第十章曲线曲面积分(习题及解答)

合集下载

高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答(可编辑修改word版)

1 2 122 5 LL⎰⎝⎭ 第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题 10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1） I =⎰Lxds ，其中 L 是圆 x 2 + y 2 = 1中 A (0,1) 到 B (, - ) 之间的一段劣弧；解: (1 +) ．（2） ⎰L(x + y +1)ds ，其中 L 是顶点为O (0, 0), A (1, 0)及 B (0,1) 所成三角形的边界；解: ⎰L (x - y + 1)ds = 3 + 2 ．（3）⎰x 2 + y 2 ds ，其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = x ；解: ⎰ x 2 + y 2 ds = 2 ．（4） x 2 yzds ，其中 L 为折线段 ABCD ，这里 A (0, 0, 0) ， B (0, 0, 2), C (1, 0, 2),LD (1, 2, 3) ；解:⎰Lx 2 yzds =8．3zB (0, 0, 2)D (1, 2,3)C (1, 0, 2)2 求八分之一球面 x 2+ y 2 + z 2= 1(x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) 的边界曲线的重心，设曲线的密度= 1 。

解故所求重心坐标为⎛4 , 4 ,4 ⎫ ．A (0, 0, 0)yx3 3 3⎪习题 10—21 设 L 为 xOy 面内一直线 y = b （ b 为常数），证明12yAC oxB⎰⎰⎰L x - y + z = 2 , ⎰证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： ⎰LQ (x , y )dy = 0 。

（1） ⎰Lxydx ，其中 L 为抛物线 y = x 上从点 A (1, -1) 到点 B (1,1) 的一段弧。

24解 : ⎰Lxydx = 5。

（2） (x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y 2 )dy ，其中 L 是曲线 y = 1 - 1 - x 从对应于 x = 0 时的点到Lx = 2 时的点的一段弧；解(x 2 + y 2 )dx + (x 2 - y2 )dy = 4 ． L 3（3） ⎰Lydx + xdy , L 是从点 A (-a , 0) 沿上半圆周 x 2 + y 2 = a 2 到点 B (a , 0) 的一段弧；解 ⎰L ydx + xdy = 0.（4） xy 2dy - x 2 ydx ，其中 L 沿右半圆 x 2 + y 2 = a 2 以点 A (0, a ) 为起点，经过点C (a , 0) L到终点 B (0, -a ) 的路径；解 ⎰L xy 2dy - x 2 ydx = -a 4。

高数第十章线面积分习题和答案

第十章曲线积分曲面积分练习题A 组一.填空题1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则⎰Lydy e 2=2.设⋂MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分⎰⋂+MNxdy ydx =3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则⎰++Ly x xdy ydx e )( =4. 设L 是从)0,1(A 沿1222=+y x 至点2,0(B )的曲线段，则⎰+Ly x y x dy ye dx xe 222 =5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则⎰+Ldx y x xy )(33 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则⎰++L bdy adx )( =7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-⎰dy y x dx y x L，则L 所围成的平面区域D 的面积等于8. 常数 k = 时，曲线积分⎰+Ldy x kxydx 2与路径无关。

9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分⎰⎰∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线，则对弧长的曲线积分⎰Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则⎰-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则⎰+LdS y x 322)(=13. 设为曲面2222a z y x =++，则⎰⎰∑dS z y x222=二、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：⋂AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（）A ．若⎰+LQdy Pdx 与路径无关，则在D 内必有yPx Q ∂∂≡∂∂ B ．若⎰⋅Lds A 与路径无关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ∂∂≡∂∂，则必有⎰L ds A ·与路径无关。

