高考理科数学一轮复习导数与函数的零点问题专题练习题

高考理科数学一轮复习导数与函数的零点问题专题练习题
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课时作业17 导数与函数的零点问题

1.已知f (x )=ax 2

-(b +1)x ln x -b ,曲线y =f (x )在点P (e ,f (e))处的切线方程为2x +y =0.

(1)求f (x )的解析式;

(2)研究函数f (x )在区间(0,e 4

]内的零点的个数.

解:(1)由题知?

??

??

f e =-2e ,

f ′e =-2,得?

??

??

a =1,

b =e ,

∴f (x )=x 2

-(e +1)x ln x -e.

(2)x 2-(e +1)x ln x -e =0?x -(e +1)ln x -e x

=0,x ∈(0,e 4

].

设g (x )=x -(e +1)ln x -e x

,x ∈(0,e 4

],

则g ′(x )=1-e +1x +e

x

2=

x -1

x -e

x

2

.

由g ′(x )=0得x 1=1,x 2=e , 当x ∈(0,1)时,g ′(x )>0, 当x ∈(1,e)时,g ′(x )<0, 当x ∈(e ,e 4

]时,g ′(x )>0,

所以g (x )在(0,1)上单调递增,在(1,e)上单调递减,在(e ,e 4

]上单调递增. 极大值g (1)=1-e<0,极小值g (e)=-2<0,g (e 4)=e 4

-4(e +1)-1e 3,

∵4(e +1)+1

e 3<4×4+1=17,

e 4

>2.74

>2.54

>62

=36,

∴g (e 4

)>0.

综上,g (x )在(0,e 4

]内有唯一零点, 因此,f (x )在(0,e 4]内有唯一零点.

2.(2019·郑州第一次质量预测)已知函数f (x )=ln x +1ax -1

a

,a ∈R 且a ≠0.

(1)讨论函数f (x )的单调性;

(2)当x ∈[1e ,e]时,试判断函数g (x )=(ln x -1)e x

+x -m 的零点个数.

解:(1)f ′(x )=

ax -1

ax 2

(x >0), 当a <0时,f ′(x )>0恒成立, ∴函数f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a >0时,由f ′(x )=ax -1ax 2>0,得x >1

a

, 由f ′(x )=

ax -1ax 2<0,得0

a , ∴函数f (x )在(1a

,+∞)上单调递增,在(0,1

a

)上单调递减. 综上所述,当a <0时,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增;

当a >0时,函数f (x )在(1a ,+∞)上单调递增,在(0,1

a

)上单调递减.

(2)∵当x ∈[1e ,e]时,函数g (x )=(ln x -1)e x

+x -m 的零点,即当x ∈[1e ,e]时,方

程(ln x -1)e x

+x =m 的根.

令h (x )=(ln x -1)e x +x ,h ′(x )=(1x

+ln x -1)e x

+1.

由(1)知当a =1时,f (x )=ln x +1x -1在(1

e ,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,

∴当x ∈[1

e ,e]时,

f (x )≥f (1)=0.

∴1x +ln x -1≥0在x ∈[1

e ,e]上恒成立. ∴h ′(x )=(1x

+ln x -1)e x

+1≥0+1>0,

∴h (x )=(ln x -1)e x

+x 在x ∈[1e ,e]上单调递增.

∴h (x )min =h (1

e )=-2e 1e +1e

h (x )max =e.

∴当m <-2e 1

e +1e 或m >e 时,函数g (x )在[1

e ,e]上没有零点;

当-2e 1

e +1e ≤m ≤e 时,函数g (x )在[1

e ,e]上有一个零点.

3.(2019·辽宁五校联考)已知函数f (x )=x 2

+2x

-a ln x (a ∈R ).

(1)若f (x )在x =2处取得极值,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)当a >0时,若f (x )有唯一的零点x 0,求[x 0].

