数学模型经典实例
数学建模规划问题的经典案例
s.t.
x13 x34 x36 0; x12 x24 x25 0; x24 x34 x45 x47 0; x25 x45 x56 x57 0; x47 x57 x67 Q x36 x56 x67 0; xij 0， i , j 1,2,,7.
§2.4 案例
建立优化模型的一般步骤
1.确定决策变量 2.确定目标函数的表达式 3.寻找约束条件 例1：设某厂生产电脑和手机两种产品，这两种产品的生产需要 逐次经过两条装配线进行装配。电脑在第一条装配线每台需要2 小时，在第二条装配线每台需要3小时；手机在第一条装配线每 台需要4小时，在第二条装配线每台需要1小时。第一条装配线每 天有80个可用工时，第一条装配线每天有60个可用工时，电脑和 手机每台的利润分别为100元和80元。问怎样制定生产计划？
问题1
不允许缺货的存贮模型
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不
同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数
量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、 占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量 100件，生产准备费5000元，存贮费每日每件1元。 如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，
A
T1
B
T
t
允许缺货模型的存贮量q(t)
一个周期内存贮费
c2
T1
0
Q2 QT1 c2 q(t )dt c2 2r 2
( rT Q )(T T1 ) 一个周期内缺货损失费 c3 q(t )dt c3 T1 2 ( rT Q )2 c3 一个周期的总费用 2r
T
Q ( rT Q ) C c1 c2 c3 2r 2r
微分方程预测模型实例
微分方程预测模型实例引言微分方程是数学中的重要概念，用于描述自然界中的各种变化和现象。
它在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛应用。
在本文中，我们将介绍微分方程预测模型的概念和实例，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。
什么是微分方程预测模型？微分方程预测模型是一种利用已知条件和规律，通过建立微分方程来预测未来变化的方法。
它基于数学原理和统计学方法，通过对已有数据进行拟合和分析，得出一个能够描述系统行为的微分方程，并利用该方程进行未来的预测。
微分方程预测模型的应用微分方程预测模型广泛应用于各个领域，下面我们以经典案例为例介绍其中两个：1. 成长模型成长模型是一类常见的微分方程预测模型。
它通常用于描述人口、生物群体等在时间上的增长情况。
以人口增长为例，我们可以假设人口增长率与当前人口数量成正比，即：dPdt=kP其中，P表示人口数量，k为比例常数。
这是一个一阶线性常微分方程，可以通过求解得到人口数量随时间的变化情况。
通过拟合已有的人口数据，我们可以得到合适的k值，并利用该方程进行未来人口数量的预测。
2. 热传导模型热传导模型是另一个常见的微分方程预测模型。
它通常用于描述物体内部温度随时间和空间的变化情况。
以一维热传导为例，我们可以假设物体内部温度变化率与温度梯度成正比，即：∂T ∂t =α∂2T∂x2其中，T表示温度，α为热扩散系数。
这是一个二阶偏微分方程，可以通过求解得到物体内部温度随时间和空间的变化情况。
通过拟合已有的温度数据和边界条件，我们可以得到合适的α值，并利用该方程进行未来温度分布的预测。
微分方程预测模型实例下面我们以一维热传导模型为例，介绍微分方程预测模型的具体实现步骤。
步骤一：收集数据首先，我们需要收集已有的温度数据。
假设我们有一个金属棒，长度为L，初始时刻t=0时，金属棒上各点的温度分布已知。
步骤二：建立微分方程根据热传导模型的假设，我们可以建立如下的一维热传导方程：∂T ∂t =α∂2T∂x2其中，T(x,t)表示金属棒上某点处的温度，α为热扩散系数。
“烹饪”中的数学模型——数学建模思想在中职数学教学中的一个具体实施案例
教育实践与研究2016年第6期/B （2）理科教学探索2015年，上海市教委教研室颁布的新版《上海市中等职业学校数学课程标准》中，把数学建模、解模、释模的能力提到了一个新的高度。
