数学专题讲义---数列

一．等差、等比数列的基本理论 ⑴等差、等比数列：

⑵判定一个数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数).

⑶判定一个数列是不是等比数列有以下三种方法： ①1(2,)n n a a q n q -=≥为非零常数

②112

-+?=n n n

a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) ③n n cq a =(q c ,为非零常数).

⑷数列{n a }的前n 项和n S 与其通项n a 之间的关系：???≥-===-)2()

1(111n s s n a s a n n

例1. 在等差数列{}n a 中，972S =。求249?a a a ++= 解：法一：因为9119(91)

9936722

S a d a d -=+

=+=

所以148a d +=

249113123(4)3824a a a a d a d ∴++=+=+=?=

法二：因为91289...72S a a a a =++++= 而19285...2a a a a a +=+== 所以 5972a = 58a ∴=

249533824a a a a ∴++==?=

例2. 在等比数列{}n a 中，11a =，634S S =。求4?a = 解：因为634S S =

所以公比1q ≠（事实上，若1q =，则6166S a ==，3133S a ==此时显然不满足题设条件634S S =）

于是有 6311(1)(1)

411a q a q q q

--=-- 6314(1)q q ?-=-

又6331(1)(1)q q q -=+-

314q ∴+= 33q ∴= 341133a a q ∴==?=

例3. 在等差数列{}n a 中，535a a =。求

?S S = 解：法一：1955151331

9(91)

999(4)992595(51)5(2)555

a d S a a a d S a d a a a d -+

+====?=?=-++

法二：因为95539,5S a S a == 所以

95553399959555

S a a S a a ==?=?= 例4. 设数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=， n *

∈N 。求5?a =，8?S =

解：因为12n n a a +=

所以

2n n

a a += {}n a ∴是以11a =为首项，2q =为公比的等比数列

1111122n n n n a a q ---∴==?=

5216a ∴==；8881(12)

2125512

S ?-==-=-

例5. 设数列{}n a 满足431n a -=，410n a -=，2n n a a =， n *

∈N 。求2009?a =，2014?a =

解：因为200945033=?- 所以2009

450331a a ?-==

又201421007=?

2014210071007425210a a a a ??-∴====

例6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且公比

为正数，1133331,3,17,12a b a b T S ==+=-=。求,n n a b 解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q

则由11331,3,17a b a b ==+=，有211(2)17a d b q ++= 即2(12)317d q ++=；亦即23216q d +=①

又由11331,3,12a b T S ==-=，有

311(1)3(31)

[3]1212b q a d q ---+=- 即

33(1)

(33)121

q d q ?--+=-；亦即233312q q d +-=② ①-②，得534d q -= 34

q d +∴=

（﹡）将345q d +=代入①，得234

32165q q ++?

= 化简整理，得252240q q +-= (2)(512)0q q ?-+=

2(,)5

q q ∴==-

舍去这是因为已知公比为正数将2q =代入（﹡），得2d =

故1(1)221n a n n =+-?=-；132n n b -=?

例7.已知等差数列{}n a 中，374616,0a a a a =-+=。求n S 解：因为4637a a a a +=+

所以由已知460a a +=，有370a a += 又3716a a =-

37,a a ∴是一元二次方程2160x -=的两个根 374,4a a ∴==-或者374,4a a ∴=-=

当374,4a a ==-时，有112464a d a d +=??+=-?1

a d =???=-? 此时2(1)

8(2)92

n n n S n n n -=+

?-=-+；当374,4a a =-=时，有112464a d a d +=-??+=? 18

2a d =-???=?

此时2(1)

8292

n n n S n n n -=-+

?=- 二．数列求和

一般地，数列求和常见的方法有以下几种：（1）公式法；

（i ）等差数列求和公式：11(1)

n n a a n n S n na d +-==+

（ii ）等比数列求和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??

=--?=≠?--?