注:[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.6]=0,[2.1]=2,[-1.5]=-2. 参考数据:ln2=0.693,ln3=1.099,ln5=1.609,ln7=1.946. 解:(1)∵f (x )=x 2

+2x

-a ln x ,

∴f ′(x )=2x 3

-ax -2

x

2

(x >0), 由题意得f ′(2)=0,则2×23

-2a -2=0,a =7, 经验证,当a =7时,f (x )在x =2处取得极值, ∴f (x )=x 2

+2x -7ln x ,f ′(x )=2x -2x 2-7x

∴f ′(1)=-7,f (1)=3,

则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -3 =-7(x -1),即7x +y -10=0. (2)令g (x )=2x 3

-ax -2(x >0), 则g ′(x )=6x 2-a , 由a >0,g ′(x )=0,可得x =a

6

, ∴g (x )在(0,

a

6

)上单调递减,在(

a

6

,+∞)上单调递增. 由于g (0)=-2<0,故当x ∈(0,

a

6

)时,g (x )<0, 又g (1)=-a <0,故g (x )在(1,+∞)上有唯一零点,设为x 1,从而可知f (x )在(0,x 1)上单调递减,在(x 1,+∞)上单调递增,

由于f (x )有唯一零点x 0,故x 1=x 0,且x 0>1, 则g (x 0)=0,f (x 0)=0,可得2ln x 0-3

x 30

-1

-1=0. 令h (x )=2ln x -

3

x 3

-1

-1(x >1),易知h (x )在(1,+∞)上单调递增, 由于h (2)=2ln2-107<2×0.7-10

7

<0,

h (3)=2ln3-2926

>0,故x 0∈(2,3),[x 0]=2.

4.(2019·南宁、柳州联考)已知函数f (x )=ln x -ax 2

+(2-a )x . (1)讨论f (x )的单调性;

(2)设f (x )的两个零点分别是x 1,x 2,求证:f ′(

x 1+x 2

2

)<0.

解:(1)函数f (x )=ln x -ax 2

+(2-a )x 的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1x

-2ax +(2-

a )=-

ax -1

2x +1

x

①当a ≤0时,f ′(x )>0,则f (x )在(0,+∞)上单调递增;

②当a >0时,若x ∈(0,1a ),则f ′(x )>0,若x ∈(1

a

,+∞),则f ′(x )<0,则f (x )在

(0,1a )上单调递增,在(1

a

,+∞)上单调递减.

(2)证明:由(1)易知a >0,且f (x )在(0,1a )上单调递增,在(1

a

,+∞)上单调递减,不

妨设0

a

f ′(x 1+x 22)<0?x 1+x 22>1a ?x 1+x 2>2a ,故要证f ′(x 1+x 22)<0,只需证x 1+x 2>2a

即可.

构造函数F (x )=f (x )-f (2a -x ),x ∈(0,1a ),f ′(x )=f ′(x )-[f (2

a

-x )]′=f ′(x )

+f ′(2

a

-x )

2ax

ax -2+2x 2-ax =

2ax -1

2

x 2-ax

∵x ∈(0,1a ),∴f ′(x )=

2ax -1

2

x 2-ax >0,

∴F (x )在(0,1

a

)上单调递增,

∴F (x )

a )=0,

即f (x )

-x ),x ∈(0,1

a

),

又x 1,x 2是函数f (x )的两个零点且0

a

-x 1),

而x 2,2a -x 1均大于1a ,∴x 2>2a -x 1,∴x 1+x 2>2

a

,得证.

尖子生小题库——供重点班学生使用,普通班学生慎用

5.(2019·西安八校联考)已知函数f (x )=x ,g (x )=λf (x )+sin x (λ∈R )在区间[-1,1]上单调递减.

(1)求λ的最大值;

(2)若g (x )

+λt +1在[-1,1]上恒成立,求t 的取值范围; (3)讨论关于x 的方程

ln x

f x

=x 2

-2e x +m 的解的个数.

解:(1)∵f (x )=x ,

∴g (x )=λf (x )+sin x =λx +sin x , 又g (x )在[-1,1]上单调递减,

∴g ′(x )=λ+cos x ≤0在[-1,1]上恒成立,∴λ≤(-cos x )min =-1.故λ的最大值为-1.

