大学物理第二章 习题解答

第二章 习题解答（仅供参考）

2．6 如图所示：质量为m = 10kg 的小球，拴在长度l = 5m 的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求：

（1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？ （2）在θ < 60°的任一位置时，求小球速度v 与θ的关系式．这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？

（3）在θ = 60°时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？

[解答]（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即F = -mg sin θ，负号表示角度θ增加的方向为正方向．

小球的运动方程为

22d d s

F ma m t

==，

其中s 表示弧长．由于s = R θ = lθ，所以速度为

d d d d s v l t t

θ=

=， 因此

d d d d d d d d v v m v F m

m v t t l θθθ

===， 即 v d v = -gl sin θd θ， （1） 取积分

60d sin d B

v v v gl θθ︒

=-⎰

⎰，

得 0

2

601cos 2

B v gl θ︒

=，

解得

B v gl == 2.21(m·

s -1)． 由于22B B

B v v T mg m m mg R l

-===， 所以T B = 2mg = 1.96(N)．

（2）由（1）式积分得

2

1cos 2

C v gl C θ=+， 当 θ = 60º时，v C = 0，所以C = -lg /2， 因此速度为 (2cos 1)C v gl θ=

-．

切向加速度为 a t = g sin θ；

法向加速度为 2(2cos 1)C

n v a g R

θ==-． 由于T C – mg cos θ = ma n ，所以张力为

l

m θ

B

C

O 图2.6

l m

θ B

C O

mg

T

T C = mg cos θ + ma n = mg (3cos θ – 1)． （3）当 θ = 60º时，切向加速度为 3

2

t a g =

= 8.49(m·

s -2)， 法向加速度为 a n = 0，

绳子的拉力 T = mg /2 = 0.49(N)．

[注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．

2．8 质量为m 的物体，最初静止于x 0，在力2k

f x

=-(k 为常数)作用下沿直线运动．证明物体在x 处的速度大小v = [2k (1/x – 1/x 0)/m ]1/2．

[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程222d d k x

f ma m x t =-==

利用v = d x/d t ，可得 22d d d d d d d d d d x v x v

v

v t t t x

x

===， 因此方程变为 2

d d k x

mv v x =-， 积分得

212k

mv C x

=+． 利用初始条件，当x = x 0时，v = 0，所以C = -k /x 0，因此

20

12k k mv x x =-， 即 0

211

()k v m x x =

-． 证毕． [讨论]此题中，力是位置的函数：f = f (x )，利用变换可得方程：mv d v = f (x )d x ，积分即可求解．

如果f (x ) = -k/x n ，则得

21d 2n x mv k x =-⎰． （1）当n = 1时，可得 2

1ln 2

mv k x C =-+．

利用初始条件x = x 0时，v = 0，所以C = ln x 0，因此

2

01ln 2x mv k x

=， 即 0

2ln x k v m x

=

． （2）如果n ≠1，可得

21121n

k mv x C n

-=-+-． 利用初始条件x = x 0时，v = 0，所以101

n

k C x n -=-

-，

因此

2110

111()21n n k mv n x x --=--， 即 110

211

()(1)n n k v n m x x --=

--．

当n = 2时，即证明了本题的结果．

2．12 如图所示，一半径为R 的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．

[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为

F = mg tg θ．

珠子做圆周运动的半径为 r = R sin θ．

根据向心力公式得

F = mg tg θ = mω2R sin θ，

可得

2cos mg

R ωθ=，

解得 2

arccos g

R θω=±．

2．16 如图所示，3个物体A 、B 、C ，每个质量都为M ，B 和C 靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m 的细绳，首先放松．B 的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A 相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A 和B 起动后，经多长时间C 也开始运动？C 开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s -2）

[解答]物体A 受到重力和细绳的拉力，可列方程

Mg – T = Ma ，

物体B 在没有拉物体C 之前在拉力T 作用下做加速运动，加速度大小为a ，可列方程

T = Ma ，

联立方程可得

a = g/2 = 5(m·s -2)．

根据运动学公式

s = v 0t + at 2/2，

可得B 拉C 之前的运动时间

2/t s a == 0.4(s)．

此时B 的速度大小为

v = at = 2(m·s -1)．

物体A 跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A 和B 拉动C 运

m

R

ω

θ r mg 图 2.12

C B A

图2.16