当时当时

（2）分组求和法；

注：“分组求和法”通过把数列的通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列，再

根据公式进行求和。

（3）倒序求和法；

注：“倒序求和法”是推导等差数列前n 项和的方法。

（4）错位相减法；

注：“错位相减法”是推导等比数列前n 项和的方法，常应用于形如{}n n a b 的数列求和,其中

{}n a 为等差数列, {}n b 为等比数列。

（5）裂项相消法；

注：“裂项相消法”通过把数列中的每一项都拆成两项或几项的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项。关于裂项相消法，常见的拆项公式有：

11111()

()i n n n n =-++； 1111

()

()()ii n n k k n n k =-++； 1111212122121()

()()()iii n n n n =--+-+；

(iv =；

例1. 求11103100510007....(1021)n n ++++++-的和。解：（分组求和法）

11103100510007....(1021)(101)(1003)(10005)...(1021)10(110)1(21)1(101010...10)[135...(21)](1010)11029

n n n n

n n n n n n n +++++++-=++++++++--+-=++++++++-=+?=-+-

例2. 求数列1111

1,3,5,...,(21), (2482)

n n -+的前n 项和。

解：（分组求和法）

令数列1(21)2n n ?

?-+???

?的前n 项和为n S ，则

1232321111

...(1)(3)(5)...[(21))]

2482

[1()]

11111(21)12

2[135...(21)][()()...()]1()122222212

n n n n n n

S a a a a n n n n n =++++=+++++++-+-+-=++++-+++++=?+=+--例3. 求12323...n

n n n n c c c nc ++++的和。

解：（倒序求和法）

令123123...(1)n n

n n n n

n S c c c n c nc -=++++-+① 则1210121

(1)(2)...(1)(2)...n n n n n n n n n n n n S nc n c n c c nc n c n c c ---=+-+-++=+-+-++②

①+②，得

01210122...(...)2n n n n

n n n n n n n n n S nc nc nc nc nc n c c c c n -=+++++=++++=? 故123123 (2)

n n n n n n S c c c nc n -=++++=? 例3. 设4()42x x f x =+，求122007

(

)()...()200820082008

f f f +++的和。解：（倒序求和法）

由4()42

x f x =+可得，

1111111444(42)4(42)424424()(1)14242(42)(42)424244x x x x x x x x

x x x x x x

f x f x -------++++?++?+-=+===+++++?+?+ 令122007(

)()...()200820082008S f f f =+++① 则200720061

()()...()200820082008

S f f f =+++②

①+②，得

120072*********

2[()()][()()]...[()()]

20082008200820082008200811 (12007)

S f f f f f f =++++++=+++=

故1220072007

()()...()2008200820082S f f f =+++=

例4. 求2311357...(21)(0)n x x x n x x -+++++-≠的和。解：（错位相减法）

当1x =时，21(21)

1357...(21)2

n S n n n +-=+++++-=

?=；当1x ≠时，令2311357...(21)(1)n S x x x n x -=+++++- 则23135...(23)(21)(2)n n xS x x x n x n x -=++++-+-

(1)(2)-，得

231221111(1)1222...2(21)12(1...)(21)1(1)(1)2(1)(1)[(21)]12(21)11(1)(22)(21)()(21)(21)111n n n n n n n n

n n n n n x S x x x x n x x x x x n x x x x x x n x x n x x x

x x x n x x n x n x x x x

----++-=+++++--=+++++--?--+----=+--=

---+------+++==

故12

(21)(21)1

(1)n n n x n x x S x +--+++=-

例5. 求数列1123...n ??

??++++??

的前n 项和。

解：（裂项相消法）令1

123...n a n

=++++

则11211

2()1123...(1)1

n a n n n n n n n =

===-+++++++?

故数列1123...n ??

??++++??