(2)在[-1,1]上,g (x )max =g (-1)=-λ-sin1,∴只需t 2

+λt +1>-λ-sin1恒成立,即(t +1)λ+t 2

+sin1+1>0(λ≤-1)恒成立,令h (λ)=(t +1)λ+t 2

+sin1+1(λ≤-1),要使h (λ)>0恒成立,

则需?????

t +1≤0,

h -1=-t -1+t 2

+sin1+1>0,

∴?

????

t ≤-1,t 2

-t +sin1>0,

又t 2

-t +sin1>0恒成立,

∴t ≤-1,故t 的取值范围为(-∞,-1]. (3)

ln x

f x

ln x x

=x 2

-2e x +m ,

令f 1(x )=ln x x

,f 2(x )=x 2

-2e x +m ,

∵f 1′(x )=1-ln x

x

2

, ∴当x ∈(0,e)时,f 1′(x )>0,

即f 1(x )单调递增;

当x ∈[e ,+∞)时,f 1′(x )≤0, 即f 1(x )单调递减. ∴f 1(x )max =f 1(e)=1

e ,

又f 2(x )=(x -e)2

+m -e 2

∴当m -e 2>1e ,即m >e 2

+1e 时,方程无解;

当m -e 2=1e ,即m =e 2

+1e 时,方程有一个解;

当m -e 2<1e ,即m

+1e 时,方程有两个解.

高考数学(理)总复习:利用导数解决函数零点问题

题型一 利用导数讨论函数零点的个数 【题型要点解析】 对于函数零点的个数的相关问题,利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是: (1)构造函数,这是解决此类题的关键点和难点,并求其定义域; (2)求导数,得单调区间和极值点; (3)画出函数草图; (4)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解.1.已知f (x )= ax 3-3x 2+1(a >0),定义h (x )=max{f (x ),g (x )}=????? f (x ),f (x )≥ g (x ),g (x ),f (x )0)的零点个数. 【解】 (1)∈函数f (x )=ax 3-3x 2+1,∈f ′(x )=3ax 2-6x =3x (ax -2),令f ′(x )=0,得x 1 =0或x 2=2 a ,∈a >0,∈x 1

即不等式2a ≤1x 3+3 x 在x ∈[1,2]上有解. 设y =1x 3+3x =3x 2+1 x 3(x ∈[1,2]), ∈y ′=-3x 2-3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立, ∈y =1x 3+3 x 在x ∈[1,2]上单调递减, ∈当x =1时,y =1x 3+3 x 的最大值为4, ∈2a ≤4,即a ≤2. (3)由(1)知,f (x )在(0,+∞)上的最小值为f ?? ? ??a 2=1-4a 2, ∈当1-4 a 2>0,即a >2时,f (x )>0在(0,+∞)上恒成立,∈h (x )=max{f (x ),g (x )}在(0,+ ∞)上无零点. ∈当1-4 a 2=0,即a =2时,f (x )min =f (1)=0. 又g (1)=0,∈h (x )=max{f (x ),g (x )}在(0,+∞)上有一个零点. ∈当1-4 a 2<0,即00, ∈存在唯一的x 0∈?? ? ??1,1e ,使得φ(x 0)=0, (∈)当0

高考真题理科数学导数

2012年高考真题理科数学解析汇编:导数与积分 一、选择题 1 .(2012年高考(新课标理))已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 2 .(2012年高考(浙江理))设a >0,b >0. ( ) A .若2223a b a b +=+,则a >b B .若2223a b a b +=+,则a b D .若2223a b a b -=-,则a

5 .(2012年高考(山东理))设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是 “函数3 ()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 6 .(2012年高考(湖北理))已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴 所围图形的面积为 ( ) A . 2π 5 B . 43 C . 32 D . π2 7 .(2012年高考(福建理))如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点 P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 ( ) A . 14 B . 15 C . 16 D . 17 8 .(2012年高考(大纲理))已知函数3 3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个 公共点,则c = ( ) A .2-或2 B .9-或3 C .1-或1 D .3-或1 二、填空题 9 .(2012年高考(上海理))已知函数 )(x f y =的图像是折线段ABC ,若中 A (0,0), B (21,5), C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10.(2012年高考(山东理))设0a >.若曲线y x = 与直线,0x a y ==所围成封闭图形 的面积为2 a ,则a =______. 11.(2012年高考(江西理))计算定积分 1 21 (sin )x x dx -+=? ___________. 12.(2012年高考(广东理))曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ___________________. 三、解答题 13.(2012年高考(天津理))已知函数 ()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; 1-y x O 第3题图 1 1

