于x 的方程21204x bx ++=的两个实根为sin θ和cos θ，且π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求b 的值和sin cos θθ-的值【答案】（1）扇形的圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值是254（2）b =sin cos 2θθ-=.【分析】（1）由题意设扇形的半径和弧长分别为：,r l ，可得210r l +=，扇形面积11224S rl l r ==⨯⨯，再由基本不等式求解最大值，再利用lrα=即可.（2）写出韦达定理以及判断根的关系式，利用同角三角函数关系式求解b ，在用完全平方关系及角的范围求出sin cos θθ-.【详解】（1）设扇形的半径和弧长分别为：,r l ，由题意可得：210r l +=，所以扇形面积为：2211121102522442424l r S rl l r +⎛⎫⎛⎫==⨯⨯≤⨯=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当25l r ==，即55,2l r ==时，扇形的面积最大，此时圆心角为：5252l r α===，所以扇形的圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值是254.（2）由方程21204x bx ++=的两个实根为sin θ和cos θ，所以22Δ420sin cos 21sin cos 8b ac b b θθθθ⎧⎪=-=-≥⎪⎪+=-⎨⎪⎪⋅=⎪⎩由22sin cos 1θθ+=，即()2sin cos 2sin cos 1θθθθ+-⋅=，即212128b ⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，解得：25b b =⇒=由220b b -≥⇒≤b ≥又1sin cos 0,8θθ⋅=>π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 002bb θθ+=->⇒<，所以b =ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos sin cos 0θθθθ>⇒->，由()222sin cos sin cos 2sin cos θθθθθθ-=+-12sin cos θθ=-，所以sin cos2θθ-=.19．（1）解不等式：()2232240x m x m m++++≤（2）已知集合3|01xA xx-⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，对于任意的集合A中的每一个元素，()2220x m x m-+++≥恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）2m≤【分析】（1）先变形得到()()220x m x m+++≤，再通过讨论2m-和2m--的大小来解不等式；（2）先求出集合A中的元素范围，再根据问题恒成立结合二次函数的性质列不等式求解.【详解】（1）()2232240x m x m m++++≤()()220x m x m∴+++≤，令()()220x m x m+++=得2x m=-或2x m=--当22m m-=--，即2m=时，4x=-，当22m m->--，即2m<时，22m x m--≤≤-，当22m m-<--，即m>2时，22m x m-≤≤--，综上：当2m=时，不等式的解集为{}4-，当2m<时，不等式的解集为[]2,2m m---，当m>2时，不等式的解集为[]2,2m m---.（2）()()(]3103|0|1,3110x xxA x xx x⎧⎫⎧--≤-⎪⎪⎧⎫=≤==⎨⎬⎨⎨⎬--≠⎩⎭⎪⎪⎩⎩⎭，因为对于任意的集合A中的每一个元素，()2220x m x m-+++≥恒成立，则()()22420m m∆=+-+≤或()()()()2Δ2420221322122092320m mm mm mm m⎧=+-+>⎪++⎪⎪⎨⎪-+++≥⎪⎪-+++≥⎩或，解得2m≤20．大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩景区､瑶溪景区､天桂寺景区､茶山景区和三烊湿地.某开发商计划2023年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2023年有x 万名游客，则需另投入成本()R x 万元，且()250,05,40200,520,160081850,20,x R x x x x x x x ⎧⎪<≤⎪=++<≤⎨⎪⎪+->⎩该游玩项目的每张门票售价为80元.(1)求2023年该项目的利润()W x （万元）关于游客数量x （万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）.(2)当2023年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)答案见解析(2)游客为40万人时利润最大，最大为370万．【分析】（1）根据年利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润()W x （万元）关于人数x （万人）的函数关系式．（2）根据（1）中求出的利润()W x 的解析式，分别利用二次函数、一次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取三者中较大的利润值，即为年企业最大利润．【详解】（1）解：由题意可得，28040050,05,()80400(40200),520160080400(81850),20x x W x x x x x x x x x ⎧⎪--<≤⎪=--++<≤⎨⎪⎪--+->⎩即280450,05,()40200,520,1600450,20x x W x x x x x x x ⎧⎪-<≤⎪=-+-<≤⎨⎪⎪--+>⋅⎩（2）解：当05x <≤时，()(5)W x W ≤50=-；当520x <≤时，()(20)200W x W ≤=；当20x >时，由基本不等式知160080x x +≥，当且仅当1600x x=即40x =时等号成立，故max ()80450370W x =-+=，综上，游客为40万人时利润最大，最大为370万．21．已知函数()112x f x g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭是指数函数，且1 5.2g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)解不等式()9g x >；(2)求()()()()11110.10.20.30.9g g g g +++ 的值.【答案】(1)(,1)-∞-；(2)92.