第10章曲线积分与曲面积分习题 10- (7)

dxdy ∂ ∂z x− y
a
a
y
x
图 10.50
= ∫∫ −2dydz − 2dzdx − 2dxdy
∑
(化为非组合曲面积分)
1
b 2(a + b) = −2∫∫ ( + 0 + 1)dxdy = − ∫∫ dxdy a a ∑ ∑
=−
2(a + b) 2(a + b) 2 ∫∫ dxdy = − a ⋅ πa = −2πa(a + b). a D
如图 10.55 所示, 取 ∑ 为平面 z = 0 上被 Γ 所围的部分, 取上侧, 则 Γ 是 ∑ 的正向边界. 利用斯托克斯公式, 可得
3
∫ Γ ( x − z )dx+(x
= ∫∫
∑
3
+yz )dy − 3 xy 2 dz dxdy ∂ ∂z
z
2
dydz ∂ ∂x
dzdx ∂ ∂y
z = 2 − x2 + y 2
3 3 3
∑
z3
x3
y3 O
z = 2( x 2 + y 2 )
1
= ∫∫ 3 y 2 dydz + 3z 2 dzdx + 3x 2 dxdy
∑
y
x
图 10.54
= ∫∫ 3x 2 dxdy =
∑
Dxy
∫∫ 3x dxdy
2
= 3∫ cos 2θ dθ ∫ ρ 3dρ =
0 0
2π
1
3 π. 4
2. (1)
rot r ;
i
(2)
j
rot[ f (r ) r ].

(完整版)曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第十章曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。

10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。

第十章(第六部分)曲面积分习题解答

第十章曲线积分与曲面积分(第六部分)曲面积分习题解答一、对面积的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑++dS y x z )342(，其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分．分析因为∑：1432=++z y x ，可恒等变形为∑：y x z 3424--=，又因被积函数y x z 342++与∑形式相同，故可利用曲面方程来简化被积函数，即将4342=++y x z 代入，从而简化计算。

解平面∑方程的为)321(4yx z --=（如图）， ∑在xoy 面上的投影区域xy D ：0,0,132≥≥≤+y x yx ；34,2-=∂∂-=∂∂y z x z ，面积元素 dxdy dxdy y z x z dS 361122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= 从而⎰⎰⎰⎰⋅=++∑xyD dxdy dS y x z 3614)342( 61432213614=⋅⋅⋅=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x |)|(，其中∑为1||||||=++z y x .解由对称性可知，0=⎰⎰∑xd S ，由轮换对称性和代入技巧知，⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑=++=dS dS z y x dS y 31|)||||(|31||，再由曲面积分的几何意义知，34238=⋅=⎰⎰∑dS ，所以，334|)|(=+⎰⎰∑dS y x .y二、对坐标的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑dydz x 2．其中∑为球面2222R z y x =++在第一卦限部分的上侧。

分析由于∑不是封闭曲面，且只是对坐标z y ,的曲面积分，故直接计算即可。

解因∑：222z y R x --=取前侧，且∑在yoz 面上的投影区域为0 ,0 , :222≥≥≤+z y R z y D yz .于是得 ⎰⎰∑dydz x 2dydz z y R yzD ⎰⎰--=)(222⎰⎰⋅-θ=πRrdr r R d 02220 )(402228141212R r r R Rπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑++=ydzdx xdydz zdxdy I ．其中∑是柱面122=+y x 被平面0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧。