的前n 项和

1231111111

...2(1)2()2()...2()

223341

1111111122[(1)()()...()]2(1)22334111

n n S a a a a n n n

n n n n =++++=-+-+-++-+=-+-+-++-=-=

+++

例6. 设数列{}n a 中，14a =，1(1)n n na S n n +=++，n N *∈ （1）证明：数列{}n a 是等差数列；

（2）设数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a +-=。求n b ；（3）设1

n n

c b =

。证明：123...1n c c c c ++++<. 证：（1）由1(1)n n na S n n +=++①可得，

1(1)(1)(2)n n n a S n n n --=+-≥这里②

①-②，得1(1)2n n n na n a a n +--=+

即1()2n n n a a n +-=；亦即12(2)n n a a n +-=≥这里又1(1)n n na S n n +=++

2112=+2a S a ∴=+；即212a a -=

故数列数列{}n a 是以14a =为首项，2d =为公差的等差数列解：（2）由（1）知，4(1)22+2n a n n =+-?= 又1n n n b b a +-=

∴12+2n n b b n +-=

于是有

213243121+222+223+2........

2(1)+2n n b b b b b b b b n --=?-=?-=?-=-

将以上1n -个式子迭加，得

211(1)

2[12+3+...+(1)]+2(1)2

(1)2(1)(1)(2)22

n n b b n n n n n n n n +--=+--=?-+-=-+=+- 又12b =

故22(2)2n b n n n n =+-+=+ 证：（3）由1n n c b =

可得，21111

(1)1

n c n n n n n n ===-+++

故12311111111

...(1)()()...()112233411

n c c c c n n n ++++=-+-+-++-=-<++

三．递推数列

（1）一阶递推公式：

1n n a ka q +=+； 1()n n a ka f n +=+

特点：已知前一项可求得后一项

（2）一阶递推公式：

11n n n a ka qa +-=+ 特点：已知前两项可求得后一项

例1．在数列{}n a 中，11a =，111

(1)2

n n n n a a n ++=++

（1）设n n a

b n =。求n a

（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .

解：（1）因为111

(1)2

n n n n a a n ++=++

所以1112n n n n n a a n +++=+11

12n n n a a n n +?=++ (＊) 而n n a b n

= ∴由(＊)式，有11

2n n n b b +=+，这里1111

a b ==

于是有

21322

433

121

......12n n n b b b b b b b b --=+=+=+=+

将以上1n -个式子迭加，得

1231231

11111111

...1...2222222211[1()]

1122(1)212212

n n n n n n b b ---=+++++=+++++?-==-=-- 故1111

(2)222n n n n a nb n n n --==-=-?

（2）数列{}n a 的前n 项和

120110*********

...(211)(222)...(2)222111

(2122...2)(12...)

22211

2(12...)(112...)22

1112(112...)

222

(112...)

22n n n n n n n S a a a n n n n n n n n n n n n -----=+++=?-?

+?-?++-?=?+?++-?+?++?=+++-?+?++?+=?-?+?++?=+-?+?++?

令21111

1123 (222)

n S n -=?+?+?++?①

则231111111123...(1)222222n n S n n -=?+?+?+-?+?② ①-②，得

231111[1()]

111111121 (1222222212)

11112

2[1()]2222222

n n n n

n n n n n

S n n n n n --?-=+++++-?=-?-+=--?=--?=-

42n n S -+∴=-

故22

22(4)422

n n n n n S n n n n --++=+--

=++- 例2．设数列{}n a 满足11a =，142n n S a +=+， n *

∈N

（1）设12n n n b a a +=-.证明：数列{}n b 是等比数列（2）求数列{}n a 的通项. 证：（1）因为142n n S a +=+① 所以2142n n S a ++=+②

②-①，得2144(1)n n n a a a n ++=-≥ 于是有21122(2)n n n n a a a a +++-=-（＊）又因为12n n n b a a +=-

所以由（＊）式，有12n n b b += 即

2n n

b b += 又11a =，21424126S a =+=?+= 即126a a +=

2615a =-= 1212523b a a ∴=-=-=

故数列{}n b 是以13b =为首项，2q =为公比的等比数列解：（2）由（1）知，11132n n n b b q --==?

11232n n n a a -+∴-=?