【分析】（1）待定系数法求出()2x f x =，换元法求出12()21x g x -=+，然后求解指数不等式即可得到；（2）先证明111()(1)g x g x +=-，又()110.52g =，所以可得()()()()111119140.10.20.30.922g g g g ++++=⨯+= .【详解】（1）设()x f x a =（0a >且1a ≠），令1122x -=-，可得2x =，因为152g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以12(2)12f g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭1142g ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，从而24a =，解得2a =．所以()2x f x =，即1122x x g -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，于是有1212x x g -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令12x t -=，得12x t =-，所以12()21t g t -=+，因此12()21x g x -=+．则不等式()9g x >化为12219x -+>，即123282x ->=，根据2x y =单调递增，有123x ->解得1x <-，所以不等式()9g x >的解集为(,1)-∞-．（2）由（1）知，12()21x g x -=+.则1212(1)1111()(1)2121x x g x g x ---+=+-++1221112121x x --=+++2121212111221x x x ---=+=++，所以11(0.1)(0.9)g g +11(0.2)(0.8)g g =+11(0.3)(0.7)g g =+111(0.4)(0.6)g g =+=，又()120.50.5212g -⨯=+=，所以()110.52g =.所以()()()()111119140.10.20.30.922g g g g ++++=⨯+= .22．已知函数()f x 定义域为R ，且函数()f x 同时满足下列3个条件：①对任意的实数,x y ，()()()2f x y f x f y +=++恒成立；②当0x >时，()2f x <-；③()13f =.(1)求()0f 及()1f -的值；(2)求证：函数()2y f x =+既是R 上的奇函数，同时又是R 上的减函数；(3)若21321222t f t f ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数t 的取值范围.【答案】(1)(0)2f =-，(1)7f -=-(2)证明见解析(3)(3t ∈【分析】（1）分别令0x y ==和1,1x y ==-即可求解；（2）由奇偶性和单调性的定义求解即可；（3）利用（2）中结论和条件①将21321222t f t f ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变形为()21322g t g t ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，利用()g x 单调性求解即可.【详解】（1）当0x y ==时，由题意得(00)(0)(0)2f f f +=++，解得(0)2f =-，当1,1x y ==-时，由题意(11)(1)(1)2f f f -=+-+，解得(1)7f -=-.（2）令()()2g x f x =+，则(0)(0)20g f =+=，任取x ∈R ，则()()()()4()20g x g x f x f x f x x +-=+-+=-+=，即()()g x g x =--，所以函数()2y f x =+是R 上的奇函数；任取12R x x >∈，则12121212()()()()()()()2g x g x f x f x f x f x f x x -=-=+-=--，因为12R x x >∈，所以120x x ->，由②知12()2f x x -<-，所以12()()0g x g x -<，即12()()<g x g x ，所以函数()2y f x =+是R 上的减函数.（3）因为()()()2f x y f x f y +=++，令x y =可得(2)2()2f x f x =+，所以()3322122t f t f ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，又因为21321222t f t f ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()21322f t f t ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以()2123222f t f t ⎛⎫+>-+ ⎪⎝⎭，即()21322g t g t ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由（2）可知()g x 是R 上的减函数，所以21322t t <-，解得(3t ∈.。
重庆市部分区2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题(含解析)
重庆市部分区2022～2023学年度第一学期期末联考高一数学试题卷1.已知集合{}1,0,1A =-注意事项：1．考试时间：120分钟，满分：150分．2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．3．需要填涂的地方，一律用2B 铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm 签字笔．4．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．，{}210B x x =-<，则A B ⋃=（）A.{}11x x -≤≤ B.{}11x x -<< C.{}1,0,1- D.{}0【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合并集的概念与运算即可求解.【详解】由题意知，{}21,0,1,{10}{11}A B x x x x =-=-<=-<<，所以{}11A B x x ⋃=-≤≤.故选：A.2.下列命题为真命题的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b <<，则22a b <C .若a b >，则a c b c->- D.若0a b <<，则11a b<【答案】C 【解析】【分析】举例说明即可判断选项ABD ，根据不等式的性质即可判断C.