2018年高考真题汇编——理科数学(解析版)6：平面向量

2018高考真题分类汇编：平面向量

1.【2018高考真题重庆理6】设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且//,⊥，

+

（A （B （C ） （D ）10 【答案】B

【解析】因为c b c a //,⊥，所以有042=-x 且042=+y ，解得2=x ，2-=y ，即

)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+b a 10=+，选B.

2.【2018高考真题浙江理5】设a ，b 是两个非零向量。

A.若|a+b |=|a |-|b |，则a ⊥b

B.若a ⊥b ，则|a +b |=|a |-|b |

C.若|a +b |=|a |-|b |，则存在实数λ，使得b =λa

D.若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |-|b | 【答案】C

【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．

3.【2018高考真题四川理7】设a r 、b r 都是非零向量，下列四个条件中，使||||

a b

a b =r r

r r 成立的

充分条件是（ ）

A 、a b =-r r

B 、//a b r r

C 、2a b =r r

D 、//a b r r 且||||a b =r r

【答案】C

【解析】A.|

|||b a =为既不充分也不必要条件；B.可以推得||||a b a b =r r

r r

|

||

|b a =为必要不充分条件；C ．为充分不必要条件；D 同B.

4.【2018高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的

是

(A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a +b =a -b 【答案】B

【解析】一、由|a +b |=|a -b |，平方可得a ?b =0,

所以a ⊥b ，故选B

二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a +b |=|a -b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b ，故选B 【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。解析一是利用向量的运算来解，解析二是利用了向量运算的几何意义来解。

5.【2018高考真题江西理7】在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则

22

2

PA PB PC

+=

A ．2

B ．4

C ．5

D ．10 【答案】D

【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设

0,),,0(),0,(>b a b B a A ，则)2,2(b a D ，)4,4(b

a P ,所以1616)4()4(22222

b a b a PC +=

+=，16

916)4()4(222

22b a b b a PB +

=-+=，

16

169)4()4(2222

2

b a b a a PA +

=+-=，所以

2

2222222

2

10)1616(101616916916PC b a b a b a PB PA =+=+++=+,所以102

2

2

=+PC

PB PA ，选D.

6.【2018高考真题湖南理7】在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC u u u r u u u r

g = 1则___BC =.

37 C.2223【答案】A

【解析】由下图知AB BC u u u r u u u r g = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=??-=u u u r u u u r u u u r

. 1

cos 2B BC

∴=

-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=?

，解得BC =.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思

想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC u u u r u u u r

的夹角为B ∠的外角.

7.【2018高考真题广东理3】若向量BA u u u r

=（2,3），CA u u u r =（4,7），则BC uuu r =

A ．（-2,-4）

B ． (3,4)

C ． (6,10)

D ． (-6,-10) 【答案】A

【解析】)4,2()7,4()3,2(--=-=-=CA BA BC ．故选A ．

8.【2018高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β，定义β

ββ

αβα??=

ο．若平面向量a ，b 满足|a|≥|b |＞0，a 与b 的夹角)4,0(π

θ∈，且b ρο和ο都在集合}

|2

{Z n n

∈中，则b ρ

ο=

A ．

12 B.1 C. 32 D. 52

【答案】C

【解析】因为22cos ||>

≥=?=θθb a b b b a b ρο，1cos <≤==θθa b ορ

， 且b a ρο和a b ο都在集合}|2{Z n n ∈中，所以21|

|==θa b b ορ，θcos 21

||=

a b ，所以2cos 22

<==θθb a ρο，因为)4,0(πθ∈，所以21<

C ．

9.【2018高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP uuu r

按逆时针旋

C

转34

π

后，得向量OQ uuu r ，则点Q 的坐标是（ ）

()A (72,2)-- ()B (72,2)- ()C (46,2)-- ()D (46,2)-

【答案】A

【命题立意】本题考查平面向量与三角函数交汇的运算问题。

【解析】【方法一】设34

(10cos ,10sin )cos ,sin 55

OP θθθθ=?==u u u r ，

则33(10cos(),10sin())(72,2)44OQ ππθθ=++=--u u u r ．

【方法二】将向量(6,8)OP =u u u r 按逆时针旋转32

π

后得(8,6)OM =-u u u u r ，则

()(72,2)2

OQ OP OM =-+=--u u u r u u u r u u u u r ．

10.【2018高考真题天津理7】已知ABC ?为等边三角形，AB=2，设点P ，Q 满足AB AP λ=，

AC AQ )1(λ-=，R ∈λ，若2

3

-=?CP BQ ，则λ=

（A ）

2

1

（B ）221±

（C ）

2101± （D ）2

2

23±-

【答案】A

【解析】如图

，设c AC b AB ==, 2,2=?==c b ，又

c b AQ BA BQ )1(λ-+-=+=，b c AP CA CP λ+-=+=，由2

3-

=?得2

3)1()1()(])1([2-

=?+-+--=+-?-+-b c λλλλλ，

即

2

3

)1(24)1(42-=+-+--λλλλ，整理01442=+-λλ，即0)12(2=-λ，解得21=

λ选A.