最新10曲线积分和曲面积分习题与答案汇总

10曲线积分和曲面积分习题与答案第十章曲线积分和曲面积分（A）1、计算下列对弧长的曲线积分1）«Skip Record If...»，其中：«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»3）«Skip Record If...»其中T为折线ABCD，这里A，B，C，D依次为点（0，0，0），（0，0，2），（1，0，2），（1，3，2）4）«Skip Record If...»其中L：«Skip Record If...»2 、计算下列对坐标的曲线积分1）«Skip Record If...»其中L是«Skip Record If...»上从（0，0）到（2，4）的一段弧2）«Skip Record If...»其中L是«Skip Record If...»及x轴围成的在第一象限内的区域的整个边界（逆时针向）3）«Skip Record If...»其中T为有向闭折线ABCA，这里A，B，C依次为点（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）4）«Skip Record If...»，其中L是«Skip Record If...»上从点（-1，1）到（1，1）的一段弧3、利用格林公式，计算下列曲线积分1）«Skip Record If...»其中L为三顶点分别为（0，0），（3，0）和（3，2）的三角形正向边界2）«Skip Record If...»其中L为正向星形线«Skip Record If...»3）«Skip Record If...»其中L为抛物线«Skip Record If...»上由（0，0）到（«Skip Record If...»的一段弧4、验证下列«Skip Record If...»在整个«Skip Record If...»面内是某个«Skip Record If...»的全微分，并求这样的«Skip Record If...»1）«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»5 、计算下列对面积的曲面积分1）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为平面«Skip Record If...»在第一卦限中的部分2）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为锥面«Skip Record If...»被柱面«Skip Record If...»所截得的有限部分6 、计算下列对坐标的曲面积分1）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»是球面«Skip Record If...»的下半部分的下侧2）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»是平面«Skip Record If...»围成区域的整个边界曲面的外侧7 、利用高斯公式计算曲面积分1）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为球面«Skip Record If...»的外侧2）«Skip Record If...»«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为界于«Skip Record If...»之间的圆柱体«Skip Record If...»的整个表面的外侧8 、求下列向量的散度1）«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»9、求下列向量场A的旋度1）«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»(B)1、一段铁丝成半圆形«Skip Record If...»，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量.2、把«Skip Record If...»化为对弧长的曲线积分，其中L为«Skip Record If...»从点A（-1，1）到B（1，1）的弧段.3、把«Skip Record If...»化成对弧长的曲线积分，其中«Skip Record If...»为曲线«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»一段弧.4、求心形线«Skip Record If...»所围图形的面积.5、求«Skip Record If...»，其中：«Skip Record If...»为«Skip RecordIf...»从A（1，0）到B（0，1）.6、把«Skip Record If...»化为对面积的曲面积分，其中1）«Skip Record If...»是平面«Skip Record If...»在第二卦限部分上侧2）«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上侧7 、«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为锥面«Skip Rec ord If...»的上侧.8、«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为柱面«Skip RecordIf...»与平面«Skip Record If...»的交线，从z轴正向看«Skip Record If...»为逆时针方向.（C）1、计算«Skip Record If...»其中：L：«Skip Record If...»（«Skip Record If...»从X轴正向看去L为逆时针.2、已知曲线积分«Skip Record If...»其中L为«Skip Record If...»正向，求（1） R为何值时«Skip Record If...»;（2）求«Skip Record If...»的最大值.3 、计算«Skip Record If...»«Skip Record If...»,其中：«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»为«Skip Record If...»在第Ⅳ卦限部分的上侧.第十章曲线积分和曲面积分习题答案（A）1、1）«Skip Record If...» 2)«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»2、1）«Skip Record If...» 2）«Skip Record If...» 3）«Skip Record If...» 4）«Skip Record If...»3、 «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»4、«Skip Record If...» «Skip Record If...»5 、«Skip Record If...» «Skip Record If...»6 、«Skip Record If...» «Skip Record If...» 7、 «Skip Record If...» «Skip Record If...»8、 «Skip Record If...» «Skip Record If...»9、«Skip Record If...» «Skip Record If...»（B）1、提示：«Skip Record If...»，上半圆«Skip Record If...»2、提示：«Skip Record If...»«Skip Record If...»3、提示：«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»4、«Skip Record If...»5、连OA，OB，（O（0，0）），使OA，OB，L构成«Skip Record If...»圆周，«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»=0而«Skip Record If...»6、«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»。

(整理)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。

解故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。

证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分：（1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 :45Lxydx =⎰。