【高考数学专题】函数的零点练习题

函数的零点 班级 ___________ 姓名 __________ 知识必备 1、函数零点定义. 对于函数()D x x f y ∈=,,把使()0=x f 成立的实数x 叫作函数()D x x f y ∈=,的零点。 2、函数的零点与相应方程的根,函数的图像与x 轴交点之间的关系. 方程()0=x f 有实根?函数()x f y =的图像与x 轴交点?函数()x f y =有零点. 3、函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图像是一条连续曲线,并且有()()0+-≤-+=0 ,ln 20 ,322x x x x x x f 的零点个数为____________. 5、函数()()2,1≥∈-+=+n N n x x x f n n 在区间?? ? ??121,内的零点个数为______. 6、已知0x 是函数()x x f x -+ =11 2的一个零点,若()()+∞∈∈,,10201x x x x ,则( ) ()()0,0.21<x f x f C ()()0,0. 21>>x f x f D 7、已知a 是()x x f x 2 1log 2-=的零点,若a x <<00,则()0x f 的值满足( ) ()0. 0=x f A ()0.0x f C ()符号不确定 0.x f D 8、若函数()a x x x f -+=2 log 3 在区间()21, 内有零点,则实数a 的取值范围是( ) ()2log 1. 3--,A ()2l o g 0.3,B ()12l o g .3, C ()4l o g 1.3,D 9、若432<<<

导数与函数的切线及函数零点问题专题

导数与函数的切线及函数零点问题 高考定位 高考对本内容的考查主要有:(1)导数的几何意义是考查热点,要求是B 级,理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率,能够解决与曲线的切线有关的问题;(2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命题的另一热点. 真 题 感 悟 (2016·江苏卷)已知函数f (x )=a x +b x (a >0,b >0,a ≠1,b ≠1). (1)设a =2,b =1 2. ①求方程f (x )=2的根; ②若对任意x ∈R ,不等式f (2x )≥mf (x )-6恒成立,求实数m 的最大值; (2)若0<a <1,b >1,函数g (x )=f (x )-2有且只有1个零点,求ab 的值. 解 (1)①由已知可得2x +? ?? ??12x =2, 即2x +1 2 x =2.∴(2x )2-2·2x +1=0, 解得2x =1,∴x =0. ②f (x )=2x +? ?? ??12x =2x +2-x , 令t =2x +2-x ,则t ≥2. 又f (2x )=22x +2-2x =t 2-2, 故f (2x )≥mf (x )-6可化为t 2-2≥mt -6, 即m ≤t +4t ,又t ≥2,t +4 t ≥2 t ·4 t =4(当且仅当t =2时等号成立), ∴m ≤? ? ???t +4t min =4,即m 的最大值为4. (2)∵0<a <1,b >1,∴ln a <0,ln b >0. g (x )=f (x )-2=a x +b x -2,

g′(x)=a x ln a+b x ln b且g′(x)为单调递增,值域为R的函数.∴g′(x)一定存在唯一的变号零点, ∴g(x)为先减后增且有唯一极值点. 由题意g(x)有且仅有一个零点, 则g(x)的极值一定为0, 而g(0)=a0+b0-2=0,故极值点为0. ∴g′(0)=0,即ln a+ln b=0,∴ab=1. 考点整合 1.求曲线y=f (x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0,y0),求y=f (x)过点P的切线方程:求出切线的斜率 f ′(x ),由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为k,求y=f (x)的切线方程:设切点P(x0,y0),通过方程k=f ′(x )解得x0,再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点),求y=f (x)的切线方程:设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f ′(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x ,再由点斜式或两点式写出方程. 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下,由于当x→∞时,函数值也趋向∞,只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1,x2且x1<x2的函数f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的零点分布情况如下: 3.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法 研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点,归根到底还是研究函数的图