11.【2018高考真题全国卷理6】△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，

|b|=2，则

(A) （B ）

(C) (D)

【答案】D

【解析】在直角三角形中，521

===AB CA CB ，，,则5

2=

CD ,所以

5

4

54422=-=-=CD CA AD ,所以

5

4

=AB AD ,

即

b a b a AB AD 5

4

54)(5454-=-==

，选D. 12.【2018高考真题新课标理13】已知向量,a b r r 夹角为45?

，且1,210a a b =-=r r r ；则_____b =r

【答案】32

【解析】因为102=-b a ，所以10)2(2

=-b a ，即10442

2=+?-b

b a a ，所以

1045cos 440

2

=-+b b ，整理得06222

=--b b ，解得23=b 或2-=b （舍去）.

13.【2018高考真题浙江理15】在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ?u u u r u u u r

=________.

【答案】-16

【解析】法一此题最适合的方法是特例法．

假设?ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图，

AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC 34

cos ∠BAC ＝

34341008

23417

+-=-?．AB AC ?u u u r u u u r ＝cos 16AB AC BAC u u u r u u u r ?∠=- 法二：

163104

1

41)21()21(2222-=+?-=+-=+?+-=?AM BC AM BC AM BC AC AB .

14.【2018高考真题上海理12】在平行四边形ABCD 中，3

π

=∠A ，边AB 、AD 的长分别

为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|

||

|CD BC =

，则AN AM ?的取

值范围是 。

【答案】[2,5].

【解析】设

CD

CN BC

BM

=

=λ（0≤λ≤1），

则BC BM λ==AD λ,DC DN )1(λ-==AB )1(λ-，

则AN AM ?=))((DN AD BM AB ++=])1()[(AB AD AD AB λλ-++ =AD AB ?+2

)1(AB λ-+2

AD λ+AB AD ?-)1(λ, 又∵AD AB ?=2×1×3

cos

π

=1，2AB =4，2

AD =1，

∴AN AM ?=6)1(522

2++-=+--λλλ，

∵0≤λ≤1，∴2≤AN AM ?≤5，即AN AM ?的取值范围是[2,5].

15.【2018高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于

(2,1)时，OP uuu r

的坐标为______________.

【答案】)2cos 1,2sin 2(--

【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2=PA ，即圆心角

2

=∠PCA ,,则2

2π

-

=∠PCA ,所以

2cos )22sin(-=-

=π

PB ，2sin )2

2cos(=-=π

CB ，所以2sin 22-=-=CB x p ，2cos 11-=+=PB y p ，所以)2cos 1,2sin 2(--=OP 。

16.【2018高考真题北京理13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ?的值为________，DC DE ?的最大值为______。 【答案】1，1

【解析】根据平面向量的数量积公式=?=?DA DE CB DE θcos ||||DA DE ?，由图可知，

||cos ||DA DE =?θ，因此1||2==?DA CB DE ，

=?=?αcos ||||DC DE DC DE αcos ||?DE ，而αcos ||?DE 就是向量DE 在边上的射

影，要想让DC DE ?最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为DC ，所以长度为1．

17.【2018高考真题安徽理14】若平面向量,a b r r

满足：23a b -≤r r ，则a b r r g 的最小值是_____。

【答案】9

8

-

【命题立意】本题考查平面向量的模与数量积的运算。

【解析】222

22349494449448

a b a b a b

a b a b a b a b a b a b -≤?+≤++≥≥-?+≥-?≥-

r r r r r r g r r r r r r r r r r r r g g g g 18.【2018高考江苏9】（5分）如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =u u u r u u u r g AE BF u u u r u u u r

g 的值是 ▲ ．

2。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。

【解析】由2AB AF =u u u r u u u r g cos 2AB AF FAB ∠u u u r u u u r

g g cos =AF FAB DF ∠u u u r g 。

∵2AB =22DF =1DF =。∴21CF 。

记AE BF u u u r u u u r

和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。

又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。

∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF θαβαβαβ+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g g g

)

=cos cos sin sin =122

212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=?=u u u r u u u r u u u r u u u r

g g g g g

本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。