《标量函数的梯度》PPT课件
1.3 标量场的梯度
1 1 R r r 2 R 3 R R R | r r |3
f ( R) f ( R)R
df df R R dR dR R df df R R dR dR R
21:38:25
f ( R) f ( R)R
14
2 2 ( x , y , z ) x y z 描述了空间标量 例4 设一标量函数
12
产生场的场源所在的空间位置 点称为源点，记为 ( x, y, z)或r
场所在的空间位置点称为场点， 记为 ( x, y, z )或r 源点到场点的距离为 R | r r | 从源点指向场点的矢量为 R r r x
源点
z
R
场点Leabharlann rory表示对（x, y, z）运算,表示对（x, y, z）运算。
u u u u e x ey ez x y z u gradu
u gradu e l | gradu || el | cos l
标量场u的梯度， 用 gradu 表示
| el | 1
u | gradu | cos l
梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个， 其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。
同一个温度场中，其等温面 沿不同方向的变化率不同： L1的方向导数为-3/10 L2的方向导数为-3/20 L3的方向导数为-3/8
2
1.3 标量场的梯度
若M0为标量场u(M)中的一点，标 量场u(M)在点M0处沿l方向的方向导数 为
u l
M0
u (r )
M M0
l
u(M ) u(M 0 ) lim l 0 l
l 2 2 x 2y 1 2
矢量场和梯度算子ppt课件
2023/10/21
什么是场？
11
场在空间某个方向上的变化率
φ在 方向上的变化率 方向导数
在每一点处的数值都满足矢量分量的变换规律
2023/10/21
梯度算子
12
场在空间某个方向上的变化率(续)
是一个矢量场的三个分量
梯度算子
φ在 方向上的方向导数
2023/10/21
梯度算子
13
梯度算子
梯度算子▽是一个矢量算子 梯度算子是一个矢量微分算符：
(3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得
证毕
2023/10/21
梯度算子
20
场随空间的二阶变化
矢量场散度
是标量场：
①
矢量场旋度
是矢量场：
②
③
标量场梯度
是矢量场：
④
⑤
④
Laplace(标量)算符
是一个矢量场，其分量为
2023/10/21
梯度算子
21
场随空间的二阶变化
矢量场散度
是标量场：
①
矢量场旋度
是矢量场：
➢ 作为矢量，满足通常矢量点乘和叉乘运算法则 ➢ 作为算符，需作用于表达式中的所有对象
标量场梯度是一个矢量场：
矢量场散度是一个标量场：
矢量场旋度是一个矢量场：
2023/10/21
梯度算子
14
与位置有关的矢量微分公式
证明：
2023/10/21
梯度算子
15
与梯度算子有关的一些矢量恒等式
2023/10/21
(2) 视 ∇A 矢和 ∇B 为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：
(3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得
数学张量分析PPT课件
第6页/共92页
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
第1页/共92页
矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
场论,标量场的梯度, 矢量场的散度和旋度ppt课件
若S 为闭合曲面
SA dS
在直角坐标系中，通量可以写成
ψ AdS Axdydz Aydzdx Azdxdy
S
S
物理意义：表示流入和流出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。 20
2、散度的物理意义及特点：
1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 表示矢量场在一点处的流入或流出的大小
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间位置的函数；
22
divA 0
发射源／正源
divA 0
吸收源／负源
divA 0
无源
23
散度 Divergence of a vector field
L
l1 xex ;l2 yey ;
l3 x(ex );l4 y(ey )
l3 l4
Ax (3)
Ax (x,
y y, z)
Ax (1)
Ax y
y
Ay (2)
Ay (x
x,
y, z)
Ay (4)
Ay x
x
y
A
x
(x, y, z) l1
A•
dl
(
Ay
Ax
)xy
L
x y
( A)z xy ( A)nˆ S
21
散度 Divergence of a vector field
1、定义：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即
1.3标量函数的梯度
en
gradu gradu
记忆！！
（三）哈密顿（Hamilton）算子
➢ 引入一个算子
ex x ey y ez z 称为哈密顿算子。 读作“del（德尔）”或
“nabla（那勃拉）”
直角坐标下的具体实例
u
(ex
x
ey
y
ez
)u z
u x
ex
u y
ey
u z
ez
gradu u
(四) 梯度运算基本公式
函数u(x,y,z) 沿其中哪 个方向的 变化率最 大?