如在第6页的“能力架构”一节中提到：中职数学课程应更多体现数学的工具性，培养学生解决各类问题的能力，在问题解决的各种形态转化过程中，需要数学知识和认知情感方面的保障，需要“建模、解模、释模”三个环节中相应的数学能力。
同时，上海中职校从2015年起就要开始实施学业水平考试，这些新要求、新情况给广大的中职校数学教师及学生带来了新的挑战。
作为一名一线的数学教师，本人已在平时的教学过程中不断加入了对于数学建模的思考，下文就是本人在一年级新生中开设的一堂关于如何进行数学建模的理念课的教学过程。
笔者所在学校使用的是上海教育出版社2015年8月出版的《中等职业学校教材试用本———数学》，该教材第一册中，在第2.1小节《不等式的基本性质》后面，有一节拓展阅读内容，名为“烹饪中的数学模型”。
本堂课就是依据这一教材内容来设计的。
一、导入过程本过程选取了两个已经学过的知识点，配置相关场景，让学生了解：数学建模不是一个新鲜的东西，而是我们之前已经碰到过的东西。
老师：同学们，我们每个班级里面的同学，都有着不同的体育爱好，参加过不同的比赛，比如有的同学参加过篮球比赛，有的参加过足球比赛，还有的参加过乒乓球比赛，等等。
如果这个班级总共有40人，其中参加过篮球比赛的同学有25人，参加过足球比赛的同学有22人，请问，同时参加过篮球和足球比赛的学生有多少？学生：同时参加过篮球和足球比赛的学生有7人。
老师：回答正确。
但是，这个问题可以和我们前面学习的什么知识联系起来呢？我们可以和《集合》这一章里的文氏图联系起来。
再比如书店里面各种书籍的摆放，其实也“烹饪”中的数学模型———数学建模思想在中职数学教学中的一个具体实施案例周立伟（上海市工商外国语学校，上海200231）摘要：根据2015年上海市教委教研室颁布的中职数学新课标的要求，在教学中要体现数学建模、解模、释模的能力培养过程。
midas初学入门经典实例演示
MIDAS与ARIMA模型
结合自回归积分滑动平均模型（ARIMA）来对 时间序列数据进行预测。
ABCD
MIDAS与GARCH模型
结合广义自回归条件异方差模型（GARCH）来 研究时间序列数据的波动性。
MIDAS与神经网络模型
结合神经网络模型来处理非线性时间序列数据， 提高预测精度。
MIDAS的优化方法
THANKS
多变量MIDAS回归实例
总结词
该实例演示了如何使用MIDAS方法对多变量时间序列数据进行回归分析。
详细描述
首先，选取多个时间序列数据集，例如股票收益率、宏观经济指标和汇率等。然后，使用多变量 MIDAS回归模型对数据进行拟合，并选择合适的滞后阶数和变量。在模型拟合过程中，可以使用各种 统计量来评估模型的拟合优度和预测能力。最后，根据模型结果进行解释和预测。
02 MIDAS基础知识
MIDAS的基本概念
长期短期混合模型（MIDAS，Mixed Data Sampling）：一种用于处理不同频率数 据的计量经济学模型，能够同时处理季度和年度数据。
异质性：MIDAS模型考虑了不同频率数据之间的异质性，即不同频率数据可能具有 不同的波动性和趋势。
动态性：MIDAS模型能够捕捉不同频率数据之间的动态关系，例如季度数据和年度 数据之间的相互影响。
MIDAS的参数估计与检验
最小二乘法
MIDAS模型通常使用最小二乘法进行参数估计，通过最小化残差平方和来估计模型参数 。
单位根检验
在估计MIDAS模型之前，需要对不同频率数据进行单位根检验，以确保数据的平稳性。 常用的单位根检验包括ADF检验和PP检验。
诊断检验
在估计MIDAS模型之后，需要进行诊断检验，以检验模型的拟合优度和残差分布。常用 的诊断检验包括Jarque-Bera检验和White检验。
小学数学数形结合和模型思想的典型课例分析
小学数学数形结合和模型思想的典型课例分析在小学数学教学中，数形结合和模型思想是培养学生数学思维和解决问题能力的重要方法。
本文将通过分析典型的课例，探讨数形结合和模型思想在小学数学教学中的应用和意义。
1. 实例分析：寻找相等的长方形在这个例子中，老师给学生出了一个问题：有一块长方形薄木板，长为12cm，宽为8cm。
现在需要找到一块相等面积的方形木板，请问这块方形木板的边长是多少？学生们开始思考如何解决这个问题。
有的学生选择在纸上画出长方形和方形，进行对比。
有的学生试图用代数方法推导。
通过讨论，学生们发现可以通过面积的计算来求解这个问题。
首先，学生利用公式计算长方形的面积：面积=长×宽=12cm×8cm=96cm²。
然后，学生发现方形的边长相等，即为x，于是利用方形的面积公式计算：面积=x×x=x²。
由于长方形和方形的面积相等，所以可以得到方程：x²=96。
通过解这个二次方程，学生可以计算出方形的边长x≈9.8cm。