【详解】A ：若0a b >>，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；B ：若1,0.1a b =-=-，有22(1)(0.1)->-，不满足22a b <，故B 错误；C ：若a b >，则()()a c b c +->+-，即a c b c ->-，故C 正确；D ：若2,1a b =-=-，有112->-，不满足11a b <，故D 错误.故选：C.3.命题“0x ∀>，lg 1x x ≤-”的否定是（）A.0x ∃>，lg 1x x >-B.0x ∃≤，lg 1x x >-C.0x ∀>，lg 1x x >-D.0x ∀≤，lg 1x x >-【答案】A 【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“0x ∀>，lg 1x x ≤-”的否定是：0x ∃>，lg 1x x >-.故选：A 4.函数()()21lg 12x f x x x =+--的定义域是（）A.12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭B.{}1x x >C.12x x ⎧≥-⎨⎩且}2x ≠ D.{1x x >且}2x ≠【答案】D 【解析】【分析】根据函数定义域得到不等式，解得答案.【详解】()()lg 12f x x x =+--定义域满足2102010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1x >且2x ≠.故选：D.5.2022πsin 9⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.32B. C.12D.12-【答案】B 【解析】【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】2022πππ3sin sin 225πsin 9332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B6.角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（）A.35B.35-C.45D.45-【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=，又22sin cos 1αα+=53cos α==.故选：A7.函数223,0()(1),0x x x f x f x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，则()2f =（）A.3 B.2C.6D.5【答案】C 【解析】【分析】直接根据分段函数解析式，代入计算即可．【详解】由分段函数解析式得，2(2)(1)(0)(1)(1)2(1)36f f f f ===-=--⨯-+=，故选：C ．8.若正实数x ，y 满足280x y xy +-=，则2x y+的最大值为（）A.25B.16 C.37D.19【答案】D 【解析】【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【详解】280,0,280,1,x y x y xy y x>>+-=∴+=()28==82182801x y x y x y y x x y ⎛⎫+++++≥+= ⎪⎝⎭+,221=189x y ∴≤+.故选:D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知函数()224f x x x =+-的零点所在的区间是（）A.()2,0- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】AD 【解析】【分析】确定函数有两个零点，计算()20f ->，()00f <，()10f <，()20f >，得到答案.【详解】()224f x x x =+-，132330∆=+=>，故函数有两个零点，()282420f -=--=>，()040f =-<，故()2,0-上有零点；()121410f =+-=-<，()282460f =+-=>，故()1,2上有零点；故零点所在的区间为()2,0-，()1,2.故选：AD10.设x ∈R ，则2x <的一个必要不充分条件可能是（）A.3x <-B.3x < C.<4x - D.4x <【答案】BD 【解析】【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断，找出能使{}|2x x <是其真子集的范围即可.【详解】根据题意可知，{}|2x x <需满足是该条件范围的真子集，经逐一检验可知BD 符合题意.故选：BD11.已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=-，则下列结论正确的是（）A.θ为第二象限角B.4cos 5θ=-C.4tan 3θ=-D.2164sin cos 2cos 5θθθ-=-【答案】ABD 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项.【详解】由同角三角函数平分关系可得，221sin cos 5sin cos 1θθθθ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，因为()0,πθ∈，所以sin 0θ>，解得3sin 5θ=，4cos 5θ=-,因为4cos 05θ=-<，所以θ是第二象限角，故选项A ，B 正确，有同角三角函数商数关系可得，sin 3tan cos 4θθθ==-，故选项C 错误，因为222224sin cos 2cos 4tan 2164sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθ---===-++，故选项D 正确.故选：ABD .12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()e 312ex xf x -=+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中不正确的是（）A.()g x 是R 上的增函数B.()10g =C.()g x 的值域是{}2,1,0,1-- D.()g x 的值域是{}3,2,1,0---【答案】ABC 【解析】【分析】举反例得到ABC 错误，变换()()172212e x f x =-+，确定()13,2f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得到答案.