G
u x
ex
u y
ey
u z
ez
u l
G el
G
cos G, el
u G l max
u(x,y,z)沿G方向变化率最大 矢量G的模也正好就是该最大变化率。
(二)梯度的性质 ➢ 一个标量函数（标量场）的梯度是一个矢量函数。
在给定点，梯度的方向就是函数变化率最大的方 向，它的模恰好等于函数在该点的最大变化率的 数值。又因函数沿梯度方向的方向导数
22
cos
1
1
12 22 22 3
cos 2 cos 23
3
u (u , u , u )(cos, cos , cos )
l x y z = 1 1 0 2 1 2 1 23 3 23 2
三、梯度(Gradient)
（一）梯度的定义：大小？方向？
el
l l
cos ex cos ey cos ez
1.3 标量函数的梯度
一、标量场？的等值面
➢ 在直角坐标系中，某一物理标量函数u可表示为
u ux, y, z
u u r, r = (x, y,z)
§1.2 标量场及其梯度
1、标量场定义及图示对于区域V 内的任意一点r，若有某种物理量的一个确定的数值或标量函数ƒ(r)与之对应，我们就称这个标量函数ƒ(r)是定义于V 内的标量场。
o rf (r)V标量场有两种：与时间无关的恒稳标量场，用ƒ(r) 表示；与时间有关的时变标量场，用ƒ(r,t )表示。
§1.2标量场及其梯度等值线标量场的图示--等值线(面)。
constz y x f )( ,,在某一高度上沿什么方向高度变化最快？作图原则：1）等值线(面)不能相交，2）相邻等值线（面）差值为常数。
2、梯度点位移导致ƒ的改变(x ,y ,z )(x +d x ,y +d y ,z +d z )ƒ+dƒƒd l yz xo 线元矢量：d l =d xe x +d y e y +d z e z (1)梯度的导出右图中，由(x,y,z ) 点到邻近的(x +dx,y +dy,z +dz )点的微分位移d l 将导致场函数有一微分增量d f标量场的相应微增量d ƒ则为：z z f y y f x x f f d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=l e e e d )(d ⋅∂∂+∂∂+∂∂=z y x zf y f x f f )(z y x zf y f x f f gradf e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇=标量场ƒ(x,y,z )在(x,y,z )点的梯度(gradient ) 定义为：l d d ⋅∇=f f因此⋅∂∂+∂∂+∂∂=)(d z y x z f y f x f f e e e （d x e x +d y e y +d z e z ）(x ,y ,z )(x +d x ,y +d y ,z +d z )ƒ+dƒƒd l 梯度定义式（梯度定义式）(2)方向导数与梯度的关系偏导数、、分别叫做ƒ 在x 、y 、z 方向上的方向导数，用梯度表示为x f ∂∂y f ∂∂zf ∂∂⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∇=∇=∂∂∇=∇=∂∂∇=∇=∂∂⋅⋅⋅z z y y x x f f z ff f y f ff x f e e e )()()(推广到ƒ(x ,y ,z )在某点沿任意矢量l 方向的方向导数，则应表为ll f f l fe ⋅∇=∇=∂∂)(式中，e l 是l 的单位矢量。
（标量函数的梯度）
Chapter 2. Summary of Vector analysis ( 2 )2. Gradient, Divergence, and curl/rotation2.1 Gradient of scalar function (标量函数的梯度)标量场(,,)F x y z 中，各点的大小可能不等，因此某点(,,)F x y z 沿各个方向的变化率可能不同。
人们颇为关心的问题是：(,,)F x y z 沿那一个方向的变化率最大？以及这个最大变化率的表达式是甚麽？为此，令(,,)F x y z 为x, y , z 的实值可微函数。