通过这个课例的分析，学生们不仅通过数形结合的方法找到问题的解决思路，还运用模型思想建立了数学模型，最终得到了问题的答案。
这个例子有助于培养学生的几何直观和逻辑思维能力。
2. 实例分析：小河过桥问题这个例子是一个经典的数形结合和模型思想的问题。
问题是这样的：两只小猫同时从一座桥的两端开始往对方的方向跑，两只小猫相遇在桥的中间，并且没有掉下桥。
请问这座桥有多长？学生们开始思考这个问题，有的学生尝试用代数方法解决，有的学生用画图的方法解决。
经过讨论，学生们发现可以通过画图结合计数的方法解决这个问题。
首先，学生画出桥和两只小猫的位置。
然后，学生画出小猫奔跑的轨迹，注意到两只小猫相遇时，它们一定同时跑了整个桥的长度。
于是，学生开始计数两只小猫同时到达相遇点时，它们分别从起点到相遇点的步数。
假设一只小猫从起点到相遇点的步数为x，另一只小猫从相遇点到终点的步数为y。
数学建模经典案例最优截断切割问题
建模案例：最优截断切割问题一、 问 题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过６ 次截断切割．设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍。
且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”)的方法,使加工费用最少。
二、 假 设1、假设水平切割单位面积的费用为r,垂直切割单位面积费用为１;２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用ｅ；3、第一次切割前,刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割．三、 模型的建立与求解设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b ０ 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、Ｍ2、M3、M ４、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、ｕ2、u3、u4、u5、ｕ6.这样,一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式。
当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则:两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则，只需考虑 P 6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在９0个满足准则的切割序列中考虑．不失一般性,设u １≥u2,u3≥u ４，u5≥u6,故只考虑Ｍ1在M2前、M ３在M ４前、M5在Ｍ６前的切割方式。
1、 ｅ=0 的情况为简单起见,先考虑e＝0 的情况．构造如图9—１3的一个有向赋权网络图Ｇ(V，Ｅ）。
为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z．图9—13 G（V,Ｅ)图G（V，E)的含义为:（１)空间网络图中每个结点Ｖi(ｘi，yi,ｚi）表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xｉ、yi、ｚi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数．例如：V24(2，1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀,上下方向上已被切两刀，即面Ｍ1、M2、M3、M5、M6均已被切割．顶点V1（0，0，０）表示石材的最初待加工状态,顶点V２7（２，２，２）表示石材加工完成后的状态．（2)Ｇ的弧(Vi,Vj)表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Ｖi经一次切割变为状态Vj,即当且仅当xｉ+yi+zi＋１=ｘj＋yj+zj时，Vi（ｘi，yi，zｉ)到Vj（ｘｊ，yj,zj）有弧（Vｉ，Vj),相应弧上的权W(Vi，Ｖj）即为这一切割过程的费用。
数学建模-博弈模型
就是在文化娱乐方面，也能运用海滩占位的 博弈结论予以解释。如果把电视中高雅艺术节目 与较低档的节目比作海滩的两端，那么众多的电 视观众就可以看作是散布在海滩上的游客。电视 台常常将黄金时段的电视节目定位在中等档次， 以提高收视率。
