《概率论》第1章6独立性S教学幻灯片
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《概率论》第1章§6 独立性
2p p
2
4
思考： A和B独立与A和B不相容有什么关系？
P ( AB ) P ( A ) P ( B ) P ( BC ) P ( B ) P (C ) P (CA ) P (C ) P ( A )
必然事件 Ω 与任何事件 A 是否独立 不可能事件Φ 与任何事件 A 是否独立
结果A出现的概率保持不变。我们把这n次独立重复贝努
利试验总起来看成一个试验，称这种试验叫n重贝努利试 验。总之，n重贝努利试验有下面四个约定：
（1）每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一, （2）A在每次试验中出现的概率p保持不变, （3）各次试验相互独立,
（4）共进行了n次.
P B | A P B
若
P A 0
则 事 件 A与 任 一 事 件 B相 互 独 立 。
例2 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中 目标的概率为 0.5，乙射中目标的概率为 0.6，求目 标被击中的概率
解
设 A, B分别表示甲,乙击中目标， 则 A B表示目标被击中，由于 A, B独立
2 1 P B 4 2
P B | C 1
生的概率，而A发生不改 1 变B发生的概率，B 的发 P AB 1 4 P B | A P B 1 P A 2 生也不改变A发生的概率， 2 也就是说A与B互不影响， 1 P AB 1 P A | B 4 P A 它们是独立的. 1 P B 2
贝努利概型
考虑一个简单的试验，它只出现（或只考虑） 两种结果，如某产品抽样检查得合格或不合格，射 击命中或不命中，试验成功或失败，发报机发出信 号0或1。掷一次骰子点数“6”是否出现。一般地， 试验E只有两种结果A和A,而P(A)=p（0<p<1）,则
《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)
m?????若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的20义定义当随机试验的样本空间是某个区域并且任量意一点落在度量长度面积体积相同的子区域是等可能的则事件a的概率可定义为?mamap??说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时就归结为几何概率
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
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(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
概率论独立性ppt课件
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
定理 2 若两事件A、B独立, 则A与B, A与B, A与B
也相互独立.
证明 仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(AB )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B) 故 A与 B独立
第六节 独立性
主要内容： 1）两个事件的独立性 2）多个事件的独立性 3）独立性的概念在计算概率中的应用
重点： 1）两个、多个事件独立性的定义 2）利用独立性的概念接概率题目
一、两事件的独立性
先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
P(A|B)=P(A)
两事件独立的定义independence
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B相互独立，简称A、B独立.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为
PA | B PA , PB 0
或
PB | A PB, PA 0
证 先证必要性 . 设事件 A、B 独立 ,由独立定义知
在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去 判断两事件是否独立.
在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判 断两事件是否独立.
例如 甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，
故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）
又如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
概率论第一章课件ppt
概率的性质
1. P(F) 0
2.若 A1, A2,..., An是两两互不相容事件,则有 P ( A 1 A 2 . . . A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) . . . P ( A n )
3.设 A , B 是两个事件,若 A B , 则有
P(BA)P(B)P(A); P(B)P(A).
概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学 领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样 调查; 在通讯工程中可用以提高信号的抗干 扰性,分辨率等等.
概率论的起源
大约400年以前, 欧洲一些赌徒遇到这样的问题
1. 同时掷两枚骰子, 以每个骰子朝上的点数之和 作为赌博的内容, 问赌注下在多少点最有利?
2.甲乙二人赌博,各出赌注30元,共60元,每局甲、 乙胜的机会均等,都为1/2。约定:谁先胜满3局,则 他赢得全部赌注60元。现已赌完3局,甲2胜1负,因 故中断赌博,问这60元如何分给2人才算公平?
= P({e1})+ P({e2})+ … +P({en})= nP({ei}) 所以, P({ei})=1/n, i=1, 2, …, n. 那么, P(A)=P({ei1}∪{ei2}∪ … ∪{eik})
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
实例4 “从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取 一个产品”.
实例5 “过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯”.
其结果可能为: 正品 、次品.
实例6 “出生的婴儿可 能是男,也可能是女”.
实例7 “明天的天气可 能是晴 , 也可能是多云 或雨”等都为随机现象.