【详解】对选项A ：()()20013g f ⎡⎤⎡⎤==-=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，()()e 311112e g f -⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，()()01g g =，错误；对选项B ：()()e 311112e g f -⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎢⎥+⎣⎦，错误；对选项C ：()()17ln 6ln 638g f ⎡⎤⎡⎤-=-=-=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦，错误；对选项D ：()()e 31712e 2212e x x xf x -==-++，()12e 1,x +∈+∞，()13,2f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x 的值域是{}3,2,1,0---，正确；故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数()y f x =的图像经过A 和(4,)B k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】设()a f x x =，结合()f x经过A ，求出a ，再将(4,)B k 代入，即可求解．【详解】设()a f x x =，由()f x经过A，则3a =，解得12a =，所以12()f x x =，则1242k ===，故答案为：2．14.已知扇形的圆心角为4π，弧长为π，则扇形的面积为___．【答案】2π【解析】【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．【详解】扇形的圆心角为4π，弧长为π，则扇形的半径为r 4l ππα===4，面积为S 12=lr 12=⨯π×4＝2π．故答案为2π．【点睛】本题考查了扇形的弧长与面积的计算问题，是基础题．15.不等式21208kx kx -+>对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是______．【答案】01k ≤<【解析】【分析】分类0k =和0k ≠两种情况讨论，对0k ≠时，利用二次函数的图像进行分析求解．【详解】当0k =时，108>，成立；当0k ≠时，一元二次不等式21208kx kx -+>对一切实数x 都成立，则2201Δ4208k k k >⎧⎪⎨=-⨯⨯<⎪⎩，解得001k k >⎧⎨<<⎩，即01k <<；综上所述，k 的取值范围是01k ≤<，故答案为：01k ≤<．16.已知函数()f x 是定义在[]13,1a a -+上的偶函数，则a 的值为______；当01x a ≤≤+时，()212f x x x =-，若()21log 2f m >，则m 的取值范围是______．【答案】①.1②.(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由偶函数定义域关于原点对称可得1a =，由偶函数性质利用换元法解不等式即可得22log 1m -≤-<或21log 2m ≤<，可求出m 的取值范围是(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【详解】依题意可知1310a a -++=，解得1a =；即当02x ≤≤时，()212f x x x =-，解不等式()21122f x x x =->可得1x >或12x <-，又因为02x ≤≤，可得12x <≤，当20x -≤<时，02x <-≤可得()()()()221122f x f x x x x x =-=---=+,解不等式()21122f x x x =+>可得12x >或1x <-，又因为20x -≤<,可得21x -≤<-；所以()21log 2f m >可得22log 1m -≤-<或21log 2m ≤<，解得1142m ≤<或24m <≤，即m 的取值范围是(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：1；(]11,2,442⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题：本题共有6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1(113837272-⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3log 229log 2lg5lg 43log 3++-+．【答案】（1）π（2）2【解析】【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质计算即可．【小问1详解】原式133222211πππ3333⎡⎤⎛⎫=++--=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】原式312229log 22lg 52lg 22log 9=++-+()312lg5lg 2222=++-+312lg10222=+-+3122222=+-+=．18.已知U =R ，集合{}2230A x x x =-->，{}23100B x x x =-++>，求：（1）A B ⋂；（2）()U A B ⋂ð．【答案】（1）{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<（2）(){2U A B x x ⋂=≤-ð或}5x ≥【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即可得集合,A B ，利用交集运算法则可得{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<；（2）求出{2U B x x =≤-ð或}5x ≥，即可得()U A B ð【小问1详解】易知()(){}{3103A x x x x x =-+>=>或}1x <-，又{}{}2310025B x x x x x =-++>=-<<；{21A B x x ⋂=-<<-或}35x <<【小问2详解】由（1）可知{2U B x x =≤-ð或}5x ≥，因此可得(){2U A B x x ⋂=≤-ð或}5x ≥19.已知角α满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件②：角α满足3sin 5α=；条件③：角α满足2217sin 8cos 1αα-=．（1）求tan α的值；（2）求2sin cos sin 1ααα-+的值．【答案】（1）3tan 4α=±（2）3tan 4α=时，原式2825=；3tan 4α=-时，原式425=；【解析】【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得3tan 4α=±；（2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有tan α的式子代入计算即可求得结果.