例三 智猪争食 猪圈里喂养两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈的 一边有一个猪食槽，对面的一边装有控制开关。只要猪 用鼻头去拱控制开关，就会一次有6个单位的饲料流进 猪食槽。如果大猪和小猪都不去拱开关，那么它们都吃 不到饲料。如果小猪去拱开关，那么等它跑到另一边的 猪食槽时，大猪已将流出的饲料全部都吃光了。如果大 猪去拱开关，那么等它跑到猪食槽旁边，小猪差不多已 吃掉了5个单位的饲料，结果大猪只能吃到1个单位的饲 料。如果大猪、小猪一起去拱开关，再一起跑去吃食， 那么大猪可抢到4个单位的饲料，小猪也只能吃掉2个单 位的饲料。假定每拱一次开关需要消耗0.5个单位饲料 的能量。大猪和小猪长期在一起进食，上面所说的情况 （信息、知识）已为它们所掌握。仿照例一囚徒困境的 情形，就可以画出如图1－4所示的双变量矩阵。
博弈论囚徒困境问题提供的解是战略组合（坦白， 坦白）。严格的定义与详细的阐述留到第2章讨论。这 个战略组合是个占优战略组合，因为无论对方如何选 择，自己的最优选择都是坦白。如果囚徒2不坦白，囚 徒1坦白的话他就会马上获释，不坦白的话还得坐一个 月的牢，所以坦白比不坦白好；如果囚徒2坦白，囚徒 1坦白的话要判6个月，不坦白的话则要判9个月，这样 对囚徒1来说，还是坦白比不坦白好。因此坦白是囚徒 1的占优战略。同样的分析表明，坦白也是囚徒2的占 优战略。均衡的结果是每个囚徒都选择坦白，各判刑6 个月。
博弈模型
第一部分、博弈论基本概念
一、引言
宇宙间处处存在矛盾、冲突、争斗、合作、共生等 现象，这些现象很很早就引起各类学者的重视。哲学家 们对此作过深刻讨论，毛泽东的《矛盾论》便是其中的 代表。另一方面，数学被认为是科学的语言，能否用数 学语言描述各种带有矛盾因素的模型或现象？博弈论便 是这样一种处理各类带有矛盾因素的模型的数学工具， 现在已被数学、经济学、社会学、军事学、生物学等专 家广泛应用于讨论各类带有冲突、矛盾、合作、竞争、 进化等问题及相关模型之中。博弈论已成为人们分析复 杂系统与作重大决策时的有力工具。
数学模型建立步骤详解与实例分析
数学模型建立步骤详解与实例分析引言：数学模型是现代科学研究中不可或缺的一部分，它能够帮助我们理解和解决各种实际问题。
本文将详细介绍数学模型的建立步骤，并通过一个实例分析来展示其应用价值。
第一部分：问题的定义和分析在建立数学模型之前，我们首先需要明确问题的定义和分析。
例如，假设我们面临一个交通拥堵问题，我们需要考虑的因素可能包括道路的拥挤程度、车辆的流量、交通信号灯的配时等。
通过对问题的定义和分析，我们可以确定需要考虑的变量和参数。
第二部分：建立数学模型的基本原理建立数学模型的基本原理是将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法进行求解。
在实际建模过程中，我们可以使用不同的数学方法，如微积分、线性代数、概率论等。
关键是选择适当的数学方法来描述问题，并将其转化为数学方程或不等式。
第三部分：确定变量和参数在建立数学模型时，我们需要确定变量和参数。
变量是模型中的未知数，而参数是模型中的已知数。
变量和参数的选择对于模型的准确性和可靠性至关重要。
在确定变量和参数时，我们需要考虑其物理意义和实际约束条件。
第四部分：建立数学方程或不等式在确定变量和参数后，我们可以开始建立数学方程或不等式。
数学方程是描述变量之间关系的等式，而不等式则是描述变量之间关系的不等式。
通过建立数学方程或不等式，我们可以将问题转化为数学问题，并通过数学方法进行求解。
第五部分：求解数学方程或不等式在建立数学方程或不等式后，我们需要求解这些方程或不等式。
求解数学方程或不等式的方法有很多，如代数方法、几何方法、数值方法等。
选择适当的求解方法取决于具体的问题和模型。
第六部分：模型的验证和优化在求解数学方程或不等式后，我们需要对模型进行验证和优化。
验证模型的准确性可以通过与实际数据进行比较来实现。
如果模型与实际数据吻合较好，则说明模型是可靠的。
如果模型与实际数据不吻合，则需要对模型进行优化，例如调整参数或改变模型结构。
实例分析：为了更好地理解数学模型的建立步骤，我们以一个经典的例子来进行分析。
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例 3：交通路口红绿灯
十字路口绿灯亮15秒， 最多可以通过多少辆 汽车？
假设
1. 2. 3. 4.
