1.3 线性规划的基本概念

11
三、标准型转换方法（标准化）
(4)约束条件右边为负
原约束方程中有一个为:2 x1 6 x2 8 x3 5 方程两边 （ 1）得 2 x1 6 x2 8 x3 5
(5)决策变量≤0
x3 , 则 x3 0 例 如 ： x 3 0, 取 x 3
MaxZ 3 x1 5 x2 x3 16 2 x1 2 x2 x4 10 s.t. x5 32 3 x1 4 x2 x1 , x2 ...x5 0
13
添 x3,x4,x5 三 个 松 弛变量，因为原 模型有三个≤ 的约 束！
三、标准型转换方法（标准化）
6
二、LP标准型的几种表达方式
（2）代数式缩写式
n
（3）向量式
max Z CX n p j x j b s.t. j 1 x 0 j
m ax Z
c
j 1
j
xj
n a ij x j bi s.t. j 1 x 0 j
（4）矩阵式
17
四、标准型LP的基本概念
1、基矩阵：设A为约束方程组的 方程组的m╳n阶系数矩阵 系数矩阵（ （通常总假 定 n>m ， 且 A 的秩 =m ） ， 若 B 是 A 的一个 m╳m 阶的满秩子 矩阵， 矩阵 ，则称B是LP问题的一个 问题的一个基。 。

基的特点： ①B中任意列线性无关; ②可逆；③行列式值不等于零。
-z
9
z
x
三、标准型转换方法（标准化）
(2)约束条件为“≤”型
对a21x1 a22 x2 a2n xn b2 则引入松弛变量s1, s1 0 则有a21x1 a22 x2 a2n xn s1 b2，且s1 0 如： 2x1 6x2 8x3 5 原约束方程变为： 2x1 6x2 8x3 s1 5，s1 0
1
B 1b 0
B b 称AX b的解X 为线性规划的一个基本解； 0
21
四、标准型LP的基本概念
例4：求解引例
M axZ 3 x 1 5 x 2 x3 16 2 x1 x4 10 2 x2 s .t . x 5 32 3 x1 4 x 2 x 1 , x 2 ... x 5 0
max Z CX AX = b X 0
7
A：技术系数矩阵，简称系数矩阵； B：可用的资源量，称资源向量； C：决策变量对目标的贡献，称价值向量； X：决策向量。
三、标准型转换方法（标准化）
一般LP有标准化 1 、 目 标 函 数 ： 如 果极 小 化 原 问 题 MinZ=CX ， 则 令 Z'=-Z，转为求 MaxZ'=-CX 2、资源限量：若某个bi<0，则以－1乘该约束两端， 使之满足非负性的要求。
0 2 4
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B4={p1p3p4} B9={p2p4p5} B5={p1p3p5} B10={p3p4p5}
B3={p1p2p5} B8={p2p3p5}
其中B5和B9不能做基，因为其行列式的值等于零！
23
引例求基解
2 0 1 x1 16 0 2 0 x 10 2 3 4 0 x3 32
2、 基向量：若 B是 LP问题的一个基 问题的一个基， ， 则它的每一个列向量称 为基向量。 。常用Pj表示（j=1，2，…，n） 。 3、基变量：与基向量Pj 相对应的m个变量xj称为基变量 称为基变量。常 用XB表示。 4、非基矩阵：A中除B之外的剩余的n-m列系数所组成的矩阵则 称为一个非基矩阵，常用N表示。 5 、 非 基 向 量 ： 组 成 非 基 N 的 列 为 非 基 向 量 ， 用 Pj 表 示 （j∈N） 。 6、非基变量：与非基向量Pj 相对应的n - m个变量称为非基变 量。常用XN表示。
请列出其所有的基、基本解和相应的基变量。 提示：本例中一共有几个基？ 10个基 一般地，m×n 阶矩阵A中基的个数最多有多少个？
C 。
m n
22
引例分析
p1 p2 p3 p4 p5
2 A 0 3
B1={p1p2p3} B6={p1p4p5} B2={p1p2p4} B7={p2p3p4}
16
课堂练习
min z 20x1 5x2
（ 2）
x1 x2 3x3 40 x 9x 7x 50 1 2 3 max z 2x1 x2 3x3 x4 st . 5x1 3x2 20 x1 x2 x3 x4 7 2x 3x 5x 8 x1 0, x2 0, x3无符号限制 1 2 3 st . x1 2x3 2x4 1 （ 1） x1 0, x2 0, x3无符号限制
10
三、标准型转换方法（标准化）
(3)约束条件为“≥”型
对a21x1 a22 x2 a2n xn b2 则引入剩余变量s1, s1 0 则有a21x1 a22 x2 a2n xn s1 b2，且s1 0 如： 2x1 6x2 8x3 5 原约束方程变为： 2x1 6x2 8x3 s1 5，s1 0
15
三、标准型转换方法（标准化）
例3：将线性规划问题化为标准型 MinZ x1 2 x
2
3 x1 8 x 2 5 s .t . x 1 3 x 2 4 x 0 , x 为无约束 1 2
？
标准型：
MaxZ x1 2 ( x3 x 4 ) 5 3 x1 8 ( x3 x 4 ) x5 x6 4 s.t . x1 3( x3 x 4 ) x ,x ,x ,x ,x 0 1 3 4 5 6
14
三、标准型转换方法（标准化）