（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。

（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。

大学高数第十章曲线积分与曲面积分课后参考答案及知识总结

解：设围的区域为D
，
原式=
注：利用二重积分的被积函数的奇偶性及积分区域的对称性有 .
★★4.利用曲线积分，求星形线所围成图形的面积。
解：由公式
★★5.求双纽线所围区域的面积。
解：双纽线的极坐标方程为：
由图形的对称性知：
★★6.计算，其中为圆周的顺时针方向。
解：参数方程为：变化从到
原式
原式
法二：线积分与路径无关。
原式 =
★★15.利用曲线积分，求下列微分表达式的原函数：
(1) ;
(2) ;
(3) .
解：(1) ,
是某函数的全微分
.
(2)
是某函数的全微分
.
(3)
是某函数的全微分
★★16.设有一变力在坐标轴上的投影为，，改变力确了一个力场.
证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关.
(1)螺旋形弹簧关于轴的转动惯量 ;
(2)螺旋形弹簧的重心.
解:
(1)
.
(2)
螺旋形弹簧关于平面的静力矩分别为：
同法得：
.
,
.
提高题
★★★1.计算，其中为正向圆周，直线及轴在第一项限内所围成的扇形的整个边界.
解：与在第一象限的交点为 .
如图：
;
; .
则原式
★★★★2.计算，其中为圆柱面与锥面的交线.
解：摆线的参数方程为：
原式
★★5.计算曲线积分，其中为螺旋线上相应于从到的一段弧。
解：
原式
★★6.计算曲线积分，其中为折线 ,这里 , , , 依次为点，，， .
解：如图，原式=