车辆相同，从静止开始做匀加速动。 车距相同，启动延迟时间相等。 直行，不拐弯，单侧，单车道。 秩序良好，不堵车。
车长L，车距D，加速度a，启动延迟T 时间t，车位Sn（t）
模型
2. 分析汽车开始以最高限速穿过路 口的时间。 3. 给出穿过路口汽车的数量随时间 变化的数学模型。
例 4：人员疏散
建模分析意外事件发 生时建筑物内的人员 疏散所用的时间。
假
设
1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间 隔均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到 达教室门口的时间。
增重率 g 对售猪时间 t 的影响. 重量 w(t)=200 + g t 净收益 P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t 最大值点 t = 5(13g–49)/(2g) g 4 4.5 t 1.875 5.28 5 8 5.5 6 10.23 12.08
B C D E
1 9 3 6 A
2 5 7 8 10 4 B C D
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AB BC AD DE BD AE CD BE AC CE
间隔场次数
A 1 2 2 B 0 2 2 C 4 1 0 D 0 0 1 E 1 1 1
变量和参量： 猪的重量w（磅）， 猪的饲养时间 t（天）， t 天内饲养猪的花费C（美元）， 猪的市场价格 p（美元/磅）， 售猪所获得的总收益R（美元）， 最终获得的净收益P（美元）。 猪的初始重量w0（磅）， 猪的日增重量 g（磅）， 出售价格（单价）的日减少量 r（美元）， 每天饲养猪的花费 k（美元）。
称这个极限值为t对r的灵敏度，记为 S(t,r)。
对于我们的问题，有 时间与价格的关系 t = (7-500r)/(25r) 在r=0.01 附近，t关于r的灵敏度为 S(t,r)=(dt/dr)(r/t)=(-2800)(0.01/8)=-3.5 价格变化率降低1%将导致时间延长3.5% 时间与增重量的关系 t = 5(13g–49)/(2g) 在 g=5 附近，t关于g的灵敏度为 S(t,g)=(dt/dg)(g/t)=(4.9)(5/8)=3.06 增重率增加1%将导致出售时间延长3%
均匀、匀速地撤出。
3.忽略列队的时间和第一个人到达
教室门口的时间。
4. 人体厚度相同w
继 续 讨 论
1. T=(nd+L)/v, v↗, 则T↘; d↗, 则 T↗. 2. 多行行进 3.令d=0, 则有T=L/v, 疏散时间与人数无关! 假设中忽略了人体的厚度!! 4.考虑厚度的影响 T=(n(d+w)+L)/v, 若vv*,d=0, 则 T* = (nw+L)/v* 最短 合理吗？
V=ad/(b+d) =7.83d/(75.60+d)
问题
在上面的讨论中，证明如果 疏散队伍的速度是队列间隔的增 函数， 则存在有唯一的间隔d* 和速度 v*，使得疏散的时间最短。 如果有n=400，L=30m，w=0.2m, 求最优疏散方案。
例5. 赛程安排 五支球队在同一场地上进行单 循环比赛。共进行十场比赛。如何 安排赛程对各队来说都是公平的。
2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？ 定位：中心O位于坐标原点 移动：桌子围绕中心转动。 θ ：AC与X轴的夹 角。 θ0≦ θ ≦ θ0+ 900= θ1. xA( θ ) 表示在位置 θ 时，桌脚 A 与地面的距 离。 同样 xB( θ ), xC(，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔 均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达 教室门口的时间。 4. 人体厚度相同 5. 速度与密度有关v=v（d）
模 型
T=（nd+L)/v(d), 其中 v=v(d)应满足 d↗, 则v↗; 若d→,则 v=v*. 若d=0, 则 v=0. 这时存在唯一的间隔 d* 和相应的 速度 v*, 使得疏散的时间最短.
问题：
将例2 的假设1 改为“方桌的四 条腿等长，四脚连线呈平面长方 形”， 试构造数学模型证实结论同样成 立。
1.