高考理科数学数学导数专题复习

高考理科数学数学导数专题复习

高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数. 利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.证明不等式恒成立 考试要求: (1)了解导数概念的某些实际背景. (2)理解导数的几何意义. (3)掌握常用函数导数公式,会求多项式函数的导数. (4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值. (5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值. (6)会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 导数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则

1. 导数(导函数的简称)的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注: ①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系: ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上,令x x x ?+=0,则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续,那么)(x f y =在点0x 处可导,是不成立的. 例:||)(x x f =在点00=x 处连续,但在点00=x 处不可导,因为x x x y ??= ??| |,当x ?>0时,1=??x y ;当x ?<0时,1-=??x y ,故x y x ??→?0lim 不存在. 注: ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义:

高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系

高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、(本题满分14分) 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 (1)设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 (2)若函数()f x 有唯一的零点,求a 取值范围。 21.解:(1)1()ln h x a x x x =-+,定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤,即22a -≤≤时()0g x ≥,()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时,由()0g x =得1x =,2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>;当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ,2(,)x +∞上单调递增,在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上,当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ,2(,)x +∞单调递增,在12(,)x x 单调递减……………8分 (2)方法1:问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=,则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?,得e x 1=

数学高考导数难题导数零点问题导数整理2017

含参导函数零点问题的几种处理方法方法一:直接求出,代入应用对于导函数为二次函数问题,可以用二次函数零点的基本方法来求。 1)因式分解求零点(1123)?Rx?1(?(a?)x)f(x?a?2ax 例1 讨论函数的单调区间232)?2?1)(x?1)x?2?(axf'(x)?ax?(2a)(xf'可以因式分的符号问 题。由解析:即求 方法二:猜出特值,证明唯一对于有些复杂的函数,有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的,这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点,再证明该函数的单调性而验证其唯一性。 112x3ax1)x??x(a?f(x)?(x?a?1)e?R?a,讨论函数,的极值情况例4 23x2x)1e?x?a?(x?a)(?(x?a)ex?(a?1)x?f'(x)?a)f'(x其它的零点就的一个零点为,解析:,只能解 出x0?1?e?x的根,不能解。是 2Ra?x?a)ln x,f(x)?(例5(2011高考浙江理科)设函数a?ex)xy?f(的极值点,求实数(Ⅰ)若为2exf()?4ea],3e(0,x?为自然对数),(Ⅱ)求实数恒有的取值范围,使得对任意的成立(注:方法三:锁定区间,设而不求对于例5,也可以直接设函数来求,2e)?0?4f(xa e1?1?x?30?x 有实时,对于任意的数题,恒有意,首②当先①当,由立成a e22e22,?e?a) 4e ln(3e)f(3e)?(3)1???a)(2ln xf'(x)?(x?e?e?3?a3,但这时解得由 x)e3ln(ln(3e)a??12ln x ax?0?'(x)f=0外还有会发现的解除了的解,显然无法用特殊值猜出。 xa??(x)2ln x?1h h(1)?1?a?0h(a)?2ln a?0,,令,注意到x2e?3e ln(3e)1a)f02(ln3e?h(3e)?2ln(3e?2ln(3e)?1?)?1?且。= e33e)e3ln(3f'(x)?0(1,a)h(x)h(x)(1,3e]内,及(13e在)至少还有一个零点,又在故+∞)内 单调递增,所以函数0在(,x1?x?a。,则有唯一零点,但此时无法求出此零点怎么办。我们 可以采取设而不求的方法,记此零点为从 00x?(x,a)(0,x))x?x(0,)x f x)0f()x f0f,x)f'(x f a?(a??)'('(f在时,;当而,当时,,即;当时, 000?2e?x(1,3)xa(ef?)(x4)a(??,恒成立,只要内单调递增,在对内单调递增。所以要使内单调递减,在0,. 22?f(x)?(x?a)ln x?4e,(1)?000成 立。?22f(3e)?(3e?a)ln(3e)?4e,(2)??a2320??2ln x?1?)h(xx f1a?2ln x?xe ln4xx?4,注意到函1)得, 又(,知3)将(3)代入(0000000x0231p x?exx ln2x ln x?x在(1.+ +∞)。再由()内单调递增,故数3)以及函数内单调递增,可得在[1,+∞02e2e2e?a?3e??a?3e3e3e??e13p a?。所以的取值范围为)解得,综上,a。由(2ln(3e)ln(3e)ln(3e23ea??3?。