上式两端同时除以12n +，得

113

224

n n n n a a ++-= 令2n n n

a c =，则有13

4n n c c +-= 又111

122

a c == {}n c ∴是以112c =为首项，3

d =为公差的等差数列

1331(1)2444n c n n ∴=+-?=-

故231

22()2(31)44

n n n n n a c n n -==?-=?-

例3．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，设112.....n n n S a a q a q -=+++，

211123.....(1)n n n n T a a q a q a q --=-+++-，其中0q ≠，n N *∈

（1）若1q =，11a =，315S =。求n a （2）若1a d =，123,,S S S 成等比数列。求q

（3）若1q ≠±。证明：2222

2(1)

(1)(1)1n n n dq q q S q T q ---+=-

解：（1）由1q =，11a =，315S =，有

2231231(1)1(12)133154S a a q a q d d d d =++=++?++?=+=?=

故1(1)443n a n n =+-?=- 解：（2）因为1a d = 所以(1)n a d n d nd =+-?= 又因为123,,S S S 成等比数列所以2213S S S =（＊）

又11S a d ==，2122S a a q d dq =+=+，22312323S a a q a q d dq dq =++=++

∴由（＊）式，有22(2)(23)d dq d d dq dq +=?++，而0d ≠

于是有222(12)12320q q q q q +=++?+= 又0q ≠ 故2q =-

证：（3）左端=222222(1)(1)()()n n n n n n q S q T S T q S T --+=--+ 因为23222121234212.....n n n n n S a a q a q a q a q a q ---=++++++；

23222121234212.....n n n n n T a a q a q a q a q a q ---=-+-++-.

所以3212224222.....2n n n n S T a q a q a q --=+++；

22222132122.....n n n n S T a a q a q --+=+++.

2222223212222421321321321242132132143221=(1)(1)()()(22.....2)(22.....)(22.....2)(22.....)2()2().....2()n n n n n n n n n n n n n n n n q S q T S T q S T a q a q a q q a a q a q a q a q a q a q a q a q a a q a a q a a ---------+=--+=+++-+++=+++-+++=-+-++-故左端213213212222

22.....22(.....)[1()]2(1)211n n n n n q dq dq dq d q q q q q dq q d q q ---=+++=+++?--=?==--右端

四．高考真题解析

1.（2010年陕西文数12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139

,,a a a 成等比数列。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）求数列

{}2n

a 的前n 项和n

S .

解：（Ⅰ）因为139,,a a a 成等比数列所以22319(12)1(18)a a a d d =?+=?+ 化简整理，得20d d -= 又0d ≠ 1d ∴= 故1(1)1n a n n =+-?=

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，22n a n

由此可知，数列{}2n

a 即{}2n

为首项为2，公比为2的等比数列

故数列

{}

a 的前n 项和12(12)

2212

n n n S +-=

=-- 2.（2009年陕西文数5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6312a S ==，则n a =2n .

解：由6312a S ==，有11115123(31)

53124

2a d a d a d a d +=?-+=+=??+=? 解得：12a =，2d =

故2(1)22n a n n =+-?=

3.（2009年陕西文数12分）已知数列{}n a 满足：11a =，22a =，1

n n n a a a +++=

，n N *∈.

(Ⅰ)令1n n n b a a +=- ,证明：{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求{}n a 的通项公式. 证：(Ⅰ)由1n n n b a a +=-，1

n n n a a a +++=

可得： 111121

1111

()

1222

n n n n n n n n n n n

n n n n a a a a a b a a b a a a a a a ++++++++++----====----

而121211b a a =-=-=

故{}n b 是以11b =为首项， 1

2q =-为公比的等比数列

解：(Ⅱ)由(Ⅰ)知，1111

1()()22

n n n b --=?-=-

111

()2

n n n a a -+∴-=-

于是有 21322432

11121

()2

......