(,,)F x y z 从P 到Q 的微分变化可以表示为F F FdF dx dy dz x y z∂∂∂=++∂∂∂x y z x y z F F F a a a a dx a dy a dz x y z ⎡⎤∂∂∂⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦∂∂∂⎣⎦(1)令等号右边第一个方括号为： x y zF F F F a a a x y z∂∂∂∇=++∂∂∂(2) 显然，等号右边第二个方括号为： x y z d l a d x a d y a d z =++(3)则(1)式可写为 d F Fd l =∇(4) 或 l dFF a dl=∇ (5) 式(5)中l dla dl=是从P 至Q 在dl 方向的单位矢量。
式（4）或（5），给出了标量函数F 的梯度定义：标量函数f 在某点梯度 (Grad F , 通常以表示 ) 是一个矢量, 其大小F ∇等于F 在该点的的最大方向导数max dF dl, 其方向是该点的最大方向导数的方向, 即lF a F∇=∇ 。
此外还可得到关于梯度的如下两个性质: (1) 梯度的方向垂直于给定标量函数(,,)F x y z 的等值面；(2) 函数(,,)F x y z 在某点在任意方向的方向导数等于该函数在该点的梯度与该方向单位矢量的标量积。
F + dF =上述方程(1)给出函数F 的梯度F ∇在直角坐标系的表示式x y zF F F F a a a x y z∂∂∂∇=++∂∂∂(6) 在圆柱坐标系的表示式1z F F F F a a a z∂∂∂∇=++∂∂∂ρφρρφ (7)在球坐标系的表示式11sin r F F F F a a a r r r ∂∂∂∇=++∂∂∂θφθθφ(8)2.2 Divergence of a vector field and divergence theorem (矢量场的散度及散度定理)(1) Flux of a vector field F矢量场沿有向曲面（开曲面）S 的面积分称为该矢量F通过该有向曲面的通量，以ψ表示，即：sF d S =⎰ψ (9)由（9）可见，矢量F通过某一有向曲面的通量，既与该矢量的大小有关，又与该矢量的方向有关。
1.4标量场的梯度
( x + y) − z = 0
2
z = ( x + y)
2
x2 + y2 例题4】 【例题 】求数量场 u = z l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。 方向的方向导数。
【解】 l方向的方向余弦为 方向的方向余弦为
在点M(1, 1, 2)处沿 在点 处沿
1 cos α = = 2 2 2 3 1 +2 +2
3、梯度的性质 标量场的梯度是一个矢量场。 标量场的梯度是一个矢量场。
标量场在给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。 标量场在给定点处沿某方向的方向导数等于梯度在该方向上的投影。
标量场中某点处的梯度，垂直于过该点的等值面， 标量场中某点处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向
u (r ) 增加的方向。 增加的方向。
2 cos β = = 12 + 2 2 + 2 2 3 2
1
2 cos γ = = 2 2 2 3 1 +2 +2
2
而
∂u 2 x ∂u 2t ∂u − ( x + y ) = , = , = 2 ∂x z ∂y z ∂z z
2 2
数量场在l方向的方向导数为 数量场在 方向的方向导数为
∂u ∂u ∂u ∂u = cos α + cos β + cos γ ∂l ∂x ∂y ∂z 1 2x 2 2 y 2 x + y = + − 2 3 z 3 z 3 z
∂u u + ∆u − u ∆u = lim = lim ∂l ∆u →0 PM ∆u →0 PM
2、方向导数在直角坐标系中的表示
en
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y x2 y2 z2
u z
z x2 y2 z2
M 1,0,1
u 1 u 0 u 1
x 2 y
z 2
cos
1
1 cos 2 cos 2
12 22 22 3
3
3
u
11 2 12 1
0
l M0 2 3
3 23 2
三 梯度 1.梯度的定义
u u cos u cos u cos
C
q
40 x2 y2 z2
或
x2
y2
z2
q
4 0C
2
这是一个球面方程.