【小问1详解】条件①：因为角α的终边与单位圆的交点为3,5M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得22315x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，45x =±，由三角函数的定义可得3tan 4α=±条件②：因为角α满足3sin 5α=，又因为22sin cos 1αα+=，即可得216cos 25α=所以4cos 5α=±，可得3tan 4α=±条件③：因为角α满足2217sin 8cos 1αα-=，又因为22sin cos 1αα+=，即22228co 1s sin cos 7sin αααα-=+，可得2216sin 9cos αα=又2cos 0α≠，∴29tan 16α=，即3tan 4α=±【小问2详解】易知2222222s i cos sin 11sin c i os n ααααααααααααα-+-++-+==+2222sin tan si cos cos 1c n ta s n o 1ααααααα+++=+=由（1）可知：3tan 4α=±，当3tan 4α=时，原式231tan 2849tan 1251161α+===+++；当3tan 4α=-时，原式231tan 449tan 1251161α-+===+++.20.已知函数24()x f x x+=．（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断()f x 在()2,+∞上的单调性，并用定义证明；（3）求()f x 在[]4,2--上的值域．【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）()f x 在()2,+∞上为增函数，证明见解析（3）[]5,4--【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义，求出定义域，代入()f x -即可得出判断；（2）直接根据单调性定义证明即可；（3）结合()f x 的奇偶性与单调性，即可求出在[]4,2--上的值域．【小问1详解】函数()f x 是奇函数．()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，因为()()()2244x x f x f x x x-++-==-=--，所以()f x 在()(),00,∞-+∞U 上是奇函数．【小问2详解】()f x 在()2,+∞上为增函数；证明：任取122x x >>，则()()2212121244x x f x f x x x ++-=-()()2212211244x x x x x x +-+=221222111244x x x x x x x x +--=()()()()1212211212121244x x x x x x x x x x x x x x -+---==，因为122x x >>，所以120x x >，120x x ->，1240x x ->，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >．故()f x 在()2,+∞上为增函数．【小问3详解】结合（1）（2）知()f x 在(,2]-∞-上为增函数，即()f x 在[]4,2--上为增函数，当4x =-时，()f x 取得最小值，且最小值为()164454f +-==--当2x =-时，()f x 取得最大值，且最大值为()44242f +-==--故()f x 在[]4,2--的值域为[]5,4--．21.2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员()0x x >户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为()193.50130x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x %．（1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值．【答案】（1）(]0,240（2）22【解析】【分析】（1）依题意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x 的取值范围为(]0,240；（2）化简表达式并利用基本不等式即可求出a 的最大值为22.【小问1详解】根据题意可知，需满足()()260 3.515% 3.5260x x -⨯⨯+⨯≥，化简为22400x x -≤，解得0240x <≤，故x 的取值范围为(]0,240【小问2详解】由题意得()()193.5260 3.515%130x a x x x ⎛⎫-≤-⨯⨯+ ⎪⎝⎭整理可得2602512260x a x ≤++，因为2602510260x x +≥=，当且仅当52x =时，取到最小值10；所以22a ≤，即a 的最大值为2222.已知函数()()()10,1x x f x a m a a a -=+->≠是奇函数，且过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（1）求实数m 和a 的值；（2）设()()()22log 220,1x x t g x tf x t t -⎡⎤=+->≠⎣⎦，是否存在正实数t ，使关于x 的不等式()0g x ≤对[]21,log 3x ∈恒成立，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2m =，2a =（2）存在，()0,1t ∈【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质可求得2m =，从而可得解；（2）由（1）可得()()()22log 22220,1x x x x t g x t t t --⎡⎤=+-->≠⎣⎦，再用整体换元思想将函数转化为二次函数，再分类讨论，讨论01t <<时和若1t >时函数的单调性，从而可解决函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立问题.【小问1详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2m =，检验符合.∴()x x f x a a -=-．又因为()f x 过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴()1312f aa --=-=-，∴2a =【小问2详解】由（1）得()22x x f x -=-，()()()22log 22220,1x x x x t g x t t t --⎡⎤=+-->≠⎣⎦因为[]21,log 3x ∈，令22x x k -=-，∴38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h k k tk =-+，∵函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立，∴（ⅰ）若01t <<时，函数()22h k k tk =-+在38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()log t g x h k =为减函数，则需函数()221h k k tk =-+≥恒成立，即210k tk -+≥恒成立．