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第十章曲线曲面积分§10．1对弧长的曲线积分一、选择题1. 设曲线弧段AB 为，则曲线积分有关系( ).(A)(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =-⎰⎰； (B)(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =⎰⎰；(C)(,)d (,)d 0ABBAf x y s f x y s +=⎰⎰；(D)(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =--⎰⎰．答(B).2. 设有物质曲线23:,,(01),23t t C x t y z t ===≤≤其线密度为ρ=,它的质量M =( ).(A)10t ⎰; (B)10t t ⎰;(C)t ⎰; (D)t ⎰. 答(A).3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分OMI s=⎰不相等的积分是( ).(A)10x ⎰; (B)10y ⎰;、(C)d r r ⎰; (D)10e r ⎰答(D).4 .设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d Lx y s -=⎰( ).(A)403d 4x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰; (B)303d 4y y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰;(C)3034y y y ⎛- ⎝⎰; (D)4034x x x ⎛- ⎝⎰. 答(D).5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分s =⎰( ).(A)x ⎰; (B)y ⎰;(C)10x ⎰; (D)y ⎰. 答(C).6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段,则曲线积分()d Lx y s +=⎰( ).(A); (B)2; (C) (D) 答(D).二、填空题{1. 设L 是圆周221x y +=,则31d LI x s =⎰与52d LI x s =⎰的大小关系是.答:12.I I =2. 设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段, 则()d Lx y s +=⎰..3. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d n Lx y s +=⎰. 答：212a a π+.4. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d Lx y s -=⎰.答：0.5. 设L 是圆周221x y +=,则2d LI x s ==⎰.答：π.6. 设:cos ,sin ,t t t x e t y e t z e Γ===,上相应于t 从0变到2的这段弧,则曲线积分22()d Lx y s -=⎰.-答:2)e --. 7. 设L 为曲线24y x =上从点(0,0)A 到点(1,2)B 的弧段,则Ls =⎰.答：3. 三、解答题1.计算下列对弧长的曲线积分： (1)d Lx s ⎰其中为由直线y x =与抛物线2y x =所围区域的整个边界.答： 11)12.(2)22d x y Les +⎰其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.答： 2 2.4a a e π⎛⎫+- ⎪⎝⎭#(3)2d x yz s Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里,,,A B C D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).答：9. (4)2d Ly s ⎰其中L 为摆线一拱(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤.答： 34232.53a ⋅⋅(5)22()d Lx y s +⎰其中L 为曲线(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩(02)t π≤≤. 答： 2322(12).a ππ+§10．2对坐标的曲线积分一、选择题1. 设AB 为由(0,)A π到(,0)B π的直线段,则sin d sin d ABy x x y +=⎰( ).(A)2; (B)1-; (C)0; (D)1. 答(C).@2. 设C 表示椭圆22221x y a b+=,其方向为逆时针,则2()d C x y x +=⎰ ( ).(A)ab π; (B)0; (C)2a b +; (D)1. 答(B). 3. 设C 为由(1,1)A 到(2,3)B 的直线段,则(3)d (2)d Cx y x y x y +++=⎰( ).(A)21[(2)(23)]d x x x x x +++⎰； (B)21[(21)(213)]d x x x x x +-+-+⎰ (C)21[(73)2(51)]d x x x -+-⎰; (D)21[(73)(51)]d x x x -+-⎰. 答(C).4. 设曲线C 的方程为x y ==(0)2t π≤≤,则22d d Cx y y y x x -=⎰( )(A)20[cos sin t π⎰； (B)2220(cos sin )d t t t π-⎰(C)220cos sin ππ-⎰⎰(D)201d 2t π⎰.答(D).·5. 设()f u 连续可导,L 为以原点为心的单位圆,则必有( ).(A)22()(d d )0Lf x y x x y y ++=⎰；(B)22()(d d )0Lf x y x y y x ++=⎰(C)22()(d d )0Lf x y x y y ++=⎰; (D)22()(d d )0Lf x y x x y ++=⎰.答(A).6. 设C 是从(0,0)O 沿折线11y x =--到(2,0)A 到的折线段,则d d Cx y y x -=⎰( )(A)0; (B)1-; (C)2-; (D)2. 答(C).二、填空题1. L 为xoy 平面内直线x a =上的一段,则(,)d LP x y x =⎰.答：0.2. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y x -=⎰.答：5615-. （3. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y y -=⎰.答：403-.4．L 为圆弧y (2,2)A 的一段弧,则d Lxy y =⎰ .答：43. 5．设L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则d Lxy y =⎰.答：32a π-.6．设(2)d (23)d 9Lx y x x y y -++=-⎰,其中L 为xoy 平面上简单闭曲线,方向为逆时针.则L 所围成的平面区域D 的面积等于.答：32. 三、解答题1．计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 为:（(1) 抛物线2y x =上从(1,1)到(4,2)的一段弧; (2) 从点(1,1)到点(4,2)的一直线段;(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线; (4) 曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 答案：3432(1);(2)11;(3)14;(4).332．计算d d Ly x x y +⎰其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧.答：0. 3．