高考文科数学导数全国卷

导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ,文21)(本小题满分12分) 设函数f (x )= e x -ax -2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f ′(x )+x +1>0,求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ,文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2-4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =4x +4. (1)求a ,b 的值; (2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值. 3、(2015课标全国Ⅰ,文21).(本小题满分12分) 设函数2()ln x f x e a x =-. (Ⅰ)讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数; (Ⅱ)证明:当0a >时,2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ,文21)(本小题满分12分) 已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x )( (I)讨论)(x f 的单调性; (II)若)(x f 有两个零点,求的取值范围. 5、((2016全国新课标二,20)(本小题满分12分) 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. (I )当4a =时,求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程;

(II)若当()1,x ∈+∞时,()0f x >,求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ,a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x ),求g (x )的单调区间; (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.(12分) 已知函数)f x =(a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . (1)讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 2018全国卷)(12分) 已知函数()1 ln f x x a x x = -+. ⑴讨论()f x 的单调性; ⑵若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,证明: ()()1212 2f x f x a x x -<--. 导数高考题专练(答案) 1 2解:(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4. 由已知得f (0)=4,f ′(0)=4. 故b =4,a +b =8. 从而a =4,b =4. (2)由(1)知,f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x ,

高考数学专题04 函数的零点(第六篇)(解析版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第六篇函数与导数 专题04 函数的零点 【典例1】【辽宁省丹东市2020届模拟】已知设函数()ln(2)(1)ax f x x x e =+-+. (1)若0a =,求()f x 极值; (2)证明:当1a >-,0a ≠时,函数()f x 在(1,)-+∞上存在零点. 【思路引导】 (1)通过求导得到()f x ',求出()0f x '=的根,列表求出()f x 的单调区间和极值. (2)对a 进行分类,当1a >时,通过对()f x '求导,得到()f x '在()1,-+∞单调递减,找到其零点,进而得到()f x 的单调性,找到()0>0f x ,()00f <,可证()f x 在()1,-+∞上存在零点. 当01a <<时,根据(1)得到的结论,对()f x 进行放缩,得到1e 0a f -??> ??? ,再由()00f <,可证() f x 在()1,-+∞上存在零点. 【详解】 (1)当0a =时,()()()ln 21f x x x =+-+,定义域为()2,-+∞,由()1 02 x f x x +'=- =+得1x =-. 当x 变化时,() f x ',()f x 的变化情况如下表:

故当1x =-时,()f x 取得极大值()()()1ln 21110f -=---+=,无极小值. (2)()()1 e 112 ax f x a x x ??= -++?+'?,2x >-. 当0a >时,因为1x >-,所以()() ()2 1 e 1202ax f x a a x x ??=- -++?+'',()1 002 f b -'=-<, 所以有且仅有一个()11,0x ∈-,使()10g x '=, 当11x x -<<时,()0f x '>,当1x x >时,()0f x '<, 所以()f x 在()11,x -单调递增,在()1,x +∞单调递减. 所以()()010f x f >-=,而()0ln210f =-<, 所以()f x 在()1,-+∞存在零点. 当10a -<<时,由(1)得()()ln 21x x +≤+, 于是e 1x x ≥+,所以()e 11ax ax a x -≥-+>-+. 所以()()()()()) e e ln 21e 1ln 21]ax ax ax f x x x x a x -???=+-+>-+++??? . 于是11111 11e e e 1ln e 21]e e 1ln e 1]0a a a a a f a a -------??????????????>+-+->+--=???? ? ? ? ? ???????????????? ???. 因为()0ln210f =-<,所以所以()f x 在1e ,a -?? +∞ ??? 存在零点. 综上,当1a >-,0a ≠时,函数()f x 在()1,-+∞上存在零点. 【典例2】【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试】已知函数()2 23x f x e x x =+-. (1)求函数()f x '在区间[]0,1上零点个数;(其中()f x '为()f x 的导数) (2)若关于x 的不等式()()2 5312 f x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立,试求实数a 的取值范围. 【思路引导】