()2n n n a a a a a a a a ---=-=-

-=--=-

将以上1n -个式子迭加，得

122111

1[1()]

1112121()()...()[1()]1222321()2

n n n n a a ---?---=+-+-++-==----

故11221521511

1[1()]()()32332332

n n n n a ---=+--=--=+-

4.（2008年陕西数学5分）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，求该数列的前10项和10S 等于（B ）

A.64

B.100

C.110

D.120

解：由124a a +=，7828a a += 1124

21328a d a d +=???+=?

解得：11,2a d == 故1010(101)

101210901002

S -=?+

?=+= 5. （2008年陕西文数12分）已知数列{}n a 的首项12

a =

，121n n n a a a +=+,

1,2,3,...n =

（Ⅰ）证明：数列11n a ??

-????是等比数列；

（Ⅱ）求数列n n a ??

????的前n 项和n S .

证：(Ⅰ)由121

n n a a a +=

+可得： 1

11111111111(1)22221

11111211111n n n n n n n

n n n n

a a a a a a a a a a a +++----+-=====----- 又

111111223

a -=-=

故数列11n a ??-????是以11112a -=为首项，1

2q =为公比的等比数列

解：（Ⅱ）由(Ⅰ)知，

11111

1()()222

n n n a --=?= 111()2n n a ?

=+ 11

[1()]()22

n n n n n n n a ?=+=+? 于是数列n n a ??

????

的前n 项和

1212121212111...[11()][22()]...[()]222

111(12...)[1()2()...()]

222

1111[1()2()...()]2222

n n n n n n S n n a a a n n n n n =

+++=+?++?+++?=++++?+?++?+=+?+?++?

令1211111

1()2()...(1)()()2222n n S n n -=?+?++-?+?①

则23111111

1()2()......(1)()()22222n n S n n +=?+?++-?+?② ①-②，得

231111

11[1()]

11111111222()()...()()()111222222222212

n n n n n n n n n S n n ++++-+=++++-?=-?=--=-- 2

n n S +?=-

故21242

22222

n n n n n n n n S n +++++=+-=- 6. （2008年陕西理数14分）已知数列{}n a 的首项13

a =

，1321n n n a a a +=+,

1,2,3,...n =

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：对于任意的0x >，2112(),1,2,3,...1(1)3n n

a x n x x ≥

--=++；（Ⅲ）证明：2

12 (1)

n n a a a n +++>+.

解：（Ⅰ）由1321n n n a a a +=

+可得：

1211

211333n n n n

a a a a ++==+? 111

11111

1(1)1331n n n

a a a a ++-?-=-?=-

又

111211335

a -=-=

11n a ??∴-????

是以11213a -=为首项，1

3q =为公比的等比数列

于是有112121()333n n n a --=?= 1232

133

n n n n a +?=+=

故332

n n a =+

证：（Ⅱ）对任意的0x >，我们有

2222112112

()[(1)1]1(1)31(1)3

111112[(1)]1(1)(1)1n n

n n x x x x x x x x x a a x x --=-+--++++=--+=-?+++++

222211111

[2][()](1)1111()1n n n n n n n n

n a a a a x x a x

a a a a x

-?=---+++=--+≤+

证：（Ⅲ）由3032

n n n

a =>+及2112

(),1,2,3,...1(1)3n n

a x n x x ≥--=++，我们有 122122

2212222

112112

...[()][()]

1(1)31(1)31121222

...[()][(...)]

1(1)31(1)3331111{2[()...()]}

1(1)333

11[1()]

133{2}11(1)13

11(1n n n n

n a a a x x x x x x n x nx x x x x n nx x x n nx x x n x +++≥--+--++++++--=-+++-++++=-+++-++-=-?

-++-=-+21{[1()]})3

n nx x --+ 令1

1()3n

x n

则2

12...1111()1()

331n n n n

n n a a a n n n

+++≥=>

+-+-+ 7.（2007年陕西文数5分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，410S =，则6S 等于（C ）

A.12

B.18

C.24

D.42

解：(法一)由22S =，410S =，有1111

2(21)22222

2354(41)4102

a d a d a d a d -?+=?+=??????+=-??+=??