事先明确试验的所有可能结果; (3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果
概率统计教学课件PPT 条件概率与事件的独立性教学课件PPT
例2 一类动物由出生起活到20或20岁以上的,
概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,现假设此 类动物中有一动物为20岁,问其活到25岁以上的
概率是多少?
解：设B:活到20或20岁以上; A:活到25岁以上
求P(A|B) AB
P( A | B) P( AB) P(B)
P( A | B) P( A) 0.4 0.5 P(B) 0.8
解 分别用A、B、C表示具有上述品质的姑娘
根据题意有 P(A) 0.01, P(B) 0.01, P(C) 0.00001
则所求概率为 P(ABC) 0.000000001
即十亿分之一。
例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译 出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人 能将密码译出的概率是多少？
若A1 A2 P(A1 | B) P(A2 | B)
单调性
P(A1 A2 B) P(A1 B) P(A2 B) P(A1A2 B)
加法公式
P(A1 A2 B) P(A1 B) P(A2 B)
P(• B) 是连续的.
半可加性
例1 考虑有两个小孩的家庭,问其中至少有一个女 孩的家庭中, 另一小孩也是女孩的概率有多大? (假设生男,生女是等可能的)
设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面
四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
两事件相互独立的性质
性质1. A, B独立 A, B 独立
A, B 独立 A, B 独立.
试证其一 A, B 独立 A, B 独立
注3) 关系式(1) (2)不能互相推出.
概率论第一章ppt课件
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
P Ak
k 1
k
k 1 k!
e
1 e
．
本题可采用另外一种解法． A A0 { 该地一年内
未发生交通事故} ，于是
P(A) 1 P(A) 1 P( A0) 1 e ．
33
小结
• 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。
34
§1.3 古典概型与几何概型
验，简称试验。随机试验常用E表示。
7
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
8
例1-2：
概率论第一章PPT课件
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-
10
费尔马的解法
费尔马注意到，如果继续赌下去，最多只要再赌4轮便可 决出胜负，如果用“甲”表示甲方胜，用“乙”表示乙方胜， 那么最后4轮的结果，不外乎以下16种排列。
甲甲甲甲 甲甲甲乙 甲甲乙甲 甲乙甲甲 乙甲甲甲 乙甲甲乙
甲甲乙乙 甲乙甲乙 甲乙乙甲 乙乙甲甲 乙甲乙甲
甲乙乙乙 乙甲乙乙 乙乙甲乙 乙乙乙甲 乙乙乙乙
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8
直到1654年，一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的 亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题“，求助其对这种现 象作出解释，引起了这位法国天才数学家的兴趣，帕斯卡接 受了这些问题，但他没有立即去解决它，而是把它交给另一 位法国数学家费尔马。之后，他们频频通信，互相交流，围 绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后 来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他也开 始就这方面展开研究。
若每次试验中，事件A与事件B不能同时发生， 即A∩B= 。则称事件A与事件B互斥或互不相 容。
有时，我们也称满足以上三个特点的试验为随机 试验。
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20
§1.1.2 样本空间 随机事件
一、样本空间
随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的 样本空间，记为Ω。Ω的每个元素，即Ω的每一个可能 的结果，称为E的一个样本点或基本事件。
指的是基本 结果
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样本点
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21
特征：条件不能完全决定结果。
确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含 义确定。随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性， 随机现象的不确定性是指试验的结果不确定，而模糊现 象的不确定性有两层含义，一是指事物本身的定义不确 定，二是结果不确定。
概率论与数理统计第一章ppt课件
事件独立的例题：
P ( A 1 ) 1 / 5 , P ( A 2 ) 1 / 3 , P ( A 3 ) 1 / 4
P (A 1 A 2 A 3) 1P (A 1 A 2 A n)
3
1
1P(A1A2A3)
1P (A 1)P (A 2)P (A 3)
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
❖练习 某人从外地赶来参与紧急会议， 他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率 分别是0.3、0.2、0.1、0.4，假设他乘 飞机来就不会迟到；而乘火车、轮船或 汽车来迟到的概率分别为1/4、1/3、 1/12。
❖〔1〕求他迟到的概率；
❖〔2〕假设他迟到了，试推断他是怎样 来的，说说他的理由。
❖例4 据以往的临床记录，某种诊断 糖尿病的实验具有以下的效果：假设 一被诊断者患有糖尿病那么实验结果 呈阳性的概率为0.90；假设一被诊断 者未患糖尿病，那么实验结果呈阳性 的概率为0.06。又知受实验的人群患 糖尿病的概率为0.03。假设一被诊断 者其实验结果呈阳性，求此人患糖尿 病的条件概率。
这一节我们引见了
全概率公式
贝叶斯公式
它们是加法公式和乘法公式的综合运用, 同窗们可经过进一步的练习去掌握它们. 值得一提的是，后来的学者根据贝叶斯公 式的思想开展了一整套统计推断方法，叫 作“贝叶斯统计〞. 可见贝叶斯公式的影 响.