导数与函数零点问题解题方法归纳

导函数零点问题 一.方法综述 导数是研究函数性质的有力工具,其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性.应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时,绕不开研究()f x 的单调性,往往需要解方程()0f x '=.若该方程不易求解时,如何继续解题呢?在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上,本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二.解题策略 类型一 察“言”观“色”,“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. (1)讨论()f x 的单调性; (2)若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点,求m 的取值范围. 【分析】(1)首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+,再对参数a 分类讨论可得; (2)依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-,当0m …函数在定义域上单调递增,不满足条件; 当0m >时,由(1)得()g x '在[)1,-+∞为增函数,因为()01g m '=-,()00g =.再对1m =,1m >, 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】(1)因为()() 2 1x f x x ax e =++,所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+, 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=,得()11x a =-+,21x =-. ①当0a =时,()()2 1e 0x f x x =+'…,当且仅当1x =-时,等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时,()11a -+<-, 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-,由()0f x <′得()11a x -+<<-; 所以()f x 在()() ,1a -∞-+,()1,-+∞为增函数,在()() 1,1a -+-为减函数.

高考理科数学数学导数专题复习

高考理科数学数学导数专 题复习 Last revision date: 13 December 2020.

高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数. 利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.证明不等式恒成立 考试要求: (1)了解导数概念的某些实际背景. (2)理解导数的几何意义. (3)掌握常用函数导数公式,会求多项式函数的导数.(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值. (6)会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 在0x 处有增 称为函数,即 f 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系: ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上,令x x x ?+=0,则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ).()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果 )(x f y =点0x 处连续,那么)(x f y =在点0x 处可导,是不成立的.

导数和函数零点问题

导数和函数零点问题 Prepared on 24 November 2020

导数和函数零点 1、已知函数3()31,0f x x a x a =--≠ (1)求()f x 的单调区间; (2)若()f x 在1x =-处取得极值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交 点, 求m 的取值范围。 2、设a 为实数,函数a x x x f ++-=3)(3 (1)求)(x f 的极值; (2)若方程0)(=x f 有3个实数根,求a 的取值范围; (3)若0)(=x f 恰有两个实数根,求a 的值。 3、已知函数)(ln 2)(2R a x ax x f ∈-= (1)讨论)(x f 的单调性; (2)是否存在a 的值,使得方程3)(=x f 有两个不等的实数根 若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由。 4、已知函数a ax x a x x f ---+=232 131)(,x R ∈,其中0>a 。 (1)求函数)(x f 的单调区间; (2)若函数)(x f 在区间)0,2(-内恰有两个零点,求a 的取值范围; 5、已知函数)0()23()(2 3>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图象如图所示. (1)求c ,d 的值; (2)若函数,01132)(=-+=y x x x f 处的切线方程 在求函数)(x f 的解析式; (3)在(2)的条件下,函数m x x f y x f y ++= =5)(3 1)('与的图象有三个不同的交点, 求m 的取值范围; 6、已知定义域为R 的奇函数)(x f ,当0>x 时,)(1ln )(R a ax x x f ∈+-=

利用导数解决函数零点问题

利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下,找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注: ①求导分解定义域,这1分必拿, )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ,构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ,重复上面步骤, 042)(22>+='x x xe e x g , )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(, +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 ④综上所述送1分. )(x f ' )(x f

(三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2 --=存在唯一 的极大值点0x ,且202 2)(--<

高考理科数学导数经典题详解

1.(15分)已知函数f(x)=21nx+ax2﹣1 (a∈R) (I)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若a=l,试解答下列两小题. (i)若不等式f(1+x)+f(1﹣x)<m对任意的0<x<l恒成立,求实数m的取值范围; (ii)若x1,x2是两个不相等的正数,且以f(x1)+f(x2)=0,求证:x1+x2>2.2.(15分)设函数x e x f x sin ) (+ =,2 ) (- =x x g; (1)求证:函数) (x f y=在) ,0[+∞上单调递增; (2)设)) ( , ( 1 1 x f x P, 22 (,()) Q x g x)0 ,0 ( 2 1 > ≥x x,若直线PQ x //轴,求Q P,两点间的最短距离. 1 / 17