2.小王早上8：00从A城出发于下午5：00到 达B城。 次日早上8：00他又从B城出发沿原路返回 并于下午5：00准时到达A城。 试用数学模型说明A、B城之间定有一个位 置， 小王在往返A、B二城的途中于相同的时间 到达该位置。
1.停车位模型：Sn(0)=–(n-1)(L+D) 2.启动时间: tn =nT 3.行驶模型: Sn(t)=Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2,t>tn 4.限速行驶: tn*=a/v*+tn Sn(t)=Sn(0)+1/2 a(tn–tn* )2+v*(t-tn*), t>tn* =Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, tn*>t>tn = Sn(0) tn>t
将敏感性数据表示成相对改变量，要比绝对 改变量的形式更自然也更实用。 模型的参数灵敏度 如果r改变了△r，则的相对改变量为△r/r。 如果r改变了△r，导致t有△t的改变量， 则相对改变量的比值为 △t / t 比上△r / r 令△r→0，按照导数的定义，我们有
t r dt r r t dr t
模型：
重量 w = w0+g t , 单价 p = p0 – r t , 总花费 C = k t , 总收益 R = p w 净收益的模型 P = R – C=(p0-rt)(w0+gt)-kt
参数估计 w0=200, g=5, p0=0.65, r=0.01, k=0.445 P = R – C = (0.65-0.01 t)(200 + 5 t)- 0.45 t P(t) = 130 + 0.8t – 0.05 t2.
d x F ma m 2 dt
2
例2：哥尼斯堡七桥问题
1736 Konigsberg Pregel Euler
数学模型
数学模型是架于数学与实际 问题之间的桥梁 在数学发展的进程中无时无 刻不留下数学模型的印记。
三. 数 学 模 型 的特征
1. 实践性：有实际背景，有 针对性。接受实践的检验。 2. 应用性：注意实际问题的 要求。强调模型的实用价值。 3. 综合性：数学知识的综合。 模型的综合。
问题：求出售时间使净收益最高 令 P’(t)=0 则有 0.8 t - 2×0.05 t = 0 得 t=8 P(8)=130+0.8×8－0.05×82= 133.2 结论： 饲养8天后出售，收益最高为133.2美元
分析： 1. 结果对参数的敏感程度。 结论所依赖的参数 猪的初始重量w0， 猪的初始价格p0， 猪的饲养花费k， 猪重的增加速率g， 价格降低的速率r。
第一章 数学模型
一. 模
型
为了一定的目的， 人们对原型的一个 抽象
二. 数 学 模 型
•
通过抽象和化简，使 用数学语言，对实际问 题的一个近似描述，以 便于人们更深刻地认识 所研究的对象。
。例1：牛顿定律
假设： 1.物体为质点，忽略物体的大小和 形状。 2.没有阻力、摩擦力及其他外力。 令x(t)表示在t时刻物体的位置, 则
参数估计
L=5m，D=2m，T=1s， v*=40km/h=1.1m/s 2 2 a=2.6m/s 2m/s .
结 论
S8(15)=9m, S9(15)=-9.1m 该路口最多通过八辆汽车
问题
1. 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型 是否正确。 10.位置,走向,车道数,时间。 绿灯时间,通过的车数(至少三次)。 数据不同的原因。 20.模型的假设与实际是否一致。 模型的参数与实际是否一致。 30. 模型的计算结果与观测结果是否一致？ 不一致时，为什么？如何修改模型。
讨
论
1. 模型分析 ：T=(nd+L)/v, v↗, 则T↘; d↗, 则 T↗. 2. 多行行进 3. d ↘, 则T↘ . 令d=0, 则有T=L/v。 疏散时间与人数无关! 假设中忽略了人体的厚度!!
修 改 假 设
1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔
令 f(θ)= xA( θ ) + xC( θ ), g(θ)= xB( θ )+ xD( θ ) 则有 f(θ), g(θ)连续且 f(θ) g(θ)≡0. 桌子在位置 θ* 四脚落地,则有f(θ*) = 0, g(θ*) = 0. 若 f(θ0) = 0, g(θ0) > 0, 则有 f(θ1) > 0, g(θ1) = 0 令 h(θ) = f(θ) - g(θ), 则有 h(θ) 连续 且 h(θ0) < 0, h(θ1) > 0.