小结
全概率公式：由因遡果 贝叶斯公式：由果索因
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❖例2 甲、乙两人独立地对同一目的射击 一次，其命中率分别是0.5和0.4。现知 目的被命中，那么它是乙射中的概率是 多少？
❖例3 设0<P(A)<1，且P(B|A)=P(B|A )， 试证：A、B相互独立.
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P(A1)P(A2) P(A3)P(A4) P(A1A2)P(A3A4)
p2 p2 p2 p2 p2 (2 p2 )
第一章 概率论的基本概念
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§6 独立性
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WangWenHaAo, B 独立与
A, B 独立
A,
B不相容有什么关系
P(AB) P(A)P(B)
A, B不相容 AB
为
p
40 50000
0.0008
第一章 概率论的基本概念
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§6 独立性
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Wang设We随n机Ha试o验的样本空间为有界区域 D,事件
A {试验结果落在区域 d 中 }
发生的概率定义为
P( A)
d 的面积 D的面积
称为几何概型
事件 A发生的概率与位置无关,只与 A的面积有关， 这体现了某种“等可能性”
故 A, B 独立,从而 A, B独立 , A, B独第立一章 概率论的基本概念
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§6 独立性
4/9
WangWenHao
第一章 概率论的基本概念
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§6 独立性
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Wa求n混gW合e1n0H0设a个o每人个的人血血清清中中含含有有肝肝炎炎病病毒毒的的概概率率. 为0.4%,
记
Ai {第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2,,100
A, B “独立”
P(A | B) P(A), P(B | A) P(B) P(AB) P(A | B)P(B)
P(B | A)P(A) P(A)P(B)
第一章 概率论的基本概念
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§6 独立性
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WangWen某Ha系o统由四系个统部可件靠I, I性I,III,IVP{系统正常I 工作II}
A, B,C 相互独立 否!
必然事件 S 与任何事件 是否独立 不可能事件 与任何事件 是否独立
事件{甲患感冒 }与 {乙患感冒 }能否认为是独立的
条件概率与事件独立性通常是根据实际意义来确定的
第一章 概率论的基本概念
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§6 独立性
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W支an枪gW齐设e射一nH能支a击步o 中枪目击标中的目概标率的.概率为 p 0.0试01求, n
记 Ai {第 i 支枪击中目标 }, (i 1, 2,, n)
易知 A1, A2,, An 相互独立 ,所求概率为
pn P(Un Ai) i 1 1 P(In Ai) i 1
1 (1 p)n 1 0.999n
n 1000 2000 3000 4000 5000 pn 0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
被击落的概率。
记 A {飞机被击落 }
Ai {飞机被 i 门炮击中} , i 0,1, 2,3
Bi {第 i 门炮击中飞机 } , i 1, 2,3 样本则空A间1 的B分1B划2B3 U B1B2B3 U B1B2B3 , P( A1) 0.36
A2 B1B2B3 U B1B2B3 U B1B2B3 , P( A2 ) 0.41
则所求概率为
P(1U00 i 1
Ai )
P
I100
i 1
Ai
1 P(1I00 Ai) i 1
根据实际问题 判断事件独立性
1 0.996100
0.33
第一章 概率论的基本概念
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§6 独立性
6/9
WangWenHao
P(AB) P(A)P(B) P(BC) P(B)P(C) P(CA) P(C)P(A)
A由3 事B件1B的2B不3 相容性及独立性,有P(A3 ) 0.14 由全概率公P(式A1)有 P(B1B2B3 ) P(B1B2B3 ) P(B1B2B3 )
3
P(A) P0(.4A| 0A.i5)P0( A.3i ) 0.60.50.3 0.60.50.7
0i000..326 0.36 0.6 0.4第1一章1 0概.1率4论0的.4基5本8概念
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§6 独立性
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WangWenHao
抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况，则样本 空间是
S { HH, HT,TH,TT }