计算22()d ()d L x y x x y y x y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=(方向按逆时针). 答：2π-.4．计算d d (1)d x x y y x y z Γ+++-⎰其中Γ为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.)答：13.5. 计算22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.答：1415-. §10．3 格林公式一、选择题1. 设C 是圆周222x y R +=,方向为逆时针方向,则22d d Cx y x xy y -+⎰用格林公式计算可化为( ).(A)23d d Rr r πθ⎰⎰； (B)2200d d Rr r πθ⎰⎰;(C)230d 4sin cos d Rr r πθθθ-⎰⎰; (D)220d d RR r r πθ⎰⎰. 答(A).2. 设L 是圆周222x y a +=,方向为负向, 则3223()d ()d Lx x y x xy y y -+-⎰= ( ).）(A)323a π; (B)4a π-; (C); (D)42a π-. 答(D). 3. 设L 是从(0,0)O 沿折线22y x =--到(4,0)A 到的折线段,则d d Cx y y x -=⎰( )(A)8; (B)8-; (C)4-; (D)4. 答(B).4. 设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数,则d d LP x Q y +⎰在D 内与路径无关的充分必要条件是在D 内恒有( ).(A)0Q P x y ∂∂+=∂∂; (B)0Q Px y∂∂-=∂∂; (C)0P Q x y ∂∂-=∂∂; (D)0P Q x y∂∂+=∂∂. 答(B). 5. 设L 为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线, 则22d d 4L x y y xx y -=+⎰( ).(A)4π; (B)π; (C)2π; (D)0. 答(D).6. 设L 为一条包含原点在内的简单闭曲线,则22d d 4L x y y xI x y -==+⎰( ).：(A)因为Q P x y ∂∂=∂∂,所以0I =; (B)因为,Q Px y∂∂∂∂不连续,所以I 不存在; (C)2π; (D)因为Q Px y∂∂≠∂∂,所以沿不同的L ,I 的值不同. 答(C). 7. 表达式(,)d (,)d P x y x Q x y y -为某函数(,)U x y 的全微分的充分心要条件是( ).(A)P Q x y ∂∂=∂∂; (B)P Qy x∂∂=∂∂; (C)P Q x y ∂∂=-∂∂; (D)P Qy x∂∂=-∂∂. 答(D). 8. 已知2()d d ()x ay x y yx y +++为某函数(,)U x y 的全微分,则a =( ). (A)0; (B)2; (C)1-; (D)1. 答(B). 9. 设L 是从点(1,1)A 到点(2,3)B 的直线段,则(3)d (3)d Lx y x y x y +++=⎰( ).(A)2311(3)d (6)d x x y y +++⎰⎰; (B)21[(6)(23)]d x x x x x +++⎰;）(C)23111(31)d (3)d 2y x x y y ++++⋅⎰⎰; (D)21[(31)(51)]d x x x -++⎰.答(A).10*. 设()f x 连续可导,且(0)1f =,曲线积分(,)43(0,0)()tan d ()d I yf x x x f x y ππ=-⎰与路径无关,则()f x =( ).(A)1cos x +; (B)1cos x -; (C)cos x ; (D)sin x . 答(C).二、填空题1. 设区域D 的边界为L ,方向为正向, D 的面积为σ. 则d d Lx y y x -=⎰.答: 2σ.2. 设(,)f x y 在22:14x D y +≤上具有二阶连续偏导数, L 是D 的边界正向,则(,)d [3(,)]d y x Lf x y y y f x y x -+=⎰.—答: 6π.3. 设L 是圆周229x y +=,方向为逆时针, 则2(2)d (4)d Lxy y x x x y -+-=⎰.答: 27π-.4. 设L 为闭曲线2x y +=方向为逆时针,,a b 为常数, 则d d L ax y by x x y -+⎰=.答: 4()a b +.5. 设ABCDA 为以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --为顶点的正方形逆时针方向一周,则d d Lx yx y++⎰=.答: 0.6. 设L 为圆周221x y +=上从(1,0)A 到(0,1)B 再到(1,0)C -的曲线段,则2d y Le y =⎰.-答: 0. 7.(2,2)2(0,0)2d (3)d xy x x y +-=⎰.答: 2.8. 设L 为直线y x =从(0,0)O 到(2,2)A 的一段, 则22d 2d y y Le x xye y +=⎰.答: 42e .9*. 设L 为抛物线上一段弧,试将积分(,)d (,)d LP x y x Q x y y +⎰化为对弧长的曲线积分,其中(,),(,)P x y Q x y 在L 上连续.答:22d 14L P xQ s x ++⎰.10*. 设()f x 连续可导,且(0)0f =,曲线积分[()]sin d ()cos d x Lf x e y x f x y y --⎰与路径无关,则()f x =.]答: 2x xe e --.三、解答题1. 计算22d d 2()L y x x y x y -+⎰，其中L 为圆周22(1)2x y -+=的正向. 答:π-. 2. 计算(24)d (536)d Lx y x y x y -+++-⎰，其中L 是顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.答:12. 3. 计算3222(2cos )d (12sin 3)d Lxyy x x y x x y y -+-+⎰,其中L 为抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧.答:24π.4. 计算22()d (sin )d Lx y x x y y --+⎰，其中L 是圆周y 上由(0,0)到(1,1)的一段弧.答:7sin 264-+. `5. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值: (1) (2,3)(1,1)()d ()d x y x x y y ++-⎰.答:52. (2)(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰.答: 5.6. 验证下列(,)d (,)d P x y x Q x y y +在整个xoy 平面内是某函数(,)u x y 的全微分,并求函数(,)u x y .(1) (2)d (2)d x y x x y y +++. (2) 22d d xy x x y +.(3) 22(2cos cos )d (2sin sin )d x y y x x y x x y y ++-.答: (1) 22222x y xy ++; (2) 2x y ; (3)22cos sin x y y x +. -7. 用格林公式计算223()d (2)d Lx x y x xy y y -+-+⎰，其中L 是圆周y (2,0)A 到(0,0)O 的一段弧.答:324π-.8. 用格林公式计算423(23)d (4)d Lxy y x x x xy y -+++-⎰，其中L 是圆周y (1,0)A 到(1,0)B -的一段弧.答:62π-.§10．4 对面积的曲面积分一、选择题1. 设∑是xoy 平面上的一个有界闭区域xy D ,则曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰与二重积分(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰的关系是 ( ).。