解得：113

,42a d ==

故6116(61)13

661561524242S a d a d -=+=+=?+?=

(法二)因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和所以24264,,S S S S S --成等差数列

于是有4226462()()2(102)2(10)S S S S S S -=+-?-=+- 解得：624S =

8.（2007年陕西文数12分）已知实数列{}n a 是等比数列,其中71a =，且4a ，

51a +，6a 成等差数列.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，证明：128(1,2,3,...)n S n <=. 解：（Ⅰ）因为4a ，51a +，6a 成等差数列

所以4355461112(1)2(1)a a a a q a q a q +=+?+=+（＊）又因为71a = 所以611a q =161

a q

将161

a q

代入（＊）式，有 3222231112(

1)2()12(1)1q q q q q q q q q

+=+?+=+?+=+ 而210q +≠ 21q ∴=

于是得到：61611,212()2

q a ===

故61711

2()22

n n n a --=?=

证：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列{}n a 的前n 项和61

2[1()]

12128[1()]1281212

n n n S -=

=?-<-

高中数学数列综合专项练习讲义

高中数学数列综合专项练习讲义 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

专题数列综合考点精要会求简单数列的通项公式和前n 项和．热点分析数列的通项和求和，历来是高考命题的常见考查内容．要重点掌握错位相减法，灵活运用裂项相消法，熟练使用等差和等比求和公式，掌握分组求和法．知识梳理 1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。（2）公式法：等差数列与等比数列。（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：则???≥-==-2111 n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论1=n ）（4）逐项作差求和法（累加法）；已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，则求n a 可用累加法（5）逐项作商求积法（累积法）;已知 )2)((1 ≥=-n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，求n a 用累乘法. （6）转化法 2几种特殊的求通项的方法（一）1n n a ka b +=+型。（1）当1k =时，{}1n n n a a b a +-=?是等差数列，1()n a bn a b =++ （2）当1k ≠时，设1()n n a m k a m ++=+，则{}n a m +构成等比数列，求出{}n a m +的通项，进一步求出{}n a 的通项。例：已知{}n a 满足111,23n n a a a +==-，求{}n a 的通项公式。

高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有

高中数学数列讲义总结

09级高三数学总复习讲义——数列概念知识清单 1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替 ()f n ，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。（6）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 课前预习 1．根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7……；（2）2212-，2313-，2414 -，2515-；（3）11*2-，12*3，13*4-，1 4*5 。 2．数列{}n a 中，已知21 ()3n n n a n N ++-= ∈，（1）写出10a ，1n a +，2n a ；

高中数学竞赛_数列【讲义】

第五章数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。二、方法与例题 1．不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,

高中数学讲义微专题55 数列中的不等关系

第55炼数列中的不等关系一、基础知识： 1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点 2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于n N * ∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N * ∈得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列） 3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的 {}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S L 等等。 4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S L ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。进而把问题转化成为判断n a 的符号问题二、典型例题例1：已知数列{}1,1n a a =，前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= （1）求{}n a 的通项公式（2）设2n n n n c a λ?? =- ??? ，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围解：（1）()113 30n n n n S n nS n S S n +++-+=? =

高中数学竞赛讲义_数列

数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。二、方法与例题 1．不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2,

高中数学归纳法大全数列不等式精华版

§数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．

5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题．证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边．这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n

高中数学数列题型总结学案-讲义

结论：（1）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。（2）若等差数列、的前和分别为、，且，则.【例】设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________（答：）（3）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗如（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是（答：4006） <3> 若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；若是等比数列，且公比，则数列，…也是等比数列。当，且为偶数时，数列，…是常数数列0，它不是等比数列。如①已知且，设数列满足，且，则 . （答：）；②在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______（答：40） <4>。如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_____（答：－2） <5>在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，。