二 方向导数
M0 x0, y0, z0 为标量场u x, y, z 中的一点，从点 M0出发朝任
一方向引一条射线 并l 在该方向上靠近点 取M一0动点 M x0 x, y0 y, z0 z ，点M0 到点M 的距离
l 0
l
上沿 l 方向的方向导数的 表达式
u cos u cos u cos
x M0
y M0
z M0
u u cos u cos u cos
l x
y
z
例2求函数 u x2 y2 z2 在点M 1,0,1 沿l ex 2ey 2ez
方向的方向导数 .
解 u
x
u
x x2 y2 z2 y
一 标量场的等值面 一个标量场可用一个标量函数来 表示。直角坐标系中，标量函数
u 可表示为
u ux, y, z
方程 ux, y, z C 随着C 的取值不同，
给出一组曲面.这样的曲面称为标量场 的等u值面.
u x, y, z C （ C 为任意常数）称为等值面方程.
如果某一标量物理函数 是两个坐标变量的函数，这样
2.梯度的性质
（一）一个标量函数的梯度是一个矢量函数.
（二）函数 u在给定点沿任意 方向l 的方向导数等于 函数 u 的梯度在 方l 向上的投影.
（三）在任一点 M，标量场 u x, y,的z 梯度垂直于过该
M
点的等值面.
单位法线矢量
en gradu gradu
3.哈密顿（Hamilton）算子
表示为 l.
u lim u M u M0
l l0 M0
l
u
定义
l
M
就称为函数
0
沿 方l向的方向导数.
u x, y, z在点M0
物理意义 方向导数是函数 ux, y,在z给定点沿某一方向对
距离的变化率.在直角坐标系中，
u u , u ,就u是函数 沿
三个坐标轴方向的方向导数 .
x y z
直角坐标系中
1 R
x
x2
Hale Waihona Puke yy2zz2
1 2
x
x
x2
y
y2
z
z2
1
2
ex
y
x
x2
y
y2
z
z2
1
2
ey
z
x
x2
y
y2
z
z2
1 2
ez
所以
'
1 R
R R3
eR R2
1 R
'
1 R
l x2 y2 z2
式中 x l cos, y l cos , z l cos cos,cos ,cos 是l 的方向余弦.
根据多元函数的全增量的关系，有
u u M u M0
u x u y u z l
x M0
y M0
l 0 0
z M0
结论 直角坐标系中任意点
lim u M u M0
uv vu uv
u v
1 v2
vu
uv
f u f uu
R明
例3 R x x2 y y2 z z2
x, y, z, x表, y示, z空间点
试证
1
和R
1 R
点
之间的x距, 离y,。z符号 表示对
微分，即
ex
x
ey
y
ez
z
解
所以
1 R
R R3
eR R2
的场称为平面标量场.
x, y C 称为等值线方程.
例1设点电荷 q位于直角坐标系的原点，在它周围
空间的任一点
M的 x电, y位, z是
x, y, z
q
40 x2 y2 z2
式中 q和 0是常数.试求等电位面方程.
解根据等值面的定义，令 x, y, z （C 常数）即得
到等电位面方程
l x
y
z
el cos ex cos ey cos ez
u u u G ex ey ez
x y z
u G el G cos G,el
l
定义 标量场 u x, y, z在点 M处的梯度是一个矢量，记作
gradu G
它的大小等于场在点 所M有方向导数中的最大值，它的
方向等于取到这个最大值所沿的那个方向.
ex ey ez x y z
e
e
1
ez
z
er e 1 e 1
r r r sin 在直角坐标系中
u (ex ey ez )u u ex u ey u ez x y z x y z
gradu u
4.梯度运算基本公式
C 0
Cu Cu
u v u v