由于对称轴122t k =<，函数()h k 在区间38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴302h ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，∴39310242h t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则136t ≤恒成立，故01t <<合题意（ⅱ）若1t >时，则需()2021h k k tk <=-+≤在38,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则：①33223170267381243t t h t t t h ⎧⎧≤⎪⎪≤⎪⎪⎪⎪⎛⎫>⇒<⇒∈∅⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫≥≤⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩②2381632233Δ803131268731324t t t t t h t h t ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪=-<⎪-<<⎪⎪⎪⇒⇒∈∅⎛⎫⎨⎨≤ ⎪≥⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪⎪≤≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩③8162333131264180123t t h t t t h ⎧⎧≥≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫≤⇒≥⇒∈∅⎨⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫<>⎪⎪ ⎪⎩⎝⎭⎩综上所述：故存在正数()0,1t ∈，使函数()0g x ≤在[]21,log 3上恒成立【点睛】关键点睛：第二小问中，用换元法令22x x k -=-，将复杂函数()g x 转化为二次函数是关键，再利用分类讨论思想解决函数不等式上恒成立的问题，本题考查了函数的奇偶性，整体换元以及分类讨论思想，属于较难题.。
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所以 2 log2 a 0 ，可得： a 1，
当 a 0 时， a 0 ，
由 f (a) f (a) 得 log1 a log2 a ，
2
所以 2log2 a 0 ，即 0 a 1，即 1 a 0 ，
综上可知： 1 a 0 或 a 1.
故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式的关键是对 a 的范围讨论，分情况解，属于中档题. 8、B 【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到
A. 3 3 m2 8
B. 2m2
C. 9 2 m2 8
D. 9 3 m2 8
4． 2021 始边是 x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限
A.一
B.二
的 C.三
D.四
5．手机屏幕面积与手机前面板面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在 0~1
之间．若设计师将某款手机的屏幕面积和手机前面板面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该款手机的“屏
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的 位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
行比较大小，另一方面注意特殊值 0,1 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小
10、B
【解析】由题意得：
a b
1 b 1 c
1 1
，
易得点
Q
1 c
,
b
满足
1 c
b
1
由方程组得
1 a
c
b b 1 1 1b
，两式相加得
c
1 a
1
，即点
P
c,
1 a
在直线 l : x y 1上，
B.2
C.3
D.4
7．设函数
log2
f(x)=
log
1 2
x, x 0
x, x
0若
f
(a)
f
(a) ，则实数 a 的取值范围是（）
A. 1,0 0,1
B. ,1 1,
C. 1,0 1,
D. ,1 0,1
8．四个函数：① y x sin x ；② y x cos x ；③ y x cos x ；④ y x 2x 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按
占比”和升级前相比（）
A.不变
B.变小
C.变大
D.变化不确定
6．已知函数 f (x) 2x 1 ，下面关于 f (x) 说法正确的个数是（） 2x 1
① f (x) 的图象关于原点对称② f (x) 的图象关于 y 轴对称
③ f (x) 的值域为 (1,1) ④ f (x) 在定义域上单调递减
A.1
【详解】因为 f (x)
2x 2x
1 的定义域为 R ， 1
f
x
2 x 2 x
1 1
1 1
2x 2x
f
x ，即函数
f
x 为奇函数，
所以函数 f (x) 的图象关于原点对称，即①正确，②不正确；
因为 f (x) 2x 1 2x 1 2 1 2 ，
2x 1 2x 1
2x 1
由于
y
2 2x 1
一、选择题（本大题共 10 小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．已知函数 f x { x2 4, x a ，若 f f x 0 存在四个互不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为（ ）
3x2 1, x a
A. 2,
B. 6,
④ y x 2x ，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，
故选：B
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
所以 A B 1,2 .
故选：B. 【点睛】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题. 3、D 【解析】先得到两个正三角形面积之和的表达式，再对其求最小值即可.