记事件 设AA, B{甲是出两现个正事面件}，, 若B {乙出现正面 }
P(AB) P(A)P(B)
则称事件A,AB,之B相间互是独没立有,任简何称关A系, B的独,立它们具有“独立性”
一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？
解法一： 每局甲获胜的概率是1/2
应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。
即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。
甲最终获胜的概率为
P4(2)+P4(3)+P4(4)
C 2 4 1 2 2 1 2 2C 3 4 1 2 31 2 1 2 4
1 1
1 6
赌注应按11：5的比例分配。
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§6 独立性
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Wan(g古二W典e)n概H型ao的特点： 有限个样本点
基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？
某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的大
陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探，问
能够发现石油的概率是多少？
认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概率
可见即使 p 很小，但只要试验不断进 行下去，小概率事件几乎必然要发生
第一章 概率论的基本概念
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§6 独立性
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1、2、3号高炮同时对飞机进行射击,三门炮击中飞
W机an的g概We率n分Ha别o为0.4、0.5、0.7. 飞机被一门炮击中而
被击落的概率为0.2,被两门炮击中而被击落的概
率为0.6,若被三门炮击中,飞机必定被击落. 求飞机
| x y | 20
20 x y 20
y
60
这是一个几何概型，所求概率是
y x 20 y x 20
p 60 2 40 2 5
60 2
9
20
x
O
20
60
第一章 概率论的基本概念
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§6 独立性
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WangWen赌Ha博(o分，赌五注局问三题胜)，甲胜、者乙获各得下全注部a元赌，注以。猜若硬甲币赢方得式第
构成(见图). 设每个部件的可靠性均
为 p, 且四个部件是相互独立的. 求 整个系统的可靠性.
III IV
则
记
A Ai
{ {
整个系统正常工作 }I、II 串联 第 i 个部件正常工I作II、} ,IVi 串1,联2,3,
4并联
A A1A2 U A3A4
于是整个系统的可靠性为
相互独立
P(A) P(A1A2 U A3A4) P(A1A2) P(A3A4) P(A1A2 I A3A4)
如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则 “面积” 改为“长度”、“体积”
第一章 概率论的基本概念
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§6 独立性
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W等an候gW另(约e一n会H人问a2o题0分) 两钟人，相过约时7离点去到。8试点求在这某两地人会能面会，面先的到概者
率。
设 分x,别y 表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
112 22
1 2
3 16
故甲方最终获胜的概率为
P(B3+B4+B5)=P(B3)+P(B4)+P(B5)
11 16
赌注应按11：5的比例分配。
第一章 概率论的基本概念
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§6 独立性
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WangWenHao
甲、乙两坦克的首发命中率均为0.8，经修正后的第 二发命中率均为0.95，敌目标被一发炮弹击中而被击毁的 概率为0.2，被两发炮弹击中而击毁的概率为0.5，被三发 炮弹击中必定被击毁。在战斗中，甲、乙两坦克分别向 敌同一目标发射了两发炮弹，求敌目标被击毁的概率。
故当 P(A) 0 或 P(B) 0 时
A, B 独立 A, B不相容
不能同时成立
若 A, B独立，问 A, B是否独立
若 P(AB) P(A)P(B), 则
P(AB) P(A)(1 P(B)) P(A) P(A)P(B)
P(A)P(B) P(A) P(AB)
P(A AB) P(AB)
第一章 概率论的基本概念
课件制作
§6 独立性
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解法二：
Wang一W般e情nH况a下o不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。
甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为P(B3)源自1 221 4
甲方在第四局结束赌博获胜的概率为
P(B4)C12121212
1 4
甲方在第五局结束赌博获胜的概率为
P(B5)C13
习题：22、23、24、28、30、31、33 (至少做四题)
第一章 概率论的基本概念