如设数列的前项和为（），关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：②③）一.数列的通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知求，用作差法：。如①已知的前项和满足，求（答：）；②数列满足，求（答：） ⑶已知求，用作商法：。如数列中，对所有的都有，则______（答：） ⑷若求用累加法：。如已知数列满足，，则=________（答：） ⑸已知求，用累乘法：。如已知数列中，，前项和，若，求（答：） ⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。

高中数学数列版块三等比数列等比数列的通项公式与求和完整讲义(学生版)

学而思高中完整讲义：数列.版块三.等比数列-等比数列的通项公式与求和.学生版【例1】在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和 n S =_______．【例2】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ．【例3】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 63 3S S =，则96=S S （） A ．2 B ． 7 3 C ．83 D ．3 【例4】设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=L n n b a n ，，，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782--，，，，中，则6=q ．【例5】等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若 105S S ＝3132 ，则105a a 等于．【例6】等比数列{}n a 中，1512a =，公比1 2 q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=，则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______．【例7】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1 (1)()3 N n n S a n *=-∈． ⑴求1a ，2a ，3a 的值；典例分析

⑵求n a 的通项公式及10S ．【例8】在等比数列{}n a 中，12327a a a ??=，2430a a += 试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S . 【例9】在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则 222 12n a a a +++=L ________．【例10】求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠L ．【例11】在等比数列{}n a 中，423a = ，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2 n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例12】在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ?=，则3132log log b b ++ (314) log b +等于（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【例13】等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+?+++n a a a a 32121n -，则222 12n a a a ++???+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1 413 n -

高二数学：数列(讲义)

高考数学基础知识复习：数列概念知识清单 1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； ③ 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替 ()f n ，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。（6）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 课前预习 1.（04 江苏）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S =2 ) 13(1-n a （对于所有1≥n ），且544=a ，则1a 的数值是 2．（05广东，14）设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f （用n 表示）。

高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)

数列一、知识梳理概念 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列 {}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②???≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使 +∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 等差数列 1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式 ⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差. ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S += 或d n n na S n )1(2 1 1-+=. 3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 即：A 是a 与b 的等差中项?b a A +=2?a ，A ，b 成等差数列. 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1 （+∈N n ，d 是常数）? {}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列. 5.等差数列的常用性质 ⑴数列 {}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd . ⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+； ⑸若等差数列 {}n a 的前n 项和n S ，则? ?? ???n S n 是等差数列；

人教版高中数学数列综合专项练习讲义

专题数列综合知识梳理 1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。（2）公式法：等差数列与等比数列。等差数列{n a }中，1(1)=+-n a a n d ，等比数列{n a }中，n 1n 1a a q -=? ，（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：则???≥-==-2111 n S S n S a n n n （注意：不能忘记讨论 1=n ）（4）逐项作差求和法（累加法）；已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，求n a 用累加法（5）逐项作商求积法（累积法）; 已知 )2)((1 ≥=-n n f a a n n ，且{f(n)}的和可求，求n a 用累乘法. （6）转化法 2 几种特殊的求通项的方法（一） 1n n a ka b +=+型。（1）当1k =时，{}1n n n a a b a +-=?是等差数列，1()n a bn a b =++ （2）当1k ≠时，设1()n n a m k a m ++=+，则{}n a m + 构成等比数列，求出{}n a m +的通项，进一步求出{}n a 的通项。 ()()d n n na n a a S n n 212 11-+ =+= ()() ()??? ??≠--==111111 q q q a q na S n n

（二）、1()n n a ka f n +=+型。（1）当1k =时，1()n n a a f n +-=，若()f n 可求和，则可用累加消项的方法。（2）当1k ≠时，可设[]1(1)()n n a g x k a g x +++=+，则{}()n a g x +构成等比数列，求出{}()n a g x +的通项，进一步求出{}n a 的通项。（注意()g x 所对应的函数类型）（三）、1()n n a f n a +=型。（1）若()f n 是常数时，可归为等比数列。（2）若()f n 可求积，可用累积法化简求通项。（四）、11n n n ma a k m a --=+型。两边取倒数，可得到111n n k k a a m -=+，令1 n n C a =，则{}n C 可转化为1n n a ka b +=+型 3.数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项” 先合并在一起，再运用公式法求和. （3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）. （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ① 111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k =-++ ③ 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =--++++

