北邮研究生概率论与随机过程-试题及标准答案

北邮研究生概率论与随机过程-试题及答案

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北京邮电大学2012——2013学年第1学期

《概率论与随机过程》期末考试试题答案

考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!

一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）

1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈⊂A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞

=∈U A ;

（D ）若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ,则1

n n A ∞

=∈I A .

2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c

（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；

（B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ，则1

li ()()m n n n n P A A P ∞

→∞

==I ；

（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++U U ； （D ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/，1

1

()()n n n n P P A A ∞

∞

===∑U .

3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100

0()k A k f kI ω==∑，其中100

,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=U ，则fdP Ω=⎰ ；

4

若已知100

100!1!(100)()!2

k k k P A -=

，则2

f dP Ω=⎰ . 0

2

10(),2550

2525k

k kP A =+=∑

4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度

2,01,0,

(,)0,

x y x f x y <<<<⎧=⎨

⎩其他， 则[[|]]E E X Y = .2/3

5. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为

1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x = ；

（2）20

(())E X t dt π

=⎰ .

,0,(;1)01,x

cos x e cos f x ωω-⎧>⎪

=⎨⎪⎩

其他，20(1())E X t dt π

ω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1

()()X t W t

=，则相关

函数2

(1,2)2

X R σ=

.

7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为

0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

则（1）()

11

lim n n p

→∞

= ；（2）()

33

n n p ∞

==∑ . 1/2,2 二. 概率题（共30分）

5

1.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为

22

12

2

22

1(,)2x x f x y e σπσ

+-

=

,

令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .

解解.（1） 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得22,

||,,v u x u v y v ⎧⎪=±⎨

⎪⎩≤=- 所以雅可比行列式22

2222

2220

1

u u

J u v u v u v

v

±

=

=±---m

, 故

222221,||,(,)(,)||20,u u e v u g u v f x y J u v σπσ-⎧≤⎪==⎨-⎪⎩

其他. ……5分

（2）对0u >，

2

22

2

2

1(,))2(u u U u

u g u e g u v d d u v

v v σπσ-

∞

-∞-=-=⎰⎰

2

2

222

2

22

21

2u u

u u

e dv e u v u u σ

σπσ

σ

-

-

-=

=

-⎰

,

故2

22,0,()20,.u

U e

u u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩

其他

……10分

2.（10分）设(,)U V 的概率密度