解：（1）对自由变量x3,令x3=x4-x5，其中 x4 , x5 （2）对≤的约束引入x6，对≥型约束引入变量x7
0
（3）将第3个约束方程两边乘以（－1） （4）目标函数将极小值问题反号，变为求极大值 标准形式如下：
MaxZ 2 x1 x2 3( x4 x5 ) 0 x6 0 x7 7 5 x1 x2 ( x4 x5 ) x6 x x (x x ) x7 2 1 2 4 5 5 5 x1 x2 2( x4 x5 ) x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0
5
二、LP标准型的几种表达方式
（1）代数式展开式
n
max z c1x1 c2x2 cn xn max z ci xi
i1
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 n st . aji xi bj , j 1,2,, m i1 a x a x a x b mn n m m1 1 m2 2 x1, x2 , xn 0 xi 0, i (1,, n) b1, b2,bm 0 bj 0, j 1,2,, m
例2：将下列线性规划问题化为标准形式
MinZ
2 x1 x 2 3 x 3
5 x1 x 2 x 3 7 x1 x 2 4 x 3 2 3 x1 x 2 2 x 3 5 x 1 , x 2 0 , x 3 为无约束（无非负限制）
2
1、矩阵：基、非 基，可行、最优 2、解：基解、基 可行解、基最优解、 退化解 3、变量：基、非 基；向量：基、非 基 二、基本概念
3
四个基本定理： 分析、判断可行 域与最优解之间 的关系
三、基本原理
3
一、线性规划标准型的定义
标准型线性规划模型
标准型的条件
目标函数 MAX
约束方程 =
资源限量 非负
决策变量 非负
4
一、线性规划标准型的定义
LP的标准形式：
n
MaxZ c j x j
j 1
资源系数非负
目标函数求极大值
n aij x j bi , i 1,2,...,m s.t. j 1 x j 0, j 1,2,...,n 约束条件为等式
决策变量非负
线性规划的标准形式有如下四个特点：目标最大化、 约束为等式、决策变量均非负、右端项非负。
3、约束方程：①对于≤型约束，则在左端加上一个非负松弛变 量，使其为等式。 ②对于≥型约束，则在左端减去一个非负剩 余变量，使其为等式。 4 、决策变量： ①若某决策变量 xk 小于零，则令 xk=-x‘k ， （ x’k≥0 ） 。②若某决策变量 xk 无非负约束，令 xk=x‘k-x“k ， （x’k≥0,x”k ≥0）。
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
寻求线性规划通用算法的思路
图解法 单纯形法
最优解
基最优解 基可行解
线性规划
顶点 可行域 一般模型
2
基，基解 标准模型
第三节 线性规划的基本概念
学习要点
1
1、线性规划标 准型 2、线性规划标 准型的几种表达 方式 3、标准型转换 方法（标准化） 一、标准型
A ... ...
基
am1 ... amm
am ,m 1 ... amn
B
基向量pm
N
非基向量pm+1
19
四、标准型LP的基本概念
7、可行解：满足约束条件AX=b, X≥0的解。 8、基本解：令所有非基变量等于零，求得的一组特 殊的解，简称基解。 9、可行基：可行解对应的基矩阵。 10、基可行解：满足非负性约束的基解称为基可行 解。 11、最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优 解。 12、最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 13、基最优解：能使目标函数达到最优的基可行解。
(6)决策变量无符号限制
例如： x3是无符号限制变量 , 引进 x3 0， x3 0， 令 x3 x3 x3 ,
12
三、标准型转换方法（标准化）
例1：将引例1转化为标准型：
M axZ 3 x 1 5 x 2 16 2 x1 2 x 2 10 s .t . 3 x 1 4 x 2 32 x1 0 x 2 0
x2
9 2x1 =16
18
四、标准型LP的基本概念
基变量
XB
a11 ... a1m ... ... ... ... a1, m 1 a2, m 1 ... ... a21 ... a 2 m
XN
... a1n ... a2 n ... ... ...
非基
非基变量
X (x1 ... xm xm1 ... xn )
8
三、标准型转换方法（标准化）
(1)对求目标函数最小值:
min z ci xi , 取z z
i
则求min z ci xi问题转为求max z ci xi问题
i
后， 当求出max z ci xi问题的最大值z0 就是原问题min z CX的最小值 z0 例如求min z 2x1 6x2 8x3 可化为求max z 2x1 6x2 8x3
20
四、标准型LP的基本概念 基本解:
两端同时左乘B－1，
XB AX B, N b X N
AX BX B NX N b
X B B 1b B 1 NX N
移项整理有：
当取XN = 0，这时有XB=B-1b。
Hale Waihona Puke Baidu
B 1b B 1 X N X XN