15全国高中数学竞赛讲义-数列、组合

最新高中数学奥数竞赛试题排列，组合 1．排列组合题的求解策略（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略．（2）分类与分步有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为3 11C ，这也就是方程12=+++d c b a 的正整数解的个数． 2．圆排列（1）由},,,,{321n a a a a A Λ=的n 个元素中，每次取出r 个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列（或叫环状排列）．（2）圆排列有三个特点：（i ）无头无尾；（ii ）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii ）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．（3）定理：在},,,,{321n a a a a A Λ=的n 个元素中，每次取出r 个不同的元素进行圆排列，圆排列数为r P r n ． 3．可重排列允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列．在m 个不同的元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二、…、第n 位是的选取元素的方法都是m 种，所以从m 个不同的元素中，每次取出n 个元素的可重复的排列数为n m ． 4．不尽相异元素的全排列如果n 个元素中，有1p 个元素相同，又有2p 个元素相同，…，又有s p 个元素相同（n p p p s ≤+++Λ21），这n 个元素全部取的排列叫做不尽相异的n 个元素的全排列，它的排列数是! !!!21s p p p n ???Λ 5．可重组合（1）从n 个元素，每次取出p 个元素，允许所取的元素重复出现p ,,2,1Λ次的组合叫从n 个元素取出p 个有重复的组合．

高中数学数列讲义

. .. . . 数列讲义授课教师：听课学生： 2015-6-20

Part I 基础达标一、数列数列的基本概念及性质 ● 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 ● 通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。注意： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… ● 数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。

高中必修五数学数列讲义

实用文档第二章数列第一节：数列及其通项公式一．数列的概念 1．数列的定义：；2．表示法：； 3．数列的分类：； 4．通项公式：； 5．递推公式的概念：；注意：①数列与集合有本质的区别；②项与项数的区别；③与的a}a{nn 区别；④不是每一个数列都有通项公式；⑤是n的函数。a n二．数列通项公式的求法 1．根据数列的有限项，写出数列的通项公式。练习 1．已知数列{a }的前几项，写出数列的一个通项公式n（1）1，4，9，16，……；a = ; ……；a = ; （2）,,,,n n2468 81392731133）3（ a = ; ,,,,,1,,n 65423（4）9，99，999，9999，……；a = ;

n （5）7，77，777，7777，……；a = ; n大全．实用文档（6）7，-77，777，-7777，……；a = ; n （7）0.5,0.55,0.555,0.5555, ……；a = ; n（8）1．-1，1，-1，……；a = ; n（9）1，0，1，0，……；a = ; n（10）11，101，1001，10001，……；a = ; （11）……；a = ; n1234 ,41,2,3,n53425713 = ; （12）；a,,,,n16482372617210 = ; ）13，……；a（?,?1,,?,, n 1311379 2．数列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，……，中x,y,z的值依次是（） A 42，41，123 B 13，39，123 C 24，23，123 D 28，27，123 3．数列1，1，2，3，5，8，……；的第7项是。1?(n为奇数）?，中，4．数列}a{?an?nn?1n?（n?2)(n为偶数）?则的前5项

高中数学竞赛讲义_数列

1 数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。二、方法与例题 1．不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】因为a 1= 21,又a 1+a 2=22·a 2,

数学专题讲义---数列

高中数学数列综合专项练习讲义

高中数学数列知识点总结(经典)

高中数学数列讲义总结

高中数学竞赛_数列【讲义】

高中数学讲义微专题55 数列中的不等关系

高中数学竞赛讲义_数列

高中数学归纳法大全数列不等式精华版

高中数学数列题型总结学案-讲义

高中数学 数列 版块三 等比数列 等比数列的通项公式与求和完整讲义(学生版)

高二数学：数列(讲义)

高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)

人教版高中数学数列综合专项练习讲义

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