2 / 17 3.(本小题满分15分) 已知函数()1ln (02)2x f x x x =+<<-. (Ⅰ)是否存在点(,)M a b ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数 ()y f x =的图像上?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由; (Ⅱ)定义21 1 1221()()()()n n i i n S f f f f n n n n -=-= =++???+∑ ,其中*n ∈N ,求2013S ; (Ⅲ)在(2)的条件下,令12n n S a +=,若不等式2()1n a m n a ?>对 * n ?∈N ,且2n ≥恒成立,求实数m 的取值范围. 4.(本小题满分15分) 已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,若() f x y x =在(0,)+∞上为增函数,则称()f x 为“一阶比增函数”; 若2 () f x y x = 在(0,)+∞上为增函数,则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的 集合记为1Ω,所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. [来源:.Com] (Ⅰ)已知函数32 ()2f x x hx hx =--,若1(),f x ∈Ω且2()f x ?Ω,求 实数h 的取值范围; (Ⅱ)已知0a b c <<<,1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出, 求证:(24)0d d t ?+->; ( Ⅲ ) 定 义 集 合 {}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取, 请问:是否存在常数M ,使得()f x ?∈ψ,(0,)x ?∈+∞,有

专题03 “用好零点”,证明函数不等式-2020年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)

专题三“用好零点”,证明函数不等式 函数方程思想是一种重要的数学思想方法,函数问题可以利用方程求解,方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体,主要考查以下三个方面:(1)零点所在区间——零点存在性定理;(2)二次方程根的分布问题;(3)判断零点的个数问题;(4)根据零点的情况确定参数的值或范围;(5)根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点(零点个数),证明函数不等式问题,例题说法,高效训练. 【典型例题】 类型一设而不求,应用函数零点存在定理 例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点,求的取值范围; (2)求证:时,. 类型二设而不求,应用不等式性质 例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数(,e是自然对数的底,) (1)讨论的单调性; (2)若,是函数的零点,是的导函数,求证:. 类型三代入零点,利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题(七)】已知函数,其中为常数. (1)讨论函数的单调性; (2)若有两个相异零点,求证:. 类型四利用零点性质,构造函数证明参数范围 例4.【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数. (1)判断的单调性; (2)若在(1,+∞)上恒成立,且=0有唯一解,试证明a<1. 【规律与方法】 应用函数的零点证明不等式问题,从已知条件来看,有两类,一类是题目中并未提及函数零点,二一

类是题目中明确函数零点或零点个数;从要求证明的不等式看,也有两种类型,一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围,二一类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系. 1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系,所以,通过设出函数的零点,利用函数零点存在定理,可建立不等关系,向目标不等式靠近,如上述类型一;也可以利用不等式的性质,向目标不等式靠近,如上述类型二,这两类问题突出的一点是“设而不求”. 2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时,则注意将零点代入函数式,构建方程(组),进一步确定零点之间的关系,然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段. 【提升训练】 1.【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数, (1)讨论的单调性; (2)若函数有两个零点、,求证:. 2.【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点. 求实数a的取值范围; 若函数的两个零点分别为,,求证:. 3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数. (1)当时,求函数的单调区间; (2)当时,证明:(其中为自然对数的底数). 4.已知函数f(x)=lnx+a(x﹣1)2(a>0). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在区间(0,1)内有唯一的零点x0,证明:. 5. 已知函数f(x)=3e x+x2,g(x)=9x﹣1. (1)求函数φ(x)=xe x+4x﹣f(x)的单调区间; (2)比较f(x)与g(x)的大小,并加以证明. 6. 已知函数f(x)=lnx﹣x+1,函数g(x)=ax?e x﹣4x,其中a为大于零的常数. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)求证:g(x)﹣2f(x)≥2(lna﹣ln2). 7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数,其导函数的最大值

利用导数解决函数零点问题

1 利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下,找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注: ①求导分解定义域,这1分必拿, )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ,构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ,重复上 面步骤, 042)(22>+='x x xe e x g , )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(, +∞→+∞→)(x g x 时。 一定要用零点判定定理确定零点个数 )(x f ' )(x f

2 (三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2--=存在唯一 的极大值点0x ,且2022)(--<

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