【详解】设一个正三角形的边长为 x m ，则另一个正三角形的边长为 (3 x)m ，
设两个正三角形的面积之和为 S m2 ，
10000 x
4300,
40
x
经市场调研，该企业决定每辆车售价为 8 万元，且全年内生产的
120.
汽车当年能全部销售完.
（1）求 2022 年的利润 L x （万元）关于年产量 x （百辆）的函数关系式（利润 销售额-成本）；
（2）2022 年产量 多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
故选：B 5、C
【解析】做差法比较 b 与 b m 的大小即可得出结论. a am
【详解】设升级前的“屏占比”为
b a
，升级后的“屏占比”为
b a
m（ m
a
b
0 ，m
0 ）．因为
bm am
b a
a bm aa m
0
，
所以升级后手机“屏占比”和升级前相比变大， 故选：C 6、B 【解析】根据函数的奇偶性定义判断为奇函数可得对称性，化简解析式，根据指数函数的性质可得单调性和值域.
由图可知， f t 0得 t 2或 t 2 ，所以 f x 2 和 f x 2各有两个解
当 f x 2有两个解时，则 a 2 ， 当 f x 2 有两个解时，则 a 6 或 a 3 ，
综上， a 的取值范围是 2, 6 3, ，故选 D
点睛：本题考查函数性质的应用．本题为嵌套函数的应用，一般的，我们应用整体思想解决问题，所以令 f x t ，
故选 B.
二、填空题（本大题共 5 小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11、8 【解析】三阶幻方，是最简单的幻方，由 1，2，3，4，5，6，7，8，9．其中有 8 种排法 4 9 2、3 5 7、8 1 6；2 7 6、9 5 1、4 3 8； 2 9 4、7 5 3、6 1 8；4 3 8、9 5 1、2 7 6； 8 1 6、3 5 7、4 9 2；6 1 8、7 5 3、2 9 4； 6 7 2、1 5 9、8 3 4；8 3 4、1 5 9、6 7 2 故答案为：8 12、4 【解析】利用集合的子集个数公式求解即可.
20．函数
f
x
2x
a 2x
是奇函数．
为 （1）求 f x的解析式；
（2）当 x 0, 时， f x m 2x 4 恒成立，求 m 的取值范围
21．定义：若对定义域内任意 x，都有 f x a f x（a 为正常数），则称函数 f x 为“a 距”增函数
（1）若 f x 2x x ， x (0， )，试判断 f x 是否为“1 距”增函数，并说明理由； （2）若 f x x3 1 x 4 ， x R 是“a 距”增函数，求 a 的取值范围；
【详解】解：① y x sin x 为偶函数，它的图象关于 y 轴对称，故第一个图象即是；
②
y
x
cos
x
为奇函数，它的图象关于原点对称，它在
0,
2
上的值为正数，
在
π 2
,
π
上的值为负数，故第三个图象满足；
③ y x cos x 为奇函数，当 x 0 时， f (x) 0 ，故第四个图象满足；
分别填入 33 的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等 (如图所示)，我们规定：只要两个幻
方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是
__________.
8
3
4
1
5
9
6
7
2
12．满足 A 1, 2 的集合 A 的个数是______________
照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）
A.④①②③
B.①④②③
C.③④②①
D.①④③②
9．设
a
log3
2
，
b
log2
1 3
，
c
2
log3
2
，则
a
、
b
、
c
的大小关系是
A. a b c
B. b a c
C. b c a
D. c a b
10．若点 M (a, 1) 和 N (b, 1) 都在直线 l : x y 1上，又点 P(c. 1 ) 和点 Q(1 ,b) ，则
则S
3 x2 4
3 3 x2
4
3 2
x
3 2
2
93 8
93 8
，
当 x 3 m 时，S 取最小值 9 3 m2 .
2
8
故选：D
4、B
【解析】将 2021 转化为 0 ,360 内的角，即可判断.
【详解】 2021 360 6 139 ，所以 2021 的终边和139 的终边相同，即落在第二象限.
C. 2, 2 6, D. 2, 6 3,
2．设集合 A x | 2x 4 ，集合 B x | y lg(x 1) ，则 A B 等于（ ）
A (1,2)
B.(1,2]
C.[1,2)
D.[1,2